Movimiento en 2 dimensiones

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Movimiento en dos 
dimensiones (parte 2)
CLASE TEÓRICO-PRÁCTICA
FÍSICA 1 
Movimiento Circular 
Movimiento Relativo
Movimiento Circular o Circunferencial
En este movimiento la trayectoria de la partícula es una 
circunferencia de radio r.
Utilizando coordenadas polares, (r,𝜑) la posición de la 
partícula queda determinada por el ángulo 𝜑 y por el 
módulo del vector posición que es constante (r). 
Cuando una partícula se mueve en una 
trayectoria curva, la dirección de su 
velocidad lineal instantánea cambia
Sabemos que :
Velocidad lineal o tangencial (𝒗𝒕)
Ԧ𝑣 = lim
∆𝑡 →0
∆ Ԧ𝑟
∆ 𝑡
=
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
La dirección de Ԧ𝑣 es la del vector 𝑑𝑟 y es tangente a 
la circunferencia en el punto considerado 
Cuando ∆𝑡 → 0 el arco se confunde con la cuerda , 
entonces ds=dr por lo que el módulo de la 
velocidad instantánea se puede calcular : 
Ԧ𝑣 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
Relación entre arco y ángulo central
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 (𝑠)
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜(θ)
=
𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓.
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑔𝑖𝑟𝑜
∆𝑠
∆φ
=
2π 𝑟
2π
∆𝑠 = ∆φ 𝑟
Para una vuelta completa: 
¿ Qué es el radián? Es un ángulo central cuyo arco es igual al 
radio de la circunferencia a la que 
pertenece
Velocidad Angular Media (𝝎𝒎)
𝒓𝟏
φ𝟏
Para:t=𝒕𝟏
𝒓𝟐
φ𝟐
Para: t = 𝒕𝟐
Siendo el desplazamiento angular:  = φ2- 𝜑 1
𝜔𝑚= 
∆𝜑
∆𝑡
Unidad de ω en el SI : (rad/s=1/s) 
otra unidad muy usada (rev/min)
Considerando una partícula que se mueve 
en un círculo: 
En todos los casos las variables angulares se expresan en radianes.
Se define la velocidad angular media como
el cociente entre el desplazamiento angular
efectuado y el intervalo de tiempo empleado
𝜑1 la posición angular para 𝑡1
𝜑2 el ángulo barrido para 𝑡2
La dirección y sentido de la 
velocidad angular
La dirección y el sentido de ω
queda determinado por la regla 
de la mano derecha: los dedos 
de la mano señalan el sentido 
de giro y el pulgar señala hacia 
donde debe apuntar el vector 
velocidad angular 
𝜔
Velocidad angular instantánea (ω)
ω = lim
∆𝑡⇾0
∆φ
∆𝑡
=
𝑑φ
𝑑𝑡
𝑢
El vector u es un versor perpendicular al plano determinado por ∆φ
y r , da la dirección y sentido de la velocidad angular
(4)
𝑢
Unidad de [ω]
rad/s = 1/s = s-1
Relación entre velocidad angular 𝝎
y velocidad tangencial 𝒗𝒕
de la ecuación 𝑠 = 𝑅 φ ,
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡:
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑅
𝑑φ
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑅
𝑑φ
𝑑𝑡
El módulo de la velocidad tangencial será:
𝑣𝑡 = ω𝑅
Siendo esta una relación entre los 
módulos de los vectores
Desde el punto de vista vectorial, para 
el caso más general: Ԧ𝑣𝑡 = 𝜔 x Ԧ𝑟
Ԧ𝑣𝑡 = 𝜔 . Ԧ𝑟 .sen 𝜃 (𝜔, Ԧ𝑟)
Aceleración Centrípeta (𝒂𝒄)
Considerando una partícula con movimiento circular, con velocidad tangencial 
de módulo constante, la variación de la dirección de la 𝒗 conduce a una 
aceleración Ԧ𝑎=
∆𝑣
∆𝑡
, cuya dirección y sentido será la del vector ∆𝑣. 
En el límite cuando ∆t⇾0 y ∆φ⇾0 la aceleración será perpendicular a la 𝑣𝑡 , 
apunta hacia el centro 0 coincidente con el radio r y se denomina aceleración 
centrípeta o radial. 
El módulo de la 𝑎𝑐 se obtiene comparando 
los triángulos 𝑃10𝑃2 y ACB que son 
semejantes
∆𝑟
𝑟
= 
∆𝑣
𝑣
Sus lados homólogos 
son proporcionales:
Si consideramos ∆t cada vez más pequeño, en el límite se obtiene:
𝑎𝑐 = lim
∆𝑡⇾0
∆𝑣
∆𝑡
= lim
∆𝑡⇾0
𝑣
𝑟
∆𝑟
∆𝑡
= 
𝑣
𝑟
lim
∆𝑡⇾0
∆𝑟
∆𝑡
= 
𝑣
𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
𝑣
𝑟
𝑣=
𝑣2
𝑟
𝑎𝑐=
𝑣2
𝑟
y como v= ω r 𝑎𝑐= ω
2 𝑟 𝑎𝑐 = ω 𝑣𝑡
Módulo de la aceleración centrípeta su dirección es perpendicular 
a Ԧ𝑣 y sentido hacia adentro sobre el radio del círculo
Despejando ∆v y dividiendo por ∆t :
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣
𝑟
∆𝑟
∆𝑡
∆𝑟
𝑟
= 
∆𝑣
𝑣
Desde el punto de vista vectorial, para 
el caso más general: Ԧ𝑎𝑐 = 𝜔 x Ԧ𝑣𝑡
Como 𝜔 ⊥ Ԧ𝑣𝑡 entonces el módulo de la 
aceleración centrípeta será:
Ԧ𝑎𝑐 = 𝜔 Ԧ𝑣𝑡 sin 90° = ω. 𝑣𝑡
• Si varía el módulo de la 
velocidad angular ω aparece una 
aceleración angular α
La aceleración angular media es el
cociente entre la variación de la
velocidad angular y el tiempo
transcurrido Ԧ𝛼𝑚 =
∆ω
∆𝑡
Siendo ∆𝜔 = 𝜔𝑓 − 𝜔0
La aceleración angular
instantánea es:
α = lim
∆𝑡⇾0
∆ω
∆𝑡
=
𝑑ω
𝑑𝑡
Aceleración angular (𝜶)
Unidades de [] 
rad/s2 = 1/s2 = s-2
Aceleración tangencial (𝒂𝒕)
Relación entre aceleración tangencial y aceleración angular
Sabemos que : 𝑎𝑡 =
𝑑|𝑣|
𝑑𝑡
=
𝑑(ω𝑟)
𝑑𝑡
= 𝑟
𝑑ω
𝑑𝑡
= r α Es decir 𝑎𝑡= r α
Si varía la magnitud de la velocidad lineal habrá una aceleración a lo 
largo de la tangente de la trayectoria, llamada aceleración tangencial 
𝑎𝑡 =
𝑑| Ԧ𝑣|
𝑑𝑡
La dirección de 𝑎𝑡 es tangente a la 
circunferencia en el punto considerado 
La magnitud de la aceleración 
tangencial es igual a la tasa de 
cambio de la rapidez
Cinemática Angular 
∆φ
∆𝑡
=
𝑑φ
𝑑𝑡
La velocidad angular media es igual a la velocidad angular instantánea, es 
decir: 
• Movimiento Circular Uniforme (MCU): la velocidad angular es 
constante
∆φ =
𝑑φ
𝑑𝑡
∆𝑡 = ω ∆𝑡 = ω (𝑡 − 𝑡0)
(φ − φ0 )=ω (𝑡 − 𝑡0)
(análoga a la ecuación del 
desplazamiento en el MRU)
ω𝑚=ω
Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)
ω =
∆φ
∆𝑡
ω =
2π
𝑇
ω = 2π𝑓
𝑣 =
2π𝑟
𝑇
𝑣 = 2π𝑟𝑓
❑ la 𝑣𝑡 cambia de dirección en cada punto de la trayectoria y tiene
módulo constante
❑ La velocidad angular es constante
𝑣 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
❑ Tiene aceleración centrípeta
𝑎𝑐=
𝑣2
𝑟
T: período (tiempo que tarda una partícula en dar una vuelta)
f: frecuencia (número de vueltas en la unidad de tiempo)
𝑇 =
1
𝑓
Ejercicio 5 : El tren de juguete 
Un tren de juguete recorre una trayectoria circular de radio R
sin posibilidad de cambiar el módulo de su velocidad lineal.
Responda:
a) ¿La velocidad lineal es constante? Explique
b) Grafique en un sistema de ejes cartesianos la velocidad
angular en función del tiempo: 𝜔 (𝑡)
c) ¿El módulo de la aceleración centrípeta cambia en cada
punto de la trayectoria? explique
d) Si el tren tarda 20s en dar una vuelta, qué tiempo tarda
en efectuar 100 vueltas? Justifique su respuesta
∆ω
∆𝑡
=
𝑑ω
𝑑𝑡
∆φ=ω0 ∆𝑡 +
1
2
α ∆𝑡2
ω = ω0 + α ∆t
ω2 = ω0
2 + 2 α ∆φ
• Movimiento es Circular Uniformemente Variado (MCUV): 
la aceleración angular es constante y sus ecuaciones se 
obtienen por analogía con el MRUV
α𝑚 = α
La aceleración angular media es igual a la aceleración angular instantánea, 
es decir
∆ω =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
∆𝑡 = 𝛼 ∆𝑡 = 𝛼 (𝑡 − 𝑡0)
Por analogía con el MRUV, se pueden plantear : 
Movimiento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V)
❑ La aceleración angular α es constante
❑ La ω cambia en módulo proporcionalmente 
con el tiempo 
❑ La Ԧ𝑣𝑡 cambia en módulo y dirección en 
cada punto de la trayectoria
❑ Tiene aceleración angular, tangencial y 
centrípeta
Ejercicio 6 : El ventilador
Un ventilador cuyas aspas miden una longitud l está situado en el
techo girando a una velocidad angular inicial 𝜔0. Un apagón de luz
hace que, después de un tiempo t, el ventilador se detenga. Si
durante su movimiento mantiene constante la aceleración angular,
responda y justifique:
a) ¿ Qué tipo de movimiento efectúan las aspas?
b) ¿La velocidad angular permanece constante durante el
movimiento? Grafique 𝜔 (𝑡)
c) ¿El vector velocidad angular y aceleración angular tienen la
misma dirección y sentido durante el movimiento?
d) Si un aspa efectúa la primera vuelta en un tiempo t, ¿tardará el
mismo tiempo en efectuar la segunda vuelta? Indique la
expresión que le permitirá encontrar el número de vueltas.
e) Todos los puntos de una misma aspa tendrán: ¿la misma
velocidad tangencial ? ¿Y la misma velocidad angular?
Componentes tangencial y normal de la aceleración
El cambio en el módulo de la velocidad tangencial 
genera la aceleración tangencial 𝑎𝑡
El cambio en la dirección de la velocidad tangencial 
generala aceleración normal o centrípeta 𝑎𝑐
El módulo de la aceleración total Ԧ𝑎 se calcula: 𝑎 = 𝑎𝑡
2 + 𝑎𝑐
2
Ԧ𝑎= Ԧ𝑎𝑡 + Ԧ𝑎𝑐
Vectores de velocidad y aceleración para una partícula que pasa por un punto P de una trayectoria curva con rapidez a) 
constante, b) creciente y c) decreciente
Ejercicio 7: Diferentes movimientos
Suponga que la velocidad lineal Ԧ𝑣 y la aceleración Ԧ𝑎
forman entre sí un ángulo β. Explique que efectos se
produce sobre la velocidad y en consecuencia que tipo de
movimiento resulta en los siguientes casos: a) β = 0° b)
β = 90° c) β= 180°
MOVIMIENTO RELATIVO
Dos observadores que se mueven uno con respecto al otro no
concuerdan generalmente en el resultado de una medición.
La velocidad que un observador percibe es la velocidad relativa a él 
MOVIMIENTO RELATIVO DE TRASLACIÓN
Se consideran dos sistemas de referencias O , O´ (uno se mueve
con respecto al otro con velocidad constante ū)
O Sistema fijo relativo a la Tierra
O´ Sistema que se mueve con velocidad con constante (ū) con
respecto a O, o sea con respecto a Tierra.
=posición de P 
con respecto al 
sistema fijo O
= posición de P 
con respecto al 
sistema móvil O´
Ambas posiciones 
después de 
transcurrido cierto 
tiempo t De la figura deducimos que:
Transformada de 
Galileo de la posición 
(Relación entre las posiciones medidas por los 
observadores en distintos sistemas de referencia)
Derivando la transformada de Galileo de la posición 
con respecto al tiempo:
=Velocidad de P 
con respecto al 
sistema fijo O
= velocidad de P 
con respecto al 
sistema móvil O´
= velocidad del 
sistema móvil 
Transformada de 
Galileo de la 
velocidad 
Derivando la transformada de Galileo de la velocidad 
con respecto al tiempo:
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣´
𝑑𝑡
+
𝑑𝑢
𝑑𝑡
Como 𝑢 es constante con respecto al tiempo, 
entonces: 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 0
Nos queda que ā = ā´
Las aceleraciones de P medidas por los dos 
observadores son idénticas
Ejercicio 8: Velocidad relativa 
en un camino recto
Imagine que viaja en la dirección norte, en auto, en una ruta de
dos carriles a una velocidad constante respecto a tierra 𝑣𝐴,𝑇 . Un
camión que viaja en el otro carril se acerca a Ud. con una
velocidad constante 𝑣𝐶,𝑇 . Encuentre:
a) La expresión de la velocidad del camión relativa al auto
b) La expresión de la velocidad del auto relativa al camión
c) ¿Cómo cambian las velocidades relativas una vez que los dos
vehículos se han pasado?
d) Si el auto y el camión se movieran en el mismo sentido la
velocidad relativa del auto respecto al camión tendría el mismo
valor que en el ítem b)?
Ejercicio 9: Un avión de pasajeros
Los aeropuertos, A y B, de dos ciudades están sobre el mismo
meridiano, estando el aeropuerto B a una distancia ¨d¨ al sur
de A. Un avión de pasajeros parte del aeropuerto A cuyo destino
es B. Sabiendo que el avión se mueve con una rapidez 𝑣𝑎
respecto al aire quieto, realizar un esquema que represente el
rumbo, respecto a tierra, que debe poner el piloto para llegar a
su destino si :
a) Durante el viaje el avión debe soportar un viento de rapidez
𝑣𝑣 y de dirección horizontal hacia el este
b) Durante el viaje el avión debe soportar un viento de rapidez
𝑣𝑣 y en dirección de 30º al este del norte
	Diapositiva 1: Movimiento en dos dimensiones (parte 2)
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6
	Diapositiva 7
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9
	Diapositiva 10
	Diapositiva 11: Aceleración tangencial (negrita cursiva a. ⃗ subíndice negrita cursiva t )
	Diapositiva 12
	Diapositiva 13
	Diapositiva 14: Ejercicio 5 : El tren de juguete 
	Diapositiva 15
	Diapositiva 16
	Diapositiva 17: Ejercicio 6 : El ventilador
	Diapositiva 18: Componentes tangencial y normal de la aceleración
	Diapositiva 19: Ejercicio 7: Diferentes movimientos
	Diapositiva 20: MOVIMIENTO RELATIVO
	Diapositiva 21
	Diapositiva 22
	Diapositiva 23
	Diapositiva 24
	Diapositiva 25: Ejercicio 8: Velocidad relativa en un camino recto
	Diapositiva 26: Ejercicio 9: Un avión de pasajeros