Ecuaciones de tercer y cuarto grado - MONSERRAT MONZON

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FEC-03_M1AA1L1_TercerCuarto 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
	
  
	
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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
1 
	
  
 
 Ecuaciones	
  de	
  tercer	
  y	
  cuarto	
  grado	
  	
  
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
Las ecuaciones polinomiales son aquellas que pueden representarse con la forma: 
 
0....... 01
2
2
1
1 =++++
−
−
−
− axaxaxaxa
n
n
n
n
n
n 
 
 
Donde: 
 na se llama coeficiente principal. 
 0a se llama término independiente y cuando se grafica indica la intersección con el eje de las y. 
 
 En el término 
nx , n significa el máximo exponente, el cual debe ser entero y representa el grado 
de la ecuación. 
 
Esta ecuación involucra las ecuaciones que hemos revisado hasta el momento. 
 
Nombre Ecuación Ejemplo 
 
Primer grado o 
 lineal 
 
001 =+ axa 
 
045 =+x 
 
Donde: 
 4
5
0
1
=
=
a
a
 
 
Segundo grado 
o 
cuadrática 
 
001
2
2 =++ axaxa 
 
0723 2 =+− xx 
Donde: 
 7
2
3
0
1
2
=
−=
=
a
a
a
 
 
Tercer grado o 
cúbicas 
 
001
2
2
3
3 =+++ axaxaxa 
 
0254 3 =+− xx 
Donde: 
 
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2 
	
  
 2
5
0
4
0
1
2
3
=
−=
=
=
a
a
a
a
 
 
Cuarto grado 
 
 
001
2
2
3
3
4
4 =++++ axaxaxaxa 
 
02523 234 =++− xxx 
Donde: 
 2
0
5
2
3
0
1
2
3
4
=
=
=
−=
=
a
a
a
a
a
 
Tabla 1. Clasificación de ecuaciones de acuerdo a su grado. 
 
 
Cuando comenzamos a estudiar las ecuaciones, vimos que la solución de una ecuación es el valor de 
la variable que hace verdadera la proposición. 
 
Cuando la ecuación está igualada a cero, lo que estamos haciendo es el valor de 0=y , por lo que el 
valor encontrado representa en la gráfica las intersecciones con el eje de las x , así que a una 
solución también se le llama ceros de la ecuación. 
 
 
Por lo tanto, es común que las palabras solución, ceros o 
raíces se utilicen como sinónimos para nombrar las 
soluciones de una ecuación. 
 
 
 
Por este motivo te recomiendo que te familiarices con los tres términos, ya que los utilizaremos en esta 
lectura indistintamente. 
 
 
¿Recuerdas que para encontrar la solución de una 
ecuación lineal solamente bastaba con realizar el despeje 
de la variable, aplicando las propiedades de la igualdad? 
 
 
 
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3 
	
  
Veamos un ejemplo: 
 
032 =−x 
 
Para despejar solamente pasamos sumando el 3 y dividiendo el 2 del otro lado de la igualdad: 
 
32 =x 
 2
3
=x
 
 
Por lo tanto, el número de soluciones, raíces o ceros que nos proporciona una ecuación lineal o de 
primer grado siempre es una. 
 
 
 
 
Una ecuación de segundo grado o cuadrática es 
aquella que contiene como máximo exponente el 2, por lo 
que para encontrar las soluciones, raíces o ceros de la 
ecuación puede usarse el despeje, factorización o fórmula, 
dependiendo si la ecuación está completa o no. 
 
Es importante recordar que la fórmula puede utilizarse en 
cualquier caso y nos proporciona dos soluciones reales o 
complejas. 
 
 
Veamos un ejemplo: 
01522 =−− xx 
 
 En este caso la ecuación se puede factorizar como: 
 
 ( )( ) 035 =+− xx 
 
 Y utilizando la propiedad del factor nulo, igualamos cada uno de los factores a cero, después 
despejamos: 
 
5
05
=
=−
x
x
 3
03
−=
=+
x
x
 
 
 
 Por lo tanto, se tienen dos soluciones reales: 51 =x y 32 −=x 
 
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Como puedes observar, una ecuación de primer grado nos proporciona una solución, y una ecuación de 
segundo grado nos proporciona dos soluciones. 
 
¿Cuántas soluciones crees que nos puede proporcionar una ecuación de tercer grado? Y ¿una de 
cuarto grado? 
 
El teorema fundamental del álgebra (el cual se aplica a polinomios con coeficientes reales o 
complejos) dice: 
 
 
 
 
Teorema fundamental del álgebra 
 
Un polinomio f(x) de grado 0>n tiene exactamente n 
raíces, ceros o soluciones, donde estas raíces pueden ser 
reales o imaginarias y no necesariamente tienen que ser 
diferentes. 
 
 
Por lo tanto, de acuerdo con este teorema, una ecuación de tercer grado tendrá tres raíces, ceros o 
soluciones y una ecuación de cuarto grado tendrá cuatro raíces, ceros o soluciones. Además, las raíces 
pueden ser reales o imaginarias y no necesariamente diferentes, lo que implica que las soluciones 
puedan ser iguales. 
 
Veamos un ejemplo: 
 
Resuelva la ecuación 0442 =++ xx 
 
Al hacerlo por medio de una fórmula, primero se determinan los valores de las constantes cyba, 
(recuerda tomar el signo). 
 
44,1 === cyba 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 
	
  
 
 
 
Sustituir los valores en la fórmula: 
 
 
a
acbbx
2
42
1
−+−
=
 
 
 
 
a
acbbx
2
42
2
−−−
=
 
 
( ) ( ) ( )( )
( )12
41444 2
1
−+−
=x
 
 
2
04
2
16164
1
+−
=
−+−
=x
 
 
 
2
2
4
2
04
1 −=
−
=
+−
=x
 
 
21 −=x 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )( )
( )12
41444 2
2
−−−
=x
 
 
2
04
2
16164
2
−−
=
−−−
=x
 
 
2
2
4
2
04
2 −=
−
=
−−
=x
 
 
22 −=x 
 
 
Las soluciones de las ecuaciones son 21 −=x y 22 −=x . 
 
 
 
Observa que como es una ecuación de segundo grado, 
se tienen dos soluciones, las cuales son iguales. 
 
En este caso se dice que la raíz de la ecuación es 2− y 
tiene multiplicidad igual a 2 . 
 
 
La multiplicidad de una raíz es el número de veces que se repite una raíz. En el caso anterior, como 
se aparece dosveces, entonces la multiplicidad es 2. 
 
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Hasta el momento hemos aprendido a resolver ecuaciones de primer y de segundo grado, pero ¿cómo 
se podrán resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado? 
 
Antes de contestar esta pregunta, revisaremos algunos teoremas que se pueden aplicar a cualquier tipo 
de ecuación polinomial y que nos ayudarán a encontrar las raíces de las ecuaciones de tercer y cuarto 
grado. 
 
Teorema del residuo 
 
Si un polinomio 01
2
2
1
1 .......)( axaxaxaxaxf
n
n
n
n
n
n ++++=
−
−
−
− es dividido por un 
factor lineal ax − , el residuo es igual a )(af . 
 
 
 
Teorema del factor 
Un polinomio 01
2
2
1
1 .......)( axaxaxaxaxf
n
n
n
n
n
n ++++=
−
−
−
− tiene un factor ax − , 
si y sólo si al dividir el polinomio entre el factor el residuo es igual a cero. 
 
 
 
Teorema de las raíces racionales 
Un polinomio 01
2
2
1
1 .......)( axaxaxaxaxf
n
n
n
n
n
n ++++=
−
−
−
− con 00 ≠a y 
coeficientes enteros tendrá una raíz racional q
p
. 
 
Donde: 
 p son los factores de oa 
 q son los factores de na 
 
 
Veamos cómo obtener las raíces de una ecuación de tercer grado utilizando los teoremas anteriores. 
 
Ejemplo 1 
 
Encuentra las raíces de la siguiente ecuación polinomial. 
 
022 23 =+−− xxx 
 
 
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Solución 
 
Teorema Aplicación Ejemplo 
 
Teorema 
fundamental del 
álgebra 
 
Nos ayuda a determinar el 
número de soluciones, 
raíces o ceros de la 
ecuación, sin embargo, 
estas soluciones pueden ser 
reales o imaginarias. 
 
 
022 23 =+−− xxx 
 
Como la ecuación de tercer grado, las raíces 
de la ecuación son 3. 
 
Teorema de las 
raíces 
racionales 
 
 
Este teorema nos permite 
encontrar las posibles 
raíces racionales que tenga 
la ecuación. 
 
Donde: 
Una posible raíz es q
p
 
p son los factores de oa 
q son los factores de na 
 
 
 
022 23 =+−− xxx 
Como: 
120 == naya 
Los factores de: 
2,1 ±±=p 
1±=q 
 
 
Las combinaciones son: 
 
1
2,
1
2,
1
2,
1
2,
1
1,
1
1,
1
1,
1
1
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
=
q
p
 
 
Las posibles raíces son: 
 
2,2,1,1 −+−+=
q
p
 
 
 
Teorema del 
factor 
 
Este teorema nos dice que 
podemos tener un factor 
ax − si el residuo es cero, 
lo cual implica el teorema 
del residuo. 
 
En base al teorema del residuo podemos 
probar una de las posibles raíces 
 
Comencemos con 1+ 
 
Sustituimos el valor de la posible raíz en la 
ecuación, el valor que se obtenga será el 
 
Teorema del 
 
El teorema del residuo 
 
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residuo indica que si un polinomio 
es dividido entre un factor 
ax − , el residuo se puede 
encontrar si se sustituye el 
valor de la raíz en la 
función. 
residuo de la división del polinomio entre el 
binomio 1−x 
 
22)( 23 +−−= xxxxf 
( ) ( ) ( ) 21121)1( 23 +−−=f 
02121)1( =+−−=f 
 
Cómo el residuo es cero, basándonos en el 
teorema del factor, se puede concluir que el 
binomio 1−x es un factor del polinomio 
22)( 23 +−−= xxxxf 
 
Hasta el momento de la ecuación 022 23 =+−− xxx solamente tenemos un factor 1−x , y por lo tanto 
una raíz 11 =x . Sin embargo, nos hace falta encontrar las dos raíces faltantes, para ello tenemos dos 
opciones: 
 
La primera es utilizar nuevamente el teorema del factor y del residuo, y determinar las otras dos raíces. 
 
Veamos cómo se tendría que hacer: 
 
Sustituyendo 1−=x en 
 
 22)(
23 +−−= xxxxf 
( ) ( ) ( ) 21121)1( 23 +−−−−−=−f 
02121)1( =++−−=−f 
 
Como el residuo es cero, podemos decir que ya encontramos la segunda raíz 12 −=x y el factor será: 
1+x 
 
Sigamos sustituyendo la siguiente posible raíz 2=x en 
 
22)( 23 +−−= xxxxf 
( ) ( ) ( ) 22222)2( 23 +−−=f 
02288)2( =+−−=f 
 
Como el residuo es cero, podemos decir que ya encontramos la tercera raíz 23 =x , y el factor será 
2−x 
 
 
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Si sustituimos el siguiente valor nos podremos dar cuenta de que no es una raíz, ya que tenemos las 
tres raíces. 
 
 
 
 
Sustituyendo la siguiente posible raíz 2−=x en 
 
22)( 23 +−−= xxxxf 
( ) ( ) ( ) 22222)2( 23 +−−−−−=−f 
142288)2( −=++−−=−f 
 
Como puedes observar, el resultado que se obtuvo no es cero lo que indica que el residuo de dividir 
22 23 +−− xxx entre 2+x es igual a -14, y por lo tanto no es un factor. 
 
Al encontrar los tres factores podemos decir que la ecuación se puede factorizar totalmente como: 
 
( )( )( )21122 23 −+−=+−− xxxxxx 
 
 
Y utilizando la propiedad del factor nulo, podemos verificar 
las raíces encontradas igualando a cero cada uno de los 
factores encontrados. 
 
 
 
01=−x 
 
1=x 
 
01=+x 
 
1−=x 
 
02 =−x 
 
2=x 
 
 
La segunda opción para encontrar las raíces faltantes a partir de que tenemos una de ellas es 
realizando la división de 22 23 +−− xxx entre 1−x , y una de las formas es por medio de división 
sintética. 
 
 
¿Recuerdas	
  la	
  división	
  sintética?	
  
 
Escribimos los coeficientes de cada uno de los términos del dividendo, una vez que se ordenen en 
orden descendente. Si no aparece algún término es conveniente rellenar su espacio con un cero: 
 
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10 
 
Veamos cómo realizar la división de 22 23 +−− xxx entre 1−x 
 
22 23 +−− xxx 
 
Recuerda escribirel coeficiente con su signo correspondiente: 
 
2121 −− 
 
Del divisor, que es un polinomio de la forma ax − , igualamos a cero y despejamos x , de esta forma 
ax = . En este ejemplo 1=x . Dicho número lo escribimos a la derecha de los coeficientes en un 
pequeño cuadro. 
 
 
 
2121 −−
 
1 
 
Se baja el primer coeficiente de la izquierda como sigue: 
 
1
2121 −−
 
1 
 
Se multiplica el número que se bajó, en este caso el 1, se multiplica por el número del cuadro (en este 
caso 1) y se le suma al segundo coeficiente. 
 
11
1
2121
−
−−
 
1 
 
Se repite el procediendo multiplicando el resultado por el número del cuadro y así sucesivamente. 
 
0211
211
2121
−−
−−
−−
 
 
 
1 
 
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11 
 
Los números que obtenemos de hacer la operación son los coeficientes del polinomio resultante, y el 
último número es el residuo de la división, en este caso, el cero. Éste es el valor que nos indica que el 
binomio 1−x es un factor. 
 
El polinomio resultante siempre es de un grado menor al polinomio del dividendo, como el dividendo es 
de grado 3. 
 
El resultado será de grado 2, de tal forma que se escribe 22 −− xx . Y la ecuación de tercer grado en su 
forma factorizada hasta el momento será: 
 
( )( )2122)( 223 −−−=+−−= xxxxxxxf 
 
Como el segundo factor es una ecuación cuadrática, se puede resolver por fórmula o por factorización, 
dependiendo que procedimiento sea más sencillo para ti. En este caso, si se resuelve por factorización 
es: 022 =−− xx 
 
xx
xx
xx
1
22
22
−−
−−
 
 
 
 
Recuerda que al multiplicarse en cruz la suma de los términos 
debe dar el término lineal incluyendo el signo, para este caso: 
xxx −=+− 2 
 
 
De tal forma que los factores de la ecuación cuadrática serán: ( )( )122
2 +−=−− xxxx 
 
Y la forma totalmente factorizada de la ecuación de tercer grado será: 
 
( )( ) ( )( )( )1212122)( 223 +−−=−−−=+−−= xxxxxxxxxxf 
 
Utilizando la propiedad del factor nulo podemos verificar las raíces encontradas igualando a cero cada 
uno de los factores encontrados. 
 
 
01=−x 
 
02 =−x 
 
01=+x 
 
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12 
 
1=x 
 
2=x 
 
1−=x 
 
 
 
 
Veamos otro ejemplo: 
 
Ejemplo 2 
 
Encuentra las raíces de la siguiente ecuación polinomial. 
 
09944 23 =+−− xxx 
 
Solución 
 
• De acuerdo al teorema fundamental del álgebra el polinomio tiene tres raíces que pueden ser 
reales o complejas. 
 
• De acuerdo al teorema de la raíces racionales l 
 
Como 490 == naya 
 
Los factores de: 
 
9,3,1 ±±±=p 
4,2,1 ±±±=q 
 
Las combinaciones son: 
 
4
9,
4
9,
4
9,
4
9,
4
3,
4
3,
4
3,
4
3,
4
1,
4
1,
4
1,
4
1
2
9,
2
9,
2
9,
2
9,
2
3,
2
3,
2
3,
2
3,
2
1,
2
1,
2
1,
2
1
,
1
9,
1
9,
1
9,
1
9,
1
3,
1
3,
1
3,
1
3,
1
1,
1
1,
1
1,
1
1
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
=
q
p
 
 
Las posibles raíces son: 
 
3
1,
3
1,
9
1,
9
1,
2
9,
2
9,
2
3,
2
3,
2
1,
2
1,9,9,3,3,1,1 −−−−−−+−+−+=
q
p
 
 
FEC-03_M1AA1L1_TercerCuarto 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
	
  
	
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sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
13 
 
Como puedes observar, las posibles raíces son 16 y sólo tres de ellas pueden ser las raíces de la 
ecuación, por lo que sustituir todos los valores en la ecuación es un proceso largo, sin embargo, es 
necesario comenzar a buscar al menos un factor utilizando el teorema del residuo y el teorema del 
factor. 
 
Comencemos a probar con la posible raíz 1=x 
 
Prueba con 1=x 
 
9944)( 23 +−−= xxxxf 
 
( ) ( ) ( ) 9191414)1( 23 +−−=f 
 
09944)1( =+−−=f 
 
Según el teorema del residuo, al dividir 9944)(
23 +−−= xxxxf entre 1−x y probar 0)1( =f , el 
residuo es cero por lo tanto el binomio 1−x es un factor. 
 
Podemos dividir por medio de división sintética para disminuir el grado del polinomio: 
0904
904
9944
−
−
−−
 
 
 
1 
 
El polinomio resultante es 94 2 −x . Como este polinomio es de segundo grado, se puede factorizar 
como una diferencia de cuadrados (n este caso). 
 
La factorización será: 
 
( )( )323294 2 +−=− xxx 
 
Así, la ecuación polinomial 09944 23 =+−− xxx en su forma totalmente factorizada es: 
 
( )( )( ) 0323219944 23 =+−−=+−− xxxxxx 
 
 
 
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14 
 
Utilizando la propiedad del factor nulo igualamos cada uno 
de los factores lineales a cero y despejamos el valor de la 
variable x . 
 
 
 
 
 
01=−x 
 
Despejando: 
 
1=x 
 
032 =−x 
 
Despejando: 
 
5.1
2
3
==x 
 
032 =+x 
 
Despejando: 
 
5.1
2
3
2
3
−=−=
−
=x 
 
 
 
En este ejercicio fue más sencillo encontrar primero una de las raíces, para luego hacer la división y 
obtener una ecuación de segundo grado o cuadrática, la cual es más sencilla resolver por factorización 
o por fórmula. Si graficamos la ecuación podemos verificar que las intersecciones con el eje de las x 
corresponden a los valores encontrados. 
 
 
 
¿Recuerdas que es por ello que a las soluciones de la ecuación 
también se les llama ceros de la ecuación? 
 
 
 
 
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15 
 
Figura. 1 Gráfica de la ecuación 09944 23 =+−− xxx , raíces de la ecuación x=-1.5, x=1 y x=1.5. 
 
 
 
 
Ejemplo 3 
 
Encuentralas raíces de la siguiente ecuación polinomial. 
 
0910 24 =+− xx 
 
Solución 
 
• De acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, el polinomio tiene cuatro raíces que pueden 
ser reales o complejas. 
 
• De acuerdo con el teorema de la raíces racionales l 
 
 Como: 
 
190 == naya 
 
Los factores de: 
 
9,3,1 ±±±=p 
,1±=q 
 
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16 
 
Las combinaciones son: 
 
,
1
9,
1
9,
1
9,
1
9,
1
3,
1
3,
1
3,
1
3,
1
1,
1
1,
1
1,
1
1
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
=
q
p
 
 
Las posibles raíces son: 
9,9,3,3,1,1 −+−+−+=
q
p
 
 
En este caso las posibles raíces son seis, de las cuales cuatro pueden ser las raíces de la ecuación. 
Buscaremos uno de los factores por el teorema del residuo y el teorema del factor. 
 
Comencemos probando con la raíz 1=x 
 
910)( 24 +−= xxxf 
 
( ) ( ) 91101)1( 24 +−=f 
 
09101)1( =+−=f 
 
Según el teorema del residuo, al dividir 910)(
24 +−= xxxf entre 1−x y probar 0)1( =f , el residuo 
es cero por lo tanto, el binomio 1−x es un factor. 
 
Podemos dividir por medio de división sintética para disminuir el grado del polinomio. Recuerda que 
debes rellenar con cero el lugar de 
3x y el de x , ya que no aparece en el polinomio. 
 
09911
9911
901001
−−
−−
−
 
 
 
1 
 
El polinomio resultante es 9923 −−+ xxx . Como el polinomio resultante es de tercer grado, tenemos 
que buscar otra raíz utilizando el teorema del factor y el teorema del residuo. 
 
Prueba nuevamente con 1=x 
 
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17 
 
99)( 23 −−+= xxxxf 
( ) ( ) ( ) 91911)( 23 −−+=xf 
169911)( −=−−+=xf 
 
Como el resultado es -16, esto nos indica que )1( −x ya no es un factor. 
 
Nuevamente probemos con 1−=x 
 
99)( 23 −−+= xxxxf 
( ) ( ) ( ) 91911)( 23 −−−−+−=xf 
09911)( =−++−=xf 
 
Como el resultado es 0, esto nos indica que )1( +x es un factor, y se puede hacer la división 
nuevamente de 99)(
23 −−+= xxxxf entre )1( +x para disminuir el grado a la ecuación. 
 
0901
901
9911
−
−
−−
 
 
 
1− 
 
Ahora el polinomio resultante es de segundo grado 92 −x . Al ser una diferencia de cuadrados, se 
puede factorizar como: 
 
( )( )3392 −+=− xxx 
 
Así, la ecuación polinomial 910)(
24 +−= xxxf en su forma totalmente factorizada es: 
 
( )( )( )( )3311910 24 −+−+=+− xxxxxx 
 
Utilizando la propiedad del factor nulo igualamos cada uno de los factores lineales a cero y despejamos 
el valor de la variable x . 
 
 
01=+x 
 
 
01=−x 
 
 
03 =+x 
 
 
03 =−x 
 
 
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18 
Despejando: 
 
1−=x 
Despejando: 
 
1=x 
Despejando: 
 
3−=x 
Despejando 
 
3=x 
 
 
 
 
En este ejemplo fue necesario primero encontrar dos de las raíces para obtener una ecuación de 
segundo grado o cuadrática, la cual es más sencilla resolver por factorización o por fórmula. 
 
Si graficamos la ecuación podemos verificar que las intersecciones con el eje de las x corresponden a 
los valores encontrados. 
 
Figura. 2 Gráfica de la ecuación 0910 24 =+− xx , raíces reales de la ecuación x = -3, x = -1, x = 1 y x = 3. 
 
 
Ejemplo 4 
 
Encuentra las raíces de la siguiente ecuación polinomial. 
 
0623 =+−− xxx 
 
Solución 
 
• De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, el polinomio tiene tres raíces que pueden ser 
reales o complejas. 
 
 
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19 
• En este caso, el teorema de la raíces racionales no puede aplicarse ya que en esta ecuación el 
valor de 00=a 
 
 
 Observa que en este caso todos los términos tienen la variable x , por lo que se puede factorizar por 
un factor común. 
 
Factorizando x− de 0623 =+−− xxx 
 
0)6( 2 =−+− xxx 
 
Observa que ahora tenemos el producto de dos factores uno lineal y el otro cuadrático. El factor 
cuadrático se puede factorizar nuevamente o resolver aplicando la fórmula para las cuadráticas. 
 
En este caso, aplicamos la fórmula para resolver 062 =−+ xx 
 
Primero se determinan los valores de las constantes cyba, . Recuerda tomar el signo: 
 
61,1 −=== cyba 
 
Sustituye los valores en la fórmula: 
 
 
a
acbbx
2
42
1
−+−
=
 
 
 
 
a
acbbx
2
42
2
−−−
=
 
 
( ) ( ) ( )( )
( )12
61411 2
1
−−+−
=x
 
 
2
251
2
2411
1
+−
=
++−
=x
 
 
 
2
2
4
2
51
1 ==
+−
=x
 
 
21 =x 
 
( ) ( ) ( )( )
( )12
61411 2
2
−−−−
=x
 
 
2
251
2
2411
2
−−
=
+−−
=x
 
 
 
3
2
6
2
51
2 −=
−
=
−−
=x
 
 
32 −=x 
 
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20 
 
 
 
 
Las soluciones de las ecuaciones son 21 =x y 32 −=x . 
 
En este caso, el factor para 21 =x es ( )2−x y para 32 −=x es ( )3+x . 
 
Por lo tanto, la factorización de ( )( ) 0326
2 =+−=−+ xxxx . 
 
Así, la ecuación polinomial xxxxf 6)(
23 +−−= , en su forma totalmente factorizada, es: 
 
( )( )32623 +−−=+−− xxxxxx 
 
 
 
 
Utilizando la propiedad del factor nulo igualamos cada uno 
de los factores lineales a cero y despejamos el valor de la 
variable x. 
 
 
 
 
0=− x 
 
Despejando: 
 
0=x 
 
02 =−x 
 
Despejando: 
 
2=x 
 
03 =+x 
 
Despejando: 
 
3−=x 
 
 
En este ejemplo fue necesario primero factorizar por factor común y a partir de esta factorización se 
obtuvo una ecuación de segundo grado o cuadrática, la cual se resolvió por fórmula. 
 
Si graficamos la ecuación podemos verificar que las interseccionescon el eje de las x corresponden a 
los valores encontrados. 
 
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21 
 
Figura. 3 Gráfica de la ecuación 0623 =+−− xxx , raíces reales de la ecuación x = -3, x = 0, y x = 2. 
 
 
Ejemplo 5 
 
Encuentra las raíces de la siguiente ecuación polinomial. 
 
0134 =+++ xxx 
 
Solución 
 
• De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, el polinomio tiene cuatro raíces que pueden ser 
reales o complejas. 
 
• De acuerdo al teorema de la raíces racionales l 
 
Como: 
 
110 == naya 
 
Los factores de: 
 
1±=p 
,1±=q 
 
 
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22 
Las combinaciones son: 
 
,
1
1,
1
1,
1
1,
1
1
−
−
+
−
−
+
+
+
=
q
p
 
Las posibles raíces son: 
1,1−+=
q
p
 
 
En este caso, las posibles raíces racionales son dos, y la ecuación tiene cuatro. Buscaremos uno de los 
factores por el teorema del residuo y el teorema del factor. 
 
Comencemos a probar con 1=x 
 
1)( 34 +++= xxxxf 
 
( ) ( ) ( ) 1111)1( 34 +++=f 
 
41111)1( =+++=f 
 
Como el residuo es 4, 1=x no es una raíz y por lo tanto 1−x no es factor. 
 
Probemos con: 1−=x 
 
1)( 34 +++= xxxxf 
 
( ) ( ) ( ) 1111)1( 34 +−+−+−=−f 
 
01111)1( =+−−=−f 
 
Como el residuo es 0, 1−=x es una raíz y por lo tanto 1+x es factor. 
 
 
 
Podemos dividir 134 +++ xxx entre 1+x por medio de 
división sintética para disminuir el grado del polinomio. 
Recuerda que debes rellenar con cero el lugar de 
2x , ya que 
no aparece en el polinomio. 
 
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23 
 
 
 
01001
1001
11011
−−
 
 
 
1− 
 
El polinomio resultante es 13 +x . Como este polinomio es de tercer grado, tenemos que buscar otra raíz 
utilizando el teorema del factor y el teorema del residuo. 
 
Se puede comenzar a probar nuevamente con 1=x 
 
1)( 3 += xxf 
( ) 11)( 3 +=xf 
211)( =+=xf 
 
Como el resultado es 2, esto nos indica que )1( −x no es un factor. 
 
Nuevamente probemos con 1−=x 
 
1)( 3 += xxf 
( ) 11)( 3 +−=xf 
011)( =+−=xf 
 
Como el resultado es 0, esto nos indica que )1( +x es un factor, y se puede hacer la división 
nuevamente de 13 +x entre )1( +x para disminuir el grado a la ecuación. 
 
0111
111
1001
−
−−
 
 
 
1− 
 
Ahora el polinomio resultante es de segundo grado 12 +− xx , lo resolveremos por medio de una 
fórmula. 
 
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24 
 
Primero se determinan los valores de las constantes cyba, . Recuerda tomar el signo 
 
11,1 =−== cyba 
 
Sustituye los valores en la fórmula. 
 
 
a
acbbx
2
42
1
−+−
=
 
 
 
 
a
acbbx
2
42
2
−−−
=
 
 
x1 =
− 1( )+ −1( )2 − 4 1( ) 1( )
2 1( )
 
 
x1 =
1+ 1− 4
2
=
1+ −3
2
=
1+ 3i
2
 
 
 
2
31
1
ix +−=
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )( )
( )12
11411 2
2
−−−−−
=x
 
 
x2 =
1− 1− 4
2
=
1− −3
2
=
1− 3i
2
 
 
 
x2 =
1− 3i
2 
 
 
 
Las soluciones de las ecuaciones son x1 =
1+ 3i
2
 y x2 =
1− 3i
2
 
 
En este caso, el factor para x1 =
1+ 3i
2
 es ( )ix 312 −+ y para 2
31
2
ix −−=
 es ( )ix 312 ++ 
 
Por lo tanto, la factorización de ( )( )ixixxx 31231212 ++−+=+− 
 
Así, la ecuación polinomial 1)(
34 +++= xxxxf , en su forma totalmente factorizada es: 
 
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25 
 
( )( )( )( )ixixxxxxx 31231211134 ++−+++=+++ 
 
 
También puede expresarse como ( ) ( )( )ixixxxxx 31231211 234 ++−++=+++ 
 
 
 
Utilizando la propiedad del factor nulo igualamos cada uno 
de los factores lineales a cero y despejamos el valor de la 
variable x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01=+x 
 
Despejando: 
 
1−=x 
 
01=+x 
 
Despejando: 
 
1−=x 
 
0312 =−+ ix 
 
Despejando: 
 
2
31 ix +−=
 
 
0312 =++ ix 
 
Despejando: 
 
2
31 ix −−=
 
 
Se puede decir que la ecuación de cuarto grado 0134 =+++ xxx tiene cuatro raíces las cuales son 
 
1−=x con multiplicidad igual a 2. 
 
2
31 ix +−=
 
2
31 ix −−=
 
 
 
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26 
Recuerda que la multiplicidad nos indica cuantas veces se repite una raíz. En este caso se tienen dos 
raíces reales y dos complejas. 
 
La grafica se ve como sigue: 
Fig. 4 Gráfica de la ecuación 0134 =+++ xxx , raíces reales de la ecuación x = -1 con multiplicidad 2. 
 
Como puedes observar, en esta grafica solamente hay un punto de intersección con el eje de las x , ya 
que la raíz 1−=x se repite en dos ocasiones, y las otras dos raíces son complejas y no pueden 
graficarse en un sistema de ejes coordenados, ya que solamente se grafican los números reales. 
 
 
 
 
Ejemplo 6 
 
Encuentra las raíces de la siguiente ecuación polinomial. 
 
( ) ( ) ( )( ) 031 43 =−++− ixixxx 
 
Solución 
 
Observa que en este caso la ecuación está totalmente factorizada y los exponentes en cada factor 
indican el número de veces que está repetido el factor. Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir 
como: 
 
( ) ( ) ( )() ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 0333311131 43 =−+++++−−−=−++− ixixxxxxxxxixixxx 
 
Y se pude concluir que: 
 
La ecuación tiene 9 raíces, las cuales son: 
 
 
FEC-03_M1AA1L1_TercerCuarto 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
	
  
	
  Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
	
  
	
  
	
  
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sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
27 
1=x con multiplicidad=3 
3−=x con multiplicidad 4 
ix = 
ix −= 
 
De éstas, siete raíces son reales y dos complejas. 
 
Como puedes darte cuenta, para encontrar las raíces de una ecuación de grado mayor a dos, es 
necesario utilizar tanto el teorema del residuo como el teorema del factor, los cuales nos permiten 
determinar cuáles son raíces. Además, por medio de la división también se puede realizar la ecuación 
en su forma totalmente factorizada para determinar las raíces de la ecuación. 
 
Te invito a que sigas practicando la aplicación de los teoremas, así como la solución de ecuaciones en 
la sección de ejercicios. 
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  Bibliografía	
  
Baldor, A. (1988). Álgebra. México: Publicaciones Cultural. 
Barnett, R.; Ziegler, M. & Byleen, K. (2000). Álgebra. México: McGraw-Hill. 
Bello, Ignacio. (2000). Álgebra elemental. México: International Thomson Editores. 
Bosh., C. & Gómez, C. (1998). Álgebra. México: Santillana. 
Martínez, M. A. (1996). Aritmética y álgebra. México. McGraw-Hill. 
Swokowski, E. y Cole J. (2002). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. 
(10ª. ed.). México: International Thomson.