circunferencia y elipse

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GAE-05_M1AA2L5_circunferencia_elipse 
 
 
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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
	
  Circunferencia	
  y	
  elipse 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
Circunferencia	
  
 
Comienza por revisar la definición de circunferencia. 
 
 
 
“Una circunferencia es una curva formada por 
puntos que equidistan de un punto fijo llamado 
centro” (Ruiz, 2008, p. 308). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Elementos de la circunferencia. 
 
 
El punto fijo es llamado centro de la 
circunferencia y la distancia constante se 
llama radio. 
 
 
Con base en esta definición se puede decir que se tiene un punto fijo llamado centro con coordenadas C (h, 
k) y un punto P(x, y), que gira alrededor de este siempre a la misma distancia. 
 
 
Si se conocen las coordenadas de un punto de la circunferencia 
y las coordenadas del centro de la circunferencia, ¿cómo se 
puede determinar el valor del radio? 
 
¡Claro!, con la fórmula de distancia entre dos puntos. 
 
Para aplicar la fórmula de la distancia, recuerda que primero debes decidir el orden de los puntos; en 
este caso el centro C (h, k) será el punto P1 y el punto que gira alrededor P (x, y) será el punto P2. 
 
 
 
	
  
GAE-05_M1AA2L5_circunferencia_elipse 
 
 
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Aplicando la fórmula de la distancia, tienes: 
 
22 )()( kyhxd −+−= 
 
Como en este caso la distancia es el radio (r) de la circunferencia, la ecuación se puede reescribir 
como: 
 
22 )()( kyhxr −+−= 
 
Elevando al cuadrado la ecuación para eliminar la raíz, se obtiene: 
 
222 )()( kyhxr −+−= 
 
Reacomodando, 
 
 
 
A esta ecuación se le conoce como ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria, en donde h 
y k son las coordenadas del centro de la circunferencia y r es el radio de la misma. 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos. 
 
Ejemplo	
  1	
  :	
  
 
Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene centro en (2,3) y radio igual 4. 
 
Solución	
  
	
  
Datos que proporciona 
el problema 
Ecuación que involucra 
los datos del problema 
Sustituyendo los valores 
432 === rkh 
Centro (2,3) 
Por lo tanto, 
32 == kyh 
Radio=4 4=r 
 
 
222 )()( rkyhx =−+− 
 
222 4)3()2( =−+− yx 
 
16)3()2( 22 =−+− yx 
Tabla 1. Solución del ejemplo 1. 
 
	
  
	
  
 
	
  
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La	
  ecuación	
  
16)3()2( 22 =−+− yx 
 
Representa la ecuación de una circunferencia con centro (2, 3) y radio = 4 en su forma ordinaria. 
 
Tal vez te estés preguntando, ¿por qué esta ecuación no se parece a las que vimos en la primera 
lectura?, ¿qué relación tienen la ecuación general de segundo grado con la ecuación en forma 
ordinaria? 
 
En realidad, la ecuación ordinaria y la ecuación general de la circunferencia son equivalentes. Con 
ayuda del álgebra puedes transformar la ecuación de su forma ordinaria a su forma general. 
	
  
¿Quieres	
  ver	
  cómo?	
  
	
  
Observa que la ecuación está formada por la suma de dos binomios al cuadrado, los cuales puedes 
desarrollar. 
 
16)3()2( 22 =−+− yx 
 
Desarrollando los binomios al cuadrado tienes: 
 
169644 22 =+−++− yyxx 
 
Reacomodando términos para dejarlo de la forma: 
 
022 =+++++ FEyDxCyBxyAx 
 
Tienes: 
016946422 =−++−−+ yxyx 
036422 =−−−+ yxyx 
 
Esta ecuación representa la circunferencia con centro (2, 3) y radio = 4 en su forma general. La 
figura 2 muestra su gráfica. 
	
  
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Figura 2. Circunferencia con centro (2, 3) y radio = 4. 
 
 
 Ejemplo	
  2	
  :	
  
 
Encuentra la ecuación de la circunferencia en su forma general que tiene centro en (-3,-1) y pasa por el 
punto (2,1). 
 
Solución	
  	
  
Datos que 
proporciona el 
problema 
Ecuación que 
involucra los 
datos del 
problema 
Sustituyendo los valores 
3−=h 1−=k 
12 == yx 
Para obtener la ecuación en 
su forma general 
Centro (-3,-1) 
 
Por lo tanto, 
13 −=−= kyh
 
El punto por donde 
pasa la 
circunferencia 
es (2,1) 
 
 
La ecuación de la 
circunferencia 
requiere del valor del 
radio, por lo que es 
necesario calcularlo. 
Se puede utilizar la 
misma fórmula: 
 
222 )()( rkyhx =−+− 
 
222 ))1(1())3(2( r=−−+−− 
( )
2
222
222
29
)2()5(
)11(32
r
r
r
=
=+
=+++
 
 
Una vez que conoces el centro (-
3,-1) y el radio al cuadrado
292 =r 
 
Sustituyes en la ecuación de la 
circunferencia, 
29))1(())3(( 22 =−−+−− yx
 
29)1()3( 22 =+++ yx 
Ecuación en forma 
ordinaria 
 
 
Se desarrollan los binomios al 
cuadrado: 
 
29)1()3( 22 =+++ yx 
291296 22 =+++++ yyxx 
029912622 =−+++++ yxyx
 
0192622 =−+++ yxyx
 
Ecuación de la 
circunferencia en forma 
general 
Tabla 2. Solución al ejemplo 2. 
	
  
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Ejemplo	
  3	
  :	
  
 
Encuentra la ecuación de la circunferencia que se encuentra centrada en el origen y tiene diámetro 
igual a 12. 
 
Solución	
  	
  
	
  
Datos que 
proporciona el 
problema 
Ecuación que 
involucra los 
datos del 
problema 
Sustituyendo los valores: 
0=h 0=k 6=r 
 
Para obtener la ecuación en 
su forma general 
Centro en el origen 
Implica que las 
coordenadas del 
centro son (0,0) 
Por lo tanto, 
00 == kyh 
El diámetro es el 
doble del radio, por 
lo tanto, si el 
diámetro es =12, el 
radio será 6. 
 
 
 
 
 
 
 
222 )()( rkyhx =−+− 
 
Sustituye en la ecuación de la 
circunferencia: 
222 6)0()0( =−+− yx
3622 =+ yx 
 
Ecuación de la 
circunferencia centrada en 
el origen en su forma 
ordinaria 
 
 
En este caso no hay binomios 
que desarrollar, así que sólo se 
iguala a cero. 
 
3622 =+ yx 
 
03622 =−+ yx 
 
 
Ecuación de la 
circunferencia centrada en 
el origen en su forma 
general 
Tabla 3. Solución al ejemplo 3. 
 
 
Hasta el momento, has encontrado la ecuación de la circunferencia, a partir de sus características 
principales que son centro y radio en su forma ordinaria y en su forma general. 
 
 
 
 
¿Se podrán determinar las características principales 
de la circunferencia a partir de sus ecuaciones? 
 
 
 
La respuesta es sí, ya que si observas la ecuación en su forma ordinaria es sencillodeterminar las 
coordenadas del centro y del radio. 
 
	
  
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A continuación se presentan algunos ejemplos. 
 
Ejemplo	
  1	
  :	
  
 
Si la ecuación de una circunferencia es ( ) ( ) 951 22 =++− yx , determina las coordenadas de su centro y 
el valor del radio. 
 
	
  
	
  
Solución	
  
 
 
 Figura 3. Circunferencia con centro (1, -5) y radio = 3. 
 
De la ecuación ( ) ( ) 951
22 =++− yx 
determinas las ecuaciones del centro 
C (1, -5); observa cómo los valores de las 
coordenadas tienen el signo contrario al de la 
ecuación. 
 
Como 92 =r , entonces el valor del radio será 
39 ==r . 
 
Por lo tanto, el centro de la circunferencia se 
encuentra en C (1, -5) y su radio es lo que 
aparece en la figura 3. 
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
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Ejemplo	
  2	
  :	
  
 
Si la ecuación de una circunferencia es ( ) ( ) 2523 22 =+++ yx , determina las coordenadas del centro, el 
radio y su ecuación en forma general. 
 
Solución	
  
	
  
De la ecuación ( ) ( ) 2523 22 =+++ yx determina las ecuaciones del centro 
C (-3, -2); observa cómo los valores de las coordenadas tienen el signo contrario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Circunferencia con centro (-3, -2) y radio = 5. 
 
Como 252 =r entonces el valor del radio será 
525 ==r . 
 
Para obtener la ecuación en forma general se 
tienen que desarrollar los binomios al 
cuadrado. 
 
( ) ( ) 2523 22 =+++ yx 
254496 22 =+++++ yyxx 
025494622 =−+++++ yxyx 
0124622 =−+++ yxyx 
 
Por lo tanto, la ecuación general de la 
circunferencia con centro C(-3,-2) y el radio de 
5 es: 
0124622 =−+++ yxyx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Continúa con el estudio de la elipse para que puedas encontrar la relación que existe entre la 
circunferencia y la elipse. 
 
 
 
 
¿Recuerdas que la circunferencia es un caso especial de la 
elipse? 
	
  
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Elipse	
  
 
Comienza por analizar la definición de elipse y determinar sus características principales. 
 
 
 
Figura 5. Elementos de la elipse. 
 
“Una elipse es una curva formada por 
puntos del plano para los cuales es 
constante la suma de sus distancias a 
dos puntos fijos llamados focos” (Ruiz, 
2008, p. 308). 
 
 
a es la distancia del centro al vértice. 
 
b es la distancia del centro al extremo del eje 
menor. 
 
c es la distancia del centro al foco. 
 
 
Figura 6. Distancias a, b y c en una elipse. 
 
Si observas en la figura 6 cuando el punto P (x, y) se coloca sobre el eje de las y, se forma un triángulo 
rectángulo donde el valor de a que representa la distancia que existe del centro al vértice, es la 
hipotenusa y los valores de b y c son los catetos del triángulo. Al aplicar el teorema de Pitágoras, se 
cumple que 222 cba += . 
 
Esta relación te permite calcular la posición de los focos cuando conoces la gráfica o la ecuación de la 
elipse en su forma ordinaria. 
Elementos	
  de	
  la	
  elipse	
  
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
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Nombre Descripción Expresión en forma matemática 
Eje focal Es la recta que pasa por los focos. 
Eje mayor 
Es el segmento del eje focal 
y que une los dos vértices de 
la elipse. 
 
Longitud del Eje Mayor 
aVV 221 = 
 
Eje normal 
Es la recta perpendicular al 
eje focal que pasa por el 
centro. 
 
Eje menor 
Es el segmento del eje 
normal y que une dos puntos 
de la elipse, llamados 
extremos del eje menor. 
 
Longitud del eje menor 
bBB 221 = 
 
Centro Es el punto de intersección del eje focal y del eje normal. ),( khC 
Lado recto 
Es un segmento de recta que 
es perpendicular al eje focal, 
pasa por el foco y corta en 
dos puntos a la elipse. 
Longitud del lado recto 
a
b22
 
 
 
Excentricidad 
La excentricidad nos indica el 
ensanchamiento de una 
elipse, es decir, que tan 
delgada o que tan ancha es 
la elipse. 
 
Una elipse delgada tiene 
excentricidad muy cerca de 1. 
Una elipse ancha tiene 
excentricidad muy cerca de 0. 
Excentricidad 
a
ce = 
 
valores que puede tomar la 
excentricidad en una elipse: 
 
10 << e 
 
Tabla 4. Elementos de una elipse. 
 
Las elipses se pueden presentar en forma horizontal, vertical o inclinada. Se encuentran en forma 
horizontal, si su eje focal es paralelo al eje de las x; en forma vertical, si su eje focal es paralelo al eje 
de las y; en forma inclinada si su eje focal tiene un ángulo de inclinación. De la misma forma, la elipse 
puede estar centrada en el origen o fuera de este con centro c (h, k) y dependiendo de cómo se 
encuentren ubicadas cada una de ellas, tendrá una ecuación que la identifique. 
	
  
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En la tabla 5 se presentan las ecuaciones correspondientes de la elipse dependiendo de su ubicación: 
 
Elipse horizontal centro en el origen Elipse vertical centro en el origen 
 
Ecuación ordinaria 
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
 
 
 
 
 Ecuación 
ordinaria 
 
12
2
2
2
=+
a
y
b
x
 
 
 
Elipse horizontal centro (h, k) 
 
Elipse vertical centro (h, k) 
 
Ecuación ordinaria 
 
 
 
Ecuación ordinaria 
 
 
Tabla 5. Gráficas de los tipos de elipse con sus respectivas ecuaciones. 
 
 
 
 
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
a
ky
b
hx
	
  
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Observa cómo en las elipses horizontales el valor de a que 
representa el valor del semieje mayor se encuentra debajo 
de la x, lo que indica que el eje mayor es paralelo al eje de 
lasx y el valor que representa el semieje menor, se 
encuentra debajo de la “y”. Esto indica que el eje menor es 
paralelo al eje de las y. 
 
En cambio, en las elipses verticales el valor de a que 
representa el valor del semieje mayor se encuentra debajo 
de la y, lo que indica que el eje mayor es paralelo al eje de 
las “y”, y el valor que representa el semieje menor se 
encuentra debajo de la x, lo que indica que el eje menor 
es paralelo al eje de las x. 
 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos. 
 
Ejemplo	
  1	
  :	
  
 
Encuentra la ecuación de la elipse con vértices )0,5()0,5( 21 −VyV y focos
)0,3()0,3( 21 −FyF 
	
  
Solución	
  
 
 
Figura 7. Gráfica de puntos conocidos en el problema 
vértices )0,5()0,5( 21 −VyV y focos )0,3()0,3( 21 −FyF 
 
Comencemos por analizar la información. Si 
graficamos los focos y los vértices en un plano 
cartesiano nos daremos cuenta de que los 
focos están sobre el eje de las “x” y que la 
distancia que hay del origen a los focos son 
iguales por lo que estamos hablando de una 
elipse horizontal con centro en el origen, cuya 
ecuación es: 
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
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¿Qué	
  valores	
  conoces?	
  
 
El valor de 5=a ya que es distancia que hay del centro a cada uno de los vértices. 
El valor de 3=c ya que es la distancia que hay del centro a cada uno de los focos. 
 
Por lo tanto, hace falta el valor de b , pero de la relación 222 cba += , lo puedes calcular despejando 
el valor de 222 cab −= 
 
Sustituyendo valores: ( ) ( ) 1692535 222 =−=−=b 
 
Como en la ecuación se necesita el valor de 162 =b y 252 =a , lo sustituyes en la ecuación: 
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 Como 11625
22
=+
yx
 
 
 
Figura 8. Gráfica de la elipse 1
1625
22
=+
yx
 
 
1
1625
22
=+
yx
 Esta ecuación representa una 
elipse horizontal con centro en el origen con 
vértices )0,5()0,5( 21 −VyV y focos
)0,3()0,3( 21 −FyF 
 
	
  
Ejemplo	
  2	
  :	
  
 
Encuentra la ecuación de la elipse de la gráfica que se muestra en la figura 9. 
 
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
	
  
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escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
Solución	
  	
  
	
  
	
  
 
Figura 9. Gráfica de la elipse 
( ) ( ) 1
4
1
25
2 22
=
+
+
− yx
 
 
 
Comienza por analizar que la gráfica es 
una elipse horizontal con centro (h, k) y por 
lo tanto, la ecuación es: 
 
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx 
De la gráfica puedes observar que el centro 
tiene coordenadas C (2, -1), por lo tanto, 
2=h y 1−=k . 
La distancia que hay del centro al vértice 
es 5, por lo tanto 5=a . 
La distancia que hay del centro al punto B1 
es 2, por lo tanto 2=b . 
 
Sustituyendo los valores en la ecuación 
tienes: 
 
( ) ( ) 1
)2(
)1(
)5(
2
2
2
2
2
=
−−
+
− yx 
Realizando operaciones: 
( ) ( ) 1
4
1
25
2 22
=
+
+
− yx 
	
  
	
  
( ) ( ) 1
4
1
25
2 22
=
+
+
− yx 
 
Ecuación de una elipse horizontal con centro (2,-1). 
 
Ejemplo	
  3	
  :	
  
 
Encuentra la gráfica de la siguiente ecuación ( ) ( ) 1
9
3
4
1 22
=
−
+
+ yx y exprésala en su forma general. 
Solución	
  	
  
 
Comienza por analizar la 
ecuación: 
 
( ) ( ) 1
9
3
4
1 22
=
−
+
+ yx 
Para graficar es conveniente localizar los puntos 
principales como son el centro y los valores de a y b 
para después trazar la gráfica de la elipse. 
	
  
GAE-05_M1AA2L5_circunferencia_elipse 
 
 
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De inicio la elipse tiene 
centro (h, k) y de los dos 
denominadores el más 
grande está debajo de la 
y, lo que indica que el eje 
mayor es paralelo al eje de 
las y. 
Por lo tanto, la ecuación de 
la elipse es vertical con 
centro (h, k), la cual está 
representada por la 
ecuación: 
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
a
ky
b
hx 
 
De esta ecuación puedes 
determinar los valores de: 
1−=h , 3=k , 42 =b y 
92 =a 
Así 24 ==b y 
39 ==a 
 
Figura 10. Gráfica de la elipse 
( ) ( ) 1
9
3
4
1 22
=
−
+
+ yx
 
 
 
 
Para poder expresar la ecuación de la elipse en su forma general se tiene que realizar la suma de 
fracciones 
( ) ( ) 1
9
3
4
1 22
=
−
+
+ yx
 
 
El m.c.d de 9 y 4 es 36, por lo tanto: 
1
36
)3(4)1(9 22
=
−++ yx
 
Desarrollando los binomios al cuadrado: 
 
1
36
)96(4)12(9 22
=
+−+++ yyxx
 
 
09241849
36362449189
)36(1)96(4)12(9
22
22
222
=+−++
=+−+++
=+−+++
yxyx
yyxx
yyxx
 
 
09241849 22 =+−++ yxyx Ecuación general de la elipse con centro C (-1, 3). 
 
 
	
  
GAE-05_M1AA2L5_circunferencia_elipse 
 
 
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escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
Ahora que ya sabes las propiedades de la elipse y sus elementos, ¿puedes decir por qué la 
circunferencia es un caso especial de la elipse? 
 
¿Qué le pasa a la elipse cuando su eje mayor es igual a su eje menor? 
 
En cualquiera de las elipses si su eje menor es igual al eje mayor, tendrás como resultado una 
circunferencia. 
 
¿Dónde quedan los focos de la elipse en la circunferencia? 
 
Los focos de la elipse se recorren al centro de la circunferencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  Bibliografía	
  
Fuller, G. & Tarwater, D. (1999). Geometría Analítica (R. Martínez y A. Rosas, 
trads.). México: Pearson Educación. 
Kindle, J. H. (1999). Geometría Analítica (L. Gutiérrez y A. Gutiérrez, trads.). 
México: McGraw-Hill. 
Martínez, M. A. (1996). Geometría Analítica. México: McGraw-Hill. 
 
Referencia	
  
Ruiz, J. (2008). Geometría Analítica. México: Grupo Editorial Patria.