Calculo_Vectorial-83

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219. Considera el paralelepípedo con bordes , y ,
donde y (Solución).
a. Encuentra el número real tal que el volumen del
paralelepípedo es 3 unidades 3.
b. Para , encuentra la altura desde el vértice del
paralelepípedo. Dibuja el paralelepípedo.
220. Considera los puntos , y , con 
, y números reales positivos.
a. Determina el volumen del paralelepípedo con lados
adyacentes , y .
b. Encuentra el volumen del tetraedro con vértices y .
(Sugerencia: el volumen del tetraedro es 1/6 del volumen del
paralelepípedo).
c. Encuentra la distancia desde el origen hasta el plano
determinado por y . Dibuja el paralelepípedo y el
tetraedro.
221. Sean , y vectores tridimensionales y un número real.
Demuestra las siguientes propiedades del producto cruz.
a. 
b. 
c. 
d. 
OA,OB OC
A(2, 1, 0),B(1, 2, 0) C(0, 1,α)
α > 0
α = 1 h C
A(α, 0, 0),B(0,β, 0) C(0, 0, γ)
α β γ
,OA OB OC
O,A,B C
A,B C
u,v w c
 u× u = 0
u× (v +w) = (u× v) + (u×w)
c(u× v) = (cu) × v = u× (cv)
u ⋅ (u× v) = 0
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222. Demuestra que los vectores , y 
 satisfacen las siguientes propiedades del producto
cruz.
a. 
b. 
c. 
d. 
223. Vectores distintos de cero , y se dice que son
linealmente dependientes si uno de los vectores es una combinación
lineal de los otros dos. Por ejemplo, existen dos números reales
distintos de cero y , de modo que . De lo contrario,
los vectores se denominan linealmente independientes. Demuestra
que , y son coplanarios si y solo si son linealmente
dependientes.
224. Considera los vectores 
, y .
a. Demuestra que , y son coplanarios al usar su producto
triple escalar
b. Demuestra que , y son coplanares, utilizando la
definición de que existen dos números reales distintos de cero
 y de modo que .
c. Demuestra que y   son linealmente independientes, es
decir, ninguno de los vectores es una combinación lineal de los
otros dos.
u = ⟨1, 0,−8⟩,u = ⟨0, 1, 6⟩
w = ⟨−1, 9, 3⟩
u× u = 0
u× (v +w) = (u× v) + (u×w)
c(u× v) = (cu) × v = u× (cv)
u ⋅ (u× v) = 0
u,v w
α β w = αu+ βv
u,v w
u = ⟨1, 4,−7⟩,u = ⟨2,−1, 4⟩,w =
⟨0,−9, 18⟩ p = ⟨0,−9, 17⟩
u,v w
u,v w
α β w = αu+ βv
u,v p
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225. Considera los puntos y 
. ¿Son los vectores y linealmente
dependientes (es decir, uno de los vectores es una combinación lineal
de los otros dos)? (Solución)
226. Demuestra que los vectores e son
linealmente independientes, es decir, existen dos números reales
distintos de cero y , de modo que .
227. Sea y vectores bidimensionales. El
producto cruz de los vectores y no está definido. Sin embargo, si
los vectores se consideran tridimensionales y 
, respectivamente, entonces, en este caso, podemos definir
el producto cruz de y . En particular, en notación determinante, el
producto cruz de y viene dado por
Usa este resultado para calcular ,
donde es un número real (Solución).
228. Considera los puntos y .
a.  Encuentra el área del triángulo y .
b. Determina la distancia desde el punto hasta la recta que
pasa por y .
229. Determina un vector de magnitud 10, perpendicular al plano
que pasa por el eje y el punto (Solución).
A(0, 0, 2),B(1, 0, 2),C(1, 1, 2)
D(0, 1, 2) ,AB AC AD
i+ j, i−j i+ j+ k
α β i+ j+ k = α(i+ j) + β(i−j)
u = ⟨u ,u ⟩1 2 v = ⟨v , v ⟩1 2
u v
=u~ ⟨u ,u , 0⟩1 2 =v~
⟨v1, v2, 0⟩
u~ v~
u~ v~
×u~ =v~
∣
∣
∣
∣
∣
∣ i
u1
v1
j
u2
v2
k
0
0∣
∣
∣
∣
∣
∣
(icosθ + jsenθ) × (isenθ−jcosθ)
θ
P (2, 1),Q(4, 2) R(1, 2)
P ,Q R
R
P Q
x P (1, 2, 4)
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