funciones

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I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula



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 incluyendo
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 fotografía,
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o
un
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de
recuperación
de
 la
 información,
sin
 la
autorización
por

escrito
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la
Universidad
Virtual
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Estado
de
Guanajuato.











 
Funciones





Por:
Sandra
Elvia
Pérez Márquez





Relaciones
y
funciones

 
En la vida diaria es muy común encontrar variables que se relacionan entre sí, por ejemplo la longitud de un bebé 
con respecto al tiempo que lleva en gestación, el número de televidentes de algún canal con respecto al horario, la 
ganancia de un producto con respecto al número de ventas son sólo algunas de las relaciones que se pueden 
establecer. 
 
En este tipo de relaciones siempre existe una variable que depende de la otra, es decir, una de ellas es 
independiente y la otra dependiente. 
 
Por ejemplo, la longitud de un bebé depende del tiempo que se encuentre en gestación, para este caso el tiempo 
es una variable independiente, sin embargo, como la longitud del bebé depende del tiempo transcurrido 
entonces ésta será una variable dependiente. 
 
En la tabla 1 se observa la relación que existe entre el tiempo de gestación y la longitud aproximada de un bebé 
 
Mes de gestación Tamaño aproximado 
1 1 cm 
2 9 cm 
3 12 cm 
4 16 cm 
5 23 cm 
6 30 cm 
7 37 cm 
8 43 cm 
9 50 cm 
Tabla
1.
Relación
entre
tiempo
de
gestación
y
longitud
aproximada
de
un
bebé.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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Para que puedas hacer una gráfica con estos datos, es necesario que los escribas como un conjunto de pares 
ordenados. 
 
 
Recuerda
 que
 para
 graficar
 un
 punto
 en
 una
 ecuación,

se
 toma
 un
 valor
 de
 x 
que
 se
 denomina
 variable

independiente
 y
 un
 valor
 de
 y 
que
 corresponde
 a
 la

variable
 dependiente,
 de
 los
 que
 formas
 un
 par

ordenado
 ),( yx 
que
indica
la
coordenada
del
punto
que

se
va
a
graficar.

 
 
 
 
En el ejemplo del bebé, como el mes de gestación es la variable independiente, la que se tomará como la variable x 
y el tamaño del bebé será la variable y , debido a que corresponde a la variable dependiente. 
 
De esta forma, el conjunto de pares ordenados para graficar el crecimiento de un bebé en gestación con respecto al 
tiempo será: 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }50,9,43,8,37,7,30,6,23,5,16,4,12,3,9,2,1,1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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Y graficando los pares ordenados en un sistema de ejes coordenados, tendrás la gráfica que se muestra en la 
figura 1: 
 
 
 
Figura
1.
Gráfica
del
ejemplo
del
crecimiento
de
un
bebé
en
gestación.

 
 
En la figura 1 puedes observar cómo se lleva a cabo el crecimiento del bebé con respecto al tiempo y además con 
base en los 9 datos graficados, se puede predecir cuál será el tamaño del bebé en periodos no establecidos en la 
tabla, como por ejemplo, a los cuatro meses y medio el bebé medirá 20 cm aproximadamente, dato que no 
estaba contemplado en la tabla. 
 
 
Como puedes darte cuenta en la vida diaria siempre existen diferentes tipos de relaciones, y dependiendo de 
cómo se lleven a cabo, te pueden ayudar a hacer predicciones en un momento determinado. Matemáticamente a 
este tipo de relaciones se le llaman funciones, pero es importante definir en qué momento se tiene una relación y 
cuándo una función. 


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Figura
1.
Fetus
proposal.svg
(Wikimedia,
2007).

 
 


Siempre que dos variables se puedan relacionar y 
escribirse como un conjunto de pares ordenados 
para poderse graficar se dice que se tiene una 
relación. 


 
 


 
Sin embargo, una función es un caso especial de las relaciones donde a los valores que toma la variable 
independiente se les llama dominio y a los valores de la variable dependiente, se les llama rango. 
 
Para poder identificar si una relación también es una función, debe de cumplir con dos reglas: 
 
a) A todos los elementos del dominio les corresponde al menos un elemento del rango. 
 
b) Un elemento del dominio no puede relacionarse con más de un elemento del rango. 
 
 
Regresa al ejemplo del crecimiento de un bebé en gestación. 
 
Comienza por identificar el dominio y el rango. 
 


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En este caso como el dominio es el conjunto de valores que toma la variable independiente, entonces los 9 meses 
formarán el dominio y como el rango son los valores que toma la variable dependiente, entonces los valores de la 
longitud del bebé será el rango. 
 
 
 
 
 
Figura
2.
Domino
y
rango
del
ejemplo
del
crecimiento
de
un
bebé
en
gestación.

 
 
Como puedes observar, a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento del rango, por lo tanto cumple 
también con la segunda regla que dice que un elemento del dominio no puede relacionarse con más de un elemento 
del rango. 
 
En consecuencia, la relación que existe entre la longitud del bebé con respecto al tiempo de gestación, además de ser 
una relación, es una función. 
 
 


Se le llama función a la forma en que se relacionan 
los elementos del dominio con los elementos del 
rango, de tal manera que a cada elemento del 
dominio le corresponde un elemento del rango. 




 
 


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grabación
o
un
sistema
de
recuperación
de
 la
 información,
sin
 la
autorización
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Guanajuato.

 
 
Una función puede representarse como: 
 
a) Una tabla. 
b) Un conjunto de pares ordenados. 
c) Una gráfica. 
d) Una ecuación. 
 
 
Ya que es la forma en que se pueden relacionar el dominio y el rango. 
 
 
 
¿Cómo se puede determinar que una relación es función? 
 
Cuando se tiene una tabla o un conjunto de pares ordenados, basta con observar que no se repita ningún 
elemento de la variable independiente (dominio), la cual corresponde al primer elemento en un par ordenado. 
 
 
 
 
Ve algunos ejemplosDetermina si las siguientes relaciones son funciones. 
 
 
Ejemplo 
 
Clasificación 
 
 
Observación 
 
 
 
( ) ( ) ( ){ }12,6,10,5),8,4(),6,3(,4,2 
 
 
 
Función 
 
Observa que el primer elemento en 
los pares ordenados no se repite, 
por lo tanto cumple con la condición 
de que un elemento del dominio no 
puede relacionarse con más de un 
elemento del rango. 
 
( ) ( ) ( ){ })8,4(,8,4,6,3),6,3(),4,2(,4,2 −−− 
 
 
No es función 
Observa que el primer elemento en 
algunos pares ordenados se repite, 
por lo tanto no cumple con la 
condición de que un elemento del 
dominio no puede relacionarse con 
más de un elemento del rango y 
aunque no es una función sigue 
siendo una relación. 
Tabla
2.
Ejemplos
para
determinar
si
son
funciones
o
no.

 
 
 
 
 
 
 
 
 


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En el caso que tengas una gráfica, el método que utilizarás para determinar si una relación es una función es la 
prueba de la recta vertical que consiste en trazar una línea vertical a través de la gráfica y si ésta toca dos o más 
puntos, entonces la gráfica será de una relación y no de una función. 
 
 Ve algunos ejemplos 
 
Determina en cada gráfica si es una función o una relación. 
 
 
 
 
Es función debido a que al trazar la 
línea vertical (azul) solamente toca un 
punto de la gráfica. 
 
 
 
Es función debido a que al trazar la 
línea vertical (azul) solamente toca un 
punto de la gráfica. 
 
 
Es relación debido que al trazar la 
línea vertical (azul) en todos los casos 
toca dos puntos de la gráfica. 
Tabla
3.
Ejemplos
de
funciones
y
de
relación.

 
 
Como puedes darte cuenta cualquier función es una relación, sin embargo no todas la relaciones son funciones. 
 
En matemáticas se trabajan diferentes funciones con características específicas. 
 
A continuación analizarás las funciones más utilizadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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recuperación
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 información,
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autorización
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Tipos
de
funciones
y
sus
gráficas


 
 
 


¿Recuerdas
que
una
función
puede
representarse
como

una
tabla,
un
conjunto
de
pares
ordenados,
una
gráfica

o
una
ecuación?



 
 
En este curso comenzarás a estudiar cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones, las cuales son una representación 
matemática de una función. Recuerda que las ecuaciones para poderlas graficar se tenían que tabular (dar valores), a 
fin de poder obtener los pares ordenados que más tarde graficarías. 
 
Una ecuación se define como una expresión matemática que contiene un símbolo de igualdad y en ambos lados de la 
igualdad existen términos, por ejemplo: 
 
32 += xy 
 
Este es un ejemplo de ecuación lineal y para poderla graficar necesitas tabularla, es decir, darle valores a la variable 
x para obtener valores de y . 
 
 
Valores 
de “x” 
32 += xy Valores de 
“y” 
-1 ( ) 1312 =+−=y 1 
0 ( ) 3302 =+=y 3 
1 ( ) 5312 =+=y 5 
2 ( ) 7322 =+=y 7 
Tabla
4.
Ejemplo
de
ecuación
lineal.

 
 En este caso como x es la variable a la que le das valores, entonces esta variable representa la variable 
independiente y al asignar los valores los sustituyes en la ecuación y obtienes los valores y , por lo tanto, esta es la 
variable dependiente, ya que depende de los valores que le asignas a la variable x . 
 
 
Al escribir las funciones, es común representar la variable dependiente y como )(xf que indica que es función de 
x . De esta forma, cuando te refieres a una función la puedes escribir como 32 += xy o 32)( += xxf . 
 
En esta actividad revisarás las funciones que aparecen con mayor frecuencia en situaciones de la vida cotidiana, así 
como sus características principales. 
 
 


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Estas funciones son: 
 
a) Funciones lineales. 
b) Funciones cuadráticas. 
c) Funciones cúbicas y de cuarto grado. 
d) Funciones exponenciales y logarítmicas. 
e) Funciones trigonométricas. 
 
 
 
Función 
 
Ecuación 
 
Gráfica 
 
Características 
principales 
 
 
 
 
 
Lineal 
 
 
 
 
bmxxf +=)( 
 
 
 
 
=m pendiente









(inclinación) 
 
=b ordenada
al











Origen

(intersección
 con
eje
 de

las
“y”)



Dominio ( )+∞∞− , 
 
Rango ( )+∞∞− , ¡Error!

No
 se
 pueden
 crear

objetos
 modificando

códigos
de
campo.



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Cuadrática 
 
 
 
 
 
cbxaxxf ++= 2)( 
 
 









Vértice




 










 −−
a
bf
a
b
2
,
2





Concavidad
 0>a 

(abre
hacia
arriba)



Vértice
punto
mínimo

Dominio ( )+∞∞− , 
Rango [ )∞,vértice 


Concavidad

 0<a 

(abre
hacia
abajo)



Vértice
punto
máximo

Dominio ( )+∞∞− , 
Rango ( ]vértice,∞− 
 
Las
intersecciones
con
el

eje
x
son
las
raíces
de
la

ecuación

 
Intersecciones
con
el
eje

y
es
el
valor
de
la

constante
en
la
ecuación

c 

 


 
 
 
 
 
 
 
Cúbica 
 
 
 
 
 
 
43
2
2
3
1)( axaxaxaxf +++= 
 
 
 
 
 
Las
intersecciones
con
el

eje
x
son
las
raíces
de
la

ecuación



Intersecciones
con
el
eje

y
es
el
valor
de
la

constante
en
la
ecuación

4a 



Dominio ( )+∞∞− , 
 
Rango ( )+∞∞− , ¡Error!
No

se
pueden
crear
objetos

modificando
códigos
de

campo.





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 fotografía,
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o
un
sistema
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recuperación
de
 la
 información,
sin
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Guanajuato.

 
 
 
 
 
 
Cuarto 
grado 
 
 
 
54
2
3
3
2
4
1)( axaxaxaxaxf ++++=
 
 
 
Las
intersecciones
con
el

eje
x
son
las

raíces
de
la
ecuación

 
Intersecciones
con
el
eje

y
es
el
valor
de
la

constante
en
la
ecuación

5a 



Dominio ( )+∞∞− , 
 
Rango depende de la 
gráfica¡Error!
No
se
pueden

crear
objetos
modificando

códigos
de
campo.

 


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Exponenci
al 
 
 
 
kbxf x +=)( 
 
 
Asíntota
horizontalen
y=k



Dominio ( )+∞∞− , 
 
Rango [ )+∞,k 
 
 Si 0>b la función es 
creciente. 
 
Si 10 << b la función es 
decreciente 


 
 
 
 
Logarítmic
a 
 
 
 
( ) khxxf b +−= log)( 
 
 
Asíntota
vertical
en
x=h



Dominio [ )+∞,h 
 
Rango ( )+∞∞− , ¡Error!
No

se
pueden
crear
objetos

modificando
códigos
de

campo.

 
 


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Seno 
 
 
 
 
khxasenxf +−= )()( 
 
 


Amplitud
es
el
valor
de
 la

constante
a





Dominio ( )+∞∞− , 
 
Rango se relaciona con 
amplitud 



 
 
 
 
Coseno 
 
 
 
 
khxaxf +−= )cos()( 
 


Amplitud
es
el
valor
de
 la

constante


a



Dominio ( )+∞∞− , 
 
Rango se relaciona con 
amplitud 

 


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Tangente 
 
 
 
khxxf +−= )tan()( 
 
 
Periodo




Dominio periodo

 
Rango ( )+∞∞− , 

 
Tabla
5.
Tipos
de
funciones.

 
 
 
 
Función
lineal


 
Una función lineal es aquella que al graficarse se representa por una línea recta. 
 
Su forma matemática es: 
 
bmxy += ó bmxxf +=)( 
 
 
Donde 
 
 m Es la pendiente que representa la inclinación de la recta. 
 b Es la ordenada al origen que representa el punto de intersección con el eje de las "" y . 
 
 
 
 
 
 
 


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Con respecto a la pendiente m se pueden tener 3 casos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipo de pendiente 
m 
 
Gráfica 
 
Observación 
 
 
Pendiente cero 
0=m 
 
 
Ejemplo: 
 
3=y 
 
 
 
En este caso observa que no existe el 
término x en la función 
3)( == xfy por lo tanto la 
pendiente es cero, y como la 
pendiente indica la inclinación, nota 
que la gráfica es una línea horizontal 
que atraviesa el eje de las "" y en 3 
 
 
 
Pendiente positiva 
0>m 
 
 
Ejemplo: 
 
32 += xy 
 
 
En este caso el coeficiente del término 
en x es positivo en la función 
32)( +== xxfy , observa cómo 
la recta se encuentra inclinada hacia la 
derecha 
 
Cuando la pendiente m es positiva 
la recta se encuentra inclinada 
hacia la derecha 
 
420-2-4
10
5
0
-5
-10
X
Y
3
420-2-4
15
10
5
0
-5
-10
-15
X
Y
2x+3


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 totalmente,
mediante
cualquier
medio,
método
o

sistema
 impreso,
electrónico,
magnético,
 incluyendo
el
 fotocopiado,
 la
 fotografía,
 la
grabación
o
un
sistema
de
recuperación
de
 la
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sin
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Pendiente negativa 
0<m 
 
32 +−= xy 
 
 
En este caso el coeficiente del término 
en x es negativo en la función 
32)( +−== xxfy , observa cómo 
la recta se encuentra inclinada hacia la 
izquierda 
 
Cuando la pendiente m es negativa 
la recta se encuentra inclinada 
hacia la izquierda 
 
 
Tabla
6.
Tipos
de
casos
de
la
pendiente
en
las
funciones
lineales.

 
 
Con respecto a la ordenada al origen b se pueden tener 3 casos: 
 
 
Ordenada al origen 
b 
 
Gráfica 
 
Observación 
 
Ordenada al origen 
 
0=b 
 
 
Ejemplo: 
 
xy 3= 
 
 
 
En este caso observa que no existe el 
término en b en la función: 
 
xxfy 3)( == 
 
 Por lo tanto, la intersección con el eje de 
las "" y es en cero, también llamado 
origen 
 
Cuando b=0 la recta pasa por el origen 
420-2-4
15
10
5
0
-5
-10
-15
X
Y
-2x+3
420-2-4
4
2
0
-2
-4
X
Y
3x


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Ordenada al origen positiva 
 
0>b 
 
 
Ejemplo: 
 
23 += xy 
 
 
Observa que el valor de 2=b en 
 
23)( +== xxfy . 
 
Por lo tanto, la intersección con eje de las 
“y=2” 
 
Cuando b>0 la intersección con el eje 
de las y es arriba del eje de las x 
Ordenada al origen 
negativa 
 
0<b 
 
 
Ejemplo: 
 
23 −= xy 
 
 
 
Observa que el valor de 2−=b en 
 
23)( −== xxfy 
 
Por lo tanto, la intersección con eje de las 
“y=-2” 
 
Cuando b<0 la intersección con el eje 
de las y es por debajo del eje de las x 
 
Tabla
7.
Tipos
de
casos
de
la
ordenada
al
origen
en
las
funciones
lineales.

 
 
 
 
 
 
Como puedes observar, cuando se grafica una función lineal, los valores que puede tomar la variable 
independiente )(x van desde ∞− hasta ∞+ , por lo tanto el dominio de cualquier función lineal es ( )∞∞− , 
 
De la misma forma, los valores que puede tomar la variable dependiente )(y van desde ∞− hasta ∞+ , por lo 
tanto el rango de cualquier función lineal es ( )∞∞− , 
 
 
 
 
 
 
 
 
420-2-4
4
2
0
-2
-4
X
Y
3x+2
52.50-2.5-5
4
2
0
-2
-4
X
Y
3x-2


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 Ejemplo 1 
 
En las siguientes funciones lineales determina sus características principales: 
 
a) Valor de la pendiente m 
b) Ordenada al origen b 
c) Dominio D

d) Rango R

e) Gráfica 
 
 
 
Función Características principales Gráfica 
 
 
 
2+−= xy 
 
Pendiente 
1−=m 
Ordenada al 
origen 
2=b 


D= ( )+∞∞− , R= ( )+∞∞− , 

 
 
 
34 −= xy Pendiente 4=m Ordenada al 
origen 
3−=b 


D= ( )+∞∞− , R= ( )+∞∞− , 

 
 
 
52.50-2.5-5
4
2
0
-2
-4
X
Y
-x+2
210-1-2
10
5
0
-5
-10
X
Y
4x-3


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xy 2−= Pendiente 
2−=m 
Ordenada al 
origen 
0=b 


D= ( )+∞∞− , R= ( )+∞∞− , 

 
 
 
1−=y Pendiente 0=m Ordenada al 
origen 
1−=b 


D= ( )+∞∞− , R= ( )+∞∞− , 

 
 
 
 
Tabla
8.
Ejemplo
de
funciones
lineales.



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
210-1-2
5
2.5
0
-2.5
-5
X
Y
-2x
210-1-2
3
2
10
-1
-2
-3
X
Y
-1


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o
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recuperación
de
 la
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Función
cuadrática

 
 
Una función cuadrática es una función de segundo grado que al graficarse se representa por una parábola hacia 
arriba o hacia abajo. 
 
Su forma matemática es: 
 
cbxaxy ++= 2 o cbxaxxf ++= 2)( 
 
 
Donde 
 
 El valor de a (coeficiente del término cuadrático) indica la concavidad de la parábola. 
 c (término constante) es la ordenada al origen que representa el punto de intersección con el eje de las "" y . 
 
 
 
Con respecto al valor de a (coeficiente del término cuadrático) se pueden tener dos casos: 
 
Coeficiente del 
término 
cuadrático 
a 
 
 
Gráfica 
 
Observación 
 
 
El valor de a 
positivo 
0>a 
 
Ejemplo: 
442 ++= xxy 
 
 
 
a) Si el valor del 
coeficiente 
cuadrático a es 
positivo, se forma 
una parábola que 
abre hacia arriba. 
Cóncava hacia 
arriba 
b) La intersección con 
el eje de las y, es 
igual a 4 
c) La intersección con 
el eje de las x, son 
las soluciones o 
ceros de la 
ecuación 
 En este caso 
2−=x con 
 2=dadmultiplici 
 


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o
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Guanajuato.

El valor de a 
negativo 
0<a 
 
Ejemplo: 
442 ++−= xxy 
 
 
a) Si el valor del 
coeficiente 
cuadrático a 
es negativo, se 
forma una 
parábola que 
abre hacia 
abajo. 
Cóncava 
hacia abajo 
b) La intersección 
con el eje de 
las y, es igual 
a 4 
c) La intersección 
con el eje de 
las x, son las 
soluciones o 
ceros de la 
ecuación 
 
 En este caso: 
82.01 −=x y 
82.42 =x 
Tabla
9.
Tipos
de
casos
de
coeficiente
del
término
cuadrático
de
la
función
cuadrática.

 
 
El vértice en una función cuadrática indica el punto máximo o punto mínimo en una gráfica y éste puede ser 
calculado por medio de la siguiente fórmula: 
 











 −−=
a
bf
a
bV
2
,
2




Así, para los ejemplos anteriores se puede calcular el vértice: 
 
 
 
Pasos 
Ejemplo 1 
 
44)( 2 ++== xxxfy 
 
Ejemplo 2 
 
44)( 2 ++−== xxxfy 
Se determinan los 
valores de 
=== cba ,, 
 
4,4,1 === cba 
 
 
 
4,4,1 ==−= cba 
 
 


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Como el vértice es una 
coordenada: 











 −−=
a
bf
a
bV
2
,
2


Determina los valores 
de la coordenada 
sustituyendo los 
valores de los 
coeficientes de la 
función 
 
Para obtener los valores de la 
coordenada en x : 
2
2
4
)1(2
4
2
−=
−
=
−
=
−
a
b




Para obtener los valores de la 
coordenada en y , se sustituye el valor 
encontrado en la función: 
 
( ) ( ) 4242)2(
2
2 +−+−=−=




 − f
a
bf 

 
0484)2( =+−=−f 
Para obtener los valores de la 
coordenada en x : 
2
2
4
)1(2
4
2
=
−
−
=
−
−
=
−
a
b




Para obtener los valores de la 
coordenada en y , se sustituye el 
valor encontrado en la función: 
 
( ) ( ) 4242)2(
2
2 ++−==




 − f
a
bf 

 
8484)2( =++−=f 

 
 
 
 
Las coordenadas del 
vértice representan el 
punto máximo si 
0>a y el punto 
mínimo si 0<a 


 
Por lo tanto, la coordenada del vértice 
es: 
 
)0,2(−V 
El cual se puede observar en la gráfica 
como el punto mínimo: 
 
 
 
 
Por lo tanto, la coordenada del vértice 
es: 
 
)8,2(V 
El cual se puede observar en la 
gráfica como el punto máximo: 
 
Tabla
10.
Cálculo
del
vértice
para
los
ejemplos
anteriores.

 
 
 El dominio en cualquier función cuadrática puede tomar valores desde ∞− hasta ∞+ , ya que son los valores 
que toma la variable independiente. 
 
En cuanto a los valores de la variable dependiente se toman como base dos situaciones: la concavidad, es decir, 
si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, el vértice indica el punto mínimo o máximo de la parábola. 
 
 


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Para 0>a 
 
Dominio= ),( +∞−∞ 
Rango= [ )∞,vértice 
 
Para

 0<a 



Dominio= ( )+∞∞− , 
Rango= ( ]vértice,∞− 
 
 
 
44)( 2 ++== xxxfy 
 
Dominio= ),( +∞−∞ 
Rango=[ )∞,0 
 
 
 




44)( 2 ++−== xxxfy 
 
Dominio= ( )+∞∞− , 
Rango= ( ]8,∞− 
 
Tabla
11.
El
vértice
indica
el
punto
mínimo
o
máximo
de
la
parábola.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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Función
cúbica
o
de
cuarto
grado

 
 Una función cúbica, o de cuarto grado, se representa matemáticamente como: 
 
 
01
2
2
1
1 .......)( axaxaxaxaxf
n
n
n
n
n
n ++++=
−
−
−
− 
 
Donde 
 n Representa el grado de la ecuación. 
 oa La intersección con el eje de las "" y . 
 
En la actividad anterior resolviste ecuaciones de tercer y cuarto grado y conociste que las soluciones de las 
ecuaciones son las intersecciones con el eje de las x , cuando las raíces son reales y la intersección con el eje 
de las y , está dado por el término independiente. 
 
El dominio de cualquier función polinomial será de ),( +∞−∞ , esto incluye a las funciones de tercer y cuarto 
grado, sin embargo, con respecto al rango las funciones cúbicas o de tercer grado, el rango será de ),( +∞−∞ y 
el rango de las funciones de cuarto grado dependen de la gráfica, ya que si existe un punto máximo o un punto 
mínimo, en ella se tienen que especificar los valores permitidos de la variable dependiente. 
 
 Ve algunos ejemplos de funciones de tercer y cuarto grado. 
Función de tercer grado 
64)( 23 ++−= xxxxf 
Función de cuarto grado 
xxxxxf 863)( 234 +−−= 
 
 
 
Dominio= ),( +∞−∞ 
Rango= ),( +∞−∞ 
 






Dominio= ),( +∞−∞ 
Rango= [ )+∞− ,30 
Tabla
12.
Ejemplos
de
funciones
de
tercer
y
cuarto
grado.



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Función

exponencial

y
logarítmica



 
 Una función exponencial se reconocecuando existe una constante elevada a una variable: 
 
kbxfy x +== )( 
 
 
Donde 
 b Representa la base de la función exponencial (constante). 
 x Representa el exponente (variable independiente). 
 k Representa el movimiento vertical. 
 
 
Para valores de b, mayores que cero 0>b , la función es creciente, es decir, a medida que la variable 
independiente (valor
 de
 x) va tomando valores, los valores de la variable independiente (valores
 de
 y) van 
aumentando. 
 
Para valores de b, entre cero y uno 10 << b , la función es decreciente, es decir, a medida que la variable 
independiente (valor
 de
 x) va tomando valores, los valores de la variable independiente (valores
 de
 y) van 
disminuyendo. 
 
 
En una función exponencial la variable independiente puede tomar cualquier valor, es por ello que el dominio es 
de ( )+∞∞− , y el rango depende de donde se encuentre el valor de k , en donde se dibuja una línea horizontal 
imaginaria llamada asíntota horizontal. 
 
 
 Ve algunos ejemplos: 
 
Ejemplo 
 
Gráfica Observaciones 
 
 
 
Para K=0
y
b>0

 
 
 
xxfy 2)( == 


 
 
a) La función es 
creciente 
 
b) Hay una asíntota 
horizontal en 0=y 
 
c) El dominio de la 
función es ),( +∞−∞ 
 
d) El rango de la función 
[ )+∞,0 
 
 


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Para K>0
y
b>0

 
32)( +== xxfy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) La función es 
creciente 
 
b) Hay una asíntota 
horizontal en 3=y 
 
c) El dominio de la 
función es ),( +∞−∞ 
 
d) El rango de la función 
[ )+∞,3 
 
 
 
 
Para K<0
 y

0<b<1

 
 
3
2
1)( −




==
x
xfy 
 
 
a) La función es 
decreciente 
 
b) Hay una asíntota 
horizontal en 3−=y 
 
c) El dominio de la 
función es ),( +∞−∞ 
 
d) El rango de la función 
[ )+∞− ,3 
 
Tabla
13.
Ejemplos
de
funciones
exponenciales.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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Una función logarítmica se puede expresar matemáticamente como: 
 
 
khxxfy b +−== )(log)( 
Donde 
 b Es la base del logaritmo. 
 x Es la variable independiente. 
 h Proporciona el movimiento horizontal. 
 k Proporciona el movimiento vertical. 
 
El rango en una función logarítmica puede ir de ∞− a +∞ 
 
La función tiene una línea imaginaria llamada asíntota vertical en hy = de donde parte la función logarítmica. 
 
Si 0>b la función es creciente, es decir, a medida que la variable independiente (valor
 de
 x) va tomando 
valores, los valores de la variable independiente (valores
de
y) van aumentando. 
 
Para valores de b, entre cero y uno 10 << b , la función es decreciente, es decir, a medida que la variable 
independiente (valor
 de
 x) va tomando valores, los valores de la variable independiente (valores
 de
 y) van 
disminuyendo. 
 
 
 Ve algunos ejemplos: 
 
Ejemplo 
 
Gráfica Observaciones 
 
 
 
Para 
 K=0,
h=0
y
b>0

 
 
 
)(log)( 10 xxfy == 


 
 
a) La función es 
creciente 
 
b) Hay una 
asíntota vertical 
en 0=x 
 
c) El dominio de 
la función es 
[ )+∞,0 
 
d) El rango de la 
función ),( +∞−∞ 
 
 


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Para 
 K=0,
h=3
y
b>0

 
 
 
)3(log)( 10 −== xxfy 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) La función es 
creciente 
 
b) Hay una 
asíntota vertical 
en 3=x 
 
c) El dominio de 
la función es 
[ )+∞,3 
 
d) El rango de la 
función ),( +∞−∞ 
 
 
Para 
 K=0,
h=
-3
y
b
<
0

 
 
 
)3(log)( 5.0 +== xxfy 
 
 
 
 
a) La función es 
decreciente 
 
b) Hay una 
asíntota vertical 
en 3−=x 
 
c) El dominio de 
la función es 
[ )+∞− ,3 
 
d) El rango de la 
función 
),( +∞−∞ 
Tabla 13. Ejemplos de funciones logarítmicas. 
 
 
 


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 incluyendo
el
 fotocopiado,
 la
 fotografía,
 la
grabación
o
un
sistema
de
recuperación
de
 la
 información,
sin
 la
autorización
por

escrito
de
la
Universidad
Virtual
del
Estado
de
Guanajuato.

 
 
Funciones
trigonométricas

(seno,
coseno
y
tangente)

 
 
Las funciones trigonométricas más comunes son las siguientes: 
 
 
Función Forma matemática Donde 
 
Seno 
 
khxasenxf +−= )()( 
 
a Es la amplitud que es la distancia del 
eje de referencia al punto máximo o al 
punto mínimo. 
h Representa el corrimiento horizontal. 
k Representa el corrimiento vertical. 
 
Coseno 
 
khxaxf +−= )cos()( 
 
Tangente 
 
khxxf +−= )tan()( 
Tabla 15. Funciones trigonométricas. 
 
 
 
 
 
 Ve algunos ejemplos en las siguientes gráficas: 
 
 
 
 
Ejemplo Gráfica Observaciones 
 
 
 
 
Para 
001 === kha 
 
 
)()( xsenxf = 
 
 
 
 a) La amplitud es igual 
a uno, ya que la distancia 
que hay del eje de las x al 
punto máximo o al 
mínimo es uno 
 
b) No hay corrimiento 
horizontal, ni vertical 
 
 
c) El dominio de la 
función es: ),( +∞−∞ 
 
d) El rango de la función 
[ ]1,1− 


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 totalmente,
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cualquier
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método
o

sistema
 impreso,
electrónico,
magnético,
 incluyendo
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Para 
22 === kha π 
 
 
2)(2)( +−= πxsenxf 
 
 
 
a) La amplitud es igual a 
dos, ya que la distancia 
que hay del eje de 
referencia al punto 
máximo o al mínimo es 
dos 
 
b) Hay un corrimiento 
hacia la derecha de π 
 
Y la gráfica subió dos 
unidades 
 
 
c) El dominio de la 
función es ),( +∞−∞ 
 
d) El rango de la función 
[ ]4,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 
001 === kha 
 
 
)cos()( xxf = 
 
 
 
 
a) La amplitud es igual a 
uno, ya que la distancia 
que hay del eje de las x al 
punto máximo o al 
mínimo es uno 
 
b) No hay corrimiento 
horizontal, ni vertical 
 
 
c) El dominio de la 
función es ),( +∞−∞ 
 
d) El rango de la función 
[ ]1,1− 
Para 
23 −=== kha π 
 
 
2)(3)( −+= πxsenxf 
 
 
a) La amplitud es igual a 
tres, ya que la distancia 
que hay del eje de 
referencia al punto 
máximo o al mínimo es 
tres 
 
b) Hay un corrimiento 
hacia la izquierda de π 


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Y la gráfica bajó dos 
unidades 
 
 
c) El dominio de la 
función es ),( +∞−∞ 
 
d) El rango de la función 
[ ]1,5− 
 
 
 
 
Para 
00 == kh 
 
 
)tan()( xxf = 
 
 
 
a) No hay corrimiento 
horizontal, ni vertical 
 
 
b) El dominio de la 
función es: 



∪


−
2
3,
22
,
2
ππππ
 
c) El rango de la función 
),( +∞−∞ 
Para 
2
2
== kh π 
 
 
2
2
tan)( +




 +=
πxxf 




 
 
a) Hay un corrimiento 
hacia la izquierda de 
2
π
 
 
Y la gráfica subió dos 
unidades 
 
 
b) El dominio de la 
función es: 
[ ] [ ]ππ ,00, ∪− 
 
c) El rango de la función 
),( +∞−∞ 


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Tabla
16.
Ejemplos
de
funciones
trigonométricas.

 
 
 
 
Como te diste cuenta, cada una de las funciones matemáticas tienen características particulares que es 
importante tengas en mente, ya que si se te presenta una gráfica puedes determinar cuál será su comportamiento 
y puedes predecir de qué tipo de función se trata. De la misma forma, si tienes una función matemática puedes 
tener noción de cómo será su gráfica y puedes tener una idea de cómo será su comportamiento. 
 
Te invito a que practiques la identificación de gráficas, así como de sus características principales en la sección de 
ejercicios, a fin de que después puedas hacer tu tarea en forma correcta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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Referencias

HBeuchot
M.
(1995).
Aristas
de
la
filosofía
medieval.
Barcelona:
Promociones
y

Publicaciones
Universitarias,
pp
67-82.


Verneaux
R.
(1981).
Filosofía
del
hombre.
Barcelona:
Editorial
Herder,
pp
174-199.




Referencia
de
imagen

Wikimedia.
(2007).
Fetus
proposal.svg.
Recuperada
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http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fetus_proposal.svg

(Imagen

publicada
bajo
licencia
de
Dominio
público,
de
acuerdo
a:

http://es.wikipedia.org/wiki/Public_domain
).




Bibliografía

Angel,
A.
R.
(2004).
Álgebra
intermedia.
México:
Prentice
Hall.

Baldor,
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(1988).
Álgebra.
México:
Publicaciones
Cultural.

Barnett,
R.,
Ziegler,
M.
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Byleen,
K.
(2000).
Álgebra.
México:
McGraw-Hill

Bello,
I.
(1999).
Álgebra
elemental.
México:
Internacional
Thomson
Editores