Calculo_Vectorial-80

Vista previa del material en texto

/
2.5.5 Aplicaciones del producto cruz
El producto cruz aparece en muchas aplicaciones prácticas en
matemáticas, física e ingeniería. Examinemos algunas de estas
aplicaciones aquí, incluida la idea del par, con el que comenzamos
esta sección.
Uso del producto triple escalar
Usa el producto triple escalar para mostrar que los vectores 
 y son coplanares, es
decir, muestra que estos vectores se encuentran en el mismo
plano
u = ⟨2, 0, 5⟩,v = ⟨2, 2, 4⟩ w = ⟨1,−1, 3⟩
236
Juan Rivera
Sello
/
Hallando un vector ortogonal
Solo uno y solo un plano puede pasar a través de cualquier
conjunto de tres puntos no colineales. Encuentra un vector
ortogonal al plano que contenga los puntos 
 y .
Hemos visto cómo usar el producto escalar triple y cómo encontrar
un vector ortogonal a un plano. Ahora aplicamos el producto cruz a
situaciones del mundo real.
Algunas veces una fuerza hace que un objeto gire. Por ejemplo, girar
un destornillador o una llave crea este tipo de efecto de rotación,
llamado torque.
DEFINICIÓN
Torque, (la letra griega tau), mide la tendencia de una fuerza a
producir rotación alrededor de un eje de rotación. Sea un
vector con un punto inicial ubicado en el eje de rotación y con un
punto final ubicado en el punto donde se aplica la fuerza, y deja
que el vector represente la fuerza. Entonces el par es igual al
producto cruz de y :
P =
(9,−3,−2),Q = (1, 3, 0) R = (−2, 5, 0)
τ
r
F
r F
τ = r× F
237
/
Figura 2.61. El par o torque mide cómo una fuerza hace que un objeto gire.
Piensa en usar una llave para apretar un tornillo. El torque aplicado
al perno depende de cuán fuerte empujemos la llave (fuerza) y cuán
lejos del mango apliquemos la fuerza (distancia). El par aumenta con
una mayor fuerza sobre la llave a una mayor distancia del perno. Las
unidades comunes de torque son el newton-metro o pie-libra.
Aunque el torque es dimensionalmente equivalente al trabajo (tiene
las mismas unidades), los dos conceptos son distintos. El par se usa
específicamente en el contexto de rotación, mientras que el trabajo
generalmente implica movimiento a lo largo de una recta.
Calculando un torque
Se aprieta un perno aplicando una fuerza de 6 N a una llave de
0,15 m (Figura 2.62). El ángulo entre la llave y el vector de
fuerza es de 40°. Encuentra la magnitud del par sobre el centro
del perno. Redondea la respuesta a dos decimales.
τ
238
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap2/262.png