ecuaciones cuadráticas

Vista previa del material en texto

FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
1 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
Ecuaciones cuadráticas 
 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado que tiene la siguiente forma canónica: 
 
02  cbxax 
 
Donde… 
 
Término Se le conoce como: 
2ax Término cuadrático 
bx Término lineal 
c Término constante 
 
Las constantes a y b son los coeficientes del término cuadrático y lineal, respectivamente. 
 
Una ecuación cuadrática puede prescindir del término lineal y/o del término constante; y seguirá siendo 
una ecuación cuadrática, por lo que la forma cambiaría a: 
 
02  cax o 0
2 bxax 
 
Con base en esto, observa los siguientes ejemplos de ecuaciones cuadráticas. 
 
 
Ejemplo de ecuación cuadrática 
 
 
Observaciones 
42 x Ecuación cuadrática incompleta, le falta el 
término lineal. 
xx 273 2  Ecuación cuadrática completa, tiene todos 
los términos. 
085 2  xx Ecuación cuadrática incompleta, le falta el 
término constante. 
052 2  x Ecuación cuadrática incompleta, le falta el 
término lineal. 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
2 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
2
3
7
3
4 2  xx Ecuación cuadrática completa, tiene todos 
los términos. 
0354 2  xx Ecuación cuadrática completa, tiene todos 
los términos. 
 
  xxx 342  
De inicio no se observa el término 
cuadrático, hasta que se realizan las 
operaciones. 
  xxx 342  
xxx 3422  
 
 
Encontrar la solución de una ecuación cuadrática, implica encontrar los valores de la ecuación que la 
hacen verdadera. Como verás en los siguientes ejemplos, una ecuación cuadrática, por lo general, tiene 
dos soluciones. Más adelante retomarás este punto que es muy importante en el análisis de las soluciones 
de una ecuación cuadrática. Empieza por analizar el primero de los ejemplos de ecuación cuadrática: 
42 x 
 
Los valores que hacen verdadera la ecuación pueden ser 2 y 2 , por lo tanto, la ecuación tiene dos 
soluciones Es decir, si sustituyes los valores en la ecuación ambas serán verdaderas. 
 
En 42 x sustituyendo 2x En 42 x sustituyendo 2x 
  42 2    42 2  
 
 
 
Observa que los valores encontrados son uno positivo y el 
otro negativo, ya que un número negativo multiplicado por 
sí mismo es positivo. 
 
 
Y la operación que se relaciona es la raíz cuadrada, de tal forma que si tienes una ecuación cuadrática 
que no tenga el factor lineal, se despeja la 
2x : 
cx 2 
 
Puedes determinar el valor de la variable por medio de las propiedades de la raíz. 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
3 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
cx 2 
 
cx  
 
Observa que el resultado de la raíz cuadrada siempre será un valor positivo y el otro negativo, ya que los 
dos valores hacen verdadera la ecuación. Veamos otros ejemplos. 
 
 
Ecuación cuadrática Solución 
 
 
 
252 x 
 
Aplicando las propiedades de la raíz: 
25x 
 
5x 
 
Por lo tanto, las soluciones son: 
 
51 x y 52 x 
072 x 
 
Despejando 
2x : 
72 x 
 
Aplicando las propiedades de la raíz 
7x 
 
Como la 7 no es exacta, las soluciones son: 
 
71 x y 72 x 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
4 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
0273 2 x 
Despejando 
2x : 
9
3
272 x 
Aplicando las propiedades de la raíz: 
9x 
 
Por lo tanto, las soluciones son: 
 
31 x y 32 x 
 
082 x 
 
Despejando 
2x : 
82 x 
 
Aplicando las propiedades de la raíz: 
8x 
 
Simplificando la raíz: 
22248 x 
 
Por lo tanto, las soluciones son: 
 
221 x y 222 x 
 
032 x 
 
Despejando 
2x : 
32 x 
 
Aplicando las propiedades de la raíz: 
3x 
 
Por lo tanto, las soluciones son: 
 
31 x y 32 x 
 
Observa que en éste, el resultado es la raíz de un número negativo, el 
cual es conocido como número imaginario. 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
5 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
Observa que en las ecuaciones cuadráticas se pueden tener soluciones reales y complejas. 
 
 
¿Recuerdas los números complejos? 
 
Los números reales son aquellos con los que has estado trabajando hasta el momento, sin embargo, 
pertenecen a un conjunto de números más grande: los números complejos. 
 
 
El conjunto de números complejos está formado por una parte real y una parte imaginaria. Estos 
números se representan de la siguiente manera: 
 
 
 
 Número real Número imaginario 
 
 bia 
 
El número imaginario que se representa por el término bi surge de la raíz cuadrada de un número 
negativo. 
n 
 
La raíz de un número negativo. utilizando las reglas de los radicales, se puede separar como el producto 
de dos raíces: 
 
1 nn 
 
Donde el factor 1 se le denomina con la letra i para indicar que es un número imaginario. 
 
 
innn  1 
 
Recordemos algunos ejemplos de números complejos 
 
 
Ejemplo de número complejo 
bia  
 
Observaciones 
 
 
 144 i2 
 
iimaginariaParterealParte 20  
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
6 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 
i34 
 
 
iimaginariaParterealParte 34  
 
 15353 i53 
 
 
iimaginariaParterealParte 53  
 
i32  
 
 
iimaginariaParterealParte 32  
 
 1254254 i54 
 
 
iimaginariaParterealParte 54  
 
 
Veamos algunos ejemplos donde el resultado de una cuadrática es un número imaginario: 
 
Ecuación cuadrática Solución 
162 x 
 
Aplicando las propiedades de la raíz: 
 
16xSimplificando: 
 
11616 x 
ix 4 
 
Por lo tanto, las soluciones son: 
 
ix 41  y ix 42  
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
7 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
022 x 
 
Despejando 
2x : 
 
22 x 
 
Aplicando las propiedades de la raíz: 
 
2x 
 
Simplificando: 
 
122 x 
 
ix 2 
 
Por lo tanto, las soluciones son: 
 
ix 21  y ix 22  
 
Nota: Toma en cuenta que i no está dentro del radical. 
 
0322 x 
 
Despejando 
2x : 
 
322 x 
 
Aplicando las propiedades de la raíz: 
 
32x 
 
Simplificando la raíz: 
 
ix 24121632  
 
Por lo tanto, las soluciones son: 
 
ix 241  y ix 242  
 
Nota: Toma en cuenta que i no está dentro del radical. 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
8 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
0205 2 x 
Despejando 
2x : 
 
4
5
202 

x 
 
Aplicando las propiedades de la raíz: 
 
4x 
 
Simplificando la raíz: 
 
ix 2144  
 
Por lo tanto, las soluciones son: 
 
ix 21  y ix 22  
 
Hasta el momento solamente has resuelto ecuaciones de la forma 02  cax , es decir, donde el término 
lineal no aparece y es sencillo despejar el término cuadrático. 
 
 
 
¿Cómo resolverás las ecuaciones que tienen la forma 
02  bxax y 02  cbxax ? 
 
 
 
Para estos casos, se utilizan otros métodos de solución. En este curso analizarás dos métodos: 
 
 
a) Por factorización 
 
b) Por fórmula 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
9 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 
a) Solución de ecuaciones cuadráticas por 
factorización 
 
Comencemos con las ecuaciones cuadráticas de la forma 
02 bxax , es decir, cuando no existe el término 
constante. 
 
Observa que la variable, en este caso «x», se puede 
factorizar como factor común y se utiliza la propiedad del 
factor nulo que dice que cualquier número multiplicado 
por cero es igual a cero para determinar las soluciones 
de la ecuación, resolviendo como dos ecuaciones lineales. 
 
 
 
Sigue algunos ejemplos. 
 
 
Ejemplo 1 
 
Resuelve la ecuación 0255 2  xx . 
 
Solución: 
 
Se determina el máximo factor común, para este caso x5 . 
 
Se factoriza por factor común: 
 
0)5(5 xx 
 
Se igualan los dos factores a cero y se resuelven para encontrar las soluciones. 
 
05 x 
 
Despejando: 
 
0
5
0
x 
 
 
05 x 
 
Despejando: 
 
5x 
 
Las soluciones de la ecuación son: 
01 x y 52 x 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
10 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación. 
 
0255 2  xx 
Con 01 x 
00
000
0)0(25)0(5 2



 
0255 2  xx 
Con 52 x 
00
07575
0)5(25)5(5 2



 
 
 
Ejemplo 2 
 
Resuelve la ecuación xx 54 2  . 
 
Solución: 
 
Se acomoda la ecuación de la forma 02  bxax : 
 
xx 54 2  
054 2  xx 
 
Se determina el máximo factor común, para este caso x : 
 
Se factoriza por factor común: 
 
0)54( xx 
 
Se igualan los dos factores a cero y se resuelven para encontrar las soluciones: 
 
 
 
0x 
 
 
 
054 x 
 
Despejando 
 
4
5
x 
 
 
Las soluciones de la ecuación son: 
 
01 x y 
4
5
2 x 
 
Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación. 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
11 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
054 2  xx 
Con 01 x 
0)0(5)0(4 2  
000  
00  
 
 
054 2  xx 
Con 
4
5
2 x 
0
4
5
5
4
5
4
2





 





 
 
 
0
4
25
4
25
 
00  
 
 
 
Ejemplo 3 
 
Resuelve la ecuación 0156 2  xx . 
 
Solución: 
 
 
Se determina el máximo factor común, para este caso x3 . 
 
Se factoriza por factor común. 
 
0)52(3 xx 
 
Se igualan los dos factores a cero y se resuelven para encontrar las soluciones: 
 
03 x 
 
Despejando 
 
0
3
0
x 
 
 
052 x 
 
Despejando 
 
2
5
x 
 
 
 
Las soluciones de la ecuación son: 
 
01 x y 
2
5
2 x 
 
Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación. 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
12 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 
0156 2  xx 
Con 01 x 
0)0(15)0(6 2  
 
000  
00  
 
0156 2  xx 
Con 
2
5
2 x 
 
0
2
5
15
2
5
6
2












 
0
2
75
2
75
 
00  
 
Como pudiste darte cuenta en los ejemplos anteriores, siempre que falte el término constante en las 
ecuaciones cuadráticas, puedes factorizar por factor común e igualar cada uno de los factores a cero, 
para después despejar cada una de las ecuaciones resultantes y determinar la solución. 
 
En el caso que tengas una ecuación cuadrática de la forma 02  cbxax , que puedas factorizar, podrás 
resolverla realizando la factorización e igualando cada uno de los factores a cero. 
 
Recuerda esto con ayuda de un ejemplo. 
 
Factorizar 158 2  xx 
 
Primero asegúrate que se encuentre en orden descendente (término cuadrático, término lineal, término 
constante). 
1582  xx 
 
 
 
1) Encuentra dos números 
que multiplicados den el 
primer término incluyendo 
el signo, en este caso: 
   2xxx  
 
 
2) Encuentra dos números 
que multiplicados, den el 
tercer término, para este 
caso: 15)3)(5(  
 
3) Y al multiplicarse en 
cruz la suma de los 
términos debe dar el 
segundo término 
incluyendo el signo, para 
este caso: xxx 835  
 
 
Los factores se tomarán en horizontal 
 
FEC-03-_M2AA1L2_CuadraticasVersión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
13 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 
Por lo tanto, la factorización será: 
 
)3)(5(1582  xxxx 
 
 
Recuerda que puedes comprobar el resultado de una 
factorización realizando la multiplicación de los dos 
factores. 
 
 
 
 
 
 
Si utilizas este mismo ejemplo para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática 
0158 2  xx 
 
Partirás del hecho que la ecuación se puede factorizar como: 
)3)(5(1582  xxxx 
 
Y utilizando la propiedad del factor nulo, igualarás cada uno de los factores a cero para encontrar 
las soluciones de la ecuación cuadrática. 
 
05 x 
 
Despejando 
 
5x 
 
03 x 
 
Despejando 
 
3x 
 
Las soluciones de la ecuación son: 
 
51 x y 32 x 
 
Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación. 
 
 
1581535)3)(5( 22  xxxxxxx
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
14 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
0158 2  xx 
Con 51 x 
015)5()5(8 2  
0152540  
 
00  
 
 
0158 2  xx 
Con 32 x 
 
015)3()3(8 2  
015924  
00  
 
Ejemplo 2: 
 
Resuelve la ecuación 021102  xx . 
 
 
 
 
Recuerda que al multiplicarse en cruz, la suma de los 
términos debe dar el término lineal incluyendo el signo, 
para este caso xxx 1037  . 
 
 
 
Por lo tanto, los factores son:   3721102  xxxx 
 
Igualando los dos factores a cero: 
 
07 x 
 
Despejando 
 
7x 
 
03 x 
 
Despejando 
 
3x 
 
 
 
Las soluciones de la ecuación son: 
 
71 x y 32 x 
 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
15 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación. 
 
 
021102  xx 
 
Con 71 x 
021)7(10)7( 2  
0217049  
 
00  
 
 
021102  xx 
Con 32 x 
 
021)3(10)3( 2  
021309  
 
00  
 
 
Ejemplo 3: 
 
Resuelve la ecuación 0962  xx . 
 
 
 
 
Recuerda que al multiplicarse en cruz, la suma de los 
términos debe dar el término lineal incluyendo el signo, 
para este caso xxx 633  . 
 
 
 
Por lo tanto, los factores son:   33962  xxxx 
 
Igualando los dos factores a cero: 
 
03 x 
 
Despejando: 
 
3x 
 
03 x 
 
Despejando: 
 
3x 
 
 
Las soluciones de la ecuación son: 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
16 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
31 x y 32 x 
 
Observa que en este caso las dos soluciones son iguales. 
 
Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación, en este caso, con que 
compruebes una es suficiente. 
 
 
0962  xx 
Con 321  xx 
 
    09363 2  
09189  
 
00  
 
Ejemplo 4: 
 
Resuelve la ecuación 0376 2  xx . 
 
 
 
 
Recuerda que al multiplicarse en cruz, la suma de los 
términos debe dar el término lineal incluyendo el signo, 
para este caso xxx 729  . 
 
 
Por lo tanto, los factores son:   1332376 2  xxxx 
 
Igualando los dos factores a cero: 
 
032 x 
 
Despejando: 
 
2
3
x 
013 x 
 
Despejando: 
 
3
1
x 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
17 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
Las soluciones de la ecuación son: 
 
2
3
1

x y 
3
1
2 x 
 
Se pueden comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación: 
 
 
0376 2  xx 
 
Con 
2
3
1

x 
 
03
2
3
7
2
3
6
2





 





 
 
 
0
4
124254
03
2
21
4
54



 
00  
 
 
0376 2  xx 
 
Con 
3
1
2 x 
 
03
3
1
7
3
1
6
2












 
 
03
3
7
9
6
 
0
9
27216


 
 
00  
 
Ejemplo 5: 
 
Resuelve la ecuación 04113 2  xx . 
 
 
 
 
 
Recuerda que al multiplicarse en cruz, la suma de los 
términos debe dar el término lineal, incluyendo el signo, 
para este caso xxx 1112  . 
 
 
Por lo tanto, los factores son:   1344113 2  xxxx 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
18 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
Igualando los dos factores a cero: 
 
04 x 
 
Despejando: 
 
4x 
013 x 
 
Despejando: 
 
3
1
x 
 
Las soluciones de la ecuación son: 
 
41 x y 
3
1
2 x 
 
Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación: 
 
04113 2  xx 
 
Con 41 x 
 
    0441143 2  
 
044448  
00  
 
04113 2  xx 
 
Con 
3
1
2 x 
04
3
1
11
3
1
3
2












 
 
 
04
3
11
9
3
 
0
3
36333


 
 
00  
 
Como pudiste darte cuenta, la factorización por factor común te permite encontrar las soluciones de 
ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma 02  bxax , es decir, aquellas que no tienen el término 
constante, y las ecuaciones cuadráticas completas de la forma 0
2  cbxax se pueden resolver 
mediante el método de factorización de prueba y error. Es importante señalar que no todas las ecuaciones 
cuadráticas se pueden factorizar; este tipo de ecuaciones las puedes resolver aplicando una fórmula que 
se estudiarás a continuación. 
 
 
 
b) Solución de ecuaciones cuadráticas por medio de fórmula. 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
19 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escritode la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
La fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas surge de la solución 
de ecuaciones por el método de completar el cuadrado, que no 
revisaremos en este momento. Sin embargo, utilizaremos la fórmula 
que obtenida a partir de este procedimiento. 
 
 
A continuación te presento la deducción de la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Cabe señalar 
que si te propones y sigues los pasos para la solución a cualquiera de las ecuaciones cuadráticas, estarás 
practicando el método de completar cuadrados. 
 
Pasos 
Obtención de la fórmula para resolver 
ecuaciones cuadráticas 
1) Se acomoda la ecuación cuadrática en 
su forma general. 
 
02  cbxax 
2) Para asegurar que el término 
cuadrático tenga coeficiente 1, se divide 
toda la ecuación entre a (el coeficiente 
del término cuadrático). 
 
aa
c
a
bx
a
ax 02
 
 
02 
a
c
a
bx
x 
3) El término constante se pasa para el 
otro lado de la ecuación. 
02 
a
c
a
bx
x 
 
a
c
a
bx
x 2 
 
4) Para completar un cuadrado perfecto 
se suma de los dos lados de la ecuación 
el término 
2
2






a
b
 
22
2
22













a
b
a
c
a
b
a
bx
x 
5) Como del lado izquierdo se tiene un 
trinomio cuadrado perfecto, éste se 
puede factorizar como un binomio al 
cuadrado. 
 
a
c
a
b
a
b
x 






2
22
42
 
6) Sacando raíz cuadrada de los dos 
lados de la ecuación y realizando la resta 
del lado derecho. 
 
a
c
a
b
a
b
x 






2
22
42
 
 
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x

 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
20 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
7) Se despeja el valor de x . 
 
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x

 
 
 
8) El denominador de la raíz tienen raíz 
cuadrada exacta y se realiza la suma de 
fracciones. 
 
a
acbb
x
2
42 
 
 
La fórmula para la solución de 
una ecuación cuadrática 02  cbxax es: 
 
 
a
acbb
x
2
42 
 
 
En donde: 
a es el coeficiente del término 
2ax 
b es el coeficiente del término lineal bx 
c es el término constante 
 
 
 
En la fórmula 
a
acbb
x
2
42 
 , a la expresión acb 42  se le denomina discriminante y dependiendo 
del valor de esta expresión, se puede predecir el tipo de soluciones que podemos obtener. 
 
Recuerda que al inicio de los ejemplos se mencionó que una ecuación cuadrática tiene, por lo general, dos 
soluciones. Analiza el siguiente cuadro: 
 
Discriminante La ecuación cuadrática tiene 
Si 04
2  acb (valor positivo) 
 
Dos soluciones reales diferentes. 
Si 04
2  acb 
 
Una solución real, es decir los dos valores serán iguales. 
Si 04
2  acb (valor negativo) 
 
Dos soluciones complejas distintas. 
 
 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
21 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 
Recuerda que una ecuación cuadrática puede ser: 
 
1. Completa, si se encuentra en la forma 02  cbxax 
2. Incompleta, si se encuentra en la forma 02  bxax o
02  cax . 
 
La ventaja que tiene la aplicación de esta fórmula es que 
puede encontrar la solución de cualquier tipo de ecuación 
cuadrática. 
 
 
Toma en cuenta que la fórmula entrega dos valores: 
 
Fórmula para encontrar las soluciones de ecuaciones cuadráticas 
a
acbb
x
2
42 
 
a
acbb
x
2
42
1

 
a
acbb
x
2
42
2

 
 
Veamos algunos ejemplos. 
 
Ejemplo 1: 
 
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: 
 03522  xx 
 
Primero se determinan los valores de las constantes cyba , tomando siempre en cuenta el 
signo: 
 
352,1  cyba 
 
Estos valores se sustituyen en la fórmula, y se realizan las operaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
22 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
a
acbb
x
2
42
1

 
 
 
a
acbb
x
2
42
2

 
 
      
 12
351422
2
1

x 
 
2
1442
2
14042
1



x 
 
 
7
2
14
2
122
1 

x 
 
71 x 
 
 
      
 12
351422
2
2

x 
 
2
1442
2
14042
2



x 
 
5
2
10
2
122
2 



x 
 
52 x 
 
Las soluciones de la ecuación son 71 x y 52 x . 
 
 
Observa que el valor del discriminante es 144, un valor positivo, es por ello, que se obtuvieron 
dos soluciones reales diferentes. 
 
Ejemplo 2: 
 
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: 
06112 2  xx 
 
Primero se determinan los valores de las constantes cyba, , tomando siempre en cuenta el 
signo: 
 
611,2  cyba 
 
Estos valores se sustituyen en la fórmula y se realizan las operaciones 
 
 
 
a
acbb
x
2
42
1

 
 
 
a
acbb
x
2
42
2

 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
23 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
      
 22
6241111
2
1

x 
 
4
16911
4
4812111
1



x 
 
 
6
4
24
4
1311
1 

x 
 
61 x 
 
 
 
 
      
 22
6241111
2
2

x 
 
4
16911
4
4812111
2



x 
 
 
2
1
4
2
4
1311
2 



x 
 
2
1
2 x 
 
Las soluciones de las ecuaciones son 61 x y 
2
1
2 x . 
 
Observa que el valor del discriminante es 169, un valor positivo, es por ello que se obtuvieron 
dos soluciones reales diferentes. 
 
Ejemplo 3: 
 
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: 
084 2  xx 
 
Al determinar los valores de las constantes cyba , se observa que la ecuación está 
incompleta, es decir, el valor de 0c ya que no aparece en la ecuación. 
 
08,4  cyba 
 
Estos valores se sustituyen en la fórmula y se realizan las operaciones: 
 
 
a
acbb
x
2
42
1

 
 
 
 
a
acbb
x
2
42
2

 
 
      
 42
04488
2
1

x 
 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
24 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
8
648
8
0648
1



x 
 
 
0
8
0
8
88
1 

x 
 
 
01 x 
 
 
      
 42
04488
2
2

x 
 
8
648
8
0648
2



x2
8
16
8
88
2 



x 
 
22 x 
 
 
 
Las soluciones de las ecuaciones son 01 x y 22 x . 
 
Observa que el valor del discriminante es 64, un valor positivo, es por ello que se obtuvieron dos 
soluciones reales diferentes. 
 
 
Ejemplo 4: 
 
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: 
0142 2 x 
 
Al determinar los valores de las constantes cyba, , se observa que la ecuación está 
incompleta porque 0b , es decir, no aparece en la ecuación. 
 
140,2  cyba 
 
Estos valores se sustituyen en la fórmula y se realizan las operaciones: 
 
 
a
acbb
x
2
42
1

 
 
 
a
acbb
x
2
42
2

 
 
      
 22
142400
2
1

x 
 
 
      
 22
142400
2
2

x 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
25 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
4
1120
4
11200
1



x 
 
Determinando los factores primos de 
72112 4  para simplificar la raíz: 
 
i
iii
x 7
4
74
4
72
4
720 24
1 

 
 
 
ix 71  
 
4
1120
4
11200
2



x 
 
Determinando los factores primos de 
72112 4  para simplificar la raíz: 
 
i
iii
x 7
4
74
4
72
4
720 24
2 

 
 
 
ix 72  
 
 
Las soluciones de las ecuaciones son ix 71  y ix 72  . 
 
Observa que al ser el valor del discriminante un valor negativo (-112), se obtienen dos 
soluciones complejas diferentes. 
 
 
Ejemplo 5: 
 
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: 
 
0632 2  xx 
 
Primero se determinan los valores de las constantes cyba , tomando siempre en cuenta el 
signo. 
 
63,2  cyba 
 
Estos valores se sustituyen en la fórmula y se realizan las operaciones 
 
 
a
acbb
x
2
42
1

 
 
 
a
acbb
x
2
42
2

 
 
      
 22
62433
2
1

x 
 
 
      
 22
62433
2
2

x 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
26 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
4
393
4
4893
1



x 
 
4
393
1
i
x

 
4
393
4
4893
2



x 
 
4
393
2
i
x

 
 
Las soluciones de la ecuación son 
4
393
1
i
x

 y 
4
393
2
i
x

 . 
 
Observa que al ser el valor del discriminante un valor negativo (-39), se obtienen dos soluciones 
complejas diferentes. 
 
Como puedes darte cuenta en los ejemplos anteriores, cualquier tipo de ecuación cuadrática puede ser 
resuelta por la fórmula, sin embargo, hay algunas ecuaciones que son más sencillas realizarlas por 
factorización. 
 
De cualquier forma, el método que decidas escoger será correcto si respetas las leyes de los signos y 
propiedades de la igualdad. 
 
Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas 
 
Existen ecuaciones que a primera vista no parecen ser cuadráticas, sin embargo, cuando se realiza la 
simplificación queda como resultado una ecuación de segundo grado que puede ser resuelta por 
factorización o por fórmula. 
 
Veamos algunos ejemplos. 
 
 
Ejemplo 1: 
 
Resuelve la siguiente ecuación: 
 
     03532  xxx 
 
Comenzamos realizando las operaciones: 
 
     03532  xxx 
 
Se multiplican los factores: 
 
    051562  xxx 
 
 Se quitan paréntesis: 
 05156
2  xxx 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
27 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 Se suman términos semejantes y se acomoda la ecuación en forma descendente: 
 
 0962  xx 
 
Se obtiene una ecuación cuadrática, la cual se puede resolver por factorización o por fórmula:
 
 
 
 
Recuerda que al multiplicarse en cruz, la suma de los 
términos debe dar el término lineal incluyendo el signo, 
para este caso xxx 633  . 
 
 
Por lo tanto, los factores son:   33962  xxxx 
 
Igualando los dos factores a cero: 
 
03 x 
 
Despejando: 
 
3x 
 
03 x 
 
Despejando: 
 
3x 
 
 
Las soluciones de la ecuación son: 31 x y 32 x 
 
Como puedes observar, en este caso las dos respuestas son iguales y se puede comprobar la 
respuesta sustituyendo los valores de la ecuación. 
 
Sustituyendo el valor de 321  xx en      03532  xxx 
 
     03353323  
      00505  
 000  
 00  
 
Se comprueba que sólo existe una solución para el ejercicio propuesto. 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
28 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
Ejemplo 2: 
 
Resuelve la siguiente ecuación: 
 
1
1
1
1
1


 xx
 
 
Comenzamos por determinar el mínimo común denominador, para este caso, el 
  11..  xxdcm 
 
Se multiplica ambos lados de la ecuación por el   11..  xxdcm 
 
      















1
1
111
1
1
11
x
xx
x
xx 
 
 Se multiplica cada uno de los términos: 
 
  
   
  
1
11
111
1
11





x
xx
xx
x
xx
 
 
 
 
       11111  xxxx 
 
 
Se realizan operaciones 
 
     1111 2  xxx 
 
111 2  xxx 
 
 
 Acomodando términos de un sólo lado de la ecuación e igualando a cero: 
 
 0111
2  xxx 
 01
2  x 
 
Se obtiene una ecuación cuadrática, la cual se puede resolver despejando, factorizando o por 
fórmula. 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
29 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
En este caso, despejemos la ecuación: 
 
012  x 
 
 1
1
12 

x 
 
 1x Es decir: ix  
 
Las soluciones de la ecuación son: ix 1 y ix 2 
 
Como puedes observar, en este caso las respuestas son números imaginarios y se pueden 
comprobar si se sustituye en la ecuación cuadrática. 
 
 
012  x 
 
Con ix  11 
  011 2  
  011 2
2
 
  011  
011  
00  
012  x 
 
Con ix  12 
  011 2  
    0111  
   011 22  
  011  
011  
00  
 
Ejemplo 3: 
 
Resuelve la siguiente ecuación: 
 
056  xx 
 
Comenzamos por pasar el término que no contiene la raíz del otro lado de la ecuación: 
 
056  xxxx 56 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
30 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
Elevamos los dos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar la raíz: 
 
   2256 xx  
  22
2
56 xx  
256 xx  
 
Se acomodan de un mismo lado de la ecuación en orden descendente. 
 
0562  xx 
 
Para resolver la ecuación por fórmula, comenzamos por determinar los valores de las constantes
cyba , en este caso: 56,1  cyba 
 
Sustituimos los valores en la fórmula: 
 
 
a
acbb
x
2
42
1

 
 
 
a
acbb
x
2
42
2

 
 
 
 
      
 12
51466
2
1

x 
 
2
166
2
20366
1



x 
 
 
5
2
10
2
46
1 

x 
51 x 
 
 
 
 
 
      
 12
51466
2
2

x 
 
2
166
2
20366
2



x 
 
 
1
2
2
2
46
2 

x 
12 x 
 
 
Las soluciones de las ecuaciones son 51 x y 12 x . 
 
 
 
Así como hay ecuaciones que después de hacer 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
31 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
simplificaciones resultan en una ecuación cuadrática, 
también existen problemas de aplicación, los cuales 
pueden resolverse solamente por medio de una ecuación 
cuadrática. 
 
 
Veamos algunos ejemplos. 
 
Ejemplo 4: 
 
Calcula las dimensiones de un terreno rectangular que de largo mide 17 metros más que su ancho, 
tomando en cuenta que el área del terreno es de 348 metros cuadrados. 
 
Solución 
 
Comencemos por realizar un dibujo, donde se asignan las variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Largo = x+17 
 
Sabemos que área = largo x ancho. 
 
Sustituyendo los valores conocidos: 
 
Área= 
2348 m 
Largo= 17x 
Ancho = x 
 
   34817  xx 
 
Realizando operaciones: 
 
 34817
2  xx 
 
Igualando a cero: 
 
 0348172  xx 
 
Resolviendo por fórmula, determinamos los valores de 34817,1  cyba 
Ancho = x 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
32 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
Sustituye los valores en la fórmula: 
 
 
Hasta el momento, el resolver la ecuación solamente nos ha permitido encontrar el valor del ancho 
del terreno. 
 
Para encontrar el largo, sustituimos en la relación establecida al inicio del problema: 
 
Ancho = mx 12 
 
Largo = mx 29171217  
 
Por lo tanto, las dimensiones del terreno son: 
 
 
Ancho = m12 
 
Largo m29 
 
 
Con las cuales podemos comprobar que el área es m348 
 
 
a
acbb
x
2
42
1

 
 
 
a
acbb
x
2
42
2

 
 
 
      
 12
348141717
2
1

x 
 
2
168117
2
139228917
1



x 
 
 
12
2
24
2
4117
1 

x 
121 x 
 
El valor encontrado en este caso es positivo y 
nos indica la longitud del ancho del terreno. 
 
      
 12
348141717
2
2

x 
 
2
168117
2
139228917
2



x 
 
 
29
2
58
2
4117
2 



x 
292 x 
 
El valor encontrado en este caso es negativo y 
como lo que se está determinando es la longitud del 
ancho del terreno y no pueden existir longitudes 
negativas, por lo tanto este valor no proporciona 
una solución. 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
33 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 Área = largo x ancho 
 
   23482912 mmmÁrea  
 
Ejemplo 5: 
 
En una universidad los alumnos cursan seis materias por cuatrimestre. Los 
registros muestran que la calificación promedio P de las materias cursadas en un 
cuatrimestre por una persona estándar, depende del número de horas diarias h en 
que ésta estudia y hace la tarea. El promedio de la calificación puede estimarse 
mediante la siguiente ecuación 3485.53.0 2  hhP . 
 
Determine cuántas horas tendrá que estudiar una persona para obtener un 
promedio de 80 al final del cuatrimestre. 
 
Figura 1. Math (Gualberto107 
& Freedigitalphotos.net, 2013). 
Solución 
 
En este problema ya tenemos la ecuación que proporciona el promedio necesario, solamente 
tenemos que igualar a 80, ya que es el promedio que nos están preguntando. 
 
803485.53.0 2  hh 
 
Antes de resolver es necesario igualar a cero la ecuación: 
 
0803485.53.0 2  hh 
 
04685.53.0 2  hh 
 
Como es una ecuación cuadrática, la podemos resolver por medio de fórmula. 
 
 Determinamos los valores de 4685.5,3.0  cyba 
 
Sustituiremos los valores en la fórmula: 
 
 
a
acbb
x
2
42
1

 
a
acbb
x
2
42
2

 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
34 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 
      
 3.02
463.0485.585.5
2
1

h 
 
6.0
422.8985.5
6.0
2.55222.3485.5
1



h 
 
 
6
6.0
60.3
6.0
4563.985.5
1 

h 
61 h 
 
El valor encontrado en este caso es positivo y 
nos indica las horas necesarias de estudio para 
obtener un promedio de 80. 
 
      
 3.02
463.0485.585.5
2
2

h 
 
6.0
422.8985.5
6.0
2.55222.3485.5
2



h 
 
 
51.25
6.0
30.15
6.0
4563.985.5
2 



h 
 
51.252 h 
 
El valor encontrado en este caso es negativo, y 
como lo que se está determinando es la 
cantidad de horas necesarias para obtener un 
promedio de 80, no puede existir un tiempo 
negativo, por lo tanto, este valor no 
proporciona una solución. 
 
 
 
De acuerdo con el estudio realizado en esa 
universidad, el número de horas diarias que un 
alumno debe dedicarle al estudio y a realizar 
tareas es de aproximadamente 6 horas, para 
obtener un promedio de 80 en un cuatrimestre. 
 
 
Como puedes observar en los ejemplos anteriores, podrás encontrar las ecuaciones cuadráticas como 
parte de la solución de una ecuación que de un inicio no se pueda identificar (como una ecuación 
cuadrática) o dentro de la solución de problemas de aplicación a un problema en específico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FEC-03-_M2AA1L2_Cuadraticas 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
35 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial ototalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
Referencia 
Gualberto107 & Freedigitalphotos.net. (2013). Math. Recuperada de 
http://www.freedigitalphotos.net/images/math-photo-p183747 (imagen 
publicada bajo licencia Royalty Free de acuerdo a 
http://www.freedigitalphotos.net/images/terms.php). 
http://www.freedigitalphotos.net/images/math-photo-p183747
http://www.freedigitalphotos.net/images/terms.php