Exposicion DEDUCCIÓN FORMAL

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Deducción Formal
Métodos Matemáticos I (Lógica y conjuntos)
Presenta :
 Valenciano Tadeo Jeremy Esau
 Rosales Gonzalez Francisco 
 Aceves García Javier Eduardo
 Durán Alcaráz Karina Rubi
Temario:
● Naturaleza de una 
demostración
● Introducción al 
cálculo 
proposicional
● Leyes de 
implicación
Introducción 
¿Qué es una 
deducción 
formal? 
En su definición lógica formal, una 
deducción es una secuencia finita 
de fórmulas, de las cuales la última 
es designada como la conclusión (la 
conclusión de la deducción), y todas 
las fórmulas en la secuencia son, o 
bien axiomas, o bien premisas, o 
bien inferencias directas a partir de 
fórmulas previas en la secuencia por 
medio de reglas de inferencia. 
Naturaleza de una 
demostración/ 
deducción
Dado lo anterior podemos decir que una 
demostración o deducción se relacionan con 
llevar a cabo una serie pasos lógicos, donde 
cada paso se sigue de manera ordenada de 
los anteriores, encontrándose que el último 
escalón es justamente la afirmación que se 
quiere probar. 
Por lo que podemos decir que parten de un 
argumento que se adhiere a ciertas reglas 
para llegar a una conclusión. 
El proceso de demostración y 
validación repercute no solo en el 
grado de validez de un argumento, 
sino también en la prevalencia de 
los resultados, manteniéndose su 
valor de verdad aun cuando hayan 
pasado generaciones de 
estudiosos y se hayan establecido 
otras teorías en el camino 
Por lo que podemos decir que algunos de 
sus propósitos e importancia de la 
demostración matemática son:
● Demostrar hipótesis mediante pruebas 
lógicas.
● Obtener sentencias confiables y 
reproducibles.
Tipos de 
demostración 
matemática
Un método de demostración es un 
esquema argumentativo válido con 
fundamento lógico no perteneciente en si 
a la matemática sino como elemento 
propio de una metateoría.
Algunos son:
● Método directo de demostración
● Métodos indirecto de demostración
○ Por Reducción al absurdo
○ Por Contrapositiva
● Método de Inducción matemática
Algunos ejemplos 
de demostraciones 
matemáticas a 
través de la 
historia
● Teorema de Pitágoras
● La Geometría de Euclides
De la deducción al 
cálculo 
proposicional: 
Cálculo proposicional 
 Es la ciencia que trata de los 
principios válidos del razonamiento 
y la argumentación ( conocida como 
lógica proposicional, cálculo 
sentencial, algebra booleana). 
Donde las proposiciones 
componen un razonamiento.
Para formalizar una proposición es 
importante recordar que se 
representan los argumentos 
mediante letras como P,Q,R y S 
las cuales facilitan la formulación 
del argumento para llegar a una 
verdad o en otro caso a su falsedad. 
AXIOMAS
Son oraciones o enunciados que 
consideramos verdaderos: por ejemplo 
a+b=b+a esto lo podemos considerar que es 
un axioma verdadero.
 Teoremas
Son deducciones que se hacen a partir de 
los axiomas de leyes lógicas y métodos de 
demostración, ejemplo: dos rectas se 
interceptan en un solo punto o no se 
interceptan, para probar esto necesitamos 
tener claro la definición de recta de 
intersección de punto y a partir de los 
axiomas concluir lo que nos dice.
Reglas básicas de la deducción matemática
Consisten en descomponer las premisas en diferentes pasos 
justificando el proceso con una regla de inferencia.
Se obtiene una nueva fórmula lógica que es una conclusión 
derivada de las premisas.
leyes de Inferencia 
o de implicación
● Modus ponendo ponens 
(m.p.p)
● Modus tollendo tollens 
(m.t.t)
● Modus tollendo ponens 
(m.t.p)
● Silogismo Hipotético (s.h)
● Adjunción (A.)
● Simplificación (simpl.)
● Conjunción (conj.)
● Adición (ad.)
● Dilema Constructivo (d.c)
● Dilema Destructivo (d.d)
● Absorción (abs)
¿En qué consisten las reglas de inferencia?
En lógica, una regla de 
inferencia, o regla de 
transformación es una forma 
lógica que consiste en una función 
que toma premisas, analiza su 
sintaxis, y devuelve una 
conclusión (o conclusiones). 
EJEMPLO:
la regla de inferencia modus ponendo 
ponens toma dos premisas, uno en la forma: 
"Si p, entonces q" 
y otra en la forma 
"p", y devuelve la conclusión "q". 
La regla es válida con respecto a la semántica 
de la lógica clásica (así como la semántica de 
muchas otras lógicas no clásicas), en el 
sentido de que si las premisas son verdaderas 
(bajo una interpretación), entonces también lo 
será la conclusión.
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
https://es.wikipedia.org/wiki/Forma_l%C3%B3gica
https://es.wikipedia.org/wiki/Forma_l%C3%B3gica
https://es.wikipedia.org/wiki/Sintaxis
https://es.wikipedia.org/wiki/Modus_ponendo_ponens
https://es.wikipedia.org/wiki/Modus_ponendo_ponens
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_cl%C3%A1sica
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_no_cl%C3%A1sica
Modus Ponendo Ponens (M.P.P)
En esta ley, la primera premisa es una 
condicional, la segunda premisa es el 
antecedente de la primera premisa, para 
concluir en el consecuente.
Esta regla de inferencia permite demostrar Q a 
partir de de P → Q y P.
Por ejemplo:
Premisa 1. Si él está en el partido de fútbol, 
entonces él está en el estadio.
Premisa 2. Él está en el partido de fútbol.
Conclusión. Él está en el estadio.
“El método que, al 
afirmar, afirma”
La ley modus ponendo ponens permite 
pasar de dos premisas a la conclusión. Es 
necesario mencionar que la conclusión es 
consecuencia lógica de las premisas.
Es decir, que siempre que las premisas son 
ciertas, la conclusión es también cierta.
Ejercicio Modus Ponendo Ponens
Premisa 1. Si no hace frío, entonces el lago no se helará.
Premisa 2. No hace frío
Conclusión. El lago no se helará.
Modus Tollendo Tollens (M.T.T)
En esta ley, la primera premisa es una 
condicional, la segunda premisa niega al 
consecuente y se concluye en la negación del 
antecedente.
Por Ejemplo:
Premisa 1. Si tiene luz propia, entonces el astro 
es una estrella.
Premisa 2. El astro no es una estrella.
Conclusión. Por tanto no tiene luz propia.
“El método que, al 
negar, se niega”
Por lo tanto, la ley modus tollendo tollens 
permite pasar de 2 premisas: (a) una 
proposición condicional y (b) una proposición 
que niega el consecuente, a una conclusión 
que niega el antecedente.
Ejercicio Modus Tollendo Tollens
Premisa 1. Si es por la mañana, entonces el sol estará en el Este. 
Premisa 2. El sol no está en el Este. 
Conclusión. Por tanto, no es por la mañana. 
Modus Tollendo Pollens (M.T.P)
También conocido como eliminación de la disyunción o 
eliminación del "o".
Esta ley dice que negando (tollendo) un miembro de 
una disyunción se afirma (ponens) el otro miembro.
Simbólicamente, se puede expresar como:
Por Ejemplo:
Suponga que se tiene como premisa la disyunción:
o esta sustancia contiene hidrógeno o contiene 
oxígeno.
Premisa 2. Esta sustancia no contiene hidrógeno
Conclusión. Esta sustancia contiene oxígeno
“El método que, al 
negar, se afirma”
Por lo tanto, en la ley modus tollendo pollens No 
importa cual sea el miembro negado, el derecho o el 
izquierdo. 
La disyunción dice que por lo menos un miembro se 
cumple; por tanto, si se encuentra que uno de los 
miembros no se cumple, se sabe que el otro ha de 
cumplirse. 
Ejercicio Modus Tollendo Pollens
Premisa 1.Este hombre o es un abogado o es un político. 
Premisa 2.No es un abogado.
Conclusión. Por tanto, es político.
Silogismo Hipotético (S.h)
Le ley del silogismo Hipotético (ley cadena) es un 
razonamiento que parte de varios juicios basados 
en hipótesis y acaba extrayendo una conclusión 
válida al relacionarlos entre sí.
Por Ejemplo:
D = Hace calor. S = Juan va a nadar.
H = Arregla la casa después de comer
Premisa 1. Si hace calor, entonces Juan va a nadar.
Premisa 2. Si Juan va a nadar, arregla la casa 
después de comer
Conclusión. Si hace calor, entonces arregla la casa 
después de comer.
Ejercicio de Silogismo Hipotético
Premisa 1. Si no me despierto, entonces no puedo ir a la fiesta.
Premisa 2. Si novoy a la fiesta, no bailaré.
Conclusión. Entonces, si no me despierto no bailaré.
¬D→ ¬F
¬F→¬B
¬D→¬B
Adjunción (A.)
La ley de la Adjunción es aquella que que permite 
pasar de las dos premisas a la conclusión.
Si ambas proposiciones son verdaderas, entonces 
se podrían juntar en una proposición molecular 
utilizando el término de enlace «y» y se tendría una 
proposición verdadera
Por Ejemplo:
Dadas 2 proposiciones como premisas.
Premisa 1. Jorge es adulto
Premisa 2. María es adolescente
Conclusión: Jorge es adulto y María es adolescente. 
Ejercicio de Adjunción
Premisa 1. Cinco es mayor que tres.
Premisa 2. Tres es menor que cuatro.
Conclusión. Entonces, Cinco es mayor que tres y tres es menor que 4.
o
Conclusión. Entonces, tres es menor que 4 y Cinco es mayor que tres.
Simplificación (S.)
La ley de la Simplificación es la cual permite pasar 
de una conjunción a cada una de las dos 
proposiciones que están unidas por &.
La forma simbólica de la regla es así:
Por Ejemplo:
Premisa. El cumpleaños de Juan es el Lunes y el 
mio el Viernes.
Conclusión 1.El cumpleaños de Juan es el Lunes.
Conclusión 2.El mio es el viernes.
Ejercicio de Simplificación
Premisa. Una sociedad es una colección de individuos que buscan una forma de 
vida y la cultura es su forma de vida. 
Conclusión 1. Una sociedad es una colección de individuos que buscan una forma 
de vida
Conclusión 2. la cultura es su forma de vida. 
Ejercicio leyes de Inferencia
Verificar si el siguiente argumento es válido o no:
Rita está Horneado un pastel
Si rita está horneando un Pastel,entonces no está practicando 
la guitarra
Si rita no está practicando la guitarra entonces su padre no 
pagará el seguro del carro
Por lo tanto, el padre de Rita no pagará el seguro del carro.
Simbolizando Premisas y conclusión, el argumento luciria asi: 
p
p→¬q
¬q→¬r
∴¬r
Pasos para resolver el Argumento
Conjunción (Conj.)
Dada la proposición p y q la conjunción es el resultado de unir estas proposiciones mediante un conectivo 
lógico y se representa con el símbolo “ Ʌ “, se escribe p Ʌ q y se lee p y q para llegar a una conclusión.
Se representa de esta manera:
De las premisas:
P 
Q
∴ P^Q
Ejemplo:
Premisa 1. Los números naturales están 
contenidos en los números enteros.
Premisa 2. Los números pares están dentro de los 
enteros.
Conclusión: Entonces, los números naturales 
están contenidos en los números enteros y los 
números pares están dentro de los enteros.
Adición(Ad.)
A una premisa cualquiera, se puede adicionar lo que necesita, pero con una disyunción se representa 
simbólicamente como: p ⟶ (p v q) o q ⟶ (p v q) 
Y su esquema es: p q
 --------------- o --------------- 
 ∴ (p v q) ∴ (p v q) 
Ejemplo 1: Ejemplo 2: 
 p: Llueve q: me cai y me fracture 
 q: Hace sol p: solo me raspe
 Llueve por lo tanto llueve o hace sol. Me caí y me fracture algo por lo tanto solo me raspe o me 
 fracture.
Dilema Constructivo (d.c)
Se puede denominar como Dilema a un argumento conformado por la disyunción y la conjunción de dos 
premisas condicionales. 
En la lógica es una inferencia disyuntiva y su forma argumental:
[(P → Q) Ʌ (R → S) Ʌ (P ˅ R)］ → (Q ˅ S) 
(P → Q) Ʌ (R → S) (Si P implica Q, y a su vez R implica S)
 (P ˅ R) (Se puede inferir entonces que P o R ) 
----------------
∴ (Q ˅ S) (Lo que llevaría a concluir que a su vez Q o S ) 
Ejemplo de Dilema constructivo
Ejemplo: 
Si Juan viajará a Alaska, moriría de frío. 
Si va al Sahara, perecerá de calor. 
Entonces Juan viajará a Alaska o al Sahara. 
Por lo tanto moriría de frío o perecerá de calor.
(P: Si Juan viajará a Alaska ⟶ Q: morirá de frío) Ʌ (R: Si se va al Sahara ⟶ S: perecerá de calor)
(P:Juan viajará a Alaska V R: al Sahara) 
-----------------------------------------------------------------------
 ∴ (Q: moriría de frío V S: perecerá de calor.)
Dilema Destructivo (d.d)
En el ámbito de la lógica proposicional el Dilema Destructivo constituye una regla de inferencia, que 
responde la siguiente forma:
[(P→Q) Ʌ (R→S) Ʌ (ㄱQ V ㄱS)] → (ㄱP V ㄱR) 
Propone que si algunos de los consecuentes de los condicionales planteados en principio resulta ser 
falso, por ende alguno de los antecedentes es falso. 
(P→Q) Ʌ (R→S) 
(ㄱQ V ㄱS) 
-----------------------
∴ (ㄱP V ㄱR) 
Ejemplo de Dilema destructivo
Ejemplo: 
Si estudio, sacaré buenas notas.
Pero si voy al cine con mis amigos, seré feliz.
No sacaré buenas notas o no seré feliz.
O no estudiaré o no iré al cine con mis amigos.
 
(P:Si estudio →Q: Sacaré buenas notas) Ʌ (R:Pero si voy al cine con mis amigos →S: Sere feliz) 
(ㄱQ:No sacaré buenas notas V ㄱS:no seré feliz) 
-----------------------
∴ (ㄱP: O no estudiare V ㄱR: No ire al cine con mis amigos) 
Absorción (abs)
La ley establece que si P implica Q entonces P implica P y Q y a esto se le llama ley de absorción por que 
P es absorbido por Q. 
P → Q 
--------------
P →(PΛ Q)
Ejemplo de absorción 
Hay una marcha entonces toda la clase a partir de ese momento se cancela. 
Hay una marcha entonces hay una marcha y toda la clase a partir de ese momento se cancela. 
P → Q 
--------------
P →(PΛ Q)
Bibliografías:
● Aggi, G.(2021) ¿Qué es la dedución matemática? Consultado el 20 de Septiembre de 2021. 
● Castillo Rojas, L. A. (2019). Fundamentos básicos de la lógica. Lógica proposicional. Inferencia 
lógica. Nº 0760-2019-D-FAC. Lima, Perú. Matematica e Informatica.
● Copi, I. (año) LÓGICA SIMBÓLICA, CECSA, México
● EcuRed. (S.A).Demostracion matemática. Consultado el 20 de Septiembre de 2021 de: 
https://www.ecured.cu/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
● Grattan-Guinness, I. (1984). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910: Una introducción 
histórica. 
● Ibañes, M.(1997). La demostracion en matemáticas clasificacion y ejemplos en el marco de la 
educacion secundaria. Consultado el 20 de Septiembre de 2021 de: 
http://www.revista-educacion-matematica.org.mx/descargas/Vol9/2/06Ortega.pdf
● Lipschutz, S., Castaño, J. M., & Moncada, E. R. (1970). Teoría y problemas de teoría de conjuntos 
ytemas afines (No. QA 269. L56). McGraw-Hill.
Bibliografías:
● Manero, V.(2020). La demostración matemática o cómo llegar a la verdad invariable y eterna de los 
teoremas. Consultado el 20 de Septiembre de 2021 de: 
https://www.abc.es/ciencia/abci-demostracion-matematica-o-como-llegar-verdad-invariable-y-eterna
-teoremas-202010190104_noticia.html
● Morales, C. (2018). Los métodos de demostración en matemática. Consultado el 21 de Septiembre 
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● Suppes,P.; Hill, S. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA, Reverté