Calculo_Vectorial-39

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2.1 Introducción
Figura 2.1. La gran matriz de Karl G. Jansky, ubicada en Socorro, Nuevo
México, consiste en una gran cantidad de radiotelescopios que pueden
recolectar ondas de radio y cotejarlas como si estuvieran reuniendo ondas
en un área enorme sin espacios en la cobertura (crédito: modificación del
trabajo de CGP Gray, Wikimedia Commons)
Los observatorios astronómicos modernos a menudo consisten en
una gran cantidad de reflectores parabólicos, conectados por
computadoras, utilizados para analizar ondas de radio. Cada plato
enfoca los haces paralelos entrantes de ondas de radio en un punto
focal preciso, donde pueden sincronizarse por computadora. Si la
superficie de uno de los reflectores parabólicos se describe mediante
la ecuación , ¿dónde está el punto focal del reflector?
Ahora estamos a punto de comenzar una nueva parte del curso de
cálculo, cuando estudiamos las funciones de dos o tres variables
independientes en el espacio multidimensional.
+100
x2 =100
y2 z4
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Muchos de los cálculos son similares a los del estudio de funciones de
variable única, pero también hay muchas diferencias. En este
capítulo, examinamos los sistemas de coordenadas para trabajar en
un espacio tridimensional, junto con los vectores, que son una
herramienta matemática clave para tratar cantidades en más de una
dimensión. Comencemos aquí con las ideas básicas y avancemos
hasta las herramientas más generales y poderosas de las
matemáticas en capítulos posteriores.
2.2 Vectores en dos dimensiones
Cuando se describe el movimiento de un avión en vuelo, es
importante comunicar dos datos: la dirección en la que viaja el avión
y la velocidad del avión. Al medir una fuerza, como el empuje de los
motores del avión, es importante describir no solo la intensidad de
esa fuerza, sino también la dirección en la que se aplica. Algunas
cantidades se definen en términos del tamaño (también llamado
magnitud) y dirección. Una cantidad que tiene magnitud y dirección
se llama vector. En este texto, denotamos vectores con letras en
negrita, como v.
DEFINICIÓN
Un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección.
2.2.1 Representación vectorial
Un vector en un plano está representado por un segmento de recta
dirigida (una flecha). Los puntos finales del segmento se denominan
punto inicial y punto terminal o final del vector. Una flecha desde el
punto inicial al punto terminal indica la dirección del vector. La
longitud del segmento de recta representa su magnitud.
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Usamos la notación v para denotar la magnitud del vector v. Un
vector con un punto inicial y un punto terminal que son iguales se
llama vector cero, denotado como 0. El vector cero es el único vector
sin dirección, y por convención se puede considerar que tiene
cualquier dirección conveniente para el problema en cuestión.
Los vectores con la misma magnitud y dirección se denominan
vectores equivalentes. Tratamos los vectores equivalentes como
iguales, incluso si tienen puntos iniciales diferentes. Por lo tanto, si v
y w son equivalentes, escribimos
v = w
DEFINICIÓN
Se dice que dos vectores son equivalentes si tienen la misma
magnitud y dirección.
Las flechas en la (Figura 2.2 (b)) son equivalentes. Cada flecha tiene la
misma longitud y dirección. Un concepto estrechamente relacionado
es la idea de vectores paralelos. Se dice que dos vectores son
paralelos si tienen las mismas direcciones o direcciones opuestas.
Exploramos esta idea con más detalle más adelante en el capítulo. Un
vector se define por su magnitud y dirección, independientemente de
dónde se encuentre su punto inicial.
El uso de negrita y letras minúsculas para nombrar vectores es una
representación común en la impresión, pero hay anotaciones
alternativas. Al escribir el nombre de un vector a mano, por ejemplo,
es más fácil dibujar una flecha sobre la variable que simular el tipo de
negrita: . Cuando un vector tiene un punto inicial y un punto
terminal , la notación es útil porque indica la dirección y
ubicación del vector.
∥ ∥
v P
Q PQ
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