La Teoría Estadística [Resumen]

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Introducción a la estadística
Estadística y población
Estadística
La estadística trabaja sobre poblaciones.
Extrae conclusiones sobre la base de un análisis de un muestreo de datos de una población. 
Aspectos a tener en cuenta cuando se procede a tomar una muestra. 
 Tamaño de la muestra
 Información requerida
 Grado de certeza
 Costo del muestreo
El requisito más importante es que la muestra obtenida proporcione una imagen tan real como sea posible de aquella población que sé ha sometido al muestreo.
Población
Un conjunto de individuos que se pueden identificar por separado.
Se puede tratar de una población real que realmente existe o de una población abstracta que no exista o incluso que no existirá jamás. 
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Introducción a la estadística
Cuando la población estudiada es real la muestra se forma seleccionando de la forma más aleatoria posible un conjunto de individuos de la misma.
Cuando se muestra una población abstracta la forma de extraer una muestra no es más que realizar un cierto número de veces el experimento aleatorio que genera los individuos de una población.
Datos estadísticos
Los valores observados para la variable aleatoria en los individuos que forman la muestra. 
Población y datos estadísticos
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Introducción a la estadística
Muestra
En general no es posible estudiar la totalidad de los individuos de una población para obtener información sobre ésta. Incluso cuando esta posibilidad existe, (poblaciones finitas), dicho procedimiento suele ser impractico por consideraciones económicas. 
En consecuencia, para obtener información sobre una población hay que limitarse a analizar un subconjunto de individuos de la misma.
A este subconjunto se le llama Muestra.
La selección de los individuos que han de constituir la muestra tiene una importancia capital para garantizar que ésta permita obtener conclusiones que puedan extrapolarse válidamente a la población de la que la muestra procede. 
El objeto final del estudio es siempre la población y que la muestra es sólo un medio.
Con el fin de permitir inferir conclusiones válidas sobre una población, la muestra debe ser representativa de ésta. En teoría la única forma de garantizar la representatividad de la muestra es seleccionando al azar los individuos que la vayan a componer, de forma que todos los individuos de la población tengan “a priori” una probabilidad idéntica de pertenecer a la muestra.
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Introducción a la estadística
En estadística un diseño de una muestra es un plan definitivo, determinado por completo antes de recopilar cualquier dato, para tomar una muestra de una población de referencia. 
Muestra 
Diseño de muestras
Un método para obtener una muestra sencilla aleatoria de una población es: el empleo de una tabla de números aleatorios.
Estas tablas son listas de cifras del 0 al 9, colocados de tal manera que si se elige al azar una posición cualquiera de la tabla, cada dígito tiene una posibilidad igual de aparecer en dicha posición. 
Principio de azar
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Introducción a la estadística
Muestra
Distribución óptima
En la Distribución optima, no sólo se maneja el tamaño del estrato, como en la distribución proporcional, sino que también se maneja la variabilidad (o cualquier otra característica pertinente) del estrato.
Si σ1, σ2, … σk son las desviaciones típicas de los k-estratos podemos explicar tanto los tamaños de los estratos, así como su variabilidad.
para i=1,2,...., k
n= n1+n2+.......+nk
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Introducción a la estadística
Muestra
Estratificación cruzada
La estratificación no se limita a una variable única de clasificación o una característica y las poblaciones a menudo se estratifican atendiendo a diversos criterios de ordenación o clasificación. 
Ejemplo: Se puede estratificar la muestra atendiendo al nivel de estudios, al sexo, etc. Así parte de la muestra se dedicaría a los alumnos de sexo femenino del 8vo semestre de economía, otra parte a los alumnos de sexo masculino de 1er semestre de especialización de microfinanzas de derecho.
La estratificación cruzada incrementará la precisión de las estimaciones y otras generalizaciones que se usan comúnmente en el muestreo de opinión y las investigaciones de mercado.
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Introducción a la estadística
Muestra
Muestreo por cuotas
En el muestreo estratificado, en muchos de los casos, el costo de la toma de muestras aleatorias de los estratos individuales es tan alto, que a los encuestadores sólo se les dan cuotas que deben cubrir de los diferentes estratos, con alguna restricciones (si no es que ninguna).
Ejemplo: se le pide que encueste a 10 mujeres de entre 35 y 45 años que sean asalariadas, 20 hombres de entre 30 y 45 años, a 3 hombres de mas de 60 años que estén jubilados.
Lo anterior es muestreo por cuotas y es relativamente económico, lo único es que las muestras resultantes no cumplen las características esenciales de las muestras aleatorias. 
Por tanto estos muestreos, en esencia son muestras de opinión, pero no son válidos para realizar un estudio estadístico formal.
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Es complicado tener una lista actualizada de todos los habitantes de una ciudad. Una manera de tomar una muestra en esta situación es dividir el área total en áreas más pequeñas que no se solapen (código postal, barrios, manzanas etc..) En este caso seleccionaríamos algunas áreas al azar y todas las familias (o muestras de éstas) que residen en estos códigos postales, barrios o manzanas, constituirían la muestra definitiva.
En este tipo de muestreo se divide la población total en un número determinado de subdivisiones relativamente pequeñas y se seleccionan al azar algunas de estas subdivisiones o conglomerados, para incluirlos en la muestra total. Si estos conglomerados coinciden con áreas geográficas, este muestreo se llama también muestreo por áreas. 
Aunque las estimaciones basadas en el muestreo por conglomerados, por lo general no son tan fiables como las obtenidas por muestreos aleatorios simples del mismo tamaño, son más baratas. 
En la práctica se pueden combinar el uso de varios de los métodos de muestreo que hemos analizados para un mismo estudio.
Introducción a la estadística
Muestra
Muestreo por conglomerado
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Introducción a la estadística
Inferencia estadística
Es el análisis de los datos estadísticos con el fin de obtener conclusiones que, con un margen de confianza conocido, sean extrapolables a la población de la que procede la muestra.
Objetivo
Obtener conclusiones, respecto a la población, a partir de los datos obtenidos de una muestra representativa de ella.
Pero existe siempre un “margen de incertidumbre” en cuanto a esa interpretación de los resultados y se mide mediante el cálculo de probabilidades (teoría de probabilidades). 
Según la probabilidad calculada, se interpreta si los resultados son significativos o no.
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Introducción a la estadística
El tratamiento de los datos estadísticos con el fin de poner de manifiesto sus características más relevantes y sintetizarlas mediante unos pocos parámetros o mediante representaciones gráficas adecuadas.
Estadística descriptiva
Parámetros estadísticos
Son índices que reflejan los aspectos esenciales de la variabilidad de los datos observados. Hay 3 tipos:
 Parámetros de POSICIÓN
 Medidas de tendencia central
 Medidas de tendencia no central
 Parámetros de DISPERSIÓN
 Parámetros de forma de ASIMETRÍA y de CURTOSIS
Estadística descriptiva
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MEDIDAS DE POSICIÓN: Medidas de tendencia central 
Media (aritmética).
El parámetro de posición mas utilizado en la práctica. 
La media sintetiza la información existente en la totalidad de los datos en un número que da una idea clara sobre la posición de los mismos.
Es el parámetro Principal que indica la posición de los individuos de una muestra, 
Media muestral
Media poblacional
Medidas de tendencia central
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Media (aritmética)
Medidas de tendencia central
Ejercicio
Los siguientes datos corresponden al registro de ventas semanales de tarjetas de crédito de unainstitución bancaria.
	150	155	157	155	152	157	160	157	154	157
	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
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Media (aritmética)
Propiedades
La suma algebraica de los desvíos de cada observación, respecto de la media, considerando los signos, es cero.
La suma de los desvíos cuadráticos de cada observación respecto de su media es un mínimo. 
Es un valor típico o representativo porque su valor puede utilizarse para estimar una cantidad total en la población.
Si una variable Z es la suma de 2 variables X e Y, la media de Z resulta igual a la suma de las medias de X e Y
Medidas de tendencia central
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Medidas de tendencia central
Media (aritmética)
Propiedades
Si la variable Y es una transformada lineal de otra variable X la media de Y resulta ser la misma transformada lineal de la media de X 
La media de la suma de variables que son independientes es la suma de las medias
Dado que todos los valores entran en el cálculo de la media, ésta se ve afectada por valores extremos, en dichos casos, la media puede resultar una medida de posición algo engañoso y aconseja usar la mediana como una medida de posición alternativa en vez de la media.
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Medidas de tendencia central
Media (ponderada)
A veces se asocia a los números x1, x2,...,xn que se quieren promediar, ciertos factores o pesos w1, w2,...,wn que dependen de la significación o importancia de cada uno de los números. Entonces se genera una media aritmética ponderada, que también se representa con equis testada.
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Medidas de tendencia central
Media (ponderada)
Ejercicio
	x	Frecuencia
	4	22
	12	6
	16	8
	17	5
	22	4
	24	3
	36	1
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Medidas de tendencia central
Un parámetro de posición alterno a la media aritmética.
Media (geométrica)
La principal dificultad de esta medida es que se puede obtener un valor acumulado muy grande, sobre todo en series de datos numerosos.
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Medidas de tendencia central
Mediana
La mediana de un conjunto de observaciones ordenadas por su magnitud, es un valor de la variable que divide al conjunto en dos subconjuntos iguales, de forma tal que el número de valores mayores o iguales a la mediana es igual al número de valores menores o iguales a ésta. La mediana puede definirse intuitivamente como el valor central de los observados. 
Si se ordenan las n observaciones de menor a mayor, la mediana se define como el valor:
Q ocupa la posición 
Si n es impar. 
 
Si n es par. 
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Medidas de tendencia central
Mediana
Ejercicio
	150	155	157	155	152	157	160	157	154	157
Ordenamiento
	150	152	154	155	155	157	157	157	157	160
	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
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Medidas de tendencia central
Mediana
Propiedad
Su valor está afectado por el número de observaciones, pero no por los valores que adopta la variable.
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Medidas de tendencia central
Moda
Ejercicio
Propiedades
La moda de un conjunto de observaciones es el valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia.
Moda = 157
Su valor no está afectado por valores extremos.
Es la única medida de posición que puede ser usada para caracterizar datos cualitativos.
	150	155	157	155	152	157	160	157	154	157
	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
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Medidas de tendencia NO central
Cuantiles
Cuartiles
Son medidas de posición “no central”, tales que, según el número de subconjuntos en que se divide la serie ordenada de datos, se denominan cuartiles, deciles o percentiles.
Los cuartiles de una serie de datos ordenados, son los valores de la variable que dividen al conjunto en cuatro subconjuntos que contienen la misma cantidad de dato
Si el resultado es entero
Si el resultado NO es entero y el decimal es igual a 0.5 
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Si el resultado NO es entero y el decimal es menor 0.5
Si el resultado NO es entero y el decimal es mayor 0.5
Entre los dos cuartiles C1 y C3 se encuentra el 50% central de los datos observados.
Cuartiles
Ejercicio
	150	152	154	155	155	157	157	157	157	160
	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
Medidas de tendencia NO central
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Rango medio
Medidas de tendencia NO central
Amplitud semicuartil
Es el promedio de los valores máximos y mínimos de la variable. 
Es el promedio de los valores del primer y tercer cuartil. 
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Tabla de Frecuencias
Tabla de frecuencia
Cuando la variable estudiada es de tipo discreto, los datos pueden sintetizarse en una tabla 
Ejemplo: Se pretende describir las veces en que se rompe un precio mínimo durante un día de cotización a partir de una muestra de 200 hábiles
	Rompimiento de precio mínimo	Nº de rompimientos
(ni)	Frecuencia relativa
fi =ni/N
	0	48	0.24
	1	106	0.53
	2	32	0.16
	3	14	0.07
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Tabla de frecuencia
Tabla de Frecuencias
Si la variable es continua se suele proceder aun agrupamiento de los datos en tramos, dividiendo el campo de variación en un conjunto de k intervalos de igual longitud anotando:
 Los límites de cada intervalo
 El valor central de cada intervalo
 El número de observaciones constatadas en el mismo
No es posible determinar “a priori” la amplitud óptima que deben tener los intervalos y, en consecuencia, en número de éstos. Un número excesivo de intervalos plantea el problema de conducir a una tabla muy prolija y difícil de interpretar.
Pero si el agrupamiento es excesivo, se pierde una parte importante de la información contenida en los datos.
En general, valores entre 5 y 15 intervalos, (dependiendo en parte del tamaño N de la muestra) suelen ser razonables.
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La siguiente tabla recoge, a título de ejemplo, el resultado de la tabulación en 11 intervalos de los valores las desviaciones estándar del precio de 815 productos finales de la rama de manufacturas.
Tabla de Frecuencias
Tabla de frecuencia continua
	Límite del intervalo	Centro del intervalo
Xi	Nº de observaciones
ni
	1.55-1.65	1.60	3
	1.65-1.75	1.70	12
	1.75-1.85	1.80	40
	1.85-1.95	1.90	97
	1.95-2.05	2.00	157
	2.05-2.15	2.10	204
	2.15-2.25	2.20	183
	2.25-2,35	2.30	75
	2.35-2,45	2.40	31
	2.45-2.55	2.50	9
	2.55-2.65	2.60	4
Puede resultar conveniente dejar 2 intervalos abierto en ambos extremos de la tabla, con el fin de recoger los pocos valores extremos observados. 
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Medidas de dispersión
No es suficiente disponer de una medida de la posición de los datos, si no que es preciso también cuantificar de alguna forma el grado de dispersión existente en los mismos.
Ejemplo: A un fondo de inversión se le ha aplicado un estudios sobre la estabilidad en sus portafolios de inversión. La autoridad les exige que la variabilidad en las tasas no difieran en más de un 10%.
Ejemplo: Una compañía armadora de aeronaves+ selecciona al proveedor de asientos mediante dos criterios, que la media en la dureza del asiento sea 250N, pero que la variabilidad no exceda el 10%.
En la siguiente gráfica observaremos que ambos casos los proveedores cumplen las especificaciones de la empresa, consiguiendo en las 2 variables consideradas la misma media deseada de 250N. y entre 225 y 275.
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	Proveedor 1	Proveedor 2
	242	227
	262	264
	246	274
	253	229
	245	258
	250	246
	257	240
	258	229
	251	268
	236	265
Medidas de dispersión
¿Puede considerarse que la elección entre ambos proveedores es por tanto irrelevante?
¿Compraríamos del primer proveedor porque su proceso tiene una menor dispersión?
¿En qué difieren las pautas de variabilidad de las longitudes entre ambos proveedores?
¿Cuál resulta preferible? ¿por qué?
	250	250
Media
	262/236	274/227
Max/min
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Medidas de dispersión
Amplitud
Se denomina amplitud a la medida de variabilidad que surge de la diferencia entre el valor máximo y mínimo del conjunto de datos.
Aunque útil en muestras pequeñas, el recorrido presenta el inconveniente de que ignora gran parte de la información existente en la muestra. El problema se presenta cuando hay demasiados datos o cuando alguno de ellos es muy extremo aunque en general es un parámetro pobre.
		Proveedor 1	Proveedor 2
	Media	250.0	250.0
	Amplitud	26.0	47.0
¿Con esta información puedes resolver laspreguntas de la empresa aeronáutica?
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Medidas de dispersión
Amplitud intercuartil
Se denomina amplitud intercuartil a la diferencia entre los valores del tercer y primer cuartil. 
Este indicador de dispersión, de la misma forma que la media es un indicador robusto de posición, puesto que ambos parámetros resultan poco influidos por la presencia de algún valor anormal.
En aquellos casos en que la media no es un indicador adecuado de posición (como en sucede en distribuciones muy asimétricas) tampoco resultará la desviación estándar (basada en las desviaciones respecto a la media) un parámetro adecuado de dispersión. 
En estos casos se utiliza a veces con dicho fin la amplitud intercuartil. 
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Medidas de dispersión
Varianza y desviación estándar
Dado que la media es en la mayor parte de los casos un buen parámetro de posición, parece lógico tomar como medida de dispersión algún parámetro relacionado con la magnitud de las desviaciones de los datos observados respecto a su media.
El valor medio de estas desviaciones será siempre 0 (al anularse las desviaciones positivas con las negativas) por lo que no puede utilizarse como media de dispersión.
A comprobar la afirmación anterior sobre una cualquier de las variables de la encuesta. La medida de dispersión más utilizada en Estadística es la varianza o, alternativamente, su raíz cuadrada q se llama Desviación estándar.
La varianza " el promedio de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a su media.
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Varianza y desviación estándar
Varianza de una población:
Varianza de una muestra:
Desviación Estándar de una población:
Desviación Estándar de una muestra:
En general se prefiere utilizar como medida descriptiva de la dispersión la desviación estándar, que resulta más fácil de interpretar al venir expresada en las mismas unidades que los datos estadísticos.
 
Sin embargo las propiedades estadísticas son más sencillas con las varianzas. Así cuando dos variables aleatorias son independientes, la varianza de su suma es la suma de las varianzas, cosa que no sucede si se considera la desviación estándar. 
Medidas de dispersión
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Propiedades de la varianza
Varianza y desviación estándar
Medidas de dispersión
La varianza y desviación estándar de una variable es siempre igual o mayor a cero
La varianza y desviación estándar de una constante es siempre igual a cero
Si una variable es una combinación lineal de otra variable, las varianzas son iguales
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Propiedades de la varianza
Varianza y desviación estándar
Medidas de dispersión
La varianza de la suma o resta de dos variables que son independientes es la suma de las varianzas
Frecuentemente las variables aleatorias reales siguen pautas de variabilidad que se caracterizan por histogramas que se asemejan a campanas aproximadamente simétricas. La Estadística ha establecido un modelo matemático de este tipo de variables aleatorias, la denominada distribución normal o de Gauss. En datos que siguen una distribución normal se cumplen aproximadamente las siguientes propiedades:
Las 2/3 partes de los datos (" 68.25%) difieren de la media menos de S 
El 95% de los datos difiere de la media menos de 2S
La práctica totalidad de los datos (En teoría más de un 99,7%) difieren de la media en menos de 3S.
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La desviación estándar viene medida en las mismas unidades que los datos primitivos. En algunos casos interesa disponer de algún indicador de dispersión que sea adimensional.
Coeficiente de desviación
Medidas de dispersión
Si pretendemos comparar la dispersión de dos sistemas de medida de cierta característica que dan las determinaciones en escalas diferentes. En estas situaciones puede usarse el coeficiente de variación, que no es más que el coeficiente entre la desviación estándar y la media.
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Medidas de simetría y curtosis
Las variables aleatorias continuas presentan frecuentemente una pauta de variabilidad que se caracteriza por el hecho de que los datos tienden a acumularse alrededor de un valor central, decreciendo su frecuencia de forma aproximadamente simétrica a medida que se alejan por ambos lados de dicho valor. 
Para estudiar este tipo de pauta de variabilidad se ha establecido un modelo matemático, la distribución normal, de extraordinaria importancia en la Inferencia Estadística. Toda distribución normal viene completamente caracterizada por su media y su desviación estándar, es decir por sus parámetros de posición y de dispersión.
Sin embargo, un problema frecuente al estudiar datos reales es precisamente analizar hasta qué punto la distribución normal resulta un modelo adecuado, puesto que pautas de variabilidad que se alejen sensiblemente de la normal pueden exigir el recurso a tratamientos estadísticos especiales o ser el síntoma de anomalía de los datos. Con este fin se utilizan los coeficientes de asimetría y de curtosis.
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Posición de la media con respecto a la mediana.
Simetría
Medidas de simetría y curtosis
Media  Mediana = asimétrica positiva o con sesgo a la derecha.
Media  Mediana = simétrica o con sesgo cero.
Media  Mediana = asimétrica negativa o con sesgo a la izquierda. 
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Coeficiente Parsoniano
Simetría
Medidas de simetría y curtosis
Valores positivos significan una distribución asimétrica positiva o con sesgo a la derecha.
Valores aproximados a cero significan una distribución simétrica o con sesgo cero.
Valores negativos significan una distribución asimétrica negativa o con sesgo a la izquierda.
será nula. 
Por el contrario, dicha suma será positiva si los datos representan una cola alargada hacia la derecha y negativa si la presentan hacia la izquierda.
Si unos datos son simétricos, lo son respecto a su media, y la suma de los cubos de las desviaciones de los datos respecto a dicha media 
Coeficiente de asimetría. (“skewness”)
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Coeficiente de asimetría CA
Simetría
Medidas de simetría y curtosis
Coeficiente de asimetría estandarizado CAEST
Una medida cuantitativa de hasta qué punto una muestra es simétrica, respecto a la media, o no. 
(La división por “S3” tiene por objeto obtener un coeficiente adimensional, o sea, que no dependa de la escala en que vengan los datos.)
Entre -2 y +2 => CAEST razonable => la población se dice que es simétrica (si no, se toma como asimétrica).
El CA dividido por una función del tamaño de la muestra que cumple que, cuando los datos proceden de una población simétrica, oscila entre ±2
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Un conjunto de datos se dice que es leptocúrtico (agudos) si presenta valores concentrados alrededor de la media con mayor frecuencia de la que cabría esperar para unos datos normales que tuvieran la misma desviación estándar. Eso significa que hay valores extremos de peso muy importante. 
Se llama Planicúrticos (planos) si valores alejados de la media aparecen con una frecuencia mayor de la que cabría esperar si los datos siguieran una distribución normal con la misma desviación estándar. 
Así como la leptocurtosis estaba asociada a la presencia de datos anómalos, una planicurtosis excesiva puede revelar que los datos han sido artificialmente censurados para eliminar los valores considerados extremos. Una distribución normal, es mesocúrtica.
Curtosis
Medidas de simetría y curtosis
			
41
Coeficiente de curtosis
Curtosis
Medidas de simetría y curtosis
Es el coeficiente entre el promedio (dividiendo por N-1) de las cuartas potencias de las desviaciones respecto a la media y la desviación típica elevada a 4.
En datos que siguen exactamente una distribución normal el CC resulta igual a 3.
Por tanto un conjunto de datos será
leptocúrtico	si CC>3
planicúrtico 	si CC<3
mesocúrtico 	si CC= 3
Obviamente, cuanto más difiere de 3 el coeficiente CC, más acusada es la característica de curtosis correspondiente.
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Coeficiente de curtosis estandarizado
Curtosis
Medidas de simetría y curtosis
Se utiliza para cuantificar si un conjunto de datos presenta mucho o poco grado de curtosis.
El CC dividido porun coeficiente tal que, para un conjunto de datos que presenten una curtosis razonable (que no se consideren lepto o planicúrticos), CCEST está entre -2 y +2.
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Un diagrama (traducido literalmente “caja-bigote”) es una representación gráfica sencilla de un conjunto de datos. Representa, frente a un histograma, la ventaja de no exigir un número elevado de datos para su construcción, además de resultar más sencillo su manejo cuando el objetivo es comparar distintos grupos de datos.
 1. La “caja” comprende el 50% de los valores centrales de los datos,
 extendiéndose entre el primer cuartil y el tercer cuartel. La limitan los
 cuartiles.
 2. La línea central corresponde a la mediana.
 3. Los “bigotes” se extienden desde el mínimo al máximo de los valores 
 observados y considerados “normales”.
 4. Aquellos valores extremos que difieren del cuartil más próximo en más 
 de 1.5 veces el intervalo intercuartílico, se grafican como puntos aislados
 por considerar que pueden corresponder a datos anómalos. Tales puntos
 se toman como sospechosos.
Diagrama
Diagramas de Box-Whisker
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N
x
N
x
x
x
m
N
i
i
N
å
=
=
+
+
+
=
1
2
1
)
...
(
n
x
x
n
i
i
å
=
=
1
 tc
155.4
10
1554
10
157
...
155
150
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
+
=
x
Y
X
Z
x
x
x
Y
X
Z
+
=
+
=
;
(
)
å
=
=
-
n
i
i
x
x
1
0
(
)
å
=
=
-
n
i
i
Mínimo
x
x
1
2
x
N
Población
*
=
X
Y
x
a
x
bX
a
Y
+
=
+
=
;
å
å
=
=
=
N
i
xi
N
i
i
m
x
m
1
1
å
å
=
=
=
+
+
+
+
+
+
=
n
i
i
n
i
i
i
n
n
n
w
x
w
w
w
w
x
w
x
w
x
w
x
1
1
2
1
2
2
1
1
...
...
6
.
11
49
36
72
88
85
128
72
88
1
...
6
22
36
*
1
...
12
*
6
4
*
22
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
x
n
n
G
x
x
x
x
*
...
*
*
2
1
=
2
)
1
(
+
n
2
/
)
1
(
+
=
n
x
mediana
2
1
)
2
/
(
2
/
+
+
=
n
n
x
x
mediana
par
n
=
=
10
6
1
2
;
5
2
=
+
ú
û
ù
ê
ë
é
=
n
n
156
2
157
155
=
+
=
mediana
2
#
#
posterior
inmediato
entero
anterior
inmediato
entero
x
x
Qn
+
=
4
/
)
1
(
1
+
=
n
x
Q
4
/
)
1
(
2
2
+
=
n
x
Q
4
/
)
1
(
3
3
+
=
n
x
Q
156
2
157
155
2
2
6
5
5
.
5
+
=
+
=
=
x
x
x
Q
157
3
8
25
.
8
=
=
=
x
x
Q
anterior
inmediato
entero
x
Qn
#
=
posterior
inmediato
entero
x
Qn
#
=
154
1
3
75
.
2
=
=
=
x
x
Q
2
min
max
x
x
+
2
3
1
Q
Q
+
min
max
x
x
A
-
=
1
3
Q
Q
AI
-
=
0
)
(
1
=
-
=
å
=
N
m
x
Desviación
N
i
i
1
)
(
1
2
-
-
=
å
=
n
x
x
S
N
i
i
N
m
x
N
i
i
å
=
-
=
1
2
2
)
(
s
N
m
x
N
i
i
å
=
-
=
1
2
)
(
s
1
)
(
1
2
2
-
-
=
å
=
n
x
x
S
N
i
i
2
2
X
Y
s
s
=
Þ
bX
a
Y
+
=
2
2
2
X
Y
b
s
s
=
Þ
0
;
2
³
Y
Y
s
s
0
;
2
=
A
A
s
s
X
a
Y
+
=
2
1
2
1
X
X
Y
o
X
X
Y
-
=
+
=
2
2
2
1
2
X
X
Y
s
s
s
+
=
Þ
å
å
=
=
=
N
i
xi
N
i
i
x
1
2
1
2
s
s
100
*
x
S
CV
=
s
Med
x
CP
-
=
å
=
-
n
i
i
x
x
1
3
)
(
3
1
3
1
)
(
S
n
x
x
CA
n
i
i
-
-
=
å
=
)
(
n
f
CA
CAEST
=
4
1
4
1
)
(
S
n
x
x
CC
n
i
i
-
-
=
å
=
)
(
n
f
CC
CCEST
=