Calculo_Vectorial-61

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120. Dos jugadores de fútbol están practicando para un próximo
juego. Uno de ellos corre 10 m desde el punto hasta el punto .
Luego gira a la izquierda a 90° y corre 10 m hasta llegar al punto .
Luego patea la pelota con una velocidad de 10 m/seg en un ángulo
ascendente de 45° a su compañera de equipo, que se encuentra en el
punto . Escribe la velocidad de la pelota en forma de componente.
A B
C
A
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121. Sea el vector de posición de una
partícula en el momento , donde , y son funciones
llanas en . La velocidad instantánea de la partícula en el tiempo 
está definida por el vector , con
componentes que son las derivadas con respecto a , de las funciones 
 y , respectivamente. La magnitud del vector de velocidad
instantánea se denomina velocidad de la partícula en el tiempo . El
vector , con componentes que son las
segundas derivadas con respecto a , de las funciones , y ,
respectivamente, da la aceleración de la partícula en el tiempo .
Considera el vector de posición de una
partícula en el tiempo , donde las componentes de se
expresan en centímetros y el tiempo se expresa en segundos
(Solución).
a. Encuentra la velocidad instantánea, la velocidad y la
aceleración de la partícula después del primer segundo.
Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.
b. Usa un CAS para visualizar el camino de la partícula, es decir,
el conjunto de todos los puntos de coordenadas 
, donde .
122. [T] Sea el vector de posición de una
partícula en el tiempo (en segundos), donde (aquí los
componentes de se expresan en centímetros).
a. Encuentra la velocidad instantánea, la velocidad y la
aceleración de la partícula después de los primeros dos
segundos. Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.
r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩
t ∈ [0,T ] x y z
[0,T ] t
v(t) = ⟨x (t), y (t), z (t)⟩′ ′ ′
t
x, y z ∥v(t)∥
t
a(t) = ⟨x (t), y (t), z (t)⟩′′ ′′ ′′
t x y z
t
r(t) = ⟨cost, sent, 2t⟩
t ∈ [0, 30] r
(cost, sent, 2t) t ∈ [0, 30]
r(t) = ⟨t, 2t , 4t ⟩2 2
t t ∈ [0, 10]
r
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b. Usa un CAS para visualizar la ruta de la partícula definida por
los puntos , donde .
2.4 El producto punto o producto escalar
Si aplicamos una fuerza a un objeto para que el objeto se mueva,
decimos que el trabajo lo realiza la fuerza. En las aplicaciones de la
integración observamos una fuerza constante y asumimos que la
fuerza se aplica en la dirección del movimiento del objeto. En esas
condiciones, el trabajo puede expresarse como el producto de la
fuerza que actúa sobre un objeto y la distancia que se mueve el
objeto. En este capítulo, sin embargo, hemos visto que tanto la fuerza
como el movimiento de un objeto pueden representarse mediante
vectores.
En esta sección, desarrollaremos una operación llamada producto
punto, que nos permite calcular el trabajo en el caso en que el vector
de fuerza y el vector de movimiento tienen direcciones diferentes. El
producto punto esencialmente nos dice cuánto del vector de fuerza
se aplica en la dirección del vector de movimiento. El producto punto
también puede ayudarnos a medir el ángulo formado por un par de
vectores y la posición de un vector en relación con los ejes de
coordenadas. Incluso proporciona una prueba simple para
determinar si dos vectores se encuentran en ángulo recto.
2.4.1 El producto punto y sus propiedades
Ya hemos aprendido cómo sumar y restar vectores. En este capítulo,
investigamos dos tipos de multiplicación de vectores. El primer tipo
de multiplicación entre vectores se llama producto punto, en función
de la notación que usamos para él, y se define de la siguiente manera:
(t, 2t , 4t )2 2 t ∈ [0, 60]
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