ecuaciones igualdades

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FAL-02_M3AA1L1_Igualdad 
 Versión: Septiembre 2012 
 Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
 
 
 
 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 
 1 
Propiedades de la igualdad 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
 
 
Imagina que tienes una balanza y quieres pesar un kilogramo de azúcar. De un lado de la balanza colocas un 
contrapeso que indique el peso deseado, es decir, un kilogramo y en el otro lado irás vaciando azúcar hasta que la 
balanza quede nivelada. En el momento que la balanza quede nivelada, los pesos serán iguales. 
 
 
 
Figura 1. Balanza. 
 
 
En matemáticas, se puede decir que dos objetos son iguales si tienen el mismo valor, para indicarlo se utiliza el signo 
de igualdad ""  . En el ejemplo anterior, la balanza representaría el símbolo de igualdad. Cuando tienes un 
símbolo de igualdad y una proposición matemática de cada lado de la igualdad, a esta expresión se le llama 
ecuación. Ve algunos ejemplos de ecuaciones. 
 
 
Ecuación 
Proposición 
matemática 
Símbolo de 
igualdad 
Proposición 
matemática 
 
952 x 
52 x  9 
 
64 x 
x4  6 
 
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 2 
 
 
 
 
 
 
 
Analiza la primera ecuación: 952 x 
 
 Esta expresión puede ser verdadera si el valor de 2x , de esta forma: 
 
952 x 
 95)2(2  
 99  Como 9 es igual a 9, esta expresión es verdadera. 
 
 Pero también puede ser falsa si x toma cualquier otro valor, por ejemplo: 4x 
 
952 x 
 95)4(2  
 913  Como 13 no es igual a 9, esta expresión es falsa. 
 
 
Como viste en el ejemplo anterior, la ecuación 952 x puede ser falsa o verdadera. A este tipo de ecuaciones 
se les llama ecuaciones condicionales. 
 
El propósito de una ecuación es encontrar el valor o los valores que hacen verdadera la ecuación. A estos valores 
se les llaman soluciones de la ecuación. Las soluciones de la ecuación forman el conjunto solución. 
 
Para el ejemplo anterior 952 x , sólo existe un valor que hace verdadera la ecuación. Por lo tanto, 2x es 
la solución de la ecuación. Y su conjunto solución =  2 . A continuación, observa otro ejemplo. 
 
Si tienes la siguiente ecuación: 42 x 
 
En este caso, hay dos valores que hacen verdadera la ecuación 22  xyx 
 
 42 x 
 
 4)2( 2  y 4)2( 2  
 
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son 22  xyx 
 
Y el conjunto solución =  2,2 
 
 
21138  xx 
38 x  211 x 
 
2352 2  xxx 
xx 52 2   23 x 
 
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 3 
Cuando una ecuación es verdadera, a cualquier valor permitido de la ecuación se le llama ecuación identidad, 
es decir, cualquier valor puede hacer verdadera la ecuación, siempre y cuando en las expresiones racionales el 
denominador no sean cero. 
 
Ejemplo 
 
2
2
42



x
x
x
 
 
Cualquier valor que se sustituya en la ecuación hace verdadera la ecuación excepto el 2, puesto que el 2 hace 0 
el denominador. 
 
Puedes sustituir varios valores en 2
2
42



x
x
x
 y comprobarlo: 
 
Valor a sustituir Valor sustituido Resultado 
3x 
2)3(
2)3(
4)3( 2



 1
5
5


  11  
0x 
2)0(
2)0(
4)0( 2



 
2
2
4



  22  
1x 
2)1(
2)1(
4)1( 2



 3
1
3



  33 
 
 
En este caso es complicado escribir todas las soluciones. 
 
 Así que escribes el conjunto solución = 2|  xx 
 
 
 
Puede darse el caso que ningún valor pueda hacer verdadera a la 
ecuación, es decir, no tenga solución. A este tipo de ecuaciones se les 
llama ecuaciones inconsistentes. 
 
Cuando dos ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, se llaman ecuaciones equivalentes. 
 
 
Ejemplo 
 
 3235  xx y 63 x 
 
Las dos ecuaciones son equivalentes puesto que el conjunto solución para ambas es el mismo. 
 Se lee así: 
 
Todos los valores de x que 
pertenecen a los números 
reales excepto el 2 . 
 
 
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 4 
 
3235  xx solución 2x 63 x solución 2x 
 
3)2(23)2(5  
34310  
77  
 
 63 x 
 6)2(3  
 66  
 
Hasta el momento has visto que siempre que se establece una igualdad de expresiones matemáticas obtienes 
una ecuación y que estas ecuaciones pueden tener o no tener soluciones, pero para poder alcanzar las 
soluciones de las ecuaciones es necesario conocer las propiedades de la igualdad, las cuales se te muestran en 
la tabla 1. 
 
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PROPIEDADES DE LA IGUALDAD 
 
PROPIEDAD 
 
EXPLICACIÓN 
 
EJEMPLOS 
 
 
 
Reflexiva 
 
 
 
Para todo a 
 
se tiene 
 
aa  
 
 
La propiedad reflexiva 
indica que todo número 
real es igual a sí 
mismo. 
 
a) 55  
 
b) 3232  xx 
 
c) 354354 22  xxxx 
 
 
 
 
Simétrica 
 
 
Para todo bya 
 
se tiene: 
 
Si ba  entonces: 
ab  
 
 
La propiedad simétrica 
indica que si se tiene 
una igualdad, ésta se 
conserva si es leída de 
izquierda a derecha o 
de derecha a izquierda. 
 
a) Si 3x entonces x3 
 
 
b) Si xx 2
1
 entonces
2
1
xx  
 
 
c) Si 
))((22 yxyxyx  
 
entonces 
22))(( yxyxyx  
 
 
 
 
 
 
 
Transitiva 
 
 
 
Para todo 
cyba, 
 
Si ba  y cb  
 
Entonces: 
 
ca  
 
 
Para aplicar esta 
propiedad es necesario 
tener tres elementos: 
uno que es común en 
las dos igualdades y 
que por conclusión 
hace que los otros dos 
elementos sean 
iguales. 
 
 
a) Si ax 2 y ay 2 
 
entonces 
 
yx  
 
b) Si 
011 aa
a
a
  y 
1
a
aentonces: 
10 a 
 
 
 
 
 
Aditiva 
 
 Para todo 
cyba, 
 
Si ba  
 
Esta propiedad indica 
que se puede sumar el 
mismo número (sea 
positivo o negativo) a 
ambos miembros de la 
 
a) 853  
 
Si en ambos miembros sumamos 
2 
 
 
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 6 
Tabla 1. Propiedades de la igualdad. 
 
 
Para encontrar la solución de una ecuación, debes realizar un proceso conocido como despeje, el cual implica 
dejar la variable que quieres encontrar de un solo lado de la expresión, utilizando las propiedades de la igualdad. 
 
Este proceso se lleva a cabo a través de la transformación de las ecuaciones que quieres despejar en ecuaciones 
equivalentes más simples, hasta obtener la variable totalmente despejada. 
 
 
Supón que tienes la siguiente ecuación y quieres encontrar su solución. 
64 x 
 
Para encontrar el valor de x que hace verdadera la expresión, es necesario despejar la variable, es decir, dejar 
de un solo lado de la igualdad la variable x . Para hacerlo en este caso utilizas la propiedad aditiva. 
 
Sumas de los dos lados de la expresión 4 : 
 
4x 4 6 4 
 
Al simplificar las expresiones: 
 
20 x  2x 
 
Si quieres comprobar que 2x es la solución, lo puedes sustituir en la ecuación original y comprobar que es 
una igualdad. 
 
64 x Si 2x , entonces: 
64)2(  
 66  
 
 
 
 
Entonces: 
 
cbca  
 
igualdad sin que ésta 
se altere. 
28253  
 
La igualdad no se altera 
 
1010  
 
 
 
 
Multiplicativa 
 
Para todo 
cyba, 
 
Si ba  
 
Entonces: 
 
cbca  
 
 
Esta propiedad indica 
que se pueden 
multiplicar ambos 
miembros de la 
igualdad por el mismo 
número real sin que se 
altere. 
 
a) 4352  
 
 
Si ambos miembros los 
multiplicamos por 3. 
 
     343352  
 
     3737  
 
2121 
 
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 7 
 
 
Ve otro ejemplo. 
 
 Encuentra el valor de x en 2046 x 
 
Sumas de los dos lados de la expresión 4 : 
 
46 x 4 = 20 4 
 
Al simplificar: 246 x 
 
La propiedad de la multiplicación de la igualdad establece que puedes multiplicar ambos lados de la ecuación por 
el mismo número sin cambiar la solución. Como la división está definida en términos de la multiplicación, entonces 
puedes dividir ambos miembros de la ecuación por el mismo número, siempre y cuando sea distinto de cero. 
 
 
 
Al simplificar: 4x 
 
Ésta es la solución a la ecuación. 
 
 
En ocasiones, es necesario dejar de un solo lado de la ecuación la variable para despejarla. 
 
2485  xx 
 
Sumas 8 en ambos lados de la ecuación: 
 
85 x 8 = 24 x 8 
 
Al simplificar: 1045  xx 
 
Sumas x4 en ambos lados de la ecuación: 
 
x5 x4 104  x x4 
 
Al simplificar: 10x 
 
 
En otras ocasiones es necesario hacer algunas operaciones antes de despejar la variable. 
 
)6(2)2(32  xxx 
 
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 8 
 
Realiza las operaciones: 
 
122632  xxx 
 
Simplificas términos semejantes: 
 
12265  xx 
 
Sumas 6 en ambos lados de la ecuación: 
 
 6122665  xx 
 
Al simplificar: 
 
 625  xx 
 
Sumas x2 en ambos lados de la ecuación: 
 
 xxxx 26225  
 
Al simplificar: 
 
63 x 
 
Divides entre 3 en ambos lados de la ecuación: 
 
3
6
3
3 

x
 
 
Al simplificar: 
 
2x 
 
 
 
Observa qué sucede cuando hay denominadores. 
 
4
13
2
3 

 xx
 
 
Se determina el mínimo común denominador entre 2 y 4, en este caso es 4. 
Multiplicas en ambos lados de la ecuación por 4: 
 





 





 
4
13
4
2
3
4
xx
 
 
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 9 
 
 Aplicas las propiedades de la igualdad y simplificas: 
   1332  xx 
 1362  xx 
 613662  xx 
 732  xx 
 xxxx 37332  
 7 x 
 )7(1)(1  x 
 
7x 
 
 
Hasta el momento has analizado sólo ecuaciones condicionales, pero recuerda que también existen ecuaciones 
identidad y ecuaciones inconsistentes. Observa cómo se analizan cada una de ellas. 
 
Considera la siguiente ecuación: 
 
)1(3235  xxx 
 
Realiza las operaciones y aplica las propiedades de la igualdad para despejar la variable: 
 
33235  xxx 
 
 3535  xx 
 
 335335  xx 
 
 655  xx 
 
 xxxx 56555  
 
 60  
 
 
Observa que la variable desaparece y que la proposición es 
una proposición falsa, por lo tanto, la ecuación es 
inconsistente. Esto quiere decir que no tiene solución. 
Analiza otro caso. 
 
Considera la siguiente ecuación: 
17)1(3)3(623  xxx 
 
Realiza las operaciones y aplica las propiedades de la igualdad para despejar la variable. 
 
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10 
 
173318623  xxx 
 2323  xx 
 223223  xx 
 xx 33  
 xxxx 3333  
 
 00  
 
Nota que la variable desaparece y que la proposición 00  es una proposición verdadera, por lo tanto, la 
ecuación es identidad, esto es que tiene infinitas soluciones. 
 
Toma en cuenta que la idea principal para realizar un despeje es colocar las variables de un solo lado de la 
ecuación aplicando las propiedadesde la igualdad. Sin embargo, tal vez recuerdes que alguna vez te dijeron que 
para poder despejar tienes que pasar una variable con la operación contraria a la que se está realizando. Este 
tipo de afirmaciones están basadas en las propiedades de la igualdad. 
 
Ve algunos ejemplos 
 
Ecuación Operación Propiedad de la igualdad 
 
 
53x 
 
Si está sumando pasa restando. 
2
35


x
x
 
 
Aditiva 
2
35
3533



x
x
x
 
 
53x 
 
Si está restando pasa sumando. 
 
8
35


x
x
 
 
Aditiva 
8
35
3533



x
x
x
 
 
32 x 
 
Si está multiplicando pasa dividiendo. 
 
2
3
x 
 
Multiplicativa 
)3(
2
1
)2(
2
1
x 
 
2
3
2
2

x
 
2
3
x 
 
 
 
Si está dividiendo pasa multiplicando. 
 
 
Multiplicativa 
 
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11 
3
2

x
 
  23x 
6x 
)3(2
2
2 




 x
 
 32x 
6x 
 
Tabla 2. Ejemplos de variable con la operación contraria a la que se está realizando. 
 
 
Para despejar puedes utilizar la forma que te parezca más sencilla, sin embargo, es importante que tengas en 
cuenta que todas las operaciones están basadas en las propiedades de la igualdad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Bibliografía 
Allen, A. (2004). Álgebra Intermedia (6ª. ed.). México: Prentice Hall. 
Baldor, A. (1988). Álgebra. México: Publicaciones Cultural. 
 
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12 
Barnett, R., Ziegler, M. & Byleen, K. (2000). Álgebra (6ª. ed.). México: McGraw-
Hill. 
Bello, I. (1999). Álgebra elemental. México: Internacional Thomson Editores.