Calculo_Vectorial-77

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Los siguientes ejemplos ilustran estos cálculos.
Encontrar un vector unitario ortogonal a
dos vectores dados
Dados y . Encuentra un vector
unitario ortogonal a los vectores y .
Para usar el producto cruz para calcular áreas, establecemos y
probamos el siguiente teorema.
TEOREMA 2.8
Área de un paralelogramo
Si ubicamos los vectores y de manera que formen lados
adyacentes de un paralelogramo, entonces el área del
paralelogramo viene dada por (Figura 2.57).
Prueba
Demostramos que la magnitud del producto cruz es igual a la base
por la altura del paralelogramo.
a = ⟨5, 2,−1⟩ b = ⟨0,−1, 4⟩
a b
u v
∥u× v∥
rea de un paralelogramoÁ = base  ×  altura
= ∥u∥(∥v∥senθ)
= ∥u∥ × ∥v∥
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https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap2/257.png
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Figura 2.57. El paralelogramo con lados adyacentes y tiene base 
y altura .
Encontrar el área de un triángulo
Sean y los vértices de
un triángulo (Figura 2.58). Encuentra su área
Figura 2.58. Encontrar el área de un triángulo usando el producto
cruz.
u v ∥u∥
∥v∥senθ
P = (1, 0, 0),Q = (0, 1, 0) R = (0, 0, 1)
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Nuevamente recurrimos al libro Geometría analítica del espacio de
María José García Cebrian y Elena E. Álvarez Sáiz, que nos ofrecen la
siguiente escena interactiva:
2.5.4 El producto triple escalar
Debido a que el producto cruz de dos vectores es un vector, es
posible combinar el producto escalar y el producto cruz. El producto
escalar de un vector con el producto cruz de otros dos vectores se
llama producto triple escalar o producto mixto porque el resultado
es escalar.
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https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/GeometriaAnaliticaEspacio-JS/index.html
Juan Rivera
Sello