Ecuaciones_Algebraicas_de_Grados

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a . r . K y p o u i
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«HAVKA»
LECCIONES PO PU LA R ES DE MATEMATICAS
A. G. KÚROSCH
ECUACIONES ALGEBRAICAS DE 
GRADOS A RBITRA RIO S
S e g u n d a e d ic ió n
E D I T O R I A L M I R 
MOSCÜ
T R A D U C I D O D E L R U S O P O R S I L V I A D E S E P U L V E D A
P rim era edición 1976 
S egunda ed ic ió n 1983
H a ucnaHCKOM ¡ohiks
© Traducción al e spaño l. E d ito ria l M ir. 1976
I M P R E S O E N LA U R S S
C O N T E N I D O
Prefacio 6 
§ 1. Introducción 7 
§ 2. N úm eros complejos 8 
§ 3. E xtracción de raíces. Ecuaciones cuadráticas 15 
§ 4. Ecuaciones cúbicas 18 
§ 5. Acerca de ia resolución de ecuaciones bajo radicales 
y de la existencia de raíces de las ecuaciones 22 
§ 6. Número de raíces reales 25 
§ 7. Resolución de ecuaciones por aproxim ación 28 
§ 8. Cuerpos conm utativos 31 
§ 9 . Conclusión 37
PR E FA C IO
E ste lib r i to ha sido escrito a base de las c lases que ei au to r 
d ic tara en la U niversidad E s ta ta l Lomonósov de Moscú para los p a r­
tic ip an tes de la o lim piada m a tem ática , alum nos del noveno y décim o 
grados. En el m ism o se tra z a , de acuerdo con el n ivel de conocim ien­
tos de un alum no del noveno grado, un resum en de los resultados 
y m étodos de la teoría general de las ecuaciones a lgeb ra icas . P rá c ti­
cam ente no se presentan dem ostraciones ya que para e llo h u b ie ra sido 
necesario tran scrib ir casi la m itad del m anual de álgebra superior 
para la un iversidad . Pero incluso ta l cond ic ión no hace que la lectura 
de este lib rito se co n v ie rta en un ligero pasa tiem po , ya que toda 
lite ra tu ra m atem ática y en tre e lla la de popu larización exige del lec­
to r una gran a tenc ión , el razonam ien to de todas las definiciones y 
enunciados, la com probación de los cálculos en todos los ejem plos y la 
aplicación de los m étodos exam inados a o tros casos', propuestos por el 
mismo lec to r, e tc .
§ 1 . INTRODUCC IÓN
El curso escolar de álgebra contiene un variado m aterial 
sin embargo, su centro lo constituye la resolución de ecuacio 
nes. L im itándonos a las ecuaciones con una sola incógnita 
recordemos lo poco que sobre ellas se da en la escuela media 
Todo alum no es, antes que nada, capaz de resolver ecua 
ciones de prim er grado: sea dada la ecuación
a x + b = 0 ,
donde a # 0, entonces su única ra íz será el número
Además, el alum no conoce la fórmula de resolución de 
la ecuación cuadrática
ax*+bx-\-c-= 0, 
donde a=£0. Precisam ente
— b ± V' 62—4ac
*== “ fe •
Si los coeficientes de la ecuación son números reales, esta 
fórmula da dos raíces reales diferentes en el caso cuando el 
subradical es un número positivo , es decir, cuando b2~ 4ac>0. 
Por el contrario , si b2—4ac—0, nuestra ecuación sólo posee 
una ra íz , a la que se denom ina, en este caso, ra íz múltiple-, 
si b2—4ac<.0 la ecuación no posee ninguna ra íz real.
El alum no puede resolver, por últim o, algunos tipos de 
ecuaciones de tercero y cuarto grados, más exactam ente, aque­
llas cuya resolución se reduce fácilm ente a la resolución de 
las ecuaciones cuadráticas. Así es , por ejem plo, la ecuación 
de tercer grado:
a x* + b x* + cx^ 0,
que posee una ra íz x = 0 y que luego de sim plificar por x 
se transform a en la ecuación cuadrática:
ax*+bx+c-=0.
La ecuación de cuarto grado, llam ada tam bién bicuadrá- 
tica:
ay*+ byi + c= Q
2*
8
tam bién se reduce a una ecuación cuadrática ; para ello es 
suficiente su s titu ir en esta ecuación
y != x ,
hallar las raíces de la ecuación cuadrática que se ha obtenido 
y luego ex traer las raíces cuadradas de las mismas.
Subrayam os nuevam ente que éstas son sólo ciertos casos 
muy particu lares de las ecuaciones de tercero y cuarto grado. 
En el álgebra que se estudia en la escuela m edia no se da n in ­
gún método para la resolución de ecuaciones a rb itra ria s de 
estos grados y menos aún para la resolución de ecuaciones a r­
b itrarias de grados superiores. Sin em bargo, en diferentes 
cuestiones de la técnica, la mecánica y la fís ica con frecuen­
cia tenemos que habérnoslas con ecuaciones algebraicas de 
grados muy altos. La teoría de las ecuaciones algebraicas 
de rt-ésimo grado arb itra rio , donde n es un número entero 
positivo , fue elaborada en el transcurso de varios siglos, 
constituyendo hoy una de las partes fundam entales del curso 
de álgebra superior que se estud ia en las universidades e 
institu tos pedagógicos.
§ 2. NUM EROS COM PLEJOS
La teo ría de las ecuaciones algebraicas se asien ta , funda­
m entalm ente, en la teoría de los núm eros com plejos, cuyos 
fundam entos se estudian en el ú ltim o grado de la escuela 
media. Sin embargo, con frecuencia el alum no queda con 
dudas acerca de la validez de estos núm eros, de su real ex is­
tencia . Cuando hace varios siglos los núm eros complejos 
comenzaron a in troducirse en la práctica m atem ática, los 
científicos tam bién tuvieron dudas sim ilares, lo que se vio 
reflejado en la denom inación, que desde entonces se con­
serva, de «números imaginarios». Sin em bargo, para la cien­
cia contem poránea ya no hay nada m isterioso en los números 
complejos, siendo éstos tan poco «imaginarios» como los 
números negativos o los irracionales.
La necesidad en los núm eros com plejos apareció en re la ­
ción con el hecho de que den tro de! cuerpo de ios núm eros 
reales no es posible ex traer la ra íz cuadrada de un núm ero
9
real negativo. Como sabemos esto conduce a que ciertas ecua­
ciones cuadráticas no posean raíces reales; la ecuación
*3- H = 0
es la más sim ple de todas ellas. ¿No sería posible am pliar 
la reserva de núm eros de modo ta l que estas ecuaciones tam ­
bién tengan raíces?
El alum no se encontró varias veces con el enriquecim ien­
to de esa reserva de núm eros de que ya disponía. Comenzó 
con el estudio de los números enteros positivos en la aritm ética 
elem ental. M uy pronto aparecieron tam bién los quebrados. 
En el curso de álgebra se agregaron los núm eros negativos, 
es decir, se com pletó el sistem a de todos los números raciona­
les. F ina lm ente , la introducción de los núm eros irracionales 
llevó al sistem a de todos los núm eros reales (o naturales).
Cada una de estas am pliaciones sucesivas de la reserva 
de núm eros perm itió h a lla r raíces para algunas de aquellas 
ecuaciones que antes de esta am pliación carecían de raíces. 
A sí, la ecuación
2x— 1 = 0
tuvo ra íz sólo después de la introducción de los quebrados; 
la ecuación
* + ! = 0 ,
sólo después de la introducción de los núm eros negativos 
y la ecuación
2 = 0 ,
sólo luego del agregado de los núm eros irracionales.
Todo esto ju stifica o tro paso más en el cam ino hacia el 
enriquecim iento de la reserva de núm eros por lo que ahora 
indicarem os, a rasgos generales, cómo se lleva a cabo este 
últim o paso.
Como se sabe, si se han dado una línea recta y en ella 
la dirección positiva , si en ella se ha señalado además el 
punto O y elegido la un idad de escala (dib. 1), entonces, a 
cualquier punto A de esta recta le puede ser puesto en co­
rrespondencia su coordenada, es decir, el número real que 
expresa, en las unidades de escala elegidas, la d istancia 
desde A hasta O, si A está a la derecha del punto O ó la d is­
tan c ia tom ada con el signo negativo si A se halla a la iz­
10
quierda de O. De esta form a, a todos tos pun tos de la recta 
Ies están puestos en correspondencia diferentes núm eros 
reales, pudiendo adem ás dem ostrarse que de este modo serán 
em pleados todos los núm eros reales. Por consiguiente, se 
puede considerar que los puntos de nuestra rec ta son las 
representaciones de sus correspondientes núm eros reales,
0 f í
O ’/to
D l b . 1
1
o sea, que es como si estos núm eros estuv ieran contenidos 
en la línearecta. D enom inarem os a ésta recta numérica (o eje 
numérico).
¿Se puede am pliar la reserva de núm eros de modo ta l que 
los nuevos núm eros estén representados en la m ism a forma 
n atu ra l por puntos en el plano? Como aún no tenem os un 
sistem a de núm eros m ás am plio que el sistem a de los núm eros 
reales debemos construirlo.
Corresponde comenzar esta construcción indicando de qué 
«m aterial» «se construirá» el nuevo sistem a de núm eros, es 
decir, qué objetos harán las veces de nuevos núm eros; después, 
determ inar cómo sobre dichos objetos, es decir, sobre estos 
fu turos núm eros deberán efectuarse las operaciones algebrai­
cas: sum a, producto , re s ta y d iv isión . Como nosotros quere­
mos constru ir núm eros ta les que se representen por todos los 
puntos del p lano, entonces lo más sencillo de todo es tom ar 
a los mismos puntos del p lano en calidad de nuevos núm eros. 
P ara que estos puntos puedan ser verdaderam ente conside­
rados núm eros sólo corresponde defin ir cómo se realizarán 
con ellos las operaciones algebraicas, es decir, qué punto 
debe llam arse sum a de dos puntos dados del p iano , qué 
pun to debe llam arse producto de éstos, etc.
La posición de un punto en la recta es to ta lm en te definida 
por un núm ero real, o sea, por su coordenada, análogam ente, 
la posición de todo punto en el plano puede determ inarse 
m ediante un p a r de núm eros reales. P a ra esto tomemos en 
el plano dos rectas perpendiculares en tre s í , que se cortan
11
en el pun to 0 y en cada una de las cuales damos el sentido 
positivo y señalam os la unidad de escala (dib. 2). Denomi­
nemos a estas rectas ejes de coordenadas; en particu lar, eje de 
las abscisas a la rec ta horizontal y eje de las ordenadas a la 
recta vertical. Todo el plano queda d iv id ido por los ejes 
de coordenadas en cua tro cuadrantes, que se num eran del 
modo indicado en el dibujo.
La posición de cualquier punto A del p rim er cuadrante 
(véase el dib. 2) queda determ inada to talm ente dando dos
R 1
- a— \\b1
0 1
M n
Dlb. 2
núm eros reales positivos: el número a, que en las unidades 
de escala elegidas expresa la d istancia desde este punto hasta 
el eje de las ordenadas (la abscisa del punto / l ) y el número b, 
que en las unidades de escala elegidas expresa su d istancia 
hasta el eje de las abscisas (la ordenada del punto A ).
R ecíprocam ente, para cada par (a , b) de núm eros reales 
positivos puede señalarse en el p rim er cuadrante un punto 
to ta lm en te definido, cuya abscisa sea a y su ordenada b. 
E n forma análoga se determ inan los puntos en los otros 
cuadrantes. No obstante, para asegurar la correspondencia 
b iunívoca en tre todos los puntos del plano y los pares de 
sus coordenadas (a , b ), es decir, para ev ita r que a varios 
puntos diferentes del plano les corresponda un mismo par 
de coordenadas ( a , b ) , consideraremos negativas a las abs­
cisas de los puntos que se encuentran en los cuadrantes / / 
y / / / y a las ordenadas de los puntos que se encuentran en 
los cuadrantes ¡ I I y IV . Señalem os que los puntos que se 
encuentran en ei eje de las abscisas tienen coordenadas tipo 
(a, 0), en tan to que los puntos que se encuentran en el eje
12
de las ordenadas tienen coordenadas tipo (0, b), donde a y b 
son ciertos núm eros reales.
Aprendimos a dar todos los pun tos del p lano m ediante 
pares de núm eros reales. E sto nos p erm itirá , en lo sucesivo, 
referirnos no ya al punto A , dado por las coordenadas (a , b) 
sino sim plem ente al punto (a , b ).
Definirem os ahora la sum a y el producto de los puntos 
del plano. Al principio , estas definiciones nos parecerán 
muy artific ia les, pero se puede dem ostrar que estas defini­
ciones son las únicas que nos perm itirán a lcanzar nuestro 
objetivo, y a que con ellas aparece la posib ilidad de ex traer 
raíces cuadradas de los núm eros reales negativos.
Sean dados en el plano los pun tos (a , b) y (c, d ) . H asta 
ahora no sabíam os qué correspondía en tender como sum a y 
producto de estos puntos. Llam em os ahora suma de los m is­
mos al punto con abscisa a + c y ordenada b + d , es decir,
(q , b) + (c, d) = (a -fc , b + d ).
Llamemos, por o tra p arte , producto de. los puntos dados 
al punto con abscisa ac — bd y o rdenada ad+ bc, es decir,
(a , b) (c, d ) = (ac— bd, a d+ bc).
Es fácil com probar que las operaciones con el conjunto 
de todos los puntos del plano las cuales hemos definido, 
poseen todas las propiedades comunes a las operaciones con 
los números: la sum a y el producto de los puntos del plano 
son conm utativas, o perm utables (es decir, pueden perm u­
tarse sum andos y factores); asociativas, o com binables (es 
decir, la sum a y el producto de tres pun tos no dependen de 
la disposición de los paréntesis) y están ligadas por la ley 
d istribu tiva (es decir, por la reg la de apertu ra de paréntesis). 
Señalemos que el hecho de que la sum a y el producto de los 
puntos son asociativos perm ite in troducir de modo unívoco 
la sum a y el producto de cualqu ier núm ero fin ito del plano.
P ara los puntos del plano tam bién se cum plen ahora la 
resta y la div isión , inversas, respectivam ente, a la sum a y al 
producto; inversas en el sen tido de que en cua lqu ier sistem a 
de núm eros la diferencia de dos puntos puede determ inarse 
como el núm ero cuya sum a con el sustraendo es igual al mi­
nuendo, en tan to que el cociente de dos núm eros es el núm ero 
cuya m ultiplicación por el d iv isor es igual al dividendo.
13
Precisamente:
(a , b )— (c, d) = (a—c, b—d ),
(a, b) /ac-\-bd be—rj£¡\
(cTdj ~ V ^ m ^ 2 ’ c* + d‘¿ ) '
El lector com probará s in d ificu ltad que el producto del punto 
que se ha lla en el segundo miembro de la ú ltim a igualdad 
por el punto (c, d) (el producto se entiende, por supuesto, 
en el sentido de la definición que antes diéramos) es en rea­
lidad igual al punto (a y b ). M ás sencillo aún es com probar 
que la sum a del punto que se encuentra en el segundo miembro 
de la prim era igualdad y del punto (c, d) es en realidad igual 
ai punto (a , b).
A plicando nuestras definiciones a los puntos que se en­
cuentran en el eje de las abscisas, es decir, a los puntos tipo 
(cr, 0), obtenemos
(a, 0)+(¿>, 0 ) = ( a + b , 0),
(a, 0) (6, 0)= (a b , 0),
es decir, la sum a y el producto de estos puntos se reducen a 
la sum a y al producto de sus abscisas. Esto es válido tam bién 
para la resta y la división:
(a, 0) - ( b , 0) = ( a - b . 0),
(A(i», 0) V ” ’ )
Si tomamos en consideración que todo punto (a, 0) del eje 
de las abscisas es la representación del núm ero real a, su 
abscisa, es decir, si identificam os el punto (a, 0) con el mismo 
núm ero a, entonces el eje de las abscisas se transform a sim ­
plem ente en la rec ta de los núm eros reales (eje numérico). 
Ahora podemos considerar que el nuevo sistem a de números 
que hemos construido con los puntos del plano contiene, en 
particu lar, todos los núm eros reales, más exactam ente, los 
contiene en calidad de puntos del eje de las abscisas.
Los puntos del eje de las ordenadas no pueden ser iden ti­
ficados con núm eros reales. Veamos, por ejem plo, el punto 
(0, I) , que se encuentra en el eje de las ordenadas a la d is­
tancia de 1 por encim a del punto O. Designemos este punto 
por la le tra í:
/ - ( 0 , I)
¡4
y hallem os su cuadrado , en el sen tido del producto de los 
puntos del plano:
¿2= ( 0, 1)(0, l ) = ( 0 - 0 —1 • ! , 0-1 + 1 - 0 ) = ( — 1, 0).
El punto (— 1, 0) se encuentra no en el eje de las ordenadas 
sino en el eje de las abscisas y por ello represen ta al núm ero 
real — 1, es decir,
/» = — I.
Por consiguiente, en nuestro nuevo sistem a de núm eros 
nosotros hallam os un núm ero ta l que su cuadrado es igual 
núm ero real — 1, es decir, que ahora ya podem os ex traer la 
ra íz cuadrada de — 1. Otro valo r de esta ra íz será elpunto 
—í = ( 0 , — 1). Señalemos que el pun to (0, 1), designado por 
nosotros m ediante i , es un punto to ta lm en te definido del 
plano y el hecho de que se le denom ine «unidad im aginaria» 
no obstaculiza su ex istencia real en el plano.
El sistem a de núm eros que hemos constru ido , más am ­
p lio que el sistem a de los núm eros reales, se denom ina sis­
tem a de los números complejos, m ientras que los pun tos del 
plano con las operaciones antes definidas en ellos reciben el 
nom bre de números complejos. Es fácil dem ostrar, em pleando 
estas operaciones, que todo núm ero com plejo puede ser ex ­
presado m ediante números reales y el núm ero i. Sea dado el 
pun to (a, b ). En v irtud de la definición de sum a es v á lid a 
la igualdad
(a , b) = (a, 0 )+ (0 , b).
El sum ando (a, 0) se encuentra en el eje de las abscisas y 
es por lo tan to el núm ero real a. E l segundo sum ando, g ra­
cias a la definición del producto, puede escribirse en la forma:
(0, b) = (b, 0)(0, 1).
Ei p rim er factor del segundo m iem bro de esta igualdad coin­
cide con el núm ero real b y el segundo es igual a i. De este 
modo
(a , b )= a + b i,
donde la sum a y la m iltip licación deben en tenderse en el 
sen tido de las operaciones con los puntos del plano.
H abiendo obten ido la expresión o rd in aria de los núm eros 
complejos, ahora ya podem os escrib ir las fórm ulas an tes dadas
15
para las operaciones con los núm eros com plejos en la forma 
siguiente:
(a + b ¡ )+ (c + d i) = (a + c ) + (b + d ) i. 
( a + b i ) ( c + d i ) ~ ( a c — bd) + (ad+ be) i, 
(a + b i)— (c + d i) = (a— c) + ( b ~ d ) i , 
a+bi ac-j-bd . bc— ad . 
c-\-d¡ ~~c*+<P + c* + d2Í'
Señalem os que la definición del producto de los puntos 
del plano que diéram os antes se h a lla en correspondencia 
to ta l con la ley d istribu tiva: si en el p rim er miembro de la 
segunda igualdad escrita más arriba , hallam os el producto 
por la regla de la m ultip licación de un binom io por o tro , 
que se infiere de la ley d is trib u tiv a , luego empleamos la 
igualdad t* = — 1 y sim plificam os los térm inos sem ejantes 
obtendrem os precisam ente el segundo m iem bro de esa igual­
dad.
§ 3 . EXTRACCIÓN DE RAICES. 
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Teniendo a nuestra disposición los núm eros complejos 
podemos ex traer la ra íz no sólo del núm ero — 1 sino tam bién 
de cualquier núm ero real negativo, además, obtendrem os dos 
valores diferentes. Precisam ente, si — a es un núm ero real 
negativo, es decir, 00 entonces
V — a = ± V a f ,
donde V « es el valor positivo de la ra íz cuadrada del número 
positivo a.
V olviendo a la resolución de la ecuación cuadrática con 
coeficientes reales a que nos refiriéram os en la introducción, 
ahora podemos decir que en el caso b7-—4 ac < 0 esta ecuación 
posee dos raíces diferentes, pero complejas.
Los núm eros complejos son suficientes para ex traer la raíz 
cuadrada no sólo de los núm eros reales sino tam bién de cua­
lesquiera núm eros complejos. Sea dado el número complejo
16
a + b i, entonces
V a + T ¡ = ] / ' ^ ( a + Vr& + b¡) + i Y + •
donde las dos veces se tom a el valor positivo del radical 
Vat+b"-. E l lector ve, por supuesto, que para cualesquiera 
a y b tan to el prim er sum ando del segundo m iem bro como el 
coeficiente de i serán núm eros reales. Cada uno de estos dos 
radicales tiene dos valores que se com binan uno con o tro se­
gún la siguiente regla: si b > 0 entonces el valor positivo de 
un rad ical se sum a con el v a lo r positivo del o tro y el negativo 
con el negativo; si b< 0 entonces e l valor positivo de un 
rad ical se sum a con el valo r negativo del otro.
Ejemplo. E x traer la ra íz cuadrada del núm ero 21—20í. 
A quí
Y a* + b1 = V 441 + 400 = 29,
Y + _ Y y (21 + 29) = ± 5 ,
Y T ( ~ a + V * T b ' ) .«= Y i (“ 21 + 2 9 ) = ± 2 .
Como b ~ —20, es decir, b < 0 , la com binación de los 
valores de los ú ltim os radicales se efectúa con signos dife­
rentes, es decir,
V 2 1 — 2 0 i = ± (5 — 2 í) .
Al aprender a sacar la ra íz cuadrada de los núm eros com­
plejos obtenem os la posib ilidad de resolver ecuaciones cua­
dráticas con cualesquiera coeficientes complejos. E n efecto, 
la deducción de la fórm ula para la resolución de la ecuación 
cuadrática conserva su validez p ara el caso de coeficientes 
complejos y el cálculo de la ra íz cuadrada que en tra en esa 
fórmula puede reducirse a la extracción de las raíces cu ad ra­
das de dos núm eros reales positivos. L a ecuación cu ad rá tica 
con cualesquiera coeficientes com plejos posee, por consiguiente, 
dos raíces, las cuales pueden casualm ente coincid ir, o sea, 
d a r una ra íz m últiple.
Ejemplo. R esolver la ecuación
x *— (4— i ) x + ( 5 — 5 i ) = 0 .
17
A plicando la fórm ula obtenem os que
(4 —<)± V (4 —Í)* _ 4 (5 —5t) (4 — i ) ± y —5 + 12í
2 ~ 2
E xtrayendo la ra íz cuadrada presente en esta fórm ula por el 
método antes descripto hallam os que
V —5 + 1 2 í= ± ( 2 + 3 i ) ,
de donde
. . ( 4 - f ) ± (2+3i)
X 2 •
Por lo tan to , las raíces de nuestra ecuación serán los números 
x l = = 3+ í, * 2 = 1 —2 i.
Una sencilla com probación dem uestra que cada uno de estos 
núm eros realm ente satisface la ecuación.
Pasemos al problem a relacionado con la extracción de 
raíces de cualquier grado entero positivo n de núm eros com­
plejos. Puede dem ostrarse que para cualquier núm ero com ­
plejo a existen exactam ente n núm eros complejos d istin tos 
tales que cada uno de ellos, siendo elevado a la n-ésima 
potencia (es decir, si se tom a el producto de n factores igua­
les a este núm ero), da el núm ero a . En o tras palabras, se 
cum ple el im portan tísim o teorema:
La ra íz n-éslma de cualquier número complejo posee exac­
tamente n valores complejos distintos.
Este teorem a tam bién es válido para los números reales, 
ya que éstos son un caso p articu la r de los núm eros complejos: 
la ra íz n-ésim a del num ero real a posee exactam ente n va­
lores diferentes, en el caso general, complejos; como se sabe, 
en tre éstos puede haber dos reales, uno o ninguno re a l, de­
pendiendo esto del signo del núm ero a y de la paridad del
núm ero n.
A sí, la ra íz cúbica de uno posee tres valores:
, 1 , • Y 3 1 . V~3
’ l ~ 2 ~ y — ~ 2 ~ l ~ 2 ~ ’
es de fácil com probación que cada uno de estos números, 
elevado al cubo, es igual a uno. La ra íz a la cuarta de la
u n idad tiene cuatro valores que son:
i . — i , i y —*'•
18
Antes presentam os la fórmula para la extracción de la 
ra íz cuadrada del número complejo a + b i. E sta fórm ula re­
duce la extracción de esa ra íz a la extracción de las raíces 
cuadradas de dos núm eros reales positivos. L am entable­
mente, para n> 2 no existe una fórm ula que exprese la ra íz 
rt-ésima del número com plejo a + b i m ediante valores reales 
de los radicales de núm eros reales auxiliares. E s m ás, se ha 
dem ostrado que esa fórmula no puede ser ob ten ida. Las 
raíces rt-ésimas de los núm eros complejos se extraen hab itual- 
m ente por medio del paso a un nuevo tipo de notación de estos 
núm eros, la así llam ada forma trig inom étrica, a la que 
nosotros no nos referirem os aquí.
§ 4 . ECUACIONES CÚBICAS
Conocemos ya la fórmula para la resolución de las ecua­
ciones cuadráticas, además, esta fórm ula es válida incluso 
en el caso de los coeficientes complejos. En el caso de las 
ecuaciones de tercer grado, o como se dice, ecuaciones cú­
bicas, tam bién puede darse una fórm ula, claro que más 
com plicada, que exprese las raíces de estas ecuaciones m ediante 
sus coeficientes, con ayuda de radicales; esta fórmula tam bién 
es válida para las ecuaciones con cualesquiera coeficientes 
complejos.
Sea dada la ecuación
x i+ a x 2+ b x + c = 0.
Transformemos esta ecuación, considerando a
donde y es una nueva incógnita. Sustituyendo esta expresión 
de x en nuestra ecuación obtenem os unaecuación cúbica para 
la incógnita y , más sencilla , por o tra p a rte , ya que el coefi­
ciente de y 2 resu lta igual a cero. E l coeficiente de y a la p ri­
mera potencia y el térm ino independiente serán correspon­
dientem ente los números
19
es decir que la ecuación en forma reducida se escriba como 
sigue:
y 3+ p y + q = 0.
Si hallam os las raíces de esta nueva ecuación, entonces,
restándoles - j cada una de ellas obtendrem os las raíces de
la ecuación in icial.
Las ra íces de nuestra nueva ecuación se expresan por 
medio de sus coeficientes con ayuda de la siguiente fórmula:
1 9a Ps , « í _ Q ¿ . p'
i/ = j / — j y T + 27 + y T ~ V T + 2 7
C ada uno de los radicales cúbicos presentes en ella posee, 
como sabemos, tres valores, no pudiéndoselos, sin em bargo, 
com binar en form a arb itra ria . R esulta que para cada valor 
del p rim er radical ex iste un único valor del segundo radical,
ya que el producto de ambos es igual a] núm ero — — . Estos
dos valores de los radicales son precisam ente los que deben 
sum arse para obtener la ra íz de nuestra ecuación. Obtenemos 
de este modo, tres raíces de nuestra ecuación. P o r consiguien­
te, toda ecuación cúbica con cualesquiera coeficientes 
num éricos posee tres raíces que, en el caso general, son com­
p le jas; por supuesto , algunas de estas raíces pueden coinci­
d ir , es decir, transform arse en ra íz m últip le.
E l significado práctico de la fórm ula reducida no es 
grande. En efecto, sean los coeficientes p y q núm eros reales. 
Se puede dem ostrar que si la ecuación
y 3+ p y + q = 0
posee tres raíces reales diferentes, entonces la expresión
S - 4 - j L 
4 27
será negativa. E s ta expresión aparece en la fórm ula bajo el 
signo de la ra íz cuadrada y por eso luego de ex traer esta ra íz 
obtenem os bajo el signo de cada una de las raíces cúbicas 
un núm ero com plejo. Como antes se d ijera , la extracción 
de la ra íz cúbica de un número com plejo exige, sin embargo, 
expresar éste en la form a trigonom étrica y esto sólo puede 
hacerse en forma aproxim ada y con ayuda de tablas.
20
Ejemplo. La ecuación
x3— 1 9 x + 3 0 = 0
no contiene el cuadrado de la incógnita y por lo tan to ap li­
caremos la fórmula que diéram os, sin realizar la transfor­
mación prelim inar. A quí
por consiguiente,
_SL , £ _ ____ 784
4 ' 27 27 ’
es decir, es negativo. E l prim er radical cúbico que en tra en 
la fórmula tiene la forma
No podemos expresar este radical cúbico m ediante radicales 
de números reales y, por lo tan to , no podemos ha lla r las ra í­
ces de nuestra ecuación por la fórmula dada. E n realidad, 
como dem uestra la comprobación directa , estas raíces son 
los números enteros 2 , 3 y —5.
La fórmula dada para la resolución de la ecuación cúb i­
ca perm ite hallar las raíces de la ecuación sólo en aquellos
casos cuando la expresión ^ - - f ^ e s positiva o igual a
cero. En el prim er caso la ecuación tiene una ra íz real y dos 
raíces complejas; en el segundo caso todas las raíces son 
reales pero una de ellas es m últiple.
Ejemplo. Resolver la ecuación cúbica
P= — 19. <7=30,
Y ” 1 V T + i r = ] / r - i 5 + ] / -
y s+ 9 y —2 6 = 0
21
que puede resolverse aplicando la fórmula dada. Aquí 
-£ - + | l= 1 9 6 = l4 » ,
y por lo tan to
¡ / - Í + V t + S - = K B + 1 4 - í /2 7 .
Uno de los valores de este radical cúbico es el número 3. 
El producto de este valor por el valor Correspondiente del 
segundo radical cúbico que en tra en la fórm ula debe ser
igual al núm ero — y . o sea, en nuestro caso, igual a —3.
El valor buscado del segundo radical será, por consiguiente, 
el núm ero — I y por ello una de las raíces de la ecuación 
reducida será:
z/l —3H-(— 1)= 2 .
Ahora que obtuvim os una de las raíces de la ecuación 
cúbica las o tras dos pueden hallarse por muchos medios 
diferentes. Por ejemplo pueden hallarse otros dos valores 
del radical ¡í/27, calcular los valores correspondientes del 
segundo radical y sum ar los Valores correspondientes de los 
dos radicales. Se puede ac tuar de o tra forma, dividiendo al 
prim er miembro de la ecuación reducida por y — 2, luego de 
lo cual sólo debe resolverse la ecuación cuadrática. Cual­
quiera de estos medios dem ostrará que las o tras dos raíces 
de nuestra ecuación reducida son
— 1 + t V \ 2 y — 1— f KT2.
En consecuencia, las raíces de la ecuación cúbica inicial son 
5, 2 + t / 1 2 y 2— iV v ¿ .
Se com prende que no siem pre los radicales se resuelven 
con ta n ta facilidad como en el ejem plo que hemos presentado 
y que ha sido especialm ente elegido sino que con mayor 
frecuencia se los debe resolver en forma aproxim ada, ob te­
niéndose por ello sólo valores aproxim ados para las raíces 
de la ecuación.
§ 5 . ACERCA D E LA RESOLUCIÓN 
D E ECUACIONES 
B A JO RADICALES Y D E LA E X IST E N C IA DE 
RAÍCES D E LAS ECUACIONES
P ara las ecuaciones de cuarto grado tam bién puede in d i­
carse una fórm ula que expresa las ra íces de estas ecuaciones 
m ediante sus coeficientes. E sta fórm ula es mucho más com ­
plicada que la fórm ula para resolver la ecuación cúbica ya 
que contiene rad icales más com plicados «de muchos pisos» 
y por ello su aplicación p ráctica re su lta mucho menor. De 
esta fórm ula puede deducirse, sin em bargo, que toda ecuación 
de cuarto grado con coeficientes num éricos a rb itra rio s posee 
cuatro raíces com plejas, algunas de las que pueden ser reales.
Las fórm ulas para la resolución de las ecuaciones de te r­
cero y cuarto grado fueron descubiertas ya en el siglo XVI. 
Al mismo tiem po comenzaron las búsquedas de fórm ulas 
para la resolución de las ecuaciones de qu in to grado y de 
grados superiores. Señalem os que la form a general de una 
ecuación de n-ésim o grado (donde n es cierto núm ero entero 
positivo) es:
a0x" + a ,xn - » + a ax"~» + . . . + an _ Xx-+ a„ = 0.
E stas búsquedas continuaron s in éxito hasta comienzos del 
siglo X IX , cuando por fin fue dem ostrado el sigu ien te resu l­
tado extraordinario :
Para n ingún n , mayor o igual a cinco puede hallarse fór­
m ula que exprese las raíces de cualquiera ecuación de n-ésimo 
grado mediante sus coeficientes por radicales.
M ás aún , para cua lqu ier n m ayor o igual a cinco se puede 
ind icar una ecuación de n-ésimo grado con coeficientes ente­
ros, cuyas ra íces no pueden expresarse m ediante rad icales 
«de muchos pisos» cua lqu iera que sea la com binación de los 
rad icales, si com o expresiones subrad icales sólo es em plean 
núm eros enteros y fracciones. Tal es, por ejem plo , la ecuación
x6—4.v—2 = 0 .
Puede dem ostrarse que esta ecuación tiene cinco ra íces , tres 
reales y dos com plejas, pero n inguna de ellas puede expre­
sarse m ediante radicales, es decir, esta ecuación es tirresolu- 
ble por radicales». De este modo la reserva de núm eros, reales
23
o com plejos que son raíces de las ecuaciones con coeficientes 
enteros (estos núm eros se denom inan algebraicos en contra­
posición a los núm eros trascendentes que no son raíces de n in ­
guna ecuación con coeficientes enteros), es mucho más am ­
p lia que la reserva de núm eros que se expresan por radicales.
La teoría de los números algebraicos es una ram a im por­
tan tís im a del álgebra a cuyo enriquecim iento contribuyeron 
los m atem áticos rusos E. I . Z olotariov (1847— 1878); C. F . Vo- 
ronoi (1868—1908), N. G . Chebotariov (1894— 1947).
La inexistencia de fórmulas generales para la resolución 
por radicales de las ecuaciones de n-ésim o grado cuando
5 fue dem ostrada por A bel (1802—1829). La existencia 
de ecuaciones con coeficientes enteros irresolubles por ra ­
dicales fue estab lecida por G alois (1811— 1832), quien tam ­
bién halló las condiciones en las cuales la ecuación puede 
resolverse por radicales. Todos estos resultados exigieron 
la creación de una nueva y profunda teoría , la teoría de grupos. 
E l concepto de grupo perm itió agotar la cuestiónreferente a 
la resolución de ecuaciones por radicales, habiendo hallado 
más tarde num erosas aplicaciones en diferentes ram as de la 
m atem ática y fuera de sus lím ites, convirtiéndose en uno de 
los objetos más im portan tes de estudio en el álgebra. Sin 
en tra r a defin ir ahora este concepto señalemos que el papel 
d irigen te en el desarrollo de la teo ría de grupos pertenece 
en la actualidad a los algebristas soviéticos.
El hecho de que no existen fórmulas para resolver las 
ecuaciones de n-ésim o grado cuando n > 5 no provoca d ifi­
cultades serias en lo que respecta a la búsqueda práctica 
de las raíces de las ecuaciones. E sto se compensa to talm ente 
por los numerosos m étodos de resolución aproxim ada de las 
ecuaciones, que incluso en el caso de las ecuaciones cúbicas 
conducen al objetivo con mayor rapidez que u tilizando la 
fórm ula (a llí donde ésta puede aplicarse) y extrayendo, a 
continuación, en forma aproxim ada los radicales reales. No 
obstan te, la ex istencia de fórm ulas para las ecuaciones de 
segundo, tercero y cuarto grados perm itió dem ostrar que 
estas ecuaciones poseen respectivam ente dos, tres o cuatro 
raíces. Ahora b ien , ¿cómo estarán las cosas respecto a la 
existencia de raíces para las ecuaciones de n-ésimo grado 
para n arb itrario?
S i ex istieran ecuaciones con coeficientes numéricos reales 
o complejos que no poseyeran n i una sola ra íz real o com pleja,
24
aparecería entonces la necesidad de u lte rio r am pliación de 
la reserva de núm eros. P ero , esto no es necesario: ya que 
los núm eros com plejos son suficientes p ara resolver cuales­
quiera ecuaciones con coeficientes num éricos. E s válido 
precisam ente el sigu ien te teorema:
Toda ecuación de n-ésimo grado con cualesquiera coeficien­
tes numéricos tiene n raíces complejas o, en particular , reales, 
algunas de tas cuales, por supuesto, pueden coincidir o sea 
que pueden ser m últiples.
Este es el llam ado teorema fundam ental del álgebra su ­
perior, que fuera dem ostrado ya en el siglo XV1I1 por D ’Alem- 
bert (1717—1783) y G auss (1777— 1855), aunque sólo en el 
siglo X IX fue lograda su rigurosa dem ostración (en la ac tu a ­
lidad existen v arias decenas de dem ostraciones diferentes). 
E l concepto de m u ltip lic idad de la ra íz c itad o en el en u n ­
ciado del teorem a fundam ental tiene el s igu ien te significado. 
Se puede dem ostrar que si la ecuación de n-ésim o grado
a0x n + a rx n~l + . . . + a„_tx + a„ = 0
tiene n ra íces a¡, a 2, . . a n, entonces el prim er m iem bro 
de la igualdad posee la s igu ien te descom posición en factores:
a0x n + a lx n~1+ . . . + a , f . i X + a„ =
= a0 ( x — a ,) (x — a t ) . . . (x — a„).
R ecíprocam ente, si para el prim er m iem bro de n u estra ecua­
ción se da esa descom posición, entonces los núm eros a , , a 2, 
. . a „ serán las raíces de esa ecuación. A lgunos de los n ú ­
meros a , , a s, . . . , a „ pueden re su lta r iguales en tre sí. Si 
por ejem plo
a , = a 2— . . . = a , , ,
pero
a ,z/za i cuando l —k- j-1, A-f-2........ n,
o sea, en la descomposición estu d iad a el facto r (x—a , ) en 
realidad se encuentra k veces, entonces para k > \ la ra íz 
a , se llam a ra íz m últip le , o m ás exactam ente k-m últip le
*> Si se d ice ra íz s im p le (N . del T r .)
§ 6 . N Ú M E R O D E RA ICE S R E A L E S
El teorem a fundam ental de álgebra superior encuentra 
aplicaciones im portan tísim as en m uchas investigaciones 
teóricas pero no da ningún método determ inado para calcular 
en la p ráctica las raíces de las ecuaciones. S in em bargo, en 
muchos problem as de la técnica se encuentran ecuaciones, 
por regla general, con coeficientes reales acerca de cuyas 
raíces sólo es necesario poseer c ie rta inform ación. Por lo 
com ún no es necesario conocer estas ra íces con exactitud 
ya que los mismos coeficientes de la ecuación han sido ob­
tenidos como resultado de mediciones y por ello se conocen 
sólo con c ie rta aproxim ación, que depende de la exactitud 
de aquéllas.
Sea dada la ecuación de n-ésim o grado
+ a1x n~x + . . . + a„ „xx + an = 0
con coeficientes reales. Como sabemos e lla tiene n raíces. 
Las prim eras preguntas que n a tu ra lm en te aparecen son: 
¿E xisten en tre éstas raíces reales? ¿cuántas? ¿dónde están 
ubicadas aproxim adam ente? La respuesta a estas preguntas 
puede ser obten ida del modo que a continuación explicaremos. 
Designemos con f(x) al polinom io del prim er miembro de 
nuestra ecuación, es decir:
/ (x) = a 0x* + alx n - » + . . . + a n_1x + a „ .
E l lector, que conoce el concepto de función, com prenderá 
que nosotros consideram os al prim er miembro de la ecuación 
como función de la variab le x. D ando a x un valo r numérico 
arb itra rio a y sustituyéndolo en la expresión para f(x), 
una vez efectuadas todas las operaciones indicadas ob ten­
dremos un cierto núm ero que se denom ina valor del po li­
n o m io //* ) y se designa con la notación /(a ) . Si
f ( x ) = x 3— 5*s+ 2 * + l
y a = 2 , entonces
f (2 )= 2 3+ 5 - 2 íH - 2 - 2 - H = —7.
Tracem os la gráfica del polinom io /(* ). Para esto tomemos 
en el plano los ejes de coordenadas (véase más arriba) y, 
dando a * cierto valo r a y calculando el valor correspondiente 
/ (a ) del polinom io f(x), señalem os en el plano el punto con
26
abscisa a y ordenada f (a), o sea, el pun to (a , /(a ) ) . Si pu­
diéram os proceder de este mismo modo para todos los a 
entonces los puntos señalados por nosotros en el p lano com ­
pondrían una c ierta lín ea curva. Los puntos de intersección 
o tangencia de esta curva con el eje de las abscisas indican
Di b . 3
valores de a para los cuales f ( á ) —0, o sea , que ind ican cuáles 
son las ra íces reales de la ecuación dada.
L am entablem ente, h a lla r los puntos (a , /(a ) ) para todos 
los valores a es im posible ya que su núm ero es in fin itam en te 
grande y nos vem os obligados a lim itarnos a un núm ero 
fin ito de estos puntos. P ara que resu lte m ás sencillo , en 
princip io podemos tom ar varios valores de a consecutivos, 
positivos y negativos, señalar en el plano los puntos corres­
pondientes y luego unirlos m ediante una lín ea curva tan 
suave como sea posible. P a ra esto re su lta suficien te tom ar 
sólo aquellos valores de a que están com prendidos en tre 
— B y B, donde la cota B se determ ina del modo siguiente: 
si |a0| es el valo r absoluto del coeficiente de x" {recordemos 
que |a |—a si a> 0 y |a |— — a s i a < 0 ) , A es la m ayor de las 
m agnitudes absolutas de todos los dem ás coeficientes a i,
27
'a* an, entonces
* - r a + l -
No o bstan te estas cotas suelen ser dem asiado am plias. 
Ejemplo. T razar la gráfica del polinom io
f ( x ) = x 3— 5 x* + 2 x+ \.
A quí |a0| = l , A — 5 y por lo tan to B —6. En este ejem plo, 
en realidad , es posible lim itarse sólo a aquellos valores a 
que están com prendidos en tre — 1 y 5. Hacemos la tab la de 
valores del polinom io f{x) y tracemos la gráfica (dib. 3).
a 1(0.)
— 1 — 7
0 1
1 — 1
2 — 7
3 — t i
4 — 7
5 11
La gráfica m uestra que las tres raíces a , , a a y a 3 de nues­
tra ecuación son reales y que están com prendidas en tre 
los lím ites:
— l < a , < 0 , 0 < a a< l , 4< cc3< 5 .
Vemos que pod ía no haberse construido la gráfica ya que sus 
intersecciones con el eje de las abscisas están ubicadas entre 
ta les valores próxim os de a para los que / (a ) tienen signos 
d is tin to s y por ello hubiera sido suficiente m irar la tab la 
de valores de f (a).
Si en nuestro ejem plo hubiésem os encontrado menos de 
tres puntos de intersección podrían aparecer dudas acerca 
de s i , debido a lo im perfecto de nuestro trazado, no hemos 
perdido algunas raíces más, ya que trazam os la línea curva 
conociendo solam ente siete de sus puntos. No obstante, 
existen m étodos que perm iten conocer exactamente el n ú ­
mero de raíces reales de la ecuación e incluso la cantidad de
28
ra íces com prendidas en tre dos núm eros a rb itra rio s a y b, 
donde a < b . Pero nosotros no expondrem os estos métodos.
Suelen resu ltar de mucha u tilid ad los teorem as que da­
remos a continuación, los que dan cierta inform ación acerca 
de la existencia de ralees reales e incluso positivas.
Toda ecuación de grado impar con coeficientes reales tiene 
por lo menos una raíz real.
S i en una ecuación con coeficientes reales, el coeficiente 
principal a0 y el término independiente an tienen signos dife­
rentes, entonces la ecuación tiene por lo menos una raíz posi­
tiva. S i además la ecuación es de grado par entonces también 
posee por lo menos una raíz negativa.
Así, la ecuación
x i— 8xs+ x — 2 = 0 
tiene por lo menos una ra íz positiva , en tan to que la ecuación 
x t+ 2 x t—x 3+ 7x— 1 = 0
posee una ra íz positiva y o tra negativa . Todo lo dicho puede 
com probarse fácilm ente m ediante gráficas.
§ 7 . RESOLUCIÓN D E ECUACIONES 
POR APROXIM ACIÓN
Con anterioridad hallam os aquellos núm eros enteros en tre 
los cuales se hallan com prendidas las raíces reales de la ecua­
ción
Xa— 5 x s 4 -2 a ;+ 1 = 0 .
Este mismo m étodo perm ite ha lla r con mayor ex ac titu d las 
raíces de esta ecuación. Sea, por ejem plo, que nos interesa 
la ra íz a s, com prendida en tre el cero y la un idad . Calculando 
el valor del prim er m iem bro de nuestra ecuación f(x) cuando 
* = 0 ,1 ; 0,2; . . 0 ,9 , hallaríam os en tre qué dos números
de esta serie de valores de * la gráfica del polinom io f(x) 
corta al eje de las abscisas, es decir, calcularíam os la ra íz 
a a con ex actitu d de hasta una décima.
C ontinuando de este modo hubiéram os podido h a lla r el 
valor de la ra íz a , con exactitud de hasta una centésim a,
29
una m ilésim a y, teóricam ente, con la exactitud que nos sea 
necesaria. Pero este cam ino está ligado con cálculos muy vo­
luminosos que se vuelven muy pronto prácticam ente irrea­
lizables. Debido a esto se han elaborado distin tos métodos 
que perm iten calcular más rápidam ente los valores aproxi­
mados de las raíces reales de las ecuaciones. Expondremos 
el más sencillo de estos métodos, aplicándolo inm ediatam ente 
al cálculo de la ra fz de la ecuación cúbica c itada . En 
principio es conveniente h a lla r cotas más pequeñas (estre­
chas) para esta ra íz que 0 < a , < 1, que conocemos por ahora. 
Con este fin calculam os la ra íz con exactitud de hasta una 
décima. Si el lector calcula los valores del polinomio
f{x)= x»— 5x*+ 2x+ \
para * = 0 ,1 ; 0,2; . . .; 0,9, hallará que
f (0 ,7)=0 ,293, /(0 ,8 )= —0,088,
y por lo tan to , como los signos de esos valores de f(x) son 
diferentes,
0 ,7 « x 2< 0 ,8 .
El método consiste en lo siguiente. Sea dada una ecua­
ción de rc-ésimo grado a cuyo prim er miembro designamos 
con f (x) y sea conocido que en tre a y b, donde a < b , existe 
una ra íz real a de esta ecuación, la que no es m últiple. Si 
las cotas a < c c < 6 son suficientem ente estrechas, por ciertas 
fórmulas determ inadas pueden entonces calcularse nuevas 
cotas más estrechas, c y d, para la ra íz a , es decir, aquellas 
que determ inan con mayor exactitud la posición de esa raíz; 
siendo que o bien c < a < d o bien d < a < c .
La cota c se calcula por la fórmula 
r _ bt (a)-a f (b)
En nuestro ejem plo a = 0 ,7 , 6 = 0 ,8 y los valores [(a) 
y f(b) h an sido dados más arriba. Por ello
„ 0 ,8 -0 ,293— 0 ,r-<—0.088) 0,2344-(-0,0616 n 7Tcri
0,293 - ( - 0 ,0 8 8 ) Ó738Í - V . f f W . . .
La fórm ula para la cota d exige la introducción de un 
nuevo concepto que, para nosotros, jugará un papel secun-
3 0
<iar¡o; en realidad este concepto pertenece a o tra p arte de la 
matemática, más exactam ente, al cálculo diferencial.
Sea dado un polinom io de n-ésim o grado:
/ (x) = ae*" + a }x" + a^x" - 2 + . . . + an _ ■+ an _ Xx ~¡- a„.
El polinom io de (n— l)-ésim o grado:
/ ' {x) = naax n-i->r {n.— l ) o 1* ““ * + (/t— 2 )a ax " - a. ..
. . . + 2a„_a* + a „ _ i,
se llam a derivada del polinom io /(x) y se le designa con f'(x). 
Esta ha sido obten ida del polinom io f (x) según la sigu ien te 
regla; se m ultip lica cada térm ino ákxn- k del polinom io 
f(x) por el exponente n — k de x en tan to que se dism inuye 
ese mismo exponente en la un idad ; con esto el térm ino inde­
pendiente an desaparece, de modo que puede considerarse 
que a „ = anx°-
Sacando la derivada del polinom io f (x) obtendrem os un 
polinom io de (n—2)-ésimo grado que recibe el nom bre de 
segunda derivada del polinom io f(x) y se designa m ediante
f"(x).
Así, para el polinom io que consideram os: 
f ( x ) = x 3— 5 x* + 2 x+ \
será
f ’ (x)~Zx*— 1 0 x + 2 . 
f ( x ) = 6x— 10.
La cota d se calcu lará ahora por una de las fórm ulas 
siguientes
¿ = a _ Í Ma - a f , ((¡), a - o /((fe).
L a regla que darem os a continuación ind ica qué fórm ula 
de éstas dos justam ente debe elegirse. Si las cotas a, b fueron 
elegidas suficientem ente estrechas, por lo común, la segunda 
derivada f “(x) tendrá un mismo signo cuando x = a y x = b , 
en tan to que los signos de f(a) y f(b) serán como sabem os, 
distin tos. Si los signos de /"(a) y f(á) coinciden debe tom arse 
la prim era fórm ula para d, es decir, aquella en la cual se 
emplea la cota a\ pero si son los signos de f"{b) y f(b) los 
que coinciden entonces debe tom arse la segunda fórm ula, 
referida a la cota b.
31
En el ejem plo que viéram os, la segunda derivada f"(x) 
es negativa ya sea cuando a = 0,7 como cuando £>=0,8. Por 
eso, como f(a) es positivo y f(b) es negativo, para la cota d 
corresponde tom ar la segunda fórmula. Como 
Y (0,8)----- 4,08,
entonces
d = 0 , 8 - = M = 0 ,8 - 0 ,0 2 1 5 . . . = 0 ,7 7 8 4 . . . 4 , v/O
De este modo, para la ra íz a 2 hemos encontrado las cotas 
siguientes, mucho más estrechas que aquellas que ya cono­
cíamos:
0,7769.. . < a 2< 0 ,7784...
o bien, am pliando un tanto la distancia entre estas cotas:
0 ,7 7 6 9 < a í< 0 ,7785 .
De aqu í se deduce que si como valor para a„ tomamos el 
valor medio, es decir, la sem isum a de las cotas halladas,
a 2=0,7777,
el error com etido no supera al número 0,0008, que es igual 
a la sem idiferencia de esas cotas.
Si la exactitud obtenida es insuficiente, entonces podría 
volver a aplicarse el método descripto a las nuevas cotas de 
la raíz cc2 halladas. E sto, por o tra parte , hubiera exigido 
cálculos mucho más complejos.
Existen otros métodos de resolución de ecuaciones por 
aproxim ación, que dan mayor exactitud. E n tre éstos, el más 
perfecto es el método propuesto por el gran m atem ático 
ruso N. I. Lobachévski (1793— 1856), creador de la geo­
m etría no euclideana, y que perm ite calcular aproxim ada­
mente no sólo las raíces reales de la ecuación sino también 
las complejas.
§ 8 . CUERPOS CONMUTATIVOS
La existencia de raíces de las ecuaciones algebraicas de 
que tratáram os antes, puede ser observada desde un punto 
de v ísta aún más genera). Con este fin debe introducirse un
32
nuevo concepto, que es uno de los conceptos más im portantes 
del álgebra.
Veamos, en principio, los tres sistem as de núm eros que 
siguen: el conjunto de todos los núm eros racionales, el con­
jun to de todos ios núm eros reales y el conjunto de todos los 
números complejos. En cada uno de estos sistem as num éri­
cos, m anteniéndose dentro de los lím ites del mismo se pueden 
efectuar la sum a, m ultip licación, resta y d iv isión (exceptuan­
do la división por cero). E sto los d istingue del sistem a 
de todos los núm eros enteros, donde no siem pre puede efec­
tuarse la división (por ejem plo, el núm ero 2 no es d iv isib le 
por 5), así como tam bién del sistem a de todos los núm eros 
reales positivos, donde no siem pre puede efectuarse la resta.
E l lector ya se ha encontrado con casos en los que las 
operaciones algebraicasno se efectúan con números: recor­
demos la sum a y el producto de polinomios; tam bién la sum a 
de fuerzas, tan frecuente en la física. Por o tra parte , cuando 
definimos los núm eros complejos tuvim os que tra ta r de la 
sum a y el producto de los puntos del plano.
Sea dado un conjunto P que conste de núm eros o de ob­
jetos de natu ra leza geom étrica o, en general, de algunos 
entes, que llam arem os elementos de este conjunto P . Se dice 
que en P están definidas las operaciones de sum a y m u lti­
plicación si a cada par de elem entos a, b de P se pone en co­
rrespondencia, de un modo unívoco, un determ inado ele­
mento c de P , al que se llam ará sum a a y b:
c—a-^-b
y un elem ento determ inado d, al que se llam ará producto 
de a y b:
d= ab .
El conjunto P con las operaciones de sum a (o adición) 
y m ultiplicación asf definidas se denom ina cuerpo conmu­
tativo si estas operaciones poseen las propiedades I — V 
siguientes:
I . Ambas operaciones son conm utativas, o sea, para cua­
lesquiera a y b
a+& =¿>+íz, ab= ba .
33
II . A m bas operaciones son asociativas, o sea, para a, b 
y c a rb itrarios
(a + b )+ c = a + (b + c ), (ab)c=a(bc).
I I I . La adición y la m ultiplicación están ligadas por la 
ley d is trib u tiv a , es decir, para a, b y c arbitrarios
a(b+ c)= ab+ ac.
IV. Puede efectuarse la resta, es decir que para cuales­
quiera a y b puede hallarse en P la ra íz de la ecuación
a+x^=b
y sólo una,
V. Puede efectuarse la división, es decir, que para cuales­
quiera a y b, siem pre y cuando a no sea igual a cero, puede 
hallarse en P la ra íz de la ecuación
a x —b
y sólo una.
E n la condición V se hace referencia al cero. Su existen­
cia puede inferirse de las condiciones I — IV. En efecto, 
si a es un elemento arb itra rio de P, entonces, en v irtud de 
IV en P existe un elem ento com pletam ente determ inado 
que satisface la ecuación
a + x = a
(aqu í en calidad de b tom am os al mismo ü). E ste elemento 
puede depender de la elección del elem ento a y , por esto, 
lo designaremos m ediante 0a , es decir
a+ O a= a - (1)
Si b es o tro elem ento arb itra rio de P , entonces nuevam ente 
ex is te un elem ento único 0b tal que
b+0„=*b. (2)
Si dem ostram os que 0a =0¡, para cualesquiera a y b, quedará
entonces dem ostrada la existencia , en el conjunto P , del ele­
mento que hace las veces de cero para todos los elem entos a 
sim ultáneam ente.
Sea c la ra íz de la ecuación
a + x = b
34
que existe en v irtud de la condición IV, en consecuencia,
a + c - b .
Adicionemos a ambos miembros de la igualdad (1) el elem ento 
c, con lo cual la igualdad no se transgrede en v irtu d de la 
unicidad de la suma:
(a - |-0 „ )+ c = ü + c .
El prim er miembro de esta igualdad es igual a ó y el segundo, 
en virtud de las condiciones l y 11, es igual a ¿>+0„. Asi,
b+ 0„ = b.
H aciendo la comparación con la igualdad (2) y tom ando en 
cuenta que por IV existe una sola solución para la ecuación 
b + x = b , llegamos, por fin, a la igualdad:
0 „ = 0 „ .
Ha quedado dem ostrado que en todo cuerpo conm utativo 
P existe el cero, es decir, un núm ero 0 tal que para iodos 
los a de P se satisfaga la igualdad
a -¡-0 = a
y, por lo tan to , el enunciado de la condición V ha quedado 
to talm ente aclarado.
Tenemos ya tres ejemplos de cuerpos conm utativos: el 
cuerpo de los núm eros racionales, el de los núm eros reales 
y el de los números com plejos, m ientras que el conjunto de 
todos los núm eros enteros o el de los núm eros reales positivos no 
son cuerpos. Además de los tres cuerpos conm utativos c i­
tados existe una cantidad in fin ita de o tros cuerpos conm u­
tativos diferentes. En particu lar, dentro de) cuerpo de los 
núm eros reales o del cuerpo de los núm eros complejos están 
contenidos muchos otros cuerpos conm utativos diferentes, 
los llam ados cuerpos numéricos. P or o tra parte , existen cuerpos 
conm utativos más am plios que el cuerpo de los números 
complejos. Los elem entos de estos cuerpos conm utativos ya 
no serán denominados núm eros, pero los cuerpos conm uta­
tivos se u tilizan en diversas investigaciones m atem áticas. 
Señalemos un ejem plo de este cuerpo.
Exam inem os todos los polinom ios posibles:
f(x )= a tx a+ a lx n- l+ . . . + a n_,A.'+íin
3 5
con cualesquiera coeficientes complejos y cualquier grado; 
en particu lar, los mismos núm eros complejos serán sim ple­
m ente polinomios de grado cero. Si sum am os, restamos y 
m ultiplicam os polinomios con coeficientes complejos según 
las mismas reglas que conocemos para los polinomios con 
coeficientes reales, no tendremos aún el cuerpo conm utativo, 
y.a que no siem pre un polinom io es d ivisible «por entero» 
por otro.
Exam inem os aliora el cociente de los polinomios
/(* )
« W ’
o, como se dice, las funciones racionales con coeficientes 
complejos, conviniendo además que operamos en forma aná­
loga a como se opera con las fracciones. Más exactam ente,
¡ ( x ) _ ip (.v)
e W + M
cuando y sólo cuando
f(xW x)=g(x)<?(x).
Continuado:
/{A) « (JC> _ } (x)v(x) i z f í ( x ) u U )
g (.V) ^ V (X) g (X) (X)
/ ( * ) ü i £ l . . . . f ( x ) u { x ) 
g(x ) ' v ( . x ) g (x) v (x) '
El papel de cero lo juegan las fracciones cuyo num erador 
es igual a cero, es decir, las fracciones del tipo
0
£ ( * ) ’
es evidente que todas las fracciones de este tipo son iguales
en tre s í. F inalm ente, si la fracción — j es diferente de cero,
o sea, si u(x)=£0, entonces
H x ) . u l x ) _ f (x)y (X) 
g (* )‘ vW g (X) «(■«)■
Es fácil com probar que las operaciones con las funciones 
racionales que hemos detallado satisfacen todas las exigen­
cias de la definición de cuerpo conm utativo y, por lo tanto .
36
puede hablarse del cuerpo de las funciones racionales con 
coeficientes complejos. En este cuerpo conm utativo está 
contenido por com pleto el cuerpo de los núm eros complejos 
ya que ia función racional cuyo num erador y denom inador 
son polinomios de grado cero serán sim plem ente un núm ero 
complejo y todo núm ero com plejo puede representarse en esa 
forma.
S ería erróneo pensar que todo cuerpo conm utativo o está 
contenido en el cuerpo de los núm eros com plejos o lo contiene 
den tro suyo; existen otros cuerpos conm utativos y , en p a r ti­
cu lar, aquellos que sólo constan de un núm ero fin ito de ele­
mentos.
S iem pre que se u tilizan cuerpos conm utativos deben exa­
m inarse ecuaciones con coeficientes de estos cuerpos conm u­
tativos y, por lo tan to , aparece el problem a relacionado con 
la existencia de las raíces de esas ecuaciones. A sí, en ciertos 
problem as de geom etría encontram os ecuaciones con coefi­
cientes del cuerpo conm utativo de las funciones racionales; 
las raíces de estas ecuaciones se llam an funciones algebraicas. 
El teorem a fundam ental del á lgebra superio r, que se refiere 
a las ecuaciones con coeficientes num éricos, no puede ser 
em pleado en el caso de la s ecuaciones con coeficientes de 
cuerpo conm utativo arb itra rio y se su s titu y e por los sigu ien­
tes teorem as generales.
Sea P un cierto cuerpo conm utativo y
a0x n + a ,* " " 1 + . . . 4 -a „ .yx + a n = 0
una ecuación de n-ésim o grado con coeficientes de este cuerpo. 
R esu lta que esta ecuación no puede tener ni en el mismo cuer­
po conm utativo P ni en otro cuerpo más am plio, más de. 
n raíces. Al mismo tiem po, el cuerpo conm utativo P puede 
am pliarse hasta un cuerpo conm utativo Q tal que nuestra 
ecuación tenga en él n raíces (algunas de las cuales pueden 
ser m últiples). Es válido incluso el sigu ien te teorem a:
Todo cuerpo conmutativo P puede ampliarse hasta un cuer­
po P tal que cualquiera ecuación con coeficientes de P e in ­
cluso cualquiera ecuación con coeficientes de P posea en ~P raíces 
y que el número de las mismas sea igual a l grado de la ecuación.
El cuerpo conm utativo P a que nos referim os en el en u n ­
ciado de este teorem a se llam acuerpo algebraicamente cerrado.
37
El teorem a fundam ental del álgebra superior dem uestra que 
el cuerpo de los núm eros complejos pertenece a los cuerpos 
algebraicam ente cerrados.
§ 9 . CONCLUSIÓN
Nos hemos referido aqu í solam ente a las ecuaciones de 
un cierto grado con una incógnita. El origen de esta teoría 
se rem onta al álgebra elem ental, en la que luego del estudio 
de las ecuaciones de prim er grado se pasa al estudio de las 
ecuaciones cuadráticas. Pero en el álgebra elem ental también 
se dio un paso en o tra dirección: luego de estud iar una ecua­
ción de prim er grado con una incógnita se pasó a considerar 
el sistem a de dos ecuaciones de primer grado con dos incóg­
n itas y el sistem a de tres ecuaciones con tres incógnitas. 
El desarrollo posterior de esta teoría se da en el curso de 
álgebra superior dado en la universidad. En el mismo se 
estudian los métodos de resolución de cualesquiera sistem as 
de n ecuaciones de prim er grado con n incógnitas, así como 
tam bién los métodos para h allar la solución de aquellos 
sistem as de ecuaciones de prim er grado en los cuales el nú­
mero de ecuaciones no es igual al núm ero de incógnitas. 
La teoría de los sistem as de ecuaciones de prim er grado, 
así como o tras, que le son afines, en particu lar, la teoría de 
matrices, forman una ram a especial del álgebra, el álgebra 
lineal; de en tre todas las partes del álgebra, ésta es la prin­
cipal debido a sus aplicaciones en geom etría y o tras ramas de 
las m atem áticas, así como tam bién en física y mecánica 
teórica.
Por o tra parte , tan to la teoría de las ecuaciones algebrai­
cas como el álgebra lineal, en gran medida, pueden ser con­
siderados actualm ente como partes acabadas de la ciencia. 
Las necesidades de ram as contiguas de la m atem ática y la 
física condujeron a que en el álgebra pasó a prim er plano el 
estudio de los conjuntos en los cuales están dadas las ope­
raciones algebraicas. Además de la teoría de los campos, 
dentro de la cual en tran la teo ría de los números algebraicos 
y la teoría de las funciones algebraicas, ahora tam bién se 
desarrolla la teoría de los anillos. Se denom ina anillo a un
38
conjunto, si en él se han definido las opera'ciones de suma 
y m ultiplicación y si se cum plen las condiciones I — IV de 
la definición de campo; así es, por ejem plo, el conjunto de 
todos los núm eros enteros. Antes ya nos referim os a o tra 
ram a muy im portan te del álgebra, la teoría de grupos. Se 
llam a grupo a un conjunto con una operación algebraica (la 
m ultiplicación); esta operación debe ser asociativa y la 
división debe cum plirse sin lim itaciones.
Es in teresante señalar que en d is tin tas aplicaciones se 
encuentran, con mucha frecuencia, operaciones algebraicas 
no conmutativas (el producto varia con la variación del orden 
de los factores) y , a veces, operaciones no asociativas (el 
producto de tres factores depende de la disposición de los 
paréntesis). Son no conm utativos, en particu la r, aquellos 
grupos que se em plean al estud iar las soluciones de las ecua­
ciones en radicales.
A N UESTRO S LECTORES:
“ M ir" e d ita lib ros soviéticos traducidos al españo l, inglés, francés, 
á rabe y o tros idiom as ex tran jeros. E n tre e llo s figuran las mejores 
obras de las d is tin ta s ram as de la c ienc ia y la técnica: m anuales para 
los cen tros de enseñanza superio r y escuelas tecnológicas; lite ra tu ra 
sobre c ienc ias na tu ra les y m édicas. T am bién se incluyen monografías, 
libros de d ivu lgación c ien tífica y c ienc ia ficción.
D irijan sus opiniones a la E d ito ria l “M ir” , I R izhski per., 2 , 129820, 
Moscú, l - l 10. G SP, URSS.
MIR PUBLICA:
Lidaki V . y o tros
PROBLEM AS D E MATEMATICAS ELEM EN TA LES
(3* edición)
E n el lib ro se han reunido prob lem as m a te m á ti­
cos propuestos a los g raduados d e las escuelas1 se­
cundarias en los exám enes de ingreso a l In s titu to 
Físico-técnico de Moscú.
E n los cen tros de enseñanza su p erio r, donde la 
m atem ática es una a s ig n a tu ra lo rm a tiv a , a los 
ingresados se les exige una preparación elevada en 
esta d isc ip lina .
E sto ae refle ja en el lib ro presente. A pesar d e que 
los problem as propuestos en este lib ro no exigen 
conocim ientos fuera de los lím ites del program a 
d e u n a escuela secundaria co rrien te , la m ayo r 
p a rte d e l lib ro la constituyen problem as con c ie r­
to g rado d e d ificu ltad .
E l lib ro con tiene m ás d e 650 problem as. P a ra 
todos los problem as se exponen las resoluciones. 
C onsta de tres p a rte s : A lg eb ra”, “G eom etría” ,
“T rigonom etría” . E s ta s partes se d iv id en en sec­
ciones.
E ste lib ro tien e com o ob je tivo p ro fu n d iza r los 
conocim ientos de los que se p reparan p ara ingre­
sa r en u n cen tro d e enseñanza su p erio r. A dem ás 
no sólo p repara a lo s lectores p ara la resolución 
de problem as m ás d ifíc iles, sino que les incu lca 
la afición a l pensam iento m atem ático .
E l lib ró puede se r em pleado en las escuelas y c u r­
sos d e m atem áticas y como m a te ria l p ara los au to - 
d ni ac ta s .
Le c c io n e s p o p u la re s 
de m a t e m á t ic a s
Se p u b lic a ro n lo s s ig u ie n te s l ib ro s 
d e m a te m á tic a s de n u e s tro s e l lo e d i to r ia l : 
N . B esk in
D iv is ió n d e l se g m e n to en lu ra z ó n d a d a 
! \ . V c n tse l 
K lem en to s d e la te o r ía de lo s ju e g o s 
L . G o lo v in á e I. Y ag lo m . 
In d u cc ió n en la G eo m etría
A .I- M ark u sh év ich 
S u c e s io n e s re c u r re n te s 
1. N a tan so n 
P ro b le m a s e le m e n ta le s de m áxim o y m ínim o 
V . S h erv á to v 
F u n c io n e s h ip e rb ó lic a s 
l.M . Y aglom
*
A lg eb ra e x tra o rd in a r ia
Editorial M IR M oscú