Calculo_Vectorial-6

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La función matemática que describe una espiral se puede expresar
utilizando coordenadas rectangulares (o cartesianas). Sin embargo, si
cambiamos nuestro sistema de coordenadas a algo que funcione un
poco mejor con los patrones circulares, la función se vuelve mucho
más sencilla de describir. El sistema de coordenadas polares es
adecuado para describir curvas de este tipo.
En este capítulo también estudiamos las ecuaciones paramétricas,
que nos brindan una manera conveniente de describir curvas o de
estudiar la posición de una partícula u objeto en dos dimensiones en
función del tiempo. Usaremos ecuaciones paramétricas y
coordenadas polares para describir muchos temas más adelante en
este texto.
1.2 Ecuaciones paramétricas
En esta sección examinamos las ecuaciones paramétricas y sus
gráficas. En el sistema de coordenadas bidimensional, las ecuaciones
paramétricas son útiles para describir curvas que no son
necesariamente funciones. El parámetro es una variable
independiente de la que tanto x como y dependen, y a medida que
aumenta el parámetro, los valores de e trazan un camino a lo
largo de una curva plana. Por ejemplo, si el parámetro es (una
opción común), entonces podría representar el tiempo. Luego, e 
se definen como funciones de tiempo, y puede describir
la posición en el plano de un objeto dado a medida que se mueve a lo
largo de una trayectoria curva.
1.2.1 Ecuaciones paramétricas y sus gráficas
Considera la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura
aproximadamente 365.25 días, pero para esta discusión usaremos
365 días.
x y
t
t x y
(x(t), y(t))
14
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El 1 de enero de cada año, la ubicación física de la Tierra con respecto
al Sol es casi la misma, excepto en los años bisiestos, cuando el
retraso introducido por los 14 días adicionales de tiempo de órbita se
incluye en el calendario. Llamamos al 1 de enero "día 1" del año.
Luego, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de
febrero y así sucesivamente.
Figura 1.1. La órbita de la Tierra alrededor del Sol en un año.
El número del día en un año puede considerarse una variable que
determina la posición de la Tierra en su órbita. A medida que la Tierra
gira alrededor del Sol, su ubicación física cambia en relación con el
Sol. Después de un año completo, estamos de vuelta donde
empezamos y comienza un nuevo año. Según las leyes de Kepler
sobre el movimiento planetario, la forma de la órbita es elíptica, con
el Sol en un foco de la elipse. Estudiamos esta idea con más detalle en
las secciones cónicas.
La figura muestra la órbita de la Tierra alrededor del Sol durante un
año. El punto etiquetado es uno de los focos de la elipse; el otro
foco está ocupado por el sol.
F2
15
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Si superponemos los ejes de coordenadas sobre este gráfico,
entonces podemos asignar pares ordenados a cada punto de la elipse
(Figura 1.2). Luego, cada valor de en el gráfico es un valor de
posición en función del tiempo, y cada valor de también es un valor
de posición en función del tiempo. Por lo tanto, cada punto en el
gráfico corresponde a un valor de la posición de la Tierra en función
del tiempo.
Figura 1.2. Ejes de coordenadas superpuestos a la órbita de la Tierra.
Podemos determinar las funciones para y , parametrizando
así la órbita de la Tierra alrededor del Sol. La variable se llama
parámetro independiente y, en este contexto, representa el tiempo
relativo al comienzo de cada año.
Una curva en el plano puede representarse paramétricamente.
Las ecuaciones que se utilizan para definir la curva se denominan
ecuaciones paramétricas.
x
y
x(t) y(t)
t
(x, y)
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