distancia entre dos puntos

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GAE-05_M2AA1L3_Distancia entre dos puntos 
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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
	
  
	
   Distancia	
  entre	
  dos	
  puntos	
  
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
Para determinar una expresión que te ayude a calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera, toma 
los siguientes dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). Al situarlos en el plano cartesiano quedan como se 
muestran en la figura 1: 
 
 
Figura 1. Distancia entre dos puntos. 
 
En esa figura se puede apreciar que la distancia entre los puntos P1 y P2 es la hipotenusa del triángulo 
rectángulo con catetos )( 12 xx − y )( 12 yy − . De esta forma, si se aplica el teorema de Pitágoras para 
determinar la longitud de la hipotenusa del triángulo formado, encontrarás la distancia entre los puntos 
P1 y P2. 
 
 
La hipotenusa representa la distancia entre los puntos P1 y P2, por lo tanto, se representará con la letra 
d. 
 
 
 
Si despejas d obtienes finalmente la fórmula de la distancia entre dos puntos, es decir: 
 
 
(Teorema de Pitágoras) 
 
 
 
 
	
  
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Debido a que en geometría analítica la solución de 
problemas requiere la aplicación de fórmulas, es 
conveniente que construyas un formulario para que 
favorezcas la memorización de las fórmulas que 
utilizarás. 
 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos. 
 
Ejemplo	
  1	
  :	
  
 
Observa la figura 2 e inicia el cálculo de la distancia entre dos puntos retomando B (-6, -3) y E (2, -1). 
 
 
 Figura 2. Gráfica del rectángulo formado a partir de los puntos B (-6, -3) y E (2, -1). 
 
 
Para aplicar la fórmula de la distancia es necesario decidir qué punto (B o E) será P1 y P2; toma a B 
como P1 y a E como P2. De esta manera: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 24.86864482
6231
)6(2)3(1
22
22
22
2
12
2
12
≈=+=+=
+++−=
−−+−−−=
−+−=
d
d
d
xxyyd
 
	
  
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La distancia buscada es 68=d unidades de longitud. Si no es necesaria demasiada precisión, se 
puede utilizar su valor aproximado d = 8.24. 
 
 
¿Cuál sería la distancia entre B y E si se hubiera elegido B como P2 y E como P1? ¡Acertaste!, es la 
misma distancia. 
 
Ejemplo	
  2	
  :	
  
 
Calcula la distancia entre los puntos (2, 3) y (4, 5). Toma P1 (2, 3) y P2 (4, 5). 
 
Solución	
  
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
82.2844
22
2435
22
22
2
12
2
12
≈=+=
+=
−+−=
−+−=
d
d
d
xxyyd
 
 
 
La distancia entre los puntos (2, 3) y (4, 5) es 8=d unidades de longitud. 
 
 
Ejemplo	
  3	
  :	
  
 
Calcula la distancia entre los puntos (-1, 4) y (3, 6). Toma P1 (-1, 4) y P2 (3, 6). 
 
Solución	
  
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
47.420164)4(4
132
)1(346
2
22
22
2
12
2
12
≈=+=+=
++=
−−+−=
−+−=
d
d
d
xxyyd
 
 
La distancia entre los puntos (-1, 4) y (3, 6) es 20=d unidades de longitud. 
 
 
 
	
  
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Al aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos, debes 
tener precaución de usar de manera correcta las leyes de los 
signos. 
Ejemplo	
  4	
  :	
  
 
Determina si los puntos A (1, 4), B (4, 4) y C (4, -5) son los vértices de un triángulo rectángulo. 
 
Solución	
  
 
Una forma de determinar si se trata o no de un triángulo rectángulo es ver si sus lados cumplen con el 
teorema de Pitágoras. Para ello es necesario conocer primero la longitud de sus tres lados, esto es, la 
distancia entre los tres puntos. Para facilitar la organización de la información, te propongo vaciar las 
distancias calculadas como se hace en la tabla 1. 
 
 
Tabla 1. Ejemplo para vaciar las distancias. 
Lado Cálculos Conclusión 
AB 
(distancia entre 
 los puntos A y B) 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3990
30
1444
22
22
2
12
2
12
==+=
+=
−+−=
−+−=
d
d
d
xxyyd
 
 
Ahora que has calculado las 
tres distancias (longitudes de 
los lados del triángulo) 
puedes probar, aplicando el 
teorema de Pitágoras si se 
trata o no de un triángulo 
rectángulo. 
 
¿Cuál de los tres lados crees 
que pueda ser la hipotenusa? 
 
 ¡Correcto!, el lado de mayor 
longitud en este caso CA . 
Aplicando el teorema de 
Pitágoras tienes: 
( ) ( ) ( )
9090
98190
3990 22
2
=
+=
+=
 
Al comprobarse la igualdad, 
se verifica que los puntos 
dados corresponden con los 
vértices de un triángulo 
rectángulo. 
 
BC 
(distancia entre 
los puntos B y C) 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 98109
045
444)5(
2
22
22
2
12
2
12
==+−=
+−−=
−+−−=
−+−=
d
d
d
xxyyd
 
CA 
(distancia entre 
 los puntos C y A) 
 
Nota: de la geometría plana, 
la tilde que aparece sobre las 
parejas de letras significa 
segmento de recta. Por lo que 
CA es el segmento de recta 
que va del punto C al punto A. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 48.99098199
354
41)5(4
2
22
22
2
12
2
12
≈=+=+=
−++=
−+−−=
−+−=
d
d
d
xxyyd
 
	
  
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Punto	
  medio	
  
 
En ocasiones es necesario conocer las coordenadas del punto que divide un segmento de recta 
exactamente a la mitad. A este punto se le conoce como punto medio. Las fórmulas para determinar 
las coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuando se conocen las coordenadas de los 
extremos del segmento son: 
 
 
 
 
 En los siguientes ejemplos, se muestra cómo aplicar esta fórmula. 
 
 
Ejemplo	
  1	
  :	
  
 
Determina las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son (2, 3) y (5, 6). 
 
Solución	
  
 
Aplicando las fórmulas para el punto medio tienes: 
 
5.4
2
9
2
63
2
5.3
2
7
2
52
2
21
21
==
+
=
+
=
==
+
=
+
=
yyy
xxx
m
m
 
 
Así, el punto medio del segmento de recta cuyos extremos son (2, 3) y (5, 6) es: 
 
(3.5, 4.5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
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En la figura 3 se muestra una gráfica donde están los tres puntos del segmento de recta. 
 
 
Figura 3. Gráfica de la recta con extremos (2, 3) y (5, 6) y punto medio (3.5, 4.5). 
 
Ejemplo	
  2	
  :	
  
 
Determina las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son (-3, 3) y (-5, 5). 
 
Solución	
  
 
Aplicando las fórmulas para el punto medio tienes: 
 
4
2
8
2
53
2
4
2
8
2
53
2
)5(3
2
21
21
==
+
=
+
=
−=
−
=
−−
=
−+−
=
+
=
yyy
xxx
m
m
 
 
Así, el punto medio del segmento de recta cuyos extremos son (-3, 3) y (-5, 5) es (-4, 4). 
 
 
 
 
 
 
	
  
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  Bibliografía	
  
Fuller, G. & Tarwater, D. (1999). Geometría Analítica (R. Martínez y A. Rosas, 
trads.). México: Pearson Educación. 
Kindle, J.H. (1999). Geometría analítica (L. Gutiérrez y Á. Gutiérrez, trads.). México: 
McGraw-Hill. 
Martínez, M. A. (1996). Geometría analítica. México: McGraw-Hill. 
Ruiz, J. (2008). Geometría analítica. México: Grupo Editorial Patria.