Selección de Temas de Matemática [Jorge Gid Hoffmann]

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PROLOGO
Las páginas que siguen son fruto de la convicción, reforzada por m uchos 
años de experiencia docente, de que al estudiante venezolano de bachillerato le 
sobran capacidad y voluntad para enfrentar el estudio de la M atem ática de una forma 
. profunda e íntegra y para fijar sus m etas más allá de los mínimos requerim ientos de 
los programas oficiales.
La aceptación que ha tenido m i anterior trabajo, Selección de Tem as de 
M atem ática 4, me ha hecho ver, además, que, lejos de estar solo en m i em peño por 
exigir lo máxim o del estudiante, soy tan sólo uno más de una verdadera legión de 
docentes que no se resignan a la superficialidad.
A todos aquellos, estudiantes y docentes, que com baten la m ediocridad y no 
temen guiar su barca hacia aguas profundas para atrapar los mejores peces del saber, 
dedico con admiración y respeto este trabajo.
M uchos han sido los que de una form a u otra estuvieron a mi lado en la 
realización de esta obra. A todos les estoy agradecido. Sin em bargo me parecería 
una ingratitud no m encionar a algunos de quienes recibí una ayuda m uy especial:
Carolina Orellana y Francis Abreu, brillantes exalumnas, quienes m e hicieron 
llegar sus observaciones y correcciones. Este trabajo sale con muchos m enos errores 
debido a la dedicación de ellas. Varias secciones no pasaron, lam entablem ente, por 
sus m anos; los errores que en ellas pueden aparecer son exclusivam ente de mi 
responsabilidad.
Jorge B arrero,, tocayo y am igo, en quien no sé qué adm irar m ás, si su 
capacidad para encontrar so lución a los problem as que se le presen tan , o su 
sensibilidad para advertir los problem as de los demás y ayudar a resolverlos.
N o me queda sino desear que este libro sea de utilidad para aquél que lo tome 
en sus manos y que encuentre en él elem entos que le ayuden en su em peño por 
lograr un dom inio profundo de la m ateria. Y ojalá que, al constatar que el esfuerzo 
por hacer bien las cosas deja una honda satisfacción, haga de la lucha contra la 
mediocridad una filosofía de vida.
SELECCION
DE
TEMAS
DE
MATEMATICA
POLINOMIOS - 
SUMATORIAS 
INDUCCION COMPLETA ' 
COMBINATORIA'
BINOMIO DE NEWTON 
GEOMETRIA ANALITICA 
CONICAS 
INECUACIONES 
VECTORES, RECTA Y PLANO 
en el espacio 
MATRICES Y DETERMINANTES 
SISTEMAS
4150 ejercicios propuestos 
con sus resultados
JORGE GID HOFFMANN
SPHINX
Caracas
POLINOMIOS
Generalidades
Toda expresión en la forma
axn + bx"~* + cx"~2 + ■•■■■ + p x + q
donde n es un entero positivo, recibe el nom bre de P olin om io en el que x es la 
Variable, cada sumando es un Térm ino y los parám etros a, b, c, ... , p y q son los 
Coeficientes de los términos del polinomio.
Un polinom io en x se representa por la notación P (x) que se lee “P de x” , o
con el uso de otras letras (Qup M (xP%N (xpf xp gfx), etc.).
Por ejem plo, x~ + 3a' 2 - 5 x + 2 es un polinom io en x . Podem os expresarlo
así:
P( x ) s x 3 + 3 j c 2 - 5 x + 2
El V alor num érico de un polinom io en x para un cierto valor particular x - a 
se representa por Pla) y se obtiene sustituyendo la variable x por a.
En el ejem plo anterior, el valor numérico del polinom io para x = - 2 es
El G rado de un térm ino de un polinom io es igual a la sum a de los 
exponentes de las variables de dicho término.
5x es un térm ino de primer grado porque el exponente de la parte literal * es 
uno ( 1 ).
8 -vy es un térm ino de segundo grado porque la sum a de los exponentes de los 
factores literales es 2
xy2 es un térm ino de tercer grado
l x iy 2z es un término de octavo grado
El Grado de un polinom io es el grado de su térm ino de m ayor grado. En el 
polinom io 5* 3 +3.v 2 +2.v + 7el prim er térm ino es el de m ayor grado (tercero). El 
polinom io es, entonces, de tercer grado.
U n pplinomio puede ser de Grado nulo si el máxim o grado de la variable es 
cero. PU )= 7 es un polinomio de grado nulo.
En general, cualquier número real distinto de cero es un polinom io de grado
= ( - 2 ) 3 + 3 ( - 2 ) : — 5 (—2) + 2 
= - 8 + 1 2 + 10 + 2
POLINOMIOS 7
nulo. El núm ero cero tam bién se considera un polinom io: es el único polinom io 
cuyo grado no está definido. ■
Por eso se prefiere llamar Polinom io constante al polinom io P(x) = a (donde 
a * 0) y Polinom io nulo al polinomio P(x) = 0 .
Un polinomio es homogéneo si todos sus términos son de igual grado:
4 a 5 - 3 a 4>>+2A3 y 2 + A2 y 3 -5 A y 4 + y 5 es un polinom io hom ogéneo de 
' quinto grado, pues todos sus térm inos son de quinto grado.
Térm inos sem ejantes de dos polinom ios son los térm inos que tienen 
idéntica la parte literal.
. Los coeficientes de los térm inos de un polinom io pueden ser e n te r o s , 
fraccionarios, irracionales e imaginarios:
x 3 + 3.x2 + 2 a - 1 es un polinomio con coeficientes en Z
— a 2 + — x + — e s u n p o l in o m io c o n c o e f ic ie n te s e n Q
2 2 1 4
V 2 jc 3 + 3 \ Í 6 x 2 + 1 e s u n p o l in o m io c o n c o e f ic ie n te s e n R
x 4 + (3 + i ) a 3 + 2ix + 5 es un polinom io con coeficientes en C
Dos polinom ios Plx) y Qlx) son iguales sólo si los coeficientes de los términos 
del mismo grado son iguales.
Operaciones con polinomios 
Suma Algebraica
Para sum ar dos o más polinom ios, se suman algebraicam ente los térm inos 
semejantes de dichos polinomios.
El grado del polinomio suma es igual o menor que el del Polinomio 
sumando de mayor grado
Ejemplo
Sean P{x) = 3.x3 - 5 a 2 + 3
M (l) = - 5 a 4 - 2 a 3 - 5 a - 1 
N lx )=x~ - 4 x 2 + 3 x - 2 
Determinar Py
PU) + Af( v) - N (x) = 3.r3 - 5 a 2 + 3 + 5 a 4 - 2 a 3 - 5 a - 1 - a 3 + 4 a 2 - 3 a + 2
5 a j - a 2 - 8a + 4
El polinorpio suma es de cuarto grado (al igual que M (xr que era el polinom io 
sumando de mayor grado). Podría haber sido de tercer grado si en la sum a algebraica 
se hubieran elim inado los términos de cuarto grado, o de grado menor, si se hubieran 
eliminado también los términos de tercero, segundo, etc., grado.
8 POLINOMIOS
Multiplicación
La m ultiplicación de polinom ios se efectúa teniendo en cuenta la ley de los 
signos y aplicándola propiedad distributiva
El grado del Polinomio Producto es igual a la suma de los grados 
de los Polinomios Factores
Ejemplo
Sean P{ = 2 a + 3 a - a + 2
M {x) = x - 4 * — 1
D eterminar P{x)'-Mlx)
P( x ) - M {x) = ( 2 a 3 + 3 a 2 - a + 2 ) ( a 3 - 4 a - 1 ) 
= 2 a :6 - , 8 a :4 - 2 a :3 + 3 a :5 - 1 2 a :3 - 3 a :2 - a 4 + 4 a 2 + a + 2 a 3 - 8 a - 2
2 a :6 + 3 a :5 - 9 a :4 - 1 2 a :3 + a 2 - 7 a - 2
Multiplicación por coeficientes
Si los polinom ios factores contienen una m ism a única variable y están 
ordenados en la m ism a form a con relación a la variable (se aconseja que sea en 
form a decreciente) la m ultiplicación se facilita utilizando sólo los coeficientes, tal 
com o se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejem p lo
Efectuar el anterior producto PU) ■ M {x) utilizando sólo los coeficientes:
2 3 —1 2 C oefic ientes de P,„
1 0 - 4 - 1 C oefic ien tes de M ,„ (nó tese e l cero , coeficiente de x2)
2 3 - 1 2
- 8 - 1 2 4 - 8
_______________ r 2 - 3 _____ 1 - 2
2 3 —9 —12 1 —7 - 2 Coeficientes del Polinomio Producto (de 6o grado)
Plx) ■ M ( x) = 2 x + 3 a - 9 a -4 - 1 2 a 3 + a 2 - 7 a - 2
División de polinomios
O rdenados el D ividendo y el D iv isor, se d iv ide el prim er térm ino del 
dividendo entre el prim ero del divisor para obtener el prim er térm ino del Cociente. 
Este prim er térm ino se m ultiplica por todo el divisor y el producto se resta del 
D ividendo (para lo cual se le cam bia signo), escribiendo cada térm ino debajo de su 
semejante. Se obtiene así un primer residuo parcial.
La operación se repite con cada residuo parcial que se obtenga (m ientras el 
grado del residuo parcial sea m ayor o igual al del Divisor).
POLINOMIOS
El Residuo de la división será el prim er residuo parcial cuyo grado sea menor 
que el del Divisor.
Ejemplo________________________________Sean D(x) = 2 x 5 - 3jc4 - 8 x 3 - 1 l x 2 - 35x - 24 
¿u) = x 2 ~ 3 x - 2 
Determinar Qlxl (cociente) y R(x> (residuo) de dividir D lx) entre dlx).
3a:4 - 8 jc3 - 1 Ijc2 - 3 5 * - 2 4 1 * 2 - 3 * ~ 2 
6x a + 4 x 3 2x3 + 3x2 + 5 * + 10
3 x 4 - 4 x 3 
-3x4 + 9x3+ 6x2 
5 x 3 - 5 * 2 
•+5*3 + 1 5 *2 + 1 0 *
1 Ojc2 - 25x 
- 1 0 * 2 + 30a:+ 20 
5 x - 4
Q(x, = 2 * 3 + 3 . r + 5 * + 10
*u> = 5 * - -4
En la división, el grado del Cociente es igual a la diferencia 
del grado del Dividendo y el grado del Divisor.
El mayor grado que puede tener el Residuo es el grado del 
Divisor menos una unidad.
El Residuo es cero cuando la división es exacta.
En toda división se cumple que
Dividendo = D ivisor x Cociente + Residuo 
(Identidad fundamental de la división)
La división del ejem plo anterior se puede hacer de form a más sencilla 
utilizando sólo los coeficientes:
2
- 2
- 3 - 8 
6 ___ 4
-11 -3 5 -2 4 1 - 3 -2
5 10
- 4
9
5
-5
-5
1 1 _ JO
1 0
-1 0
-25
_ J 0 _ 20
-4
Respuesta:
= 2 x 3 + 3 .v + 5* + 10
*u> = 5 x - -4
1 0 POLINOMIOS
C Ejercicio 1 [
Dados los siguientes polinomios:
Mu) b 6 x B + 17x5 + 2 * 4 + 2 * 3 - 38*2 + 9* - 63 
N(x) = 2 x 3 + 5x2 - x + 7 
P(x) = 2 * 5 + x 4 - 10x3 + 2 9 * 2 - 32* + 4 
7 ^ 2 * 2 - 3 * + 6 
V;a) = * 3 - 2 * 2 + 3 * + 1 
4 * 3 - 2 * + l 
3 * 5 + * 3 - * 2 + 3 
Su, s * - 2
fy*, = 2 * + 1
L a división de un polinom io por el binom io * + a puede realizarse con m ayor 
rapidez por un procedim iento que recibe el nom bre de División Sintética o Regla de 
Ruffini.
E jemplo 1 _________________________
Sea la división (x 4 + 5 x 3 + 2 x 2 - 3* + 3) + (x + 2)
Para ob tener el cocien te por el p roced im ien to o rd inario se d ispone la 
operación de esta forma:
x 4 + 5 x 3 + 2 x 2 - 3 x + 3 | x + 2 
- * 4 - 2 x 3 •' x 3 + 3 x 2 - 4 x + 5
3x 3 
- 3 x 3 - 6 x 2 
—4 x 2 
4 x 2 + 8 x
5x 
- 5 x - 10 
-7
Llamemos d,, d 2, d 3 ... los coeficientes del Dividendo: 
d, = 1 d 2 = 5 d 3 = 2 d 4 = -3 d 5 = 3
determinar:
División de un polinomio entre x+a 
- Regla de Ruffini
POLINOMIOS 11
Llam em os a el segundo térm ino del Divisor: a = 2 (La raíz del D ivisor será 
- a = - 2 y
Llam em os c „ c2, c 3 ... los coeficientes del Cociente: 
c, = 1 c2 = 3 c 3 = - 4 c4 = 5
Llamemos, por último, R al Residuo: R = - 7
Podemos, entonces, observar:
1) El coeficiente del primer térm ino del Cociente es igual al del primero del 
Dividendo: c, = d, = 1.
2) El coeficiente del segundo térm ino del Cociente se obtiene multiplicando 
el del térm ino anterior por - 2 (raíz del D ivisor) y sumando el producto al 
co e fic ie n te del segundo té rm ino del D iv idendo : c , = l ( - 2 ) + 5 
= c, • ( - a ) + d2
3) El coeficiente del tercer térm ino del Cociente se obtiene multiplicando el 
del térm ino anterior por la raíz del D ivisor y sum ando el producto al 
c o e f ic ie n te ; del te rc e r té rm in o del D iv id en d o : c . = 3 ( - 2 ) + 2 
= c2 - ( - 0 ) + ¿ 3
4) D e form a análoga se obtienen el coeficiente del cuarto térm ino del 
Cociente y el Residuo
5) O bsérvese, por últim o, que el grado del Cociente es una unidad menor 
que el gra^o del Dividendo, lo que sucederá siem pre que el D ivisor sea 
de prim er grado, es decir, de la forma x + a.
Disposición práctica
Los cálculos anteriores se efectúan rápidam ente disponiendo los elementos de 
la siguiente forma:
r
2 | - 3 | 3 |
4 : 2 T t V r ■y r lQ V
1 3 5 I -7 Residuo
C oefic ientes del D ividendo
Raíz del D iv isor ^ _ _ . . , _ .
Coeficientes del Cociente
Las flechas dirigidas lateralmente .....................y ) indican un producto.
Las flechas dirigidas hacia abajo ( ^ ) indican una suma algebraica.
Resumen de ia División Sintética o Regla de Ruffini:
1) El Cociente de dividir un polinom io en x por otro de la form a x + a es 
un tercer polinom io de grado m enor en una unidad que el grado del 
Dividendo.
2) El coeficiente del prim er térm ino del Cociente es igual al coeficiente del 
primer térm ino del Dividendo.
1 2 POLINOMIOS
3) A partir del segundo, los coeficientes de un térm ino cualqu iera del 
C ociente se obtienen m ultiplicando el coeficiente del térm ino anterior 
por la ra íz del D iv iso r y sum ándole al p roducto el co efic ien te 
correspondiente del Dividendo.
Ejemplo 2______________________________
''Efectuar: (x 8 + 5 x J - 3 x 5 - 2 x 4 + 6 x 2 - 3x + 5) + (a: +1)
U tiliz a n d o la R eg la de 
R uffini:
1 5 0 -3 - 2 0 6 -3 5
- 1 - 1 - 4 4 - 1 3 - 3 -3 Ó
1 4 -4 1 -3 3/
3 - 6 LLL
(2, v) = x 1 + 4 x 6 - 4 x 5 + x 4 - 3 x i + 3 x 2 + 3 x - 6 
R = \ \ _________ _________________________
Ejemplo 3______________________________
Efectuar: ( 6 x 4 - 5 x 3 - 3 x + 2) + (x - 2)
U tilizando R uffini:
6 ~5 0 -3 2
2 1 2 14 28 50
6 7 14 25 L52
Q x) = 6 x 3 + 7 x 2 + 1 4 * + 25 
R = 52___________________
Ejem plo 4______________________________
Efectuar: (2 x 5 + 3V3* 4 + I x 3 + 2 ^ 3 x 2 - 3x + 3V3) + (jc + V 3)
U tilizando Ruffini:
2 3V3 7 2V3 -3 3V3
- V 3 - 2 ^ 3 - 3 - 4 V 3 6 - 3 ^ 3
2 V3 4 - 2 ^ 3 3 !_£
<2(a) = 2 x 4 + V3* 3 + 4a : 2 - 2- j3x + 3 
R = 0 (La división es exacta)
E jm pJsJ.____________________________
Efectuar: (3x 5 + 4 x 4 - 2 x 3 - -j x 2 + 2 x - 1 ) + (x - ■})
U tilizando Ruffini:
3 4 - 2 - 1 2 - i
1 2 4
4
T i
i á
9
3 6 2 1 13 L i
Q( x) = 3 x 4 + 6 x 3 + 2 x 2 + x + f
POLINOMIOS 13
E¡jemplo 6 _________________________
Efectuar: (2 Z 4 + 3¿Z3.+ 3 Z 2 + Z + 5) + (Z + 2 i) 
Utilizando Ruffini:
2 3i 3 1 5
- 2 i -4 i - 2 i —4—2 i
2 - i 1 1 —2 i i 1 —2 i
= 2 Z 3 - t'Z2 + Z +1 - 2í
R = l - 2 i _________________
Ejemplo 7______________________________
/
■ • Efectuar: [3Z 3 - ( 8 - 5¿)Z 2 + (1 + 3¿)Z - 3 + 9i] + (Z - 3 + 2 i)
Utilizando Ruffini:
3 -8+5i l+3i -3+9i
3-2i 9—6 i 1 —5i 2-1 Oi
3 1 - i 2 —2 i 1 - 1 - i
j ^ , ) = 3 Z 2, + ( l - i ) Z + 2 - 2 t 
R = ~ l - i _____________________
Eienwto 8___________________
Efectuar: ( 5 a 12 + 6 a 9 - 2 a 6 - 4 a 3 + 2 ) -* - ( a 3 + 1 )
A unque en esta oportu ­
nidad el divisor no es de la 
form a x + a, sin embargo, 
dado que los exponentes de 
la variable en el dividendo 
son múltiplos del exponen­
te de la variable del divi­
sor, efectuando un cambio 
de v a r ia b le , po d em o s 
e m p le a r la R eg la de 
Ruffini.
Haciendo x3 = y tenemos: + 6 _y — 2 y — 4 y + 2 ) ■+■ ( y + 1)
Utilizando ahora Ruffini:
5 6 - 2 - 4 2
- 1 -5 - ] 3 1
5 1 - 3 - 1 í_ 2
fitjr) = 5y 3 + y 2 - 3y - 1 
R = 3
Y, deshaciendo el cambio 
de variable:
Q x) = 5 a 9 + a 6 - 3 a 3 - 1 
R = 3__________________
POLINOMIOS
Ejemplo 9______________________________
Efectuar: (3* 2 5 - 6 a 20 + 2 a 15 - 7 a 5 - 2) + ( a 5 - 2)
Dado que los exponentos 
de la variable en el d iv i­
dendo son m últiplos del 
exponente de la variable 
del divisor, podemos efec­
tuar un cambio de variable.
Haciendo x5 = y tenemos: ( 3 y — 6 >’ + 2 y ' — l y — 2 ) + ( y — 2 )
Utilizando Ruffini:
3 - 6 2 0 -7 - 2
2 6 0 4 8 2
3 0 2 4 1 LO
f í v, = 3 / + 2 r + 4 y + l 
R = 0 (La división es exacta)
Y . d eshac iendo el cam b io
de variable: *____________________________
Q ( x ) = 3 x 2 0 + 2 x ' ° + 4 x 5 + \
R = 0____________________
( Ejercicio 2
Determinar Q(x, y R por el método de Ruffini:
1 ) ( 3 a 3 - 2x~ - 1 1 a + 7 ) + ( a - 2 )
2) ( 5 a 4 - 4 3 a 2 + 4 a + 4) -s- ( a + 3)
3) ( a 4 - 5 a 3 - 2 a + 8 ) - í - ( a - 5 )
4 ) U 5 + 1 ) + (jc + 1)
5) ( 3 a 4 + 7 a 3 + 8 a 2 + 1 4 a + 7 ) ^ a + - ^
6 ) ( 6 a 4 + 5 a 3 - 9 a 2 - 1 3 a + 1 0 ) - ( a
0 ) ( 4 a 4 - a 3 + 2 a 2 - 2 a + 1 ) h - Í a - - Í 1
8 ) ( a 4 + 2 a 3 + A‘ + 2 A + l ) - 5 - ^ A + -^-j
9 ) (A 5 - 5 a 3 + 11 a + 5 V 2 ) - (A - < 2 )
(fí¡p
11) ( 3 a 5 - 5 3 a 3 + 2 \ ' 2 a2 - 7 a + v '2 ) + ( a + 3 ^ 2 )
12) ( a 5 - 2 a c 4 + a 2A 3 - 2 a 2 - 2 o A + l) + ( A - a )
(£$)) [ 2 a 3 + (3m —2 a ) * 2 + (ni2 - \)x~+anj2 - a 2m + a ]- 5- ( A - a + m)
( l4 ) (2 Z 4 - /Z 3 + Z 2 + 3Z - 2 f ) - ( Z - 0
POLINOMIOS 1
15) [Z 5 - Z 4 - iZ 3 + (4 + 7 i)Z 2 + 6 /Z - 4 + 2/] + (Z - 2 + i)
16) [(1 + i)Z 3 + ( 1 - 2¿)Z 2 + (1 - 1 li)Z - 8 i] + (Z - 3 - 2 i)
17) [(1 + 2r)Z3 - (5 + 5í)Z2 - 6 + 4 i] + (Z - 3 + i)
18) [2 Z 3 + (3 - 4 i)Z 2 - ( 2 - i )Z + 3 - 4 i] + ( Z - j - i )
19) (3x 6 - 7 x 4 + 7 x 2 - 8 ) + (x 2 - 2)
20) (x 1 5 + 6 x 1 0 - x 5 - 25) + (x 5 + 5)
21) (2 x 1 6 + 6 x 1 2 + x 4 + 4 ) + (x 4 + 3)
2 2 ) (6 x 2 l - 7 x l4 + 3 ) + | x 7 - i j
. 23) (3x 1 2 - 10x 6 + 7 x 3 + 6 ) + (x 3 + 2)
( 0 ) (ax 1 8 - 3axn + a x 6 + 5) + (x 6 - 2)
25) (3x 6 - 2 a x 4 + 5 a 2 x 2 - 6 a 3) + (x 2 - a)
26) (2 Z 9 + 3 Z 6 + 3iZ 3 - 1 ) (Z 3 + 1 )
27) [2 Z 2 4 + (1 - j)Z 1 6 - (22 - 1 5 i)Z 8 + 13] + (Z 8 - 3 + í)
28) (Z 8 + 4 )- í- (Z 2 - l - i )
División de un polinomio entre ax + b
M ediante una sencilla operación, puede también aplicarse la Regla de Ruffini 
en el caso de que el divisor sea de la form a ax + b.
T éngase sólo en cuen ta que, al rea liza r una m ism a operación con el 
D ividendo y con el D ivisor, el C ociente no se altera, pero el R esiduo s í queda 
afectado por la operación realizada. Esto es fácilm ente com probable m ediante una 
elemental división de números.
Si, por ejemplo, dividim os Dividendo y D ivisor entre 3, al realizar la división 
sintética no obtendrem os R sino R/3; si multiplicam os D ividendo y D ivisor por 5, no 
obtendremos R sino 5R. Veámoslo en la práctica:
Ejem plo 10_________________________________________________ '___________
Efectuar: (9 x 4 + 6 x 3 + 2 x 2 + x - 3) + (3x +1)
Debemos, para poder apli­
car Ruffini, llevar primero 
el divisor a la forma x + a.
Para esto dividimos entre 3
todos lo s térm inos del . , , 2 .
dividendo y del divisor: (3* + 2 x + - 5-X + -y X — l ) + (x + - )̂
Utilizando Ruffini:
3 2 } i - 1
- i -1 - i - f r
3 1 i í
6 POLINOMIOS
La operación realizada con 
el d iv idendo y con el 
d iv iso r no a fe c ta al 
cociente. Por tanto
El residuo, en cambio, sí 
q u eda a fec tad o por la 
operación. Por tanto lo que 
o b tuv im os al hacer la 
división no es R sino R/S:
Despejando R
Qix) = 3 * 3 + X 2 + ^ X ~ $
R = _ 29 
3 ” 27
E im p te .il______________________________________________________________
Efectuar: + 5 x 2 - 9 x + 1 0 ) í-y +1
M ultip licam os todos los 
térm inos del dividendo y 
del d iv iso r por 7 para 
llevar éste últim o a la 
forma x + a
Utilizando Ruffini:
El cociente no se alteró 
por la operación realizada, 
por tanto
( l x i + 35 x2 r- 63x + 7 0 )+ (* + 7)
7 35 -6 3 70
- 7 -4 9 98 -24,5
7 -1 4 35 -175
g x) = l x 2 - 1 4 * + 35
En cam bio, el residuo sí, 
por lo cual no obtuvimos R
sino IR: 7R = —175
Despejando R:
EknuteJL
R = -2 5
Efectuar: (4 x 25 + 8 * 2 0 - x ' s - 2 x 10 + x 5 - 1) + (2 x 5 - 1)
Hacemos, en primer lugar,
d C am bio de V a ria b le . ^ + &y, _ y , _ l y í + y _ , ) + ( 2 y _ , )
Dividiendo ahora todos ios 
términos entre 2 : (2 y5 + 4 / - ± y 3 - y 2 + ± y - ± ) + ( y - ± )
2 4 - i -1 i -
_ i i ____ i ____ I____2_
2 5 2 0 i
*
E l co c ien te no se h a _ 9 4 _j_ 3 j . 9 v 2 -í-A
alterado, el residuo sí: **(>•> _ + - V + z / + T
_-L
4
POLINOMIOS 1 7
Despejando R:
D eshaciendo el C am bio de 
V ariable:
Ejemplo 13_____________________________
Efectuar: [(3 - 4 i)Z 3 + (1 - 8 i)Z 2 + (4 + 3/)Z + 14 - 7/] - [(2 - i)Z + 5]
/
D iv id im o s to d o s lo s r .0 , / , , , -7I r -7 , o , -l
términos entre 2 -i: P ~ ‘^Z + < 2 - 3 ‘>Z + d + 2«)Z + 7 j + [ Z + 2 + l]
U tilizando Ruffini:
2 - i 2 -3 i l+ 2 i 7
- 2 - i -5 3+9i 3-26i
2 - i - 3 -3 i 4+11 i 10—26i
El cociente no quedó 
alterado, el residuo sí:
— = 1 0 - 2 6 /
2 - i
D espejando R: /? = (2 - /) (1 0 - 2 6 / )
|~ f t = - 6 - 6 2 /
( Ejercicio 3
Determinar Qfx) y R por el método de Ruffini:
1 ) ( 4 a 3 + 1 0 a - 3 a + i ) + ( 2 a - 1 )
2 ) ( 9 x 4 + 6 x 3 + a 2 - 3 a + 1) + (3 a + 1)
© ( 6 x 3 - x 2 - a + 3 ) + (3 a - 2 )
4 ) ( a 3 - 2 a 2 - a - 2 ) + ( 2 a - 5 )
5) ( 5 a 4 - 3 a:3 -■^■a - 1 5 ) + ( 5 a + 2 )
6 ) ( 2 x 4 - a x 3 - 8a '2 + 2 a x + 2 a 2 ) + ( 2 a -
7) ( 3 x 3 - 4 i x 2 - a + 6 ) + (3 a - / )
8 ) (-i x 3+ j x 2 + a - 7 ) + ( í a + 1 )
® ( * * ’ - U 2 - * ) + ( ± x - l )
( ^ 4
- b x 3 + -*-a2 — 3¿>a + 3 a b 2 j +• ( 4 a
1 1 ) (4 Z 3 + 2/Z - /Z - 4 + 2/) + (2Z - 1)
1 2 ) [2 Z 3 + ( 6 - 3/)Z + 3 - /] + (2 Z - 1 - 3 / )
Q Z) = (2 ~ 'i )Z 2 - (3 + 3i )Z + 4 + 11/
Qix) = 2 x 20 + 5jc15 + 2 a 10 + + 
R = - \
POLINOMIOS
^ 3 p [(2 + 2*)Z3 + (5 - 3i)Z 2 - (1 - ¿)Z + 5 + 2 i] + (2Z +1 - 2 i)
14) (25*12 + 6 5 a :9 + 5 x 6 + 6 0 a:3 + 40) + (5*3 + 3)
15) ( | x 2 ,-2 jc '4 + j x 7 + i ) + (3jc7 - l )
16 ) [(7 + /)Z 3 - (10 - 5 í)Z 2 - (18 - 6 i)Z + 1 5 -1 0 /] + [(2 + i )Z - 5]
"17) [(4 - 7/)Z 4 - (21 - /)Z 3 - (26 - 13/)Z2 - (53 - 5¿)Z - 50 + i] +
+ [ ( 3 - 2 i ) Z - 1 3 ]
Teorema del Residuo (o del Resto)
/
El residuo R de la división de un polinom io por el binom io r + a e s igual 
al valor que tom a el polinom io para x = - a , es decir, P,.a):
Ert efecto , si llam am os QM 
al co c ien te y R al residuo 
que se ob tien en al d iv id ir 
P,xl por x + a, tendrem os, 
por la identidad fundam en­
tal de la división , que
R = P( - a )
P{x)= ( x + a ) Q ix) + R
Si en la iden tidad a n te rio r _ ^ _
hacem os x = -a tendrem os: i-a) ~ ' 'a + a ' ' + *
El p rim e r té rm in o de la 
d erecha se e lim ina po r ser 
- a + a = 0, p o r lo que 
resulta que
EÍ?mpjo_14____________
D eterm inar el residuo R de la división de P{x) = x 3 - 5 x ¿ - 3x + 2 por x - 2, 
sin efectuar la operación.
P o r e l T e o r e m a d e l
R es id u o , p a ra c a lc u la r R p _ p
basta hallar P,.2;. K ~ U-2)
= ( - 2 ) 3 - 5 ( - 2 ) 2 - 3 ( -2 ) + 2 
= - 8 - 2 0 + 6 + 2
= -20
( Ejercicio 4
.1 ) P{x)= 2 x A - 2 x * + 4 x 2 - 5 x + l
2) *P{X) s 2 jc 3 - 3 a : 2 + 5jc +1
Determ inar (̂l)> P(2)
D eterm inar P(¡), P(4),
POLINOMIOS 1 9
3) = A4 + a 2 - 2 Determinar P< M
u
4) = A3 + 2 a 2 + 3 a + 2 Determinar Pn-iV
5) * > S A 3 + a 2 + A + l Determinar P(\+2i) » Pi-J 2 )
C Ejercicio 5
Determinar en cada caso el residuo sin efectuar la división:
1) ( 3 a 4 - 2 a 3 + 4 a 2 - 7 a + 3 ) - * - ( a - 1 )
© ( 2 a 4 - 3 jc3 + 2 a 2 - 2 x - 12) + ( a + 1 )
3) ( a 5 - 5 x 4 + 7 a 3 - 8a 2 + 1 O a + 9 ) - ( a - 2)
é ( x 3 + 7 . r 2 + 1 5 . r + l ] ) - K x + 3)
( Z 5 + 2 Z 4 + Z 3 - 3 Z 2 + 3 ) - K Z + í )
6) (Z 4 + 3 Z 3 + 4 Z 2 + 1 0 Z + 3) + ( Z - 2 i )
Criterio de divisibilidad de un polinomio por x + a
Sabem os, por el teorem a anteriorm ente dem ostrado, que el residuo de dividir 
PM por x + a es P,.a,
R=P,-a)
Sabemos, por otra parte, que una cantidad es divisible por otra si, al efectuar 
la operación, no queda residuo.
Relacionando am bos conceptos, tenem os que un polinom io P (x) es divisible 
por x + a si P(-ap el residuo, es igual a cero.
(x + a ) / » _ a ) = 0
Si = 0 , decim os q u e -a e s u n a ra íz o u n c e ro d e P(x)i p o r q u e a l s u s t i tu i r 
la variable por - a el polinom io s e a n u la .
Recíprocamente, k e s r a íz d e P(x), s i Plkl = 0.
Problemas sobre división de polinomios
Ejemplo 15_____________________________
D eterm inar c u á l d e b e s e r e l v a lo r d e m p a r a q u e a l d i v i d i r e l p o l in o m io
u>P & 2 a 3 + o t a 2 + ( 3 o t - 1 )a + 5m p o r a + 1 e l r e s id u o s e a 8 .
El residuo dela división 
será y, según las 
condiciones del problem a, _
éste debe ser igual a 8: “(-i > — °
portanto : 2 ( - l ) 3 + o t ( - 1 )2 + ( 3 o t - 1 ) (—1) + 5 o t = 8
Resolviendo:. - 2 + OT - 3 o t + 1 + 5 o t = 8
*
De donde m _ 3 I
20 POLINOMIOS
E m m ls-L L
Determ inar m para que P x) = 5 x 3 + ( m - 9 )x 2 - 3 x + m - l sea divisible por
2 .
P ara q u e se cu m p lan las 
c o n d ic io n es del p rob lem a, 
el re s id u o de la d iv is ió n 
debe ser cero:
Por tanto
^ , = 0
5 (2 ) 3 + (m - 9) (2 ) 2 - 3 (2) + m - 1 = 0
Resolviendo: 40 + 4 m - 3 6 - 6 + r a - l = 0 
5m - 3 = 0
3 m = — 
5
Ejemplo 17
D eterm inar cuál es el valo r que debe tom ar m para que el polinom io 
P(x) = 2 x 4 + (ni+ 2 5 )x } + ( \ 2 m - l l ) X 2 - ( \ 4 m - 2 4 ) x + m + 2 sea d iv is ib le p o r 
x + 13.
S egún las co n d ic io n es del 
p rob lem a , e l residuo d e b e , 
ser nulo, es decir,
Pero c a lcu la r P ,., ,, o rig ina 
la aparic ión de can tidades 
m uy g ran d es . E ste in c o n ­
v en ien te se e lim in a si, en 
lugar de ob ten e r el residuo 
calcu lan d o P,. 1(|, lo h a lla ­
m os e fectuando la d ivisión 
com pleta.
U tilizando Ruffini:
El residuo de la d iv isión es 
14»? + 28 , y é ste deb e se r . 
igual a cero pa ra que P , v 
sea d iv isible pora: + 13:
2 m+25 1 2 m -l 1 -14m +24 m + 2
-1 3 -2 6 -13m +13 13m -26 13m+26
2 m - 1 - m + 2 -m - 2 1 ,14m+28
14 m + 28 = 0
m = - 2
Ejemplo 18
D eterm inar cuál debe ser el valor de m para que una de las raíces del 
polinom io P{ v) = x 4 - m x 1 + (m 2 + l ) x + 3m 2 +1 sea - 2.
Para que - 2 sea ra íz o cero _ A
de P ,lv debe cum plirse que (- 2 ) ~ ^
POLINOMIOS 2 1
P or tanto
R esolviendo:
( - 2 ) 4 - m ( - 2 ) 2 + (m 2 + 7 ) ( - 2 ) + 3m 2 + 1 = 0 
\ 6 - 4 m ~ 2 m 2 - 1 4 + 3m 2 + 1 = 0 
m 2 - 4 m + 3 = 0
Factorizando: ( m - 3 ) ( m - l ) = 0
D e donde m, = 3 
m2 = 1
( Ejercicio 6
Determinar en cada caso el valor que debe tomar m: 
d j / para que P(t) = r 3 + m 2 + ( m - 3)x + 10 sea divisible por x - 2.
para que P(x)-= m x 3 - I m x + 2 adm ita la raíz -3 .
3) para que P(:) = m x 3 + m 2x 2 + (3m2 - m ) x + 4 m 2 - 2 m — 24 sea d iv isib le
por x + 2.
4) para que P(xj = 2 x 4 + m x 3 + (7 - m )x 2 + m 2x - I m +1 adm ita la raíz 1.
6 ) para que al dividir P{x) = x 3 - m x 2 + (lOra - 15)x - 1 5 m - 30 entre x - 5 el 
residuo sea R = - 1 0 .
7) para que al dividir P(x) = m x 3 + 2 m x 2 + 3m x + 4 m + 7 entre x + 3 el residuo 
sea/? = 5.
8 ) para que al d iv id ir P{x) = ( m - 3 ) x 3 + 3 x 2 + m x + m + 2 en tre x + 1 -e l 
residuo sea 1 0 unidades m ayor que si se divide entre x + 2.
ei residuo sea ¿o unidades m enor que si se divide entre x - z.
1 0 ) p a ra que la d ife re n c ia de l re s id u o que se o b tie n e a l d iv id ir
P(x) = m x3 - (2m - 3 )x 2 + ( 5 m ~ \ ) x + 2m entre x + 1 y e l residuo que se 
obtiene al dividirlo entre x - 1 sea igual a 6 . 
fTl)j para que al dividir P(x) = 3jc2 - 5 x - 4 entre r - m el residuo sea R = -2 .
12) para que P(x) = 6 x 2 + x - 1 sea divisible por x + m.
Ejemplo 19_____________________________
Determ inar m y n para que P{x) = x 3 + m x 2 + n x - 2 Q sea divisible por x - 5 
y por x - 2 .
Si P ,x) e s diviíiib le por
x - 5 , en tonces
2 2 POLINOMIOS
Por tanto 125 + 2 5 m + 5/i - 20 = 0
Sim plificando:
S i P ,„ es, adem ás, d iv is i­
ble po r x - 2 . entonces
Sim plificando:
Form am os un s istem a con 
las ecuaciones I y II:
25m + 5 n = -1 0 5 
5 m + n = -21
^ 2 , = 0
8 + 4 m + 2 n — 20 — 0 
4 m + 2n = \2 
2 m + n = 6
5m + n - -21
2 m + n = 6
( I)
(II)
La solución del sistem a es: m = - 9 
n = 24
Ejemplo 20_____________________________
D eterm inar m y n p ara que P[x) = 6 x 3 + m x 2 + r a
2 x 2 - x - 3
Si u n a can tidad cualqu iera 
e s d iv is ib le p o r un p ro ­
ducto , es d iv isib le tam bién 
po r cada un o de los fac to ­
res q u e co m p o n en d ich o 
producto.
C o m o e n n u e s tro caso 
2x~ - x - 3 = ( 2 x - 3 )(* + 1)
Plxl debe ser d iv isib le por 
c ad a un o de lo s fa c to re s 
( Ix - 3 ) y (x + 1) pa ra que 
s e a d i v i s i b l e p o r 
2x2 - x - 3 . Y las ra íc e s - 
de esos b inom ios deben ser 
tam b ién ra íces de P,„. Por 
tanto.
¡ i r 0
- 3 sea d iv isib le
D esa rro llan d o la p r im e ra 
igualdad:
¿ 2 7 9 3 , A
6 ------- 1— m -1— n — 3 = 0
8 4 2
POLINOMIOS 2 3
M u ltip lic an d o -la ecuac ión 
p o r 4:
S im plificando:
D e sa rro llan d o la seg u n d a 
igualdad:
F o rm am os un s istem a con 
las ecuaciones 1 y II:
81 + 9m + 6n - 3 = 0 
9 m + 6 n = -6 9
3 m + 2 « = -2 3
- 6 + m - « - 3 = 0 
m - n = 9
3m + 2n = -2 3 
m - n = 9
( I)
( I I )
L a solución del sistem a es;. m = - 1 
« = - 1 0
Ejemplo 21
Hallar m y n para que P(x) = 2 x 3 + m x 2 + n x - 2 1 sea divisible por x 2 + 9
,v" + 9 no tie n e ra íc e s 
r e a le s . S u s r a íc e s so n 
im aginarias: ± 3i
E s ta s d eb en se r tam b ién 
ra íces de P,,¡ y, po r tanto:
D e sa rro llam o s la p rim era 
igualdad:
Efectuando las potencias:
Sim plificando:
R ed u c ien d o las p o ten c ias 
de i:
A grupando la parte rea l y 
la im aginaria:
^ ) = °
* U > = o
2 (3i)3 + m (3/)2 + n (3 i) - 27 = 0 
5 4 i3 + 9m i2 + 3ni - 27 = 0 
18/3 + 3 m i2 + n i - 9 = 0 
- 1 8 í - 3 m + m ~ 9 = 0
-3 m - 9 + (« - 1 8 ) ¿ = 0
Igualando las partes reales: —3m — 9 = 0
de donde m = — 3
Igualando las im aginarias: « —18 = 0
de donde « = 18
2 4 POLINOMIOS
Nota: El problem a del ejercicio anterior quedó resuelto desarrollando tan sólo la 
ecuac iónPa¡) = 0 . Desarrollando la segunda, P{_3¡) = 0 , hubiéram os obtenido - 
exactamente el mismo resultado.
Ejemplo 22_____________________________
D eterm inar si es divisib le por x - 2 un polinom io de tercer grado cuyo 
térm ino independiente es -2 , es divisible por x 2 +1 y al ser dividido por x + 3 arroja 
un residuo de -50 .
Para poder de te rm inar si el 
po linom io es d iv isib le por 
x - 2 d ebem os prim ero c o ­
nocerlo.
S abem os q u e es de te rcer 
g rad o y q u e su té rm in o 1
in d epend ien te es - 2 . T en- = , 2 , r _ ?
drá, po r tanto, e sta form a: r (x) “ T T ^
Si e s d iv is ib le po r x 2 + 1, _ _
debe cum plirse que (0 —
D esarro llando la igualdad: q . g ¿2 + 0 — 2 = 0
R éd u c ien d o las p o ten c ias 
de i:
A g ru p a n d o p a rte rea l y 
parte im aginaria:
Ig ua lando , a c e ro am b as 
partes:
de donde
- A i - 6 + 0 - 2 = 0 
- B - 2 + (~A + C)i = O
- 5 - 2 = O 
5 = - 2
y - A + C = O (I)
Si al d iv id ir en tre x + 3 • 
se o b tien e u n re s id u o de _
-5 0 , tenem os que: (-1) ~ —^
D esarrollando: -27A + 9 5 - 3C - 2 = -5 0
S ustituyendo el va lo r cono ­
cido de B: - 2 7 A - 1 8 - 3 C - 2 = -5 0
-2 7 A - 3C = -3 0
Sim plificando: _ 9 ¿ _ C = _10 (II)
POLINOMIOS 2 5
F orm am os un sis tem a con 
las ecuaciones I y II: -A + C = 0 
-9 A ~ C = -10
La solución del sistem a es: A = l 
C = 1
E l p o lin o m io será, e n to n ­
ces: = x - 2 x + x - 2
V e rif ic a m o s ah o ra si es 
d iv isib le por x - 2 , p a ra lo
cual calcu lam os P,2): p = 2 3 — 2 - 2 2 + 2 — 2
P(2) - 0
Por tanto P.x) es divisible p o rx -2
( Ejercicio 7
1) Determ inar m y n para que P(x) = 3x 3 + m x 2 + n x - 6 sea divisible por 
x + 1 y por x - 3.
2) Determ inar p y q para que P{x) = 3jc3 + + ^ x - 2 sea divisible por
jc + 2 y por x - 1 .
3)) D eterm inar A y B para que P(x) = x 4 + Ajc3 + Sjc2 - 3x + 7 sea divisible 
por x 2 - 1
4) Determ inar m y ti para que PU) = x 3 + m x 2 + n x - 1 5 sea divisible por 
x 2 + 2 x - 3 .
5) D eterm inarm, n y p p ara que Píx) = x 4 + m x 3 + n x 2 + p x + 6 sea
divisible por x + 1, por x - 2 y por x + 3.
6 ) D eterm inar m, n y p p ara que P(x) = x 4 + m x 3 + n x 2 + p x + 1 2 sea
divisible por x - 1 y por x 2 - 4 .
7) D eterm inar p p ara que P(x) = x ' , + 1 + px" +3X ' 1' 1 + 7 sea divisible por
x - 1 .
8 ) D eterm inar p y q para que .P{x) = p x 2" + 3 x ”+l + qx" - 7 sea divisible 
por x 2 - 1 (n - entero impar).
9) Determ inar p y q para que al dividir P(x) = x 3 + p x 2 + q x - 2 entre x - 2
. y x + 3 los residuos sean, respectivamente, 20 y 25.
10) Determ inar m y n para que al dividir P(x) = 2 x 3 + m x 2 + n x - l l entre
x + 1 y x + 2 los residuos sean, respectivamente, - 8 y -3 .
2 6 POLINOMIOS
11) ^ D e te rm in a r m, n y p para que P(x) = x 2 + m x 2 + n x + p sea divisible por
x - 1, y al dividirlo entre x - 2 y x + 3 los residuos sean, respectiva-
A lente, 1 1 y 16.
V ̂ -y
12) Determinar A , B y C para que s x + A * ' + Bx + C sea divisible por 
- x 2 - 3* + 2 y al dividirlo entre x - 3 el residuo sea 16.
13) Construir un polinom io de tercer grado cuyo prim er coeficiente sea 1, 
sea divisible por x - 2 y ; c - 3 , y a l dividirlo entre x - 5 el residuo de la 
división sea 36.
14) Construir el polinom io de tercer grado cuyo térm ino independiente es 2,
es divisible por * + 2 y al dividirlo entre x + 1 y x + 3 los residuos son,
■ • respectivamente, 6 y -28 .
15) Determ inar el residuo que se obtiene al dividir un polinom io de tercer 
grado por 2x + 1 sabiendo que dicho polinom io es divisible por x 2 - 4 , 
al d ividirlo entre x - 1 el residuo es - 6 y sabiendo que el térm ino 
independieqte del polinomio es -4 .
16) D eterm inar m y n para que P(x) s x 2 + w u 2 + n x - 3 sea divisib le por 
x 2 + l .
17) D eterm inar A , B y C para que P{x) = A x 4 + B x 2 + C x 2 - 5 x + 6 sea
divisible por x 2 + 1 y al dividirlo entre x - 1 el residuo de la división 
sea 4.
18) Determ inar A, B, C y D para que P{x) = x 5 + A x 4 + B x 3 + C x 2 + D x - 16 
sea divisible por x 4 - 16.
Método de Horner 
(para expresar un polinomio en x en términos de x + a)
Si, dado P (xl,-querem os encontrar un polinom io P (t+0J equivalente al anterior, 
podem os conseguir nuestro objetivo a través de una serie de divisiones y aplicando 
la identidad fundamental de la división P(x) = (* + a)Q lx) + R tal com o se ilustra en
el siguiente ejemplo:
Ejemplo 11___________________________
Dado P(x) = 2 x 4 — 1 3jc3 + 25.x2 - 1 5 * + 6 , determinar Plx_2).1 (A )
Dividamos P lxl por x - 2 
utilizando Ruffini:
A plicando la identidad de 
la división, tenemos:
2 -13 25 -1 5 6
2 4 -1 8 H - 2
2 - 9 7 - 1 L J
ü . , = (x - 2 ) (2 * 3 - 9 ^ - 7* - 1 ) + 4 (I)
M,,,
POLINOMIOS 2 7
Dividamos M m por x - 2 :
- . 4 -
- 5
7
10 .
-1
j=6
-3 I -7
A p lican d o la id en tid ad de 2 * n
la división: M u ) = ( * " 2 H 2 * " 5 * - 3 ) - 7
Sustituyendo en (1): 
Multiplicando:
P(x) = (jc - 2 ) [ ( ; t - 2 ) ( 2 a :2 - 5 * - 3 ) - 7 ] + 4
PM = ( x - 2 ) { 2 x 2 - 5 x - l ) - l { x - 2 ) + 4 '
(II)
D ividam os N(x, por x - 2 :
- 5 - 3
_ 4 z 2
2 - 1 1 - 5
A p lican d o la iden tidad de
la división: N « ) = ( x - 2 ) (2 x - - 5
Sustituyendo en (II): P(x)= ( x - 2 ) 2 [(x - 2) (2 x - 1) - 5 ] - 7 (x - 2 ) + 4
Multiplicando: = ( x - 2 ) 3(2 x - 1) - 5 ( x - 2)2 - 7 ( x - 2 ) + 4
(III)
D ividam os Tu, por x - 2 :
2 -1 
4
2 U
Aplicando la identidad de — o a
la división: — (-* — 2 ) - 2 + 3
Sustituyendo en (III): /> ^ = ( x _ 2 ) 3[ ( * - 2)- 2 + 3 ] - 5 ( * - 2 ) 2 - 1 ( x - 2 ) + 4
Multiplicando:
Plx_2) = 2 (x - 2 ) 4 + 3 (jc - 2) - 5 (* - 2 ) 2 - 7 (jc - 2) + 4 (IV)
El M étodo de H orn er es una disposición que nos perm ite realizar este 
proceso de form a m ucho más sencilla m ediante d ivisiones reiteradas, tal com o 
mostraremos a continuación:
POLINOMIOS
T om em os P l(} del e jem p lo 
an terio r y d iv idam os re ite ­
radam ente po r .v - 2 :
E sc rib a m o s la ex p re sió n 
IV obtenida anteriorm ente:
Podem os observar que los residuos obtenidos cada vez que realizam os una división 
son los coeficientes, en orden creciente, de las potencias de x - 2 .
Ejemplo 24
Expresar Plxj = 3 a 4 + 8a " - a 2 - 9 a - 1 4 en térm inos de a + 1.
U tilizando H orner:
- 1
3 8
- 3
- 1
-5
- 9 -1 4 
6 3
3 5 - 6 - 3 1 -11
- 1 -3 - 2 8
3 2 - 8 5
- 1 -3 1
3 - 1 -7
- 1 -3
3 1 -4
P<x- „ = 3 ( a + 1 ) 4 - 4 (a + 1) 3 - 7 ( a + 1) 2 + 5 ( a + 1 ) - 1 1
Ejemplo 25
( X )
U tilizando H orner
Ply] = x 3 + ( 3 - 3 í)a 2 + ( 6 - 6 ¿)a - 6 - 8 i; calcular P(XJr2-¡)
-?+ i
1 3—3i 
- 2 +i
6 - 6 i
5i
- 6 - 8 i 
—1 1 —8 i
1 1 —2 i 6 - i 1 -1 7
- 2 +i - 2 +i 3+i
1 - 1 - i L 9
- 2 +i - 2 +i
1 Lr-3
Píx_2l = 2 ( a - 2 ) 4 + 3 ( a - 2 ) 3 - 5 ( x - 2 ) 2 - 7 ( a - 2 ) + 4
POLINOMIOS 29
P(x+2-n = (•* + 2 - « ) 3 - 3 (a + 2 - í ) 2 + 9 ( a + 2 - 1) - 17
EjtmpJffM . ____________________________
Pu) = 16a4 - 8a 3 + 16a2 - 8a + 5; determinar P{2x_ 1}
U tiliz an d o H o rn er, vam os 
a d e t e r m in a r p r im e -
" ' K f
16 - 8 16 - 8 5
1 / 2 8 0 8 0
16 0 16 0 L 5
1 / 2 8 4 2 0
16 8 2 0 1 2 0
1 / 2 8 8
16 16 1 28
1 / 2 8
16 L24
Para ob ten er P(2x -l) h a re ­
m os las s igu ien tes transfo r­
m aciones:
En definitiva:
24HJ=24ñrí=24
^ = ( 2 , - . r
( 2 a - l ) 3
28 a = 2 8
2 a - 1
= 28
( 2 a - l ) 2 
22
= 3 ( 2 a - l ) 3
= 7 ( 2a - 1)"
pn*-\) = (2* - 1) 4 + 3 (2 a - 1) 3 + 7 (2 a - 1) 2 + 1 0 (2 a - 1 ) + 5
Ejemplo 27 ____________
P{x)-= 9 a 3 - 1 5 a 2 + a + 14; determ inar P0x+2)
U tilizan d o H orner, vam os 
a d e te r m in a r p r im e r o
3 0 POLINOMIOS
H)'
T enernos que:
Para ob ten e r ¡ \ 3a+2, ha re ­
m os las s iguientes transfor-
En definitiva:
( 2 Y ft('3 a + 2 Y
( , + - j = 9 (
. 3 J' . , S ^ f í , i 0 „ 2 f
-2A „ ( 3 x + 2 \
3 3 [ jc + - | = 33| = 11(3a + 2)
/>, „ = i (3a + 2 ) 3 - — (3x + 2 ) 2 +11 (3x + 2 ) + 4(3.1+2)
( Ejercicio 8
Determinar P,U+3)
Determinar P,( x - 2 )
Determinar P,U + 2 )
Determinar P,(.r-n
Determinar P
1) /> r) = 3 a :3 + 10 .x 2 + 4.x + 5
2 ) P xl = x 4 - 3 a 3 + 2 .x 2 + a- + 3
3 ) PIT, = 2 a 4 + 4 a - - 3.x2 + x + 1 0
4 ) P¡ t) = a 4 - 4 .x 3 + -3 .x2 - 2 a + 1
5) P[x) = 2 a 4 + \ /2 .x 3 - 5 a 2 - \ 2 a + 1
6 ) P{fi = a 3 + ( 2 - 3 a ) A 2 + (3a2 - 4 a + 3 ) A - a 3 + 2 a 2 - 3 a + l
Determinar Pu._(l)
7 ) Pi v ) = a ' - ( 3 m - 1 ) a 2 + ( 3 m : - 2 m + 1 )a - m 3 + m 2 — 2 Determinar P{x_m)
8 ) P(x) = x 4,+ (2 + 4 / ) a 3 - ( 6 - 6 i )a 2 - ( 8 + 4 i)x +1 - i Determ inar Pfx+i)
9 ) P{ v) = a 3 - ( 2 + 3 / ) a 2 + (3 + 4 / ) a - 2 - 5 i Determinar i ^ _ W)
( W 2 )
POLINOMIOS 3 1
1 0 ) P(xi) = x 20 - 5 x 15 + 7 x 10 - l x 5 + 4
1 1 ) P , = * 9 - 4 * 6 + 5 x 3 - 7
' (x )
1 2 ) Plx)= S x 3 + 4 x 2 - 3
1 3 ) P(¿ = 8 : t 3 - 2 4 x 2 + 28 jc - 1 1
1 4 ) P(x) = 2 7 x 3 - 2 7 x z + 15x + 2
1 5 ) P(x) = 8 jc3 - 4 8 ^ 2 + 9 0 jc - 3
1 6 ) P(x)= 4 x 3 - 2 2 x 2 + 4 x + 7
1 7 ) Plx)s 9 x 4 + 2 4 x 3 - 2 j t 2 + 1 5 x + 7
18) P(x)= S x 4 - 3 2 x 3 - 4 2 x 2 +9%x + 330
Determinar 
Determinar P , „(•<" -3)
Determ inar Pf2x+,»
Determ inar ^ 2v_3)
Determ inar /^3jr_1)
Determinar /^2i_5)
Determ inar P(2x_,> 
/
Determ inar /}3r+l) 
Determ inar P(2x_7)
Variante
Hallar 1“ V+(J) equivalente a y que carezca de un cierto término.
La tarea consiste en determ inar cuál debe ser el valor de a para que P(x+a) 
carezca del térm ino indicado.
Utilizaremos un ejemplo concreto para explicarlo:
Eiempk? 28____________________
D ado P(x) = x 3 - 9 x 2 + 2 4 x - 1 7 determ inar P{x+a) tal que Pix+a) carezca del 
térm ino de segundo grado.
H acem os el siguiente C am ­
bio de Variable: x + a = y
y. po r tanto. x = y - a
C alculam os P,
p(y-a) = (y~ aí - 9(y - af + 2*{y - a) - 17
D esarrollando: = y 3 - 3ay 2 + 3 a 2 y - a 3 - 9 y 2 + 1 8 ay - 9 a 2 + 24y - 24a - 1 7
R e d u c ie n d o té rm in o s y 
sacando fac to r com ún:
= y 5 - (3a + 9 ) y 2 + (3 a2. + 1 8a + 24)y - a 3 - 9 a 2 - 2 4a - 1 7 (1)
P a ra q u e e s te n u e v o 
p o lin o m io n o te n g a e l 
térm ino de segundo grado,
debe cum plirse que 3a + 9 = 0
de donde
POLINOMIOS
Si a tom a el valor - 3 , el 
p o l in o m io r e s u l ta n te 
no tendrá el término
cuadrático.
P a ra c a lc u la r P((_3)
tenem os dos opciones: la 
p rim e ra , h a c e r en la 
ecuación ( 1 ) las siguientes 
sustituciones:
la segunda, calcular P(x_3)
a partir de Phl utilizando el 
Método de Homer.
Seguirem os este segundo 
camino:
En conclusión:
y = x - 3 
a = - 3
1 - 9 24 -1 7
3 3 -1 8 18
1 6 L i
3 3 - 9
1 -3 L = a
3 3
1 LQ
Dado P(x) a 2 x 3 + 7 x 2 + 4 x + 2 determinar P(x+a) tal que P(x+a) carezca del 
término de primer grado.
Hacemos el siguiente Cam ­
bio de Variable:
y, por tanto. 
Calculamos
x + a = y 
x = y - a
pi y - a ) = 2 ( y - a )3 + 7 ( y ~ a f + 4 ( y - a ) + 2
Desarrollando: _ 2 y i _ 6 a y 2 + 6 a 2y - 2 a 3 + l y 2 - 1 4 ay + 7 a 2 + Ay - 4a + 2
R educiendo térm inos y , , , ̂ ,
sacando factor común: ~ 2 y ~ — 7)y + ( 6 fl — 14a + 4)_y — 2a + la ~ — 4tf + 2
P ara q ue e s te nuevo 
p o lin o m io ' no ten g a e! 
térm ino de prim er grado 
debe cumplirse que 6 a — 1 4 a + 4 = 0
POLINOMIOS 33
Sim plificando; 3 a 2 - 7 a + 2 = 0
Ecuación cuyas soluciones a — 2 
son: ' ,
E l prob lem a tiene, dos 
so lu c io n e s, pues tan to 
pix+2) com o p( n 
r +3j
satisfacen la condición. 
Primera solución:
P{x+2)= 2 ( x + 2 ) ' - 5 ( x + 2)2 + 6
Segunda solución:
J i V j 1V 34P, , = 2 \ x + - \ - 5 x + - \ + —
M V 3J 3 J 27l 3 Í v
( Ejercicio 9
Determ inar en cada ejercicio P(x+a) tal que P{x+a) carezca del térm ino que se 
indica entre paréntesis.
1) P ,, = x 3 - 6 x 2 + 5x +1 (Término de segundo grado)
2 ) s 3 x 3 + 9 x 2 + 5x + l (Término de segundo grado)
3) P ^ £ 2jc3 - 30jc2 + 120a: - 25 (Término de segundo grado)
4) = Axl - \ 2 x 2 -+-1 3jc — 7 (Término de segundo grado)
3 4 - POLINOMIOS
5.) ^ 0 = x 3 - 9 x 2 + l l x + 2 (Término de segundo grado)
6 ) = x 3 - 3 x -+2 (Término de primer grado)
7 ) = x 3 + x 2 - 5 x + 2 (Término de primer grado)
8 ) , *?,> = 2 a :3 + a 2 - 4 x + 1 (Término de primer grado)
9 ) 3 , , = x 3 - x 2 - 1 6 a : - 1 0 (Término de primer grado)
1 0 ) *í,> = x 4 + x 2 - 3a : 2 - 3a: + 4 (Término de segundo grado)
Factorización de un polinomio en x
Ya vimos que, si PM es divisible por x + a , entonces P,.a) = 0 y - a es raíz o 
cero de Plx). 
Recíprocamente, si Plk) = 0, podem os concluir que k es raíz de P(x) y que P U) 
es divisible por x - k .
S u p e r n o . que uu p o „ - P u ¡ a a o X , , + a ¡ x „ + .......... + a i _tX + ü t
de g rad o n tiene n ra íces
distin tas: G-i > ® 2 ’ ^ 3’ ..........»®vi
1) Al s e r a , ra íz de P (l) 
p o d e m o s a f i r m a r q u e
pia,)=Q y clue «
d iv is ib le p o r x - a, y en 
consecuencia PU) = { x - a x)-Qx̂ (I)
d o n d e Q , , A) s e rá un 
po linom io de g rado » - 1 
c u y o p rim e r c o e f ic ie n te 
será U(¡ (p o r la reg la de 
Ruffini).
2) D ado que a , tam bién es 
ra íz de P ,,, debe cum plirse
que PWl i = 0 y , po r tanto. . = ( « 2 “ a i ) ' , = 0
C om o o s — «1 * 0 po r ser 
c a n t i d a d e s d i s t i n t a s , 
n ecesariam en te Q\Ux ) = 0
y en e se c a s o 0 1(v) es 
d iv is ib le p o r .v - a , . En 
consecuencia
s iendo Q2 {x) un po linom io 
de g rad o n - 2 cuyo p rim er 
coefic ien te es a¡,.
POLINOMIOS 35
S u s ti tu y e n d o en (I) t e ­
nem os:
3 ) Al ser cr3 ra íz de PM se 
cum ple que V . ) = °
N u ev am en te , ' 0:3 - a ¡ & 0 
y ' a 2 - a 2 *0 . por lo que
02,0,) =0 y &<,> es
divisible por .Y -ct3:
s iendo Qj,(x) un po linom io
de g rado n - 3 cuyo p rim er 
coefic ien te es a0.
S ustituyendo en (II):
4) P ro sig u ien d o en fo rm a 
id é n tic a o b te n d re m o s la 
igualdad
siendo Qn( r) un polinom io
de g rado cero cuyo p rim er 
coefic ien te es a0.
Si Qn(x¡ es un po linom io 
de g rado cero, se tra tará de 
un po lin o m io constan te y, _
en tal caso *¿tu> — a <>
Sustituyendo en (III):
P(x) = ( x - a , ) ( x - a 2) Q 2u)
P ax) = ( a 3 - a , ) ( « 3 ~ ( x 2) Q2{a0 = 0
Q2(x) = (X ~ 031 ( )
/
P{ x) = (X - a , ) (* - a 2 )(A- - a 3 ) • g 3ui 
; /»x) = u - a , )(.* - a 2 )(A- - a 3) ( x - a n) 0 „(I)
(II)
(III)
= a 0(x - a , ) ( * - a 2 ) ( * - £ * , ) ........U - a „ ) (IV)
que es la iden tidad que nos 
pe rm itirá fac to riza r un po­
lin o m io cu an d o co n o zc a ­
m os sus raíces o ceros.
Si su stitu im o s en (IV ) un 
nuevo v a lo r k. d is tin to de 
a , . a 2, Cf3 , , a „ . ra í­
ces d e l p o lin o m io , te n e ­
mos:
y , c o m o n in g u n o de los 
fac to res del m iem bro de la 
d e re ch a es igua l a cero , 
tam poco lo será P,Ll y en 
co n se cu en c ia k no puede 
ser un cero o raíz de Plxl.
En conclusión
Pa = a0(k - a . ) ( k - a 2) (k - a ?) ( k - a n)
Un polinom io P <x) de grado n no puede tener más 
de n raíces o ceros.
3 6 POLINOMIOS
Raíces múltiples
Es posible que un polinom io Plx) sea divisible no sólo por x + a, sino también 
por un grado más alto de x + a, por ejemplo, por (x + a)m. En tal caso se dice que - a
es una raíz* m últiple de Plxl o que P lx) tiene raíces m últiples o repetidas y m es el
orden de m ultiplicidad de la raíz -a.
■ Por ejem plo , sea p ̂ _ 3 * - + 3 * _ \
al fac to rizar, a p licando un
conocido producto no tab le , n i \3
tenem os: *
D ecim os en tonces que 1 es 
'r a íz m ú ltip le de P,s, y que 
e l o rd en de m u ltip lic id ad 
de esa ra íz es 3.
Raíces enteras de una ecuación
Sea la ecuación de segundo grado ( x - a ) (x - b) - 0 de raíces enteras x, = a 
y x2 = b. La ecuación desarrollada será x 2 - (a + b)x + ab = 0 en la que el térm ino 
independiente es el producto de las raíces de la ecuación.
De igual form a, al desarrollar la ecuación (x - a ) ( x - b ){x - c) = 0 de raíces 
enteras x , = a , x 2 = b y x , = c se ob tiene la ecuación x 3 - ( a + b + c ) x 2 + 
+ (ab + bc + ac)x - abe = 0 en la que el térm ino independiente es el producto de las 
raíces.
En general, en toda ecuación (x - a ) ( x - b ) ( x - c ) ........( x - n ) = 0 de raíces
enteras a, b, c, ....... , n el térm ino independiente de la ecuación desarrollada es el
producto de las raíces de la ecuación: Térm ino Independiente = a b e n .
Esta propiedad de las ecuaciones desarrolladas nos será de gran utilidad al 
em plear el M étodo de Ruffini para calcular las raíces enteras de una ecuación.
Acotación de raíces
Un número a es cota o lím ite superior de las raíces reales de una ecuación si 
no hay otras raíces mayores que a.
Un número b es cota o lím ite inferior de las raíces reales de una ecuación si
no hay otras raíces menores que b.
1) Si el realizar la división sintética en una ecuación con el núm ero a todos 
los coeficientes del cociente resultante son positivos, entonces a es la cota o lím ite 
superior de las raíces reales de la ecuación.
2) Si el realizar la división sintética en una ecuación con el núm ero b los 
coeficientes del cocien te resu ltan te son alternadam ente positivos y negativos, 
entonces b es la cota o lím ite inferior de las raíces reales de la ecuación.
po l in o m io s 37
Método de Ruffini
para resolver ecuaciones de raíces enteras
El método es de tanteo y consiste en hacer divisiones sintéticas con distintas 
raíces hasta obtener residuos nulos. Por las propiedadesanteriormente estudiadas, 
sabemos que tenem os que buscar esas raíces entre los divisores del término 
independiente, pues éste proviene de la multiplicación de las raíces.
Resolver la ecuación P{x) s x 4 + - 1 \ x 2 - 9x + 18 = 0
Buscamos los divisores del 
té rm ino independiente y 
construimos una tabla:
Tabla
de posibles raíces enteras 
±1 ±2 ±3 ±6 ± 9 ±18
D isponem os lo s c o e f i­
cien tes de las respectivas 
potencias de x para realizar 
la d iv is ió n s in té tica y 
probam os con la prim era 
de las posibles raíces:
Al probar con 1 se obtiene 
residuo nulo, por lo tanto 
dicho número es raíz de la 
ecuación:
1 1 - 1 1 -9 18
1 1 2 -9 -18
1 2 - 9 -18 Lfl
* i = l
A plicando la identidad de 
la d iv is ió n , p o d em o s 
escribir: P s ( j c -1 ) ( j c 3 + 2 x 2 -9 jc + 18) = 0 (I)
Repetim os el proceso con 
Mlxl. La Tabla de posibles 
raíces enteras sigue siendo 
la misma, pues el té rm in o . 
independiente sigue siendo 
18.
Al volver a probar con 1 
(puede ser raíz múltiple), y 
al probar con 2 , los resi­
duos que se obtienen son 
d istin tos de cero, por lo 
cual d ichos núm eros no 
son raíces de Mlxl y los eli­
m inam os de la T ab la de 
posibles raíces. Esta queda 
así:
38 POLINOMIOS
Tabla
de posibles raíces enteras 
-1 - 2 ±3 ±6 ± 9 ±18
A l p ro b a r co n 3 ( la s i­
guiente ra íz positiva), ob te ­
nem os cero en .e l residuo:
nueva raíz:
S ustituyendo en (I):
1 2 - 9 - 1 8
3 3 13 18
1 5 6 LQ
tenemos una
X = 3
M, V) = (x - 3 )(x 2 + 5 x + 6 ) 
/> = (Jt - 1)(* - 3 )(x 2 + 5 * + 6 ) = 0 (II)
O bsérvese que al realizar la 
d iv is ió n s in té tic a co n e l 
n úm ero 3 , los coefic ien tes 
d e l c o c i e n te o b te n id o 
resu lta ron todos positivos. 
E n c o n sec u en c ia , 3 e s la 
cota superior de las raíces 
reales de la ecuación.
P o r lo ta n to , a n te s de 
c o n tin u a r e l p ro ceso con 
Nlxl, e lim inam os de la tabla 
de posib les ra íces el 3 y los 
n ú m e ro s su p e r io re s a 3. 
E lim in a m o s tam b ién los 
n ú m ero s - 9 y - 1 8 . pues 
é s to s n o son ya d iv iso re s 
del térm ino independiente.
La T ab la queda así:
C o n tin u a m o s el p ro c e so 
para Nfxl p robando con -1 .
Al d a r re s id u o d is tin to de 
ce ro lo e lim in a m o s de la 
Tabla y probam os con -2 :
O b ten em o s re s id u o n u lo , 
por lo cual:
1 5 6
- 2 - 2 - 6
1 3 LQ
X = - 2
POLINOMIOS 3 9
y
Sustituyendo en (II):
N(x)= ( x + 2){x + 3)
PU) = ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( j c + 2 ) U + 3 ) = 0
Y las ra íces de la ecuación 
son:
(L a c u a r ta ra íz la le im os 
d ire c ta m en te de la e cu a ­
ción factorizada).
N o es necesario realizar por etapas el proceso descrito en el ejem plo anterior, 
sino que puede ser hecho en form a continua (ten iendo en cuen ta todas las 
observaciones que se hicieron), con idéntico resultado:
R aíces d e la ecuación:
Y , conociendo las raíces, 
podemos factorizar (de ser . 
necesario) la ecuación
utilizando la relación (IV ) f T ~ T~. T o w , r\
de la pág. 36: a ( * ~ 1 ) U ~ 3 ) ( * + 2 ) (jí + 3 ) = 0
Para realizar la búsqueda de las raíces enteras de una ecuación con la m enor 
pérdida de tiempo es conveniente prestar atención a las siguientes
Sugerencias
1) Cerciorarse de que la ecuación esté debidam ente ordenada en potencias 
decrecientes, sim plificar los coeficientes (si es posible) y sacar factor com ún si no 
existe el término independiente (con lo cual se obtiene ya la raíz x, = 0 ).
4 0 POLINOMIOS
2) Construir la Tabla de posibles raíces enteras con los divisores del térm ino 
independiente (positivos y negativos).
3) Realizar las divisiones sintéticas com enzando por lo núm eros positivos (de 
m enor a mayor) hasta alcanzar la cota superior de las raíces enteras.
4 ) ,P roseguir con las posibles raíces negativas (de m ayor a m enor) hasta 
. alcanzar la cota inferior o hasta term inar el proceso, si la ecuación sólo tiene raíces 
enteras.
5) Cada vez que se obtiene residuo distinto de cero, elim inar de la Tabla el 
núm ero con el que se probó la división.
6 ) Cada vez que se obtiene un residuo nulo, revisar la Tabla de posibles 
raíces para elim inar aquellas que ya no d iv iden e l térm ino independiente del 
polinom io restante o sean mayores que la cota superior, si ésta fue alcanzada.
7) Si la ecuación original tiene todos los térm inos positivos, la ecuación sólo 
puede tener raíces negativas. Si los térm inos de la ecuación original son alternada­
m ente positivos y negativos (y ningún coeficiente es nulo), ésta sólo tiene raíces 
positivas.
8 ) Un núm ero puede ser raíz, m últiple de la ecuación. Por consiguiente no se 
debe elim inar un núm ero de la Tabla hasta com probar que, efectivam ente, ya no es 
raíz del polinom io restante.
Ejemplo 31_____________________________
Resolver la siguiente ecuación y factorizar el polinom io del prim er miembro:
1 1 4 a :3 - 2 6 a :4 - 1 8 x 5 + 1 7 2 a :2 - 2 4 0 a : - 2 a :6 = 0
(D am o s en las n o tas que 
e stán d esp u és del e je rc ic io 
la exp licac ión de los pasos 
seguidos, y d e los ra z o n a ­
m ien tos hechos)
1 LQ
- 2 a :6 - 18*5 - 2 6 a :4 + 1 1 4 a ;3 + 1 7 2 a :2 - 2 4 0 * = 0 (1 )
2 a :6 + 1 8 a:5 + 2 6 a :4 - 1 1 4 a :3 - 1 7 2 x 2 + 2 4 0 a : = 0 (2 )
a:6 + 9 a :5 + 13 x 4 - 5 7 * 3 - 8 6 a:2 + 120 a : = 0 (3 )
A ( a :5 + 9 a :4 + 13a:3 - 5 7 a : 2 - 8 6 a: + 1 2 0 ) = 0 (4)
1 9 13 -5 7 - 8 6 1 2 0 (5)
1 1 1 0 23 -3 4 - 1 2 0
2
1 1 0
2
23
24
-3 4
94
- 1 2 0
1 2 0
LO (6 )
1 1 2 . 47 60 LQ (7)
-3 -3 -2 7 -60
1 9 2 0 L 0 ( 8 )
- 4 -4 - 2 0
1 5 LJ3 (9 )
-5 -5
POLINOMIOS 41
(1) Ordenamos la ecuación en potencias decrecientes.
(2) Multiplicamos toda lá ecuación por -1 para que el término de mayor grado sea 
positivo.
(3) Dividimos todos los términos por 2 para simplificar la ecuación.
(4) Como no existe término independiente, podemos sacar factor común x. Con esto
obtenemos ya la primera raíz de la ecuación: x, = 0
(5) Disponemos los coeficientes del polinomio del paréntesis para realizar las divisiones 
sintéticas. Elaboramos la Tabla de posibles raíces enteras con los divisores del 
término independiente: /
Tabla
de posibles raíces enteras
±1 ±2 ± 3 ± 4 ±5 ±6 ±8 ± 10
. ±12 ±15 ± 20 ± 24 ± 30 ±40 ± 60 ±120
(6 ) Comenzamos a probar con 1 y obtenemos el primer residuo nulo. Volvemos a probar 
con 1 (para eliminar la posibilidad de que dicha raíz esté repetida) sin obtener residuo 
nulo. Podemos, pues, eliminarlo de la Tabla:
Tabla
de posibles raíces enteras
- 1 ±2 ± 3 ±4 ±5 ±6 ±8 ±10
±12 ±15 ± 2 0 ± 24 ± 30 ±40 ± 60 ±120
(7) Probamos con 2, obteniendo residuo nulo. Esta raíz es la cota superior, dado que todos 
los coeficientes del polinomio restante son positivos. Eliminamos, por tanto,, el 2 y 
todos los números mayores que 2. Eliminamos también aquellos que no dividen ya el 
último término. La Tabla queda así:
Tabla
de posibles raíces enteras 
-1 - 2 - 3 - 4 - 5 -6 - 1 0
-1 2 -1 5 - 2 0 - 3 0 -6 0
(8 ) Probamos ahora con -1 y -2 sin resultado (los eliminamos de la Tabla) y a 
continuación con -3 obteniendo una nueva raíz. Al eliminar los números que no 
dividen el último término del polinomio restante la Tabla de posibles raíces enteras 
queda así:*
POLINOMIOS
Tabla
de posibles ralees enteras
- 4 - 5 - 1 0
-2 0
(9) Al probar con -4 obtenemos otra raíz y en la última etapa ya es evidente que la raíz 
que falta es -5.
L as ra íce s d e la ecuac ión 
son, pues:
x, = 0 
* 2 = 1 
* 3 = 2 
* 4 = -3
*5 = -4 
Xf. =-5
Y , u tilizando la re lac ión IV. 
de la pág. 36, factorizam os 
e l polinom io:
( Ejercicio 10
Resolver las siguientes ecuaciones y factorizar en cada caso e l polinomio del 
primer miembro:
1) * 3 - 3 x 2 + 4 = 0
2) 2 * 3 + 4 - 6* = 0
3) 7x3 + 7 - 7 x - 7 x 2 = 0
4) 3*4 + 33*2 - 1 8 * - 18*3 = 0
5) 6 * - * 4 - 4* 3 - * 2 = 0
6) * 3 - 4 * - 3 * 2 + 1 2 = 0
7) 5 * 3 - 10x2 - 20* + 40 = 0
8) x 4 - 3*3 - 9 * 2 - 5* = 0
9) 10*3 - 4 0 * 2 - 30* + 1 8 0 = 0
10) x 3 - 22* - * 2 + 40 = 0
11) 3 4 * 2 - 2 * 4 - 1 2 0 * + 8*3 = 0
12) 180 - 180*2 - 20* + 2 0*3 = 0
13) * 4 + 2 * 3 - 9 * 2 - 2* + 8 = 0
14) * 5 - 15*3 + 10*2 + 24* = 0
15>. 5*3 - * 4 - 240 + 28*2 - 92* = 0
16) 5 *3 - 10*4 - 60* 3 + 9 0 * 2 + 1 35* = 0
2 * ( * - 1 )(* - 2 ) ( * + 3)(* + 4)(* + 5) = 0
POLINOMIOS 43
( Í 7 1 x 4 + 1 2 a :3 + 4 8 a :2 + 80 a : + 4 8 = 0
1 8 ) x 5 - 3x4 - 2 8 a :3 + 3 6 a 2 + 1 4 4 a = 0
1 9 ) a 4 + 6 a 3 - 1 6 a 2 - 1 5 0 a - 2 2 5 = 0
2 0 ) a 5 - 1 1 a 4 + 3 3 a 3 + 1 1 a 2 - 1 5 4 a + 1 2 0 = 0 
a 5 - 1 5 a 3 + 5 a 4 - 1 2 5 a 2 - 2 2 6 a - 1 2 0 = 0
2 2 ) 2 a 6 - 1 0 a 5 - 2 2 a 4 + 1 3 8 a 3 + 3 6 a 2 - 4 3 2 a = 0
2 3 ) 2 7 6 a 2 + 2 5 a 4 - a 6 - 1 4 4 a - 1 6 0 a 3 + 4 a 5 = 0
2 4 ) 1 7 a 3 + 6 8 4 a - 8 a 4 + 2 7 6 a 2 + 4 3 2 - a 5 = 0
2 5 ) 3 a 6 + 1 8 a 5 + 2 7 a 4 - 3 6 a 3 - 1 4 4 a 2 - 1 4 4 a - 4 8 = 0 '
2 6 ) a 7 - 6 a 6 + 4 a 5 + 3 0 a 4 - 4 1 a 3 - 2 4 a 2 + 3 6 a = 0
2 7 ) a 6 - 3 a 5 - 1 2 a 4 + 2 4 a 3 + 4 8 a 2 - 4 8 a - 6 4 = 0
2 8 ) a 6 - 2 0 a 5 + 1 0 8 a 4 - 1 4 2 a 3 - 3 7 a 2 + 1 6 2 a - 7 2 = 0
2 9 ) a 7 + 5 a 6 - 4 a 5 - 5 0 a 4 - 5 1 a 3 + 4 5 a 2 + 5 4 a = 0
( 3 0 ) ) a 7 - 6 a 6 - 2 0 a 5 + 1 7 0 a 4 - 1 6 1 a 3 - 4 8 4 a 2 + 9 0 0 a - 4 0 0 = 0
3 1 ) a 8 - 4 a 7 - 2 5 a 6 + 9 2 a 5 + 1 5 2 a 4 - 5 4 4 a 3 - 2 7 2 a 2 + 9 6 0 a = 0
Raíces fraccionarias de una ecuación 
con coeficientes enteros
S ea la ecuación ( a x - m ) ( b x - n ) = O d e raíces fraccionarias a , = 7 - y 
a 2 = La ecuación desarrollada toma la siguiente forma:
ab x2 - (an + b m )x + m n = 0
Podem os observar que el térm ino independiente de la ecuación es el producto 
de los num eradores de las raíces fraccionarias y que el coeficiente del térm ino de 
m ayor grado, o prim er coeficiente, es el producto de lo denominadores.
Lo m ism o sucede en la ecuación ( a x - m ) ( b x - n ) ( c x —p ) = 0 de raíces 
x \ = ir» x 2 =Jt y * 3 = - 7 • La ecuación desarrollada es
abe a 3 - (acn + bem + ab p )x l + (anp + bmp + cm n)x - mnp = 0 .
Nuevam ente el térm ino independiente es el producto de los num eradores de 
las raíces y el prim er coeficiente es el producto de lo denominadores.
G eneralizando para una ecuación de cualquier grado, podem os establecer las 
propiedades de las posibles raíces fraccionarias de la ecuación: éstas son de la forma 
-$•, donde
M es divisor del término independiente y
N es divisor del primer coeficiente.
4 4 POLINOMIOS
Resolución de ecuaciones con rafees fraccionarias
Observaciones:
1) Es obvio que una ecuación de coeficientes enteros sólo puede tener raíces 
fraccionarias (racionales) si el coeficiente del primer térm ino es distinto de 1 .
2) Al resolver una ecuación es conveniente buscar prim ero las raíces enteras, 
si las tiene, y posteriorm ente las fraccionarias.
3) Para buscar las raíces fraccionarias, conviene probar con las fracciones 
positivas (desde las de m enor denom inador) y proseguir con las negativas (desde las 
de m enor denom inador también).
/
. ■ 4) A l realizar la división sintética con una fracción M /N los coeficientes del
cociente resultante serán siem pre divisibles por N , com o se com probará en los 
ejem p los que reso lverem os. Si sim p lificam o s d ichos co e fic ien te s p o r N, 
trabajarem os con cantidades más pequeñas y se nos facilitará la tarea de elim inar de 
la T abla de posibles raíces las fracciones que no lo sean.
Ejemplo 32 ‘____________________
Resolver la siguiente ecuación y factorizar el prim er miembro:
2 4 jc 5 - 1 2 8 a :4 + 2 5 0 a :3 - 2 2 0 a :2 + 8 6 a - 1 2 = 0
(L as n o ta s al f in a l del 
e je rc ic io exp lican los pasos 
segu idos y los razonam ien- 
• tos hechos)
1 2 a :5 - 6 4 a -4 + 1 2 5 a 3 - 1 1 0 a 2 + 4 3 a - 6 = 0 ( 1 )
1 2 -6 4 125 - 1 1 0 43 - 6 (2 )
1 1 2 -5 2 73 -3 7 6 (3)
1 2 -5 2 73 -37 6 LO (4)
2 24 -5 6 34 - 6
1 2 -28 17 -3 LO (5)
1 / 2 6 - 1 1 3
1 2 - 2 2 6 LO
6 - 1 1 3 (6 )
3/2 9 -3
6 - 2 LO
3 - 1 (7)
1/3 1
3 LO
(1) Simplificamos la ecuación y verificamos si está ordenada en forma decreciente.
*
(2) Disponemos los coeficientes para realizar la división sintética. Elaboramos la Tabla de
p o l i n o m i o s 45
posibles raíces enteras con los divisores del término independiente; dado que los 
coeficientes son alternadamente positivos y negativos, la ecuación sólo tiene raíces 
positivas.
Tabla
de posibles raíces enteras 
1 2 3 6
(3) Probamos con 1 obteniendo residuo nulo.
(4) Volvemos a probar con 1 (podría ser raíz múltiple) sin resultado. Tachamos el l de la 
. Tabla. Probamos con 2 y obtenemos residuo nulo. Revisamos la Tabla, de la que
eliminamos los números que no dividen el último término del cociente resultante:
Tabla
de posibles raíces enteras 
3
(5) Probamos con 3 y, al no obtener residuo nulo, concluimos que la ecuación no tiene 
más raíces enteras. Fabricamos la Tabla de posibles raíces fraccionarias. Son de la 
forma M/N:
M puede tomar los valores 1 y 3 (divisores del último término)
N puede tomar los valores 2, 3 ,4 , 6 , y 12 (divisores del primero)
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
i i i i *
í í i i ¿
Eliminamos de la Tabla los números j-, f y -fe , pues, al ser simplificados, o no son 
fracciones o repiten algunas de las anteriores. Por otra parte, no colocamos valores 
negativos pues ya determinamos, al comenzar el ejercicio, que la ecuación sólo tiene 
raíces positivas. ____________________________
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
± i i i iir 
i f
Probamos con -jr obteniendo residuo nulo.
(6) Simplificamos por 2 los coeficientes del cociente resultante y eliminamos de la Tabla 
las fracciones cuyos denominadores no dividen ya al primer coeficiente:
POLINOMIOS
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
i i i 
í
Volvemos a probar con ^ sin resultado (lo eliminamos de la Tabla) y a continuación 
con \ obteniendo residuo nulo.
(7) Simplificamos por 2 los coeficientes del cociente resultante y eliminamos las 
fracciones que ya no pueden ser raíces.
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
i
Con | obtenemos el último residuo nulo.
L as ra íc e s de la ecuac ión 
son en definitiva: X\ = 1 
* 2 “ 2 
* 3 = ±
x4 = j
X5 = Í
P a ra fa c to riz a r e l p rim e r 
m ie m b ro te n e m o s d o s 
opciones:
a) U tiliz a r la re la c ió n IV _ . . . , w , w „
de la pág . 36: 1 2 ( * - 1 ) ( * - 2 ) ( * - ± ) ( x - * ) ( * - * ) = 0
D escom ponem os el 12 así: (* - 1) (* - 2) • 2 (* - ±) • 2 (* - ■£) • 3 (* - $) = 0
M ultiplicam os:
b) T en iendo en cuen ta que 
£ es la ra íz que se obtiene 
del fac to r ax - b si la ecua­
c ió n tiene c oefic ien tes en­
te ros, escrib im os un fac to r 
en esa fo rm a po r c ad a raíz 
frac c io n a ria s in n eces idad 
d e c o lo c a r en tonces a0 (en 
e s te caso 12 ) cp m o p rim er 
factor:
(x - \ ) ( x - 2) (2 jc - 1 ) (2 x - 3) (3 jc - 1 ) = 0
{x - l ) (x - 2 ){2x - \ ) (2 x - 3 )(3* - 1 ) = 0
POLINOMIOS 4 7
Ejemplo 33 ________________________
Resolver la ecuación 3 6 x 4 + 2 4 a:3 - 47x 2 + x + 6 = 0 , sabiendo que no tiene 
raíces enteras. Factorizar el primer miembro.
1/2
36 24
18
-4 7
21
1
-1 3
6
- 6
(1)
36 42 -2 6 -1 2 LQ (2)
2/3
18 21
12
-1 3
22
- 6
6
(3)
18 33 9 LQ (4)
3/2
6 11
-9
3
-3
(5)
6 2 LQ
1/3
3 - 1
1
(6)
3 LQ,
Notas explicativas
(I) Después de expresarle nuestro más profundo agradecimiento al autor del libro por 
habernos dado el dato de que la ecuación no tiene raíces enteras (lo cual nos ahorra el 
trabajo infructuoso de probar con los números ±1, ±2, ±3 y ± 6 ), elaboramos la Tabla 
de posibles raícesfraccionarias:
Posibles numeradores: 1, 2, 3, 6 (divisores del último término)
Posibles denominadores: 2, 3 ,4 , 6 ,9 , 12, 18 y 36 (divisores del primero)
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
± ± ± i ±4 ± ¿ ±9 ±12 ±18 ± ^
± i ±1 ± i ± i ± 1 ± * ±1s ± ^
± ¿ ± i ± *
r^¡+144 ±Ts ±16
± i ±* ±*
+1•cj».
+1 ±■1 ± *
Eliminando los números que, al ser simplificados , resultan enteros o repiten fraccio­
nes anteriores, la Tabla queda así:
Tabla ■
de posibles raíces fraccionarias
± + ± i
± 1
± 4 ±6 ± 9 ± 1 2 ± 1 8 ± 3 6 
± *
+1 1+ 4*
^
POLINOMIOS
(2) Probamos la división con \ y obtenemos el primer residuo nulo.
(3) Simplificamos por 2 los coeficientes del cociente resultante y eliminamos de la Tabla 
las fracciones que ya no pueden ser raíces de la ecuación:
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
± 2 ± 6 ± 78
± 9
± í
(4) Al probar con y no obtenemos residuo nulo, por lo que los vamos tachando 
de la Tabla. (Casi nunca hay que llegar a terminar una división sintética para constatar 
que una determinada fracción no es raíz: si al multiplicar un coeficiente del cociente 
por ella el resultado no es entero, ya podemos descartarla).
Al probar con obtenemos residuo nulo.
(5) Simplificamos por 3 los coeficientes del cociente resultante y eliminamos de la Tabla 
las fracciones que ya no pueden ser raíces. Eliminamos también los signos positivos, 
pues el último cociente tiene coeficientes positivos.
de posibles
Tabla 
raíces fraccionarias
- i - i - 6
- i
Probamos con - ̂ sin resultado y luego con - \ , que sí es raíz.
(6 ) Simplificamos por 2 los coeficientes del cociente resultante y revisamos la Tabla
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
es la última raíz.
POLINOMIOS 4 9
Las raíces de la ecuación 
son, en definitiva:
x 3 = - j
= i
y la ecuación, factorizada: (2x - 1 )(3 jc - 2 ) (2 a : + 3 ) (3 jc + 1 ) = 0
Otro método
para resolver una ecuación con raíces fraccionarias consiste en hacer un 
C am bio de V ariable para transform ar la ecuación en una que sólo tenga raíces 
enteras, es decir, en una ecuación en la que el coeficiente del prim er térm ino sea 1 .
En la ecuación que acabam os de resolver, esto se logra con el siguiente 
Cam bio de Variable:
* = 
6̂
En efecto, la ecuación dada 
es 3 6 a :4 + 2 4 a : - 4 7 a :2 + a: + 6 = 0
.H aciendo el C am bio de 
Variable:
Simplificando:
M ultiplicando la ecuación 
por 36:
R e so lv em o s, com o ya 
sabemos, por Ruffini:
36 4 + 2 4 - y
3 y
- 4 1 —.- 2 + —+ 6 =
6 6 6 6
4 . 3 2
J L + Z - 4 7 Z _ + 1 + 6 = 0
36 9 36 6
y 4 + 4 / - 4 7 y 2 + 6y + 216 = 0
1 4 -4 7 6 216
3 3 21 -7 8 -216
1 7 -2 6 -7 2 LO
4 4 44 72
1 11 18 LQ
- 2 - 2 -1 8
1 9 LQ
-9 - 9
1 LQ
Las raíces de la ecuación 
son: * y 2 = 4 * = - 2 y 4 = - 9
Deshaciendo el Cambio de
* 1 !
-¡
ts
> II
1IIr*)
H
* 4*
II 1
U
+
-
POLINOMIOS
( Ejercicio 11
Resolver las siguientes ecuaciones y factorizar en cada caso el polinom io del 
primer miembro:
1) 6 0 x 2 - 5 jc + 2 0 jc3 - 1 5 = 0
2 ) - 1 9 a:3 + 6 a:4 + 1 4 a:2 - a: - 2 = 0
0 } 1 8 a:4 - 1 8 a: + 1 8 a:3 - 1 4 a:2 - 4 = 0
4 ) 3 2 a :2 - 8 a :4 - 1 3 a : 3 - 1 2 * + 4 x 5 = 0
© 1 2 a:4 - 3 2 a:3 + 1 3 a:2 + 8 x - 4 = 0
6 ) 3 0 a :4 - 2 9 a :3 - l x 2 + 5 a : + 1 = 0
7 ) 1 4 4 a:5 + 3 6 a:4 - 2 8 a:3 - 3 a:2 + a: = 0
8 ) 2 2 5 + 1 6 a:4 - 1 3 6 a:2 = 0
9 ) 1 2 0 a:5 + 1 5 4 a:4 + 7 1 r 3 + 1 4 a:2 + * = 0
1 0 ) 2 0 a:4 + 6 2 a:3 + 7 0 a:2 + 3 4 * + 6 = 0
1 1 ) 1 4 0 a:2 - 4 9 0 a:4 - 1 0 + 3 6 0 a:6 = 0
1 2 ) 1 6 a:6 - 1 1 2 a:5 + 2 1 6 x 4 - 8 x 3 - 2 4 7 a:2 + 1 0 5 a: = 0
1 3 ) 3 0 a:4 + 4 9 a:3 - 1 0 6 a:2 + 4 9 a: - 6 = 0
1 4 ) 1 0 * 5 + 2 1 a :4 - 3 5 a :3 - \ 5 x 2 + 2 5 a : - 6 = 0
1 5 ) 3 6 a:5 + 1 2 a:4 - 7 1a: 3 - 4 8 a:2 + 5 a: + 6 = 0
1 6 ) 1 8 a:5 - 3 3 * 4 - 2 2 a:3 + 3 3 a:2 - 4 = 0
Raíces complejas 
de una ecuación con coeficientes reales
Si un com plejo a + b i es raíz de la ecuación con coeficientes reales P M = 
entonces su conjugado a - b i también es raíz de la ecuación.
E n efecto , sea la ecuación a ^x n + a x̂ n~' + ......... + a ^ x + a n = 0
S i a + bi es raíz, entonces • P(a+bi) = 0
A l c a l c u l a r P{a+N), 
sustituyendo la variable de 
la ecuac ión po r a + b i, las 
p o te n c ia s p a re s de b i 
producirán núm eros reales, 
m ien tras que las po tencias 
im p ares de b i p roducirán 
d iv e rso s m ú ltip lo s d e la 
unidad im ag inaria ,
Si rep resen tam os p o r M la 
su m a a lg e b ra ic a de las
POLINOMIOS 5 1
p a rte s re a le s q u e re su ltan 
d e e s ta sústitución y p o r N 
la de la s im ag ina ria s , ten ­
d rem os que
M + N i = 0 
y e n consecuencia que M = 0
N = 0
S i aho ra hallam os 
las p o ten c ias pares de -b i 
serán ig u a le s a las p o ten ­
c ia s p a res d e b i. L as p o ­
te n c ia s im p a re s d e - b i 
tend rán s igno o puesto a las 
de bi. P o r tanto
y , d a d o q u e M y N son 
iguales a cero, quedará que /> ^ = 0
y e n co n sec u en c ia a - b i 
ta m b ié n s e rá ra íz d e la 
ecuación .
Raíces irracionales 
de una ecuación con coeficientes racionales
Si un núm ero irracional a + 4 b es raíz de la ecuación de coeficientes 
racionales ^ = 0 , entonces su conjugado a - 4 b también es raíz de la ecuación.
La dem ostración de esta afirm ación es análoga a la que utilizam os en el punto 
anterior para las raíces com plejas de una ecuación.
Resolución de ecuaciones 
con dos raíces complejas o dos raíces irracionales
Si una ecuación, con coeficientes racionales tiene dos raíces com plejas o dos 
raíces irracionales, éstas pueden ser halladas utilizando la fórm ula de resolución de 
la ecuación de segundo grado al term inar de hallar las raíces enteras y fraccionarias, 
com o se m uestra en los siguientes ejemplos.
EicmutoJá________________
Resolver la ecuación 2 x 4 - x 3 - 1 5 x 2 + 23x + 15 = 0
B uscam os, tal com o hem os 
h e c h o h a s ta a l\o ra la s 
ra íc e s en te ra s y f r a c c io ­
narias:
52 POLINOMIOS
2 -1 -1 5 23 15
-3 - 6 21 -1 8 -1 5
2 -7 6 5 LQ
-1 /2 -1 4 - 5
2 -8 10 LQ
D e sp u é s de a g o ta r las 
p o s ib i l id a d e s d e ra íc e s 
e n te ra s y f r a c c io n a r ia s , 
queda la ecuación:
Simplificando:
U tilizando la fórm ula de la 
ecuac ión de seg u n d o g ra ­
do:
R aíces de la ecuación:
2 x 2 - 8 * + 1 0 = 0 
x 2 - 4 * + 5 = 0
x =
4 í - > / M ) 2 - 4 - 1 - 5 
2-1
4 ± V—4
E im e la J l______________________________________________________________
Resolver la ecuación x 4 + l x 3 + I x 1 - 30* - 4 0 = 0
B uscam os las ra íces e n te ­
ras:
1 7 7 -3 0 - 4 0
2 18 50 40
1 9 25 20 LQ
- 4 - 4 -2 0 -2 0
1 5 5 LQ
La ecu ac ió n no tiene más 
ra íce s en te ra s . F ra c c io n a ­
rias tam p o co p o r se r 1 el 
p rim er co efic ien te . Q ueda, 
p u e s , p a ra re s o lv e r la 
ecuación X 2 + 5* + 5 = 0
- 5 ± V 5 2 - 4 5-1
x = -------------------------
POLINOMIOS 53
x =
- 5 ± V 5
R aíces de la ecuación: x , = 2
* 2 = - 4
* 3 . 4 =
- 5 ± V 5
( Ejercicio 12
Resolver las siguiéntes ecuaciones:
1) \ l x + x 4 - 4 x 3 - 1 4 = 0
2) x 4 + 8 x 3 + 8 x 2 - 37x - 3 8 = 0
3) 4 x 4 + 22x3 + 1 2 x 2 - 8x - 2 = 0
4) 9 x 4 + 123x2 - 6 0 x 3 - 42x - 30 = 0
5) x 4 + 3 x 3 - 2 6 x 2 - 7 5 x + 25 = 0
6) x 5 - 15x3 + 16x2 + 2 x 4 — 4 x = 0
7)/—N 18x4 - 2 4 x 3 + 6 x 2 - 1 2 x + 12 = 0
• & ) 24x4 + 4 x 2 - 4 x 3 + 8 - 20x = 0
9) 9 x 5 + 4 x 3 - 2x + 5 x 2 - 6 x 4 = 0
10) 6 x 6 + 5x5 + 4 x 4 - 8x3 - 12x2 + 3x + 2 = 0
Ecuaciones recíprocas
Llamaremos Ecuación recíproca de prim er tipo a una ecuación de la forma
a x n + b x n~i + c x ”~~ + ......... + c x 2 + b x + a = 0
en la que los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales.
Llamaremos Ecuación recíproca de segundo tipo auna ecuación de la forma
a x " + b x " ~ ] + c x n~2 + - c x 2 — b x - a = 0
en la que los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son opues­
tos.
Las ecuaciones recíprocas de cualquiera de los dos tipos pueden ser de grado 
p a r o de grado impar.
5 4 POLINOMIOS
Las ecuaciones anteriormente descritas se llaman recíprocas porque gozan de 
la propiedad de poseer pares de raíces recíprocas: esto quiere decir que si a es raíz 
de la ecuación, también lo será 1 ¡a.
En efecto, en las de primer „ „ , „_i n- 7 i ,
tipo tenemos que * < « > = « « + b ( X + C « + + CCC2 + b ( X + a
Y, por otra parte, _ a b C C b
P'i>= ^ + ̂ + ̂ + ........+ ^ + a + °
S acando m ínim o com ún
denominador: a + b a + C ( X 2 + ..........+ C ( X n~2 + b a " ~ ' + a a n
<±>" a "
El num erador es igual al p
desarrollo de por con- p — (g)
. siguiente: <“ ) a"
Si P{a) es cerq, por ser a raíz de la ecuación, entonces también P(±) es cero y
en consecuencia 1 /a también es raíz de la ecuación.
Se puede comprobar fácilménte a través de un razonamiento análogo que lo 
dicho es válido para las ecuaciones recíprocas de segundo tipo.
Resolución de ecuaciones recíprocas
Las ecuaciones recíprocas tienen características especiales según su tipo y 
grado. Las estudiaremos, por tanto, por separado.
A) Ecuaciones recíprocas de primer tipo de grado par
Para resolverlas utilizaremos el siguiente procedimiento (ejemplificado con 
una ecuación de sexto grado):
Sea la ecuación a x 6 + b x 5 + c x 4 + d x 3 + c x 2 + b x + a = 0
1) D iv id im os cada uno de 
lo s té rm in o s p o r x"12 (en
este caso por x-’): a x 6 b x 5 e x 4 d x 3 e x 2 b x a
■ — + —r + —T + — + —r + - T + -T = o
x x x x x x x
Sim plificando: , . c b a
a x 3 + b x 2 + c x + d + - + — + - ^ = 0
X X X
A g ru p am o s los p a re s de 
té rm in o s e q u id is tan te s de 
lo s e x tr e m o s , s a c a n d o
factor com ún en cada par: ( 3 <3 \ j , 2 & \ I c i
v 1 a x 3 + - r + \ b x * + - r r + \ c x + - +<i = 0
POLINOMIOS 5 5
P rep a ra m o s e l s ig u ie n te 
C am bio de V ariable:
P ara c a lc u la r í . r 2 + ~ V
V x~ 
procederem os así:
* + i | = /
x 2 + 2 + \ = y 2
2 n 
* - + ~ = y 2 - 2
x 2 )
Y . po r ú ltim o, para calcu lar
x + i | = y3
* 3 + 3 x + - + \ = y 3
a 3 +
X X '
1 V 3 Í x + i ] = /
x 3 + • = y 3 - 3 y
E fec tu an d o el C am bio de 
Variable: a ( y 3 ~ 3 y ) + b ( y 2 ~2') + c y + d = 0
4 ) R eso lvem os la ecuación 
en v o b te n ie n d o , e n este 
caso, tres raíces: y = y i y = y2 y = y¡
5) D eshacem os e l C am bio 
de V aria b le y re so lvem os 
cada una de las ecuaciones * + - | = yi
Veámoslo con un ejemplo práctico:
Ejemplo 36
Resolver la ecuación 3 a 6 - 8 a 5 - 9 2 a :4 + 5 4 a 3 - 9 2 a 2 - 8 a + 3 = 0
Es una e cu ac ió n del p r i­
m er tipo y de grado par.
5 6 POLINOMIOS
P rocederpos, pues, a reso l­
verla u tilizando el p ro ced i­
m iento an tes explicado.
1) D iv id im os cada térm ino 
po r x 1:
Sim plificando:
3 x 6 8 x 5 9 2 a :4 5 4 a :3 9 2 a :2 8 a: 3
9 2 8
3x - 8a : - 92a: + 5 4 ------------ - + — = 0
A g ru p a n d o los p a re s de 
té rm in o s e q u id is tan te s detérm inos equidistantes de / j \ / j \ / j \
los extrem os y sacando 3 A 3 + — - 8 A 2 + — — 9 2 A + — + 5 4 = 0
factor común en cada par: V X J \ X ' J v x j
H a c ie n d o e l C a m b io de
x + - \ = yV a r i a b l e
(y los derivados de él):
D esp u és de m u ltip lica r y 
red u c ir té rm in o s sem ejan ­
tes queda:
R eso lv e m o s la e cu a c ió n 
utilizando Ruffini:
3 (y 3 - 3y) - 8 (y 2 - 2 ) - 92y + 54 = 0 
3y3 - 8 y 2 -1 0 1 y + 70 = 0
Con los sigu ien tes re su lta ­
dos:
D eshac iendo el C am bio de 
V ariable, tenem os:
a)
X + — = 1 
X
x 2 - l x + l = 0
y 3 = t
X =
7 ± y 49 - 4
7 ± 3-\/5
POLINOMIOS 5 7
b)
x + — - - 5
x
x + 5 x + l = 0
x -
- 5 ± V 2 5 - 4
* 3 .4 =
- 5 ± V 2 1
c) 1 2 
x + — = - 
x 3
3x2 - 2x + 3 = 0
x =
2 ± V 4 - 3 6 
2 -3
1 . 2 V 2 .x . * = - ± ------- 1
56 3 3
B) Ecuaciones recíprocas de primer tipo de grado impar
Tienen la particularidad de que admiten la raíz -1 y son divisibles, por tanto, 
porx + 1. Esto es fácilmente verificable hallando P(.n.
Para resolverlas aprovechamos esta particularidad y separamos primero la 
raíz -1 mediante una división sintética. El cociente resultante será recíproco del 
primer tipo de grado par y se resuelve con el método anteriormente descrito.
E ism to JZ
Resolver 2 x 5 - 3x4 - 4 x 3 - 4 x 2 - 4x + 2 = 0
C o m o e s u n a e c u a c ió n 
rec íp roca d e p rim er tip o y 
de g rado im par, adm ite la 
r a í z - 1 .
L a s e p a ra m o s m e d ia n te 
una d iv isión sintética:
-1
2 -3 
- 2
- 4 - 4
-1
- 3 - 2
- 2
2 . -5 1 -5 2 LQ
O b ten em o s a s í la p rim era 
ra íz de la ecuación:
8 POLINOMIOS
y nos queda e l cociente 2 x A — 5 jc 3 + X 2 — 5 x + 2 = 0
que , po r se r de p rim er tipo 
y de g rad o par, puede~ ser 
re s u e lto p o r e l m é to d o 
conocido.
D iv id ie n d o cad a té rm in o 
po r x 2 y sim plificando:
l x 2 - 5 j c + 1 ------- + — = 0
A g ru p a n d o los p a re s de 
té rm in o s e q u id is tan te s de 
J o s , e x tre m o s y sac a n d o 
fac to r com ún en cada par:
E fec tu an d o el C am b io de 
V ariable f x + — j = y
queda la ecuación:
cuyas so luciones son:
D eshac iendo e l C am b io de 
V ariable, tenem os:
a)
2 | x 2 + - y j — 5 Í j c + - ^ 1 + 1 = 0
2 ( / - 2 ) - 5 y + l = 0 
2 y 2 - 5 y - 3 = 0 
y ¡ = 3 y 2 = - i
* + - = 3 
x
x 2 - 3 x + l = 0
x =
3 ± V 9 - 4
b)
* 2 . 3 ”
3 ± V 5
1 1
x + — = —
* 2 
2 x 2 + * + 2 = 0
— 1 ± Vi - 1 6
x = -----------------------
l 4 .5
4 4
POLINOMIOS 5 9
C) Ecuaciones recíprocas de segundo tipo de grado par
Las ecuaciones recíprocas de segundo tipo de grado par tienen dos 
particularidades:
1) Su término central debe ser nulo, porque el coeficiente de dicho término 
debe ser opuesto a sí mismo y esta condición no la satisface ningún número distinto 
de cero.
Por ejemplo, en la ecuación a x 4 + b x 3 + c x 2 - b x - a = 0 , el primero y 
segundo coeficientes tienen su opuesto, respectivamente, en el último y penúltimo 
coeficientes. El término central debe tener su opuesto en sí mismo y esto sólo es 
posible si, como hemos dicho, c es igual a cero. En tal caso tendremos la ecuación 
a x 4 + b x 3 - b x - a - 0 que sí es recíproca de segundo tipo y de grado par.
2) Admiten las raíces 1 y -1 , lo cual es fácilmente comprobable hallando
y P( D -
R eso lu ción : separamos primero las raíces 1 y -1 mediante dos divisiones 
sintéticas y el cociente resultante (que será recíproco del primer tipo y de grado par) 
lo procesamos por e l método conocido,.
Ejemplo 38_____________________________
Resolver 2 x % + x 1 - 17x6 + * s - x 3 + \ l x 2 - x - 2 = 0
La ecuación es de segundo 
tipo y de grado par por lo 
cual admite las rafees 1 y
- I .
Las separamos mediante 
divisiones sintéticas:
2 1 - 1 7 1 0 - 1 17 - 1 - 2
1 2 3 - 1 4 - 1 3 - 1 3 - 1 4 3 2
2 3 - 1 4 - 1 3 - 1 3 - 1 4 3 2 LO
-l - 2 - 1 15 - 2 15 - 1 -?,
O btenem os a s í las dos 
primeras raíces:
2 1 - 1 5 2 - 1 5 1 2 LQ
. = 1 x 2 = - \
Y la ecuación restante es
del prim er tipo y de grado 
par. 2x 6 + * 5 - 1 5 x 4 + 2 x 3 - 1 5 * " + x + 2 = 0
Dividiendo cada término 
por*3:
2x3 + jc2 - 1 5 x + 2 - — + 4 r + ̂ - = 0
Agrupando pai;es y sacan­
do factor común: >
2( * 3 + - 7 M * í + ? ) - ,5 H ) + 2 = o
POLINOMIOS
H aciendo el C am bio de
Variable + — j = y 2 (> , J - 3 j ) + ( / - 2 ) - 1 5 > ’ + 2 = 0
M ultiplicando y reducien­
do términos semejantes: 2 y 3 + y 2 - 2 1 y = 0
Sacando factor común: y ( 2 y 2 + y - 2 l ) = 0
Factorizando