Calculo_Vectorial-72

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b. Usa un CAS para ver el vector de velocidad instantánea y el
plano normal en el punto P y la trayectoria de la partícula.
2.5 Producto cruz o vectorial
Imagina a un mecánico girando una llave para apretar un perno. El
mecánico aplica una fuerza al final de la llave. Esto crea rotación, o
torque, que aprieta el perno. Podemos usar vectores para
representar la fuerza aplicada por el mecánico y la distancia (radio)
desde el perno hasta el final de la llave. Entonces, podemos
representar el par mediante un vector orientado a lo largo del eje de
rotación. Ten en cuenta que el vector de torque es ortogonal tanto
para el vector de fuerza como para el vector de radio.
En esta sección, desarrollaremos una operación llamada producto
cruz, que nos permite encontrar un vector ortogonal a dos vectores
dados. Calcular el par es una aplicación importante de los productos
cruz, y examinamos el par con más detalle más adelante en la sección.
2.5.1 El producto cruz y sus propiedades
El producto punto es una multiplicación de dos vectores que da como
resultado un escalar. En esta sección, presentamos un producto de
dos vectores que genera un tercer vector ortogonal a los dos
primeros. Considera cómo podríamos encontrar ese vector. Sean 
 y vectores distintos de cero.
Queremos encontrar un vector ortogonal a y ,
es decir, queremos encontrar tal que y . Por lo
tanto, y deben satisfacer
u = ⟨u ,u ,u ⟩1 2 3 v = ⟨v , v , v ⟩1 2 3
w = ⟨w ,w ,w ⟩1 2 3 u v
w u ⋅w = 0 v ⋅w = 0
w ,w1 2 w3
u w +1 1 u w +2 2 u w =3 3 0
v w +1 1 v w +2 2 v w =3 3 0
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Si multiplicamos la ecuación superior por y la ecuación inferior por
 y restamos, podemos eliminar la variable , que da
Si seleccionamos
obtenemos un posible vector de solución. Sustituir estos valores
nuevamente en las ecuaciones originales da
Es decir, el vector
es ortogonal a y , lo que nos lleva a definir la siguiente operación,
llamada producto cruz.
DEFINICIÓN
Sean y . Entonces, el producto
cruz es el vector
v3
u3 w3
(u v −v u )w +1 3 1 3 1 (u v −v u )w =2 3 2 3 2 0
w =1 u v −u v2 3 3 2
w =2 −(u v −u v )1 3 3 1
w =3 u v −u v1 2 2 1
w = ⟨u v −u v , −(u v −u v ),u v −u v ⟩2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
u v
u = ⟨u ,u ,u ⟩1 2 3 v = ⟨v , v , v ⟩1 2 3
u× v
u× v = (u v −u v )i−(u v −u v )j+ (u v −u v )k2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
= ⟨u v −u v , −(u v −u v ),u v −u v ⟩2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
(2.9)
213
/
Por la forma en que hemos desarrollado , debe quedar claro
que el producto cruz es ortogonal tanto para como para . Sin
embargo, nunca está de más comprobarlo. Para mostrar que es
ortogonal a , calculamos el producto escalar de y .
De manera similar, podemos mostrar que el producto cruz también es
ortogonal a .
Encontrar un producto cruz
Sean y (Figura 2.53). Encuentra 
.
u× v
u v
u× v
u u u× v
u ⋅ (u× v) = ⟨u ,u ,u ⟩ ⋅ ⟨u v −u v , −u v + u v ,u v −u v ⟩1 2 3 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
= u (u v −u v ) + u (−u v + u v ) + u (u v −u v )1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1
= u u v −u u v −u u v + u u v + u u v −u u v1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 3 1 1 3 2 2 3 1
= (u u v −u u v ) + (−u u v + u u v ) + (u u v −u u v )1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 3 2 2 3 1 2 3 1
= 0
v
p = ⟨−1, 2, 5⟩ q = ⟨4, 0,−3⟩
u× v
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