Calculo_Vectorial-62

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DEFINICIÓN
El producto punto de los vectores y 
 viene dado por la suma de los productos de los
componentes
Observa que si y son vectores bidimensionales, calculamos el
producto escalar de manera similar. Por lo tanto, si y 
, entonces
Cuando dos vectores se combinan bajo suma o resta, el resultado es
un vector. Cuando dos vectores se combinan usando el producto
punto, el resultado es un escalar. Por esta razón, el producto punto a
menudo se llama producto escalar. También se le puede llamar el
producto interno.
Calculando productos punto
a. Encuentra el producto escalar de y 
.
b. Encuentra el producto escalar de y 
u = ⟨u ,u ,u ⟩1 2 3 v =
⟨v , v , v ⟩1 2 3
u ⋅ v = u v +1 1 u v +2 2 u v3 3 (2.3)
u v
u = ⟨u ,u ⟩1 2
v = ⟨v , v ⟩1 2
u ⋅ v = u v +1 1 u v2 2
u = ⟨3, 5, 2⟩ v =
⟨−1, 3, 0⟩
p = 10i−4j+ 7k
q = −2i+ j+ 6k
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Al igual que la suma y resta de vectores, el producto punto tiene
varias propiedades algebraicas. Probamos tres de estas propiedades
y dejamos el resto como ejercicios.
TEOREMA 2.3
Propiedades del producto de punto
Sean y vectores, y un escalar.
i. Propiedad conmutativa: 
ii. Propiedad distributiva: 
iii. Propiedad asociativa: 
iv. Propiedad de magnitud: 
Prueba
Sea y . Luego
La propiedad asociativa se parece a la propiedad asociativa para la
multiplicación de números reales, pero presta mucha atención a la
diferencia entre los objetos escalares y vectoriales:
u,v w c
u ⋅ v = v ⋅ u
u ⋅ (v +w) = u ⋅ v + u ⋅w
c(u ⋅ v) = (cu) ⋅ v = u ⋅ (cv)
v ⋅ v = ∥v∥2
u = ⟨u ,u ,u ⟩1 2 3 v = ⟨v , v , v ⟩1 2 3
u ⋅ v = ⟨u ,u ,u ⟩ ⋅ ⟨v , v , v ⟩1 2 3 1 2 3
= u v + u v + u v1 1 2 2 3 3
= v u + v u + v u1 1 2 2 3 3
= ⟨v , v , v ⟩ ⋅ ⟨u ,u ,u ⟩1 2 3 1 2 3
= v ⋅ u
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La prueba de que es similar.
La cuarta propiedad muestra la relación entre la magnitud de un
vector y su producto punto consigo mismo:
Observa que la definición del producto punto produce . Por
propiedad iv., si , entonces .
Usando las propiedades del producto punto
Sean , , y . Encuentra
cada uno de los siguientes productos.
c(u ⋅ v) = c(u v + u v + u v )1 1 2 2 3 3
= c(u v ) + c(u v ) + c(u v )1 1 2 2 3 3
= (cu )v + (cu )v + (cu )v1 1 2 2 3 3
= ⟨cu , cu , cu ⟩ ⋅ ⟨v , v , v ⟩1 2 3 1 2 3
= c⟨u ,u ,u ⟩ ⋅ ⟨v , v , v ⟩1 2 3 1 2 3
= (cu) ⋅ v
c(u ⋅ v) = u ⋅ (cv)
v ⋅ v = ⟨v , v , v ⟩ ⋅ ⟨v , v , v ⟩1 2 3 1 2 3
= (v ) + (v ) + (v )1 2 2 2 3 2
= [ ](v ) + (v ) + (v )1 2 2 2 3 2
2
= ∥v∥2
0 ⋅ v = 0
v ⋅ v = 0 v = 0
a = ⟨1, 2,−3⟩ b = ⟨0, 2, 4⟩ c = ⟨5,−1, 3⟩
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