2. SEGUNDA PARTE DE ÁLGEBRA

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AUTORES 
Msc. Roberto Javier Ruiz Mendieta - Msc. Hank Espinoza Serrano 
 
 
𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔 𝐔𝐔𝐔𝐔𝐍𝐍𝐔𝐔𝐍𝐍𝐔𝐔𝐔𝐔𝐍𝐍 𝐔𝐔𝐔𝐔 𝐔𝐔𝐔𝐔𝐈𝐈𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔Í𝐔𝐔 
𝐔𝐔𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐔𝐔𝐃𝐃𝐍𝐍 𝐔𝐔𝐔𝐔 𝐃𝐃𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐃𝐃Á𝐃𝐃𝐔𝐔𝐍𝐍𝐔𝐔𝐔𝐔 
𝐍𝐍𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐍𝐍 𝐃𝐃𝐔𝐔𝐍𝐍𝐃𝐃𝐔𝐔𝐔𝐔É𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐍𝐍𝐍𝐍 
𝐃𝐃𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐃𝐃Á𝐃𝐃𝐔𝐔𝐍𝐍𝐔𝐔 𝐁𝐁Á𝐔𝐔𝐔𝐔𝐍𝐍𝐔𝐔 
SEGUNDA PARTE 
ÁLGEBRA 
 
Universidad Nacional de Ingeniería 
 
 
Coordinación General 
Dirección Superior UNI 
 
 
Elaboración 
Msc. Roberto Javier Ruiz Mendieta Msc. Hank Espinoza Serrano 
Profesor Titular Profesor Titular 
Departamento de Matemáticas Departamento de Matemáticas 
RUSB – UNI RUSB – UNI 
 
 
Revisión 
Msc. Elías Martínez Rayo Lic. José Manuel Siles Huerta 
Profesor Titular Profesor Titular 
Jefe del Departamento de Matemática Jefe del Departamento de Matemática 
RUSB – UNI RUPAP – UNI 
 
 
Ing. Santiago Roque Rodríguez Lic. Richard González Pilarte 
Encargado de Cátedra Encargado de Cátedra 
Departamento de Matemática Departamento de Matemática 
RUPAP – UNI RUPAP – UNI 
 
 
Ing. Ricardo Largaespada 
Encargado de Cátedra 
Departamento de Matemática 
RUSB – UNI 
 
 
Diseño y Diagramación 
Msc. Roberto Javier Ruiz Mendieta 
Profesor Titular 
Departamento de Matemáticas 
UNI 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 1 
 
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
a) Exponentes Enteros: 
Definición: El exponente de un número dice 
cuántas veces se multiplica el número, es decir: 
𝒂𝒂𝒏𝒏 = 𝒂𝒂 • 𝒂𝒂 • 𝒂𝒂 • … • 𝒂𝒂�����������
𝒏𝒏−𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗
 
 
Propiedades. 
1. El producto de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma 
de los exponentes iniciales, es decir: 𝒂𝒂𝒎𝒎 • 𝒂𝒂𝒏𝒏 = 𝒂𝒂𝒎𝒎+𝒏𝒏 
2. El cociente de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la 
diferencia entre los exponentes, es decir: 
𝒂𝒂𝒎𝒎
𝒂𝒂𝒏𝒏
= 𝒂𝒂𝒎𝒎−𝒏𝒏 ,𝒎𝒎 > 𝑛𝑛 ; 
𝒂𝒂𝒎𝒎
𝒂𝒂𝒏𝒏
=
𝟏𝟏
𝒂𝒂𝒏𝒏−𝒎𝒎
 ,𝒏𝒏 > 𝒎𝒎 
 
3. Una potencia de exponente cero es igual a la unidad, es decir 𝒂𝒂𝟎𝟎 = 𝟏𝟏. 
4. La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base y de exponente, el producto de los 
exponentes iniciales, es decir: (𝒂𝒂𝒏𝒏)𝒎𝒎 = 𝒂𝒂𝒏𝒏𝒎𝒎. Ejemplo: (𝒙𝒙𝟑𝟑)𝟐𝟐/𝟑𝟑 = 𝑥𝑥(3)(2/3) = 𝑥𝑥2 
5. El producto de potencias del mismo exponente es otra potencia del mismo exponente y de base el producto 
de las bases, es decir: 𝒂𝒂𝒏𝒏 • 𝒃𝒃𝒏𝒏 = (𝒂𝒂𝒃𝒃)𝒏𝒏. Ejemplo: (𝒙𝒙𝒚𝒚𝟑𝟑)𝟐𝟐/𝟑𝟑 = 𝑥𝑥2/3𝑦𝑦(3)(2/3) = 𝑥𝑥2/3𝑦𝑦2 
6. El cociente de potencias del mismo exponente es otra potencia del mismo exponente y de base el cociente 
de las bases, es decir: 𝒂𝒂
𝒏𝒏
𝒃𝒃𝒏𝒏
= �𝒂𝒂
𝒃𝒃
�
𝒏𝒏
 . Ejemplo: �𝒙𝒙
𝟑𝟑
𝒚𝒚𝟔𝟔
�
𝟏𝟏/𝟑𝟑
= 𝑥𝑥
(3)(1/3)
𝑦𝑦(6)�
1
3�
= 𝑥𝑥
𝑦𝑦2
 
7. Potencias sucesivas: 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒏𝒏
𝒑𝒑𝒒𝒒
= 𝒂𝒂
�𝒎𝒎
�𝒏𝒏�(𝒑𝒑)
𝒒𝒒��
�
. Ejemplo: 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟐𝟐 = 29 = 512 
 
b) Exponentes Racionales: 
Definición: Llamamos raíz 𝒏𝒏 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 de un número 𝒂𝒂 al número 𝒃𝒃 que elevado a la potencia 𝒏𝒏 nos da 𝒂𝒂, 
es decir: √𝒂𝒂𝒏𝒏 = 𝒃𝒃 ⟺ 𝒂𝒂 = 𝒃𝒃𝒏𝒏 .Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que 
el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del 
radicando, es decir √𝒂𝒂𝒎𝒎𝒏𝒏 = 𝒂𝒂𝒎𝒎/𝒏𝒏. 
Propiedades. 
1. La raíz 𝒏𝒏 − é𝒗𝒗𝒔𝒔𝒎𝒎𝒂𝒂 de un producto es igual al producto de las raíces 𝒏𝒏 − é𝒗𝒗𝒔𝒔𝒎𝒎𝒂𝒂 de los factores, es 
decir: √𝒂𝒂 • 𝒃𝒃𝒏𝒏 = √𝒂𝒂𝒏𝒏 • √𝒃𝒃𝒏𝒏 . Ejemplo: �𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐𝟑𝟑 = √𝑥𝑥3 �𝑦𝑦23 
2. La raíz 𝒏𝒏 − é𝒗𝒗𝒔𝒔𝒎𝒎𝒂𝒂 de un cociente es igual al cociente de las raíces 𝒏𝒏 − é𝒗𝒗𝒔𝒔𝒎𝒎𝒂𝒂 del dividendo y del 
divisor, es decir: �𝒂𝒂
𝒃𝒃
𝒏𝒏 = √𝒂𝒂
𝒏𝒏
√𝒃𝒃𝒏𝒏
 . Ejemplo: �𝒙𝒙
𝟐𝟐
𝒚𝒚𝟓𝟓
𝟑𝟑 = √𝑥𝑥
23
�𝑦𝑦53
 
3. Para hallar la raíz de una potencia, se calcula la raíz de la base y luego se eleva el resultado a la potencia 
dada, es decir: √𝒂𝒂𝒎𝒎𝒏𝒏 = �√𝒂𝒂𝒏𝒏 �
𝒎𝒎
= 𝒂𝒂𝒎𝒎/𝒏𝒏 . Ejemplo: �𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑𝟑𝟑 = √𝑥𝑥23 �𝑦𝑦33 = 𝑦𝑦√𝑥𝑥23 = 𝑥𝑥2/3𝑦𝑦 
4. La raíz 𝒏𝒏 − é𝒗𝒗𝒔𝒔𝒎𝒎𝒂𝒂 de la raíz 𝒎𝒎− é𝒗𝒗𝒔𝒔𝒎𝒎𝒂𝒂 de un número es igual a la raíz 𝒏𝒏𝒎𝒎 − é𝒗𝒗𝒔𝒔𝒎𝒎𝒂𝒂 de dicho 
número, es decir: � √𝒂𝒂𝒎𝒎
𝒏𝒏 = √𝒂𝒂𝒏𝒏𝒎𝒎 . Ejemplo: ��𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑𝟑𝟑 = √𝑥𝑥2
(2)(3) �𝑦𝑦3
(2)(3) = √𝑥𝑥26 �𝑦𝑦36 = 𝑥𝑥1/3𝑦𝑦1/2 
 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 2 
 
5. La raíz 𝒏𝒏 − é𝒗𝒗𝒔𝒔𝒎𝒎𝒂𝒂 de la raíz 𝒏𝒏 − é𝒗𝒗𝒔𝒔𝒎𝒎𝒂𝒂 de un número es igual al número, es decir: 
√𝒂𝒂𝒏𝒏𝒏𝒏 = �√𝒂𝒂𝒏𝒏 �
𝒏𝒏
= 𝒂𝒂. Ejemplo: �𝟏𝟏 + 𝟐𝟐√𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 = ��1 + √2�
2
 = 1 + √2 
 
 
OPERACIONES CON RADICALES 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Multiplicación de radicales. 
Se reducen los radicales al mínimo común índice, luego se multiplican tal y como fueran radicales del mismo 
índice. Para determinar el mínimo común índice, obtenemos el mínimo común múltiplo de los índices y lo 
dividimos por cada uno de los índices, luego el resultado se multiplica por sus exponentes correspondientes. 
Ejemplo: 
𝟑𝟑�𝟑𝟑𝟐𝟐𝒎𝒎𝟑𝟑𝒑𝒑𝟒𝟒𝟓𝟓 • 𝟒𝟒
𝟓𝟓
�𝒎𝒎
−𝟒𝟒𝒑𝒑𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟔𝟔
 • 𝟔𝟔 �𝟐𝟐𝒎𝒎𝒑𝒑𝟓𝟓𝒙𝒙−𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎 = 72
5
�(32𝑠𝑠3𝑝𝑝4)2 • �𝑚𝑚
−4𝑝𝑝2𝑥𝑥3
16
�
5
• 2𝑠𝑠𝑝𝑝5𝑥𝑥−2
10
=
�72
5
� �(210𝑠𝑠6𝑝𝑝8) �𝑚𝑚
−20𝑝𝑝10𝑥𝑥15
410
� (2𝑠𝑠𝑝𝑝5𝑥𝑥−2)
10
= 72
5
�2
11𝑚𝑚−13𝑝𝑝23𝑥𝑥13
220
10
= 72𝑝𝑝
2𝑥𝑥
5𝑚𝑚
�𝑝𝑝
3𝑥𝑥3
29𝑚𝑚3
10
 
 
c) División de Radicales 
Se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice. 
Ejemplos: 
1) 𝟓𝟓𝒂𝒂√𝟐𝟐𝒎𝒎𝒙𝒙𝟑𝟑𝟕𝟕 • −𝟑𝟑𝒂𝒂√𝟏𝟏𝟔𝟔𝒎𝒎𝟒𝟒𝒙𝒙𝟔𝟔𝟕𝟕 • √𝒎𝒎𝟓𝟓𝒙𝒙𝟕𝟕 = −15𝑠𝑠2√32𝑠𝑠10𝑥𝑥107 = −15𝑠𝑠2𝑠𝑠𝑥𝑥√𝑠𝑠3𝑥𝑥37 
2) 𝟏𝟏
𝟑𝟑
√𝒂𝒂𝟑𝟑𝒃𝒃𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐𝟑𝟑 ÷ −𝟐𝟐
𝟑𝟑
√𝒂𝒂𝟒𝟒𝒃𝒃−𝟏𝟏𝒙𝒙−𝟑𝟑𝟒𝟒 = 1
3
�(𝑠𝑠3𝑏𝑏2𝑥𝑥2)412 ÷ −2
3
�(𝑠𝑠4𝑏𝑏−1𝑥𝑥−3)312 = −1
2
� 𝑎𝑎
12𝑏𝑏8𝑥𝑥8
𝑎𝑎12𝑏𝑏−3𝑥𝑥−9
12
=
−1
2
√𝑏𝑏11𝑥𝑥1712 = −𝑥𝑥
2
√𝑏𝑏11𝑥𝑥512 
 
d) Racionalizar 
Racionalizar una expresión, consiste en encontrar una expresión equivalente multiplicando el numerador y 
denominador por la expresión adecuada, es decir, si el denominador es un binomio se multiplica el numerador 
y el denominador por el conjugado del denominador. 
Ejemplos: 
1) Racionalizando el denominador 𝒗𝒗
√𝒂𝒂+ √𝒃𝒃
= 𝑐𝑐
√𝑎𝑎+√𝑏𝑏
�√𝑎𝑎–√𝑏𝑏
√𝑎𝑎–√𝑏𝑏
� = 𝑐𝑐(√𝑎𝑎–√𝑏𝑏)
�√𝑎𝑎�
2
−�√𝑏𝑏�
2 =
𝑐𝑐(√𝑎𝑎–√𝑏𝑏)
𝑎𝑎–𝑏𝑏
 
2) Racionalizando el denominador 𝟏𝟏
𝒙𝒙− �𝒚𝒚𝟑𝟑
= 1
𝑥𝑥− √𝑦𝑦3
�𝑥𝑥
2+𝑥𝑥 √𝑦𝑦3 + �𝑦𝑦2
3
𝑥𝑥2+𝑥𝑥 √𝑦𝑦3 + �𝑦𝑦2
3 � =
𝑥𝑥2+𝑥𝑥 √𝑦𝑦3 + �𝑦𝑦2
3
𝑥𝑥3−𝑦𝑦
 
 
a) Suma y Resta de radicales se necesita que sean semejantes (que tengan el 
mismo índice y el mismo radicando), cuando esto ocurre se suman ó restan los 
coeficientes de fuera y se deja el radical. 
Ejemplo: 
 𝟓𝟓√𝟏𝟏𝟏𝟏𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃𝟑𝟑 + √𝟐𝟐𝒂𝒂𝟒𝟒𝒃𝒃 − 𝟑𝟑𝒂𝒂√𝟏𝟏𝒃𝒃𝟑𝟑 = 15𝑠𝑠𝑏𝑏√2𝑏𝑏 + 𝑠𝑠2√2𝑏𝑏 − 6𝑠𝑠𝑏𝑏√2𝑏𝑏 
 = 9𝑠𝑠𝑏𝑏√2𝑏𝑏 + 𝑠𝑠2√2𝑏𝑏 = 𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 9𝑏𝑏)√2𝑏𝑏 
 
 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 3 
 
e) Simplificar 
Simplificar un radical es escribirlo en la forma más sencilla, de forma que el índice y el exponente sean primos 
entre sí, no se pueda extraer ningún factor del radicando y que el radicando no tenga ninguna fracción. 
Ejemplos: 
1) Simplifique la expresión radical siguiente: 
� �� �𝒂𝒂𝒃𝒃𝟑𝟑−𝒃𝒃
 𝟏𝟏+𝒃𝒃² 
 �
𝒃𝒃𝟒𝟒+𝒃𝒃²𝒃𝒃𝟑𝟑𝒃𝒃²−𝟏𝟏
 
Solución. 
Al transformara un solo radical y exponente, obtenemos: 
�𝒂𝒂�𝒃𝒃𝟑𝟑−𝒃𝒃��𝒃𝒃𝟒𝟒+𝒃𝒃²�
(𝒃𝒃²+𝟏𝟏)𝒃𝒃𝟑𝟑 (𝒃𝒃²−𝟏𝟏)
= �𝒂𝒂𝒃𝒃𝟑𝟑(𝒃𝒃²−𝟏𝟏) (𝒃𝒃²+𝟏𝟏)
(𝒃𝒃²+𝟏𝟏)𝒃𝒃𝟑𝟑 (𝒃𝒃²−𝟏𝟏)
= 𝒂𝒂. 
 
2) Simplifique la expresión radical �𝟏𝟏𝟐𝟐𝒂𝒂² − �𝟐𝟐𝟕𝟕𝒂𝒂² + 𝟐𝟐�𝟕𝟕𝟓𝟓𝒂𝒂² − 𝟑𝟑�𝟑𝟑𝒂𝒂² 
Solución. 
Note que al expresar el radicando como potencia de 𝟐𝟐, obtenemos la expresión radical 
2𝑠𝑠√3 − 3𝑠𝑠√3 + 10𝑠𝑠√3 − 3𝑠𝑠√3 = 6𝑠𝑠√3 . 
 
EJERCICIOS 
A) Simplifique las siguientes expresiones, dejando la respuesta con potencias positivas. 
1. �− 𝟏𝟏
𝟑𝟑
�
−𝟑𝟑
+ 𝟗𝟗𝟎𝟎 • 𝟑𝟑−𝟏𝟏 − 𝟑𝟑(−𝟑𝟑)−𝟐𝟐 𝑹𝑹. 8/3 
2. (𝟑𝟑𝒂𝒂²𝒃𝒃)−𝟏𝟏 �− 𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝒂𝒂−𝟑𝟑𝒃𝒃𝟓𝟓�
−𝟑𝟑
 𝑹𝑹. − 9𝑎𝑎
7
𝑏𝑏16
 
3. (𝟑𝟑𝒂𝒂−𝟓𝟓)𝟐𝟐(−𝟐𝟐𝒂𝒂𝟏𝟏𝟐𝟐)𝟑𝟑 𝑹𝑹.−72𝑠𝑠26 
4. 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐(𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏)𝟓𝟓𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑 
5. 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓/𝟐𝟐(𝟐𝟐𝟎𝟎)−𝟕𝟕 𝑹𝑹. 1
2952
 
6. 
�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎�
−𝟑𝟑
�𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐𝟒𝟒�
𝟐𝟐 𝑹𝑹. 
4
5
�2
3
�
10
 
7. (𝟑𝟑)(𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟓𝟓)(𝟒𝟒)(𝟎𝟎.𝟓𝟓)
−𝟑𝟑
(𝟓𝟓)�𝟐𝟐−𝟔𝟔�(𝟏𝟏)
÷ 𝟎𝟎.𝟓𝟓
𝟒𝟒
 𝑹𝑹. 3
2
(2)9 
 
B) Reduzca a su forma más simple. 
1) 𝟓𝟓√𝟏𝟏 − 𝟐𝟐√𝟗𝟗𝟏𝟏 − 𝟐𝟐√𝟓𝟓𝟎𝟎 + √𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑹𝑹. − 6√2 
2) 
�√𝒙𝒙 �𝒙𝒙𝟒𝟒
𝟑𝟑𝟑𝟑
��𝒙𝒙³ �𝒙𝒙𝟐𝟐𝟑𝟑
 𝑹𝑹. � 1
𝑥𝑥17
36 
3) 𝒃𝒃�𝟒𝟒𝒂𝒂²𝒃𝒃 − 𝒂𝒂�𝟏𝟏𝟔𝟔𝒂𝒂𝒃𝒃² − �𝒂𝒂²𝒃𝒃³ − �𝒂𝒂³𝒃𝒃² 𝑹𝑹. 𝑠𝑠𝑏𝑏√𝑏𝑏 − 5𝑠𝑠𝑏𝑏√𝑠𝑠 
4) �𝒂𝒂
𝟏𝟏𝟑𝟑�𝒂𝒂³𝒃𝒃−𝟐𝟐�−𝟏𝟏
𝒂𝒂−𝟓𝟓𝒃𝒃𝟓𝟓
𝟑𝟑
 �𝒂𝒂
𝟓𝟓𝒃𝒃𝟒𝟒
𝒂𝒂𝟑𝟑
 𝑹𝑹. 𝑠𝑠6𝑏𝑏 
5) 𝟐𝟐�𝒂𝒂𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟒𝟒𝒚𝒚 − 𝒂𝒂𝟐𝟐�𝟗𝟗𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟕𝟕𝒚𝒚 + �𝟐𝟐𝟓𝟓𝒂𝒂𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟕𝟕𝟓𝟓𝒂𝒂𝟒𝟒𝒚𝒚 
8. �(𝟏𝟏𝒂𝒂𝟔𝟔)−𝟑𝟑 𝟔𝟔
𝒂𝒂−𝟐𝟐
�
−𝟏𝟏
 
9. � − 𝒂𝒂²(−𝟐𝟐𝒂𝒂)
𝟒𝟒
(−𝟐𝟐𝒂𝒂)𝟑𝟑(−𝒂𝒂)−𝟏𝟏
�
−𝟏𝟏
 𝑹𝑹.−2𝑠𝑠4 
10. 𝟑𝟑𝒙𝒙
−𝟐𝟐(𝟐𝟐𝒚𝒚)𝟒𝟒
𝟓𝟓𝒙𝒙−𝟓𝟓𝒚𝒚²
÷
𝟏𝟏
𝒙𝒙
𝒚𝒚²
 𝑹𝑹. 6
5
(𝑥𝑥𝑦𝑦)4 
11. (𝟑𝟑𝒂𝒂²𝒃𝒃)
−𝟑𝟑
�𝟐𝟐𝒂𝒂−𝟐𝟐𝒃𝒃�𝟐𝟐
• (𝟐𝟐𝒂𝒂²𝒃𝒃)
−𝟏𝟏
(𝟔𝟔𝒂𝒂𝒃𝒃)−𝟐𝟐
• 𝒂𝒂
𝒃𝒃
 
12. 𝟔𝟔𝟑𝟑𝟒𝟒
𝟎𝟎𝟓𝟓
+ �𝟔𝟔𝟕𝟕𝟒𝟒�
𝟕𝟕 −𝟒𝟒
 
13. 𝒂𝒂𝟏𝟏/𝟐𝟐 • �𝒂𝒂
−𝟐𝟐/𝟑𝟑(𝒂𝒂𝒃𝒃)𝟓𝟓/𝟑𝟑
𝒃𝒃
�
−𝟏𝟏/𝟐𝟐
 𝑹𝑹. 1
𝑏𝑏1/3
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 4 
 
C) Reduzca y simplifique hasta donde sea posible. 
1) 𝟑𝟑𝟒𝟒𝟓𝟓
𝟎𝟎𝟔𝟔
+ (−𝟓𝟓)𝟕𝟕 + 𝟓𝟓𝟕𝟕 + �𝟔𝟔𝟕𝟕𝟒𝟒�
𝟕𝟕 −𝟒𝟒
+ (𝟓𝟓𝟔𝟔)𝟔𝟔−𝟏𝟏 8) 𝟑𝟑
𝒏𝒏−𝟑𝟑+𝟑𝟑𝒏𝒏−𝟓𝟓
𝟑𝟑𝒏𝒏−𝟓𝟓+𝟑𝟑𝒏𝒏−𝟕𝟕
 
2) 𝟐𝟐
𝒙𝒙+𝟐𝟐+𝟐𝟐𝒙𝒙+𝟑𝟑+𝟐𝟐𝒙𝒙+𝟒𝟒
𝟐𝟐𝒙𝒙+𝟐𝟐−𝟐𝟐𝒙𝒙+𝟏𝟏
 9) 𝟐𝟐
𝒏𝒏+𝟏𝟏•𝟒𝟒𝟏𝟏−𝟐𝟐𝒏𝒏+𝟏𝟏𝟐𝟐−𝒏𝒏
𝟏𝟏𝟔𝟔(𝟐𝟐𝒏𝒏)−𝟑𝟑
 
3) 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐
𝟑𝟑
+ 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟒𝟒
𝟎𝟎
+ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑
𝟒𝟒
 10) 𝟐𝟐
𝒏𝒏+𝟓𝟓𝟏𝟏𝟔𝟔𝒏𝒏+𝟒𝟒
𝟏𝟏𝒏𝒏+𝟑𝟑𝟒𝟒𝒏𝒏+𝟐𝟐
 
4) �𝟗𝟗
𝒂𝒂²+𝟐𝟐+𝟗𝟗𝒂𝒂²+𝟏𝟏
𝟗𝟗𝟎𝟎𝒂𝒂²+𝟏𝟏
𝒂𝒂²
 11) 
�𝟕𝟕𝟐𝟐𝒂𝒂𝒂𝒂−𝒃𝒃 +𝟐𝟐𝟏𝟏 �𝟕𝟕𝟐𝟐𝒃𝒃
𝒂𝒂−𝒃𝒃
�𝟕𝟕𝒂𝒂+𝒃𝒃
𝒂𝒂−𝒃𝒃 
5) (𝒎𝒎−𝒏𝒏)
𝟐𝟐
𝟑𝟑 (𝒎𝒎−𝒏𝒏)−
𝟏𝟏
𝟔𝟔
[(𝒎𝒎−𝒏𝒏)𝟐𝟐]
𝟏𝟏
𝟒𝟒
 12) (𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 + 𝒙𝒙−𝟐𝟐)(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙−𝟐𝟐) 
6) 
�𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝒚𝒚�
𝒎𝒎
 �𝒙𝒙− 𝟏𝟏𝒚𝒚�
𝒏𝒏
�𝒚𝒚+ 𝟏𝟏𝒙𝒙�
𝒎𝒎
�𝒚𝒚− 𝟏𝟏𝒙𝒙�
𝒏𝒏 13) (𝒙𝒙+𝒚𝒚)
𝟐𝟐 𝟑𝟑⁄ (𝒙𝒙+𝒚𝒚)−𝟏𝟏 𝟔𝟔⁄
�(𝒙𝒙+𝒚𝒚)𝟏𝟏 𝟏𝟏⁄ �𝟒𝟒
 
7) �√𝒎𝒎 + 𝒏𝒏 − 𝟐𝟐√𝒎𝒎− 𝒏𝒏�
𝟐𝟐 
 
 
 
D) Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones: 
a) √𝟐𝟐+ √𝟓𝟓
√𝟐𝟐− √𝟓𝟓
 b) √𝒂𝒂− 𝟐𝟐√𝒗𝒗
𝟐𝟐√𝒂𝒂+ 𝟑𝟑√𝒗𝒗
 c) 𝒙𝒙+ √𝒙𝒙
𝟏𝟏+𝒙𝒙+ √𝒙𝒙
 d) 𝟐𝟐𝟐𝟐
√𝒙𝒙+𝟐𝟐𝟑𝟑 − √𝒙𝒙𝟑𝟑 
 
e) √𝒎𝒎+𝒏𝒏− 𝟑𝟑√𝒎𝒎−𝒏𝒏
√𝒎𝒎+𝒏𝒏 – √𝒎𝒎−𝒏𝒏
 f) 𝟓𝟓
√𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 − √𝟔𝟔𝟒𝟒
 
 
 
 
E) Racionalizar el numerador de las siguientes expresiones: 
a) √𝟐𝟐− √𝟓𝟓
√𝟐𝟐+𝟑𝟑 √𝟓𝟓
 b) √𝒙𝒙+𝟐𝟐− √𝒙𝒙
𝟐𝟐
 c) �𝒎𝒎
𝟐𝟐𝟑𝟑 − √𝒎𝒎𝒏𝒏𝟑𝟑 + �𝒏𝒏𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝒎𝒎+𝒏𝒏
 d) �𝒑𝒑+𝒒𝒒 −𝟐𝟐�𝒑𝒑−𝒒𝒒
�𝒑𝒑+𝒒𝒒+ 𝟐𝟐�𝒑𝒑−𝒒𝒒
 
 
 
 
F) Calcule el valor de: 
1) �𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙+𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐𝒙𝒙, si se sabe que 𝒙𝒙𝒙𝒙 = 𝟑𝟑. 𝑹𝑹. 3√2 
 
2) 𝒛𝒛
𝑴𝑴/𝑵𝑵 + 𝒛𝒛𝑵𝑵/𝑴𝑴 
𝒛𝒛𝑴𝑴/𝑵𝑵 − 𝒛𝒛𝑵𝑵/𝑴𝑴 
 , si se sabe que 𝒛𝒛 = �𝑴𝑴+𝑵𝑵
𝑴𝑴−𝑵𝑵
�
𝑴𝑴−𝑵𝑵
𝑴𝑴𝟐𝟐−𝑵𝑵𝟐𝟐 . 
 
3) � (𝟕𝟕𝟓𝟓𝟔𝟔)𝟑𝟑
𝟗𝟗𝒏𝒏+𝟏𝟏
𝟗𝟗(𝟐𝟐𝟕𝟕)𝟐𝟐𝒏𝒏+𝟏𝟏+ 𝟗𝟗𝟑𝟑𝒏𝒏+𝟏𝟏
𝟑𝟑𝒏𝒏+𝟐𝟐
 si se sabe que 𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝟑𝟑. 𝑹𝑹. 3 
 
 
 
 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 5 
 
ECUACIONES DIVERSAS 
Definición Una ecuación es una igualdad de una o varias incógnitas que se representan con letras. Las 
ecuaciones pueden ser fórmulas que se utilizan para encontrar una magnitud. 
Ejemplos: 
i. La fórmula 𝒗𝒗 = 𝒅𝒅
𝒕𝒕
 se utiliza para encontrar la velocidad constante de un móvil del que 
se conoce la distancia recorrida y el tiempo que empleó en recorrerla. 
ii. La fórmula 𝑨𝑨 = 𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐 se utiliza para encontrar el área de un círculo dada la longitud de su radio. 
 
Solución de una ecuación. 
La solución o soluciones de una ecuación son los valores que hacen que la igualdad se cumpla. 
Ejemplos: 
i. En la ecuación 𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 , una solución es 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏. 
ii. Para la ecuación 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏 , una solución es 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑,𝒚𝒚 = 𝟓𝟓. 
iii. De acuerdo con la ecuación 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒 = 𝟎𝟎 , las soluciones son 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 𝒚𝒚 𝒙𝒙 = −𝟐𝟐. 
 
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. 
Estas se resuelven mediante la aplicación de ecuaciones equivalentes con operaciones elementales (suma, 
resta, multiplicación o división) a ambos miembros de la ecuación, hasta obtener el valor de la incógnita. 
 
Ejemplos 
1) Encuentra el valor de 𝒙𝒙 en la siguiente expresión 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 = 𝟕𝟕. 
Solución: 
Se agrupan los términos que contienen a la incógnita en el primer miembro y las constantes en el segundo, se 
aplican sumas, restas, multiplicaciones o divisiones, según corresponda. 
2𝑥𝑥 + 3 = 7 ⟹ 2𝑥𝑥 − 3 = 7 − 3 ⟹ 2𝑥𝑥 = 4 ⟹ 𝑥𝑥 = 2. 
 
2) ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 + 𝟔𝟔𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟒𝟒. 
Solución: 
Transponer los términos con variables para un miembro y los términos independientes para el otro 
20𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 − 11𝑥𝑥 = 8 + 2 + 14 ⟹ 15𝑥𝑥 = 24 ⟹ 𝑥𝑥 =
24
15
=
8
5
 
3) Determina el valor de x en la siguiente ecuación: 
𝟐𝟐𝒙𝒙 − {𝟑𝟑𝒙𝒙 − (𝟗𝟗𝒙𝒙 + 𝟏𝟏) − 𝟏𝟏} = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙 − {𝟗𝟗 − [𝟑𝟑𝒙𝒙 − (𝟓𝟓 − 𝟐𝟐𝒙𝒙) − 𝟏𝟏𝟎𝟎] + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙} 
Solución. 
Se suprimen los signos de agrupación y se resuelve la ecuación: 
2𝑥𝑥 − {3𝑥𝑥 − (9𝑥𝑥 + 1) − 8} = 12𝑥𝑥 − {9 − [3𝑥𝑥 − (5 − 2𝑥𝑥) − 10] + 18𝑥𝑥} 
2𝑥𝑥 − {3𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥 − 1 − 8} = 12𝑥𝑥 − {9 − [3𝑥𝑥 − 5 + 2𝑥𝑥 − 10] + 18𝑥𝑥} 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 6 
 
2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 + 1 + 8 = 12𝑥𝑥 − {9 − 3𝑥𝑥 + 5 − 2𝑥𝑥 + 10 + 18𝑥𝑥} 
2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 + 1 + 8 = 12𝑥𝑥 − 9 + 3𝑥𝑥 − 5 + 2𝑥𝑥 − 10 − 18𝑥𝑥 
2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥− 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 18𝑥𝑥 = −9 − 5 − 10 − 1 − 8 
9𝑥𝑥 = −33 ⟹ 𝑥𝑥 = −33/9 = −11/3 
 
EJERCICIOS 
A) Resuelve las siguientes ecuaciones: 
1) 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟑𝟑 = 𝟒𝟒𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑹𝑹. 𝑤𝑤 = −14 
2) 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = −1/2 
3) 𝟐𝟐𝒛𝒛 − 𝟒𝟒 − 𝟏𝟏𝒛𝒛 + 𝟗𝟗 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒛𝒛 − 𝟔𝟔 + 𝒛𝒛 – 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑹𝑹. 𝑧𝑧 = 23/17 
4) 𝒙𝒙 − 𝟕𝟕 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟗𝟗 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟎𝟎 − 𝒙𝒙 + 𝟕𝟕 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = −13/21 
5) 𝟗𝟗𝒚𝒚 − 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒚𝒚 + 𝟏𝟏 = 𝒚𝒚 − 𝟗𝟗 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒚𝒚 – 𝟏𝟏 𝑹𝑹. 𝑦𝑦 = 17/21 
6) 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒛𝒛 − 𝟓𝟓 + 𝟕𝟕𝒛𝒛 − 𝟏𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟏𝒛𝒛 = 𝟐𝟐𝒛𝒛 − 𝟔𝟔 + 𝟒𝟒𝒛𝒛 − 𝟏𝟏 𝑹𝑹. 𝑧𝑧 = 1/19 
 
B) Determina el valor de la incógnita de las siguientes ecuaciones: 
1) 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟔𝟔𝒙𝒙 − (𝒙𝒙 + 𝟐𝟐) + (−𝒙𝒙 + 𝟑𝟑) 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = 21/11 
2) (𝟓𝟓 − 𝟑𝟑𝒙𝒙) − (−𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟔𝟔) = (𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟏𝟏) − (𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟔𝟔) 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = −9/2 
3) − {𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟏𝟏 − [−𝟏𝟏𝟓𝟓 + 𝟔𝟔𝒚𝒚 − (−𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟐𝟐) − (𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝟒𝟒)] − 𝟐𝟐𝟗𝟗} = −𝟓𝟓 𝑹𝑹. 𝑦𝑦 = −5 
4) 𝟕𝟕(𝒙𝒙 − 𝟒𝟒)𝟐𝟐 − 𝟑𝟑(𝒙𝒙 + 𝟓𝟓)𝟐𝟐 = 𝟒𝟒(𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)(𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) – 𝟐𝟐 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = 1/2 
5) 𝟓𝟓(𝟏𝟏 − 𝒙𝒙)𝟐𝟐 − 𝟔𝟔(𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟕𝟕) = 𝒙𝒙(𝒙𝒙 − 𝟑𝟑) − 𝟐𝟐𝒙𝒙(𝒙𝒙 + 𝟓𝟓) – 𝟐𝟐 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = −7/3 
6) (𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)𝟑𝟑 − (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏)𝟑𝟑 = 𝟔𝟔𝒙𝒙(𝒙𝒙 − 𝟑𝟑) 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = −1/9 
7) 𝟑𝟑(𝒙𝒙 − 𝟐𝟐)𝟐𝟐(𝒙𝒙 + 𝟓𝟓) = 𝟑𝟑(𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)𝟐𝟐(𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) + 𝟑𝟑 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = 4/3 
8) (𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)(𝒙𝒙 + 𝟐𝟐)(𝒙𝒙 − 𝟑𝟑) = 𝟑𝟑 (𝒙𝒙 − 𝟒𝟒)(𝒙𝒙 + 𝟏𝟏) 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = −1 
 
CON VALOR ABSOLUTO. 
Para resolver una ecuación con valor absoluto, se tiene que su solución está dada por: 
|𝒇𝒇(𝒙𝒙)| = �−𝒇𝒇
(𝒙𝒙) si 𝒇𝒇(𝒙𝒙) < 𝟎𝟎
𝒇𝒇(𝒙𝒙) si 𝒇𝒇(𝒙𝒙) ≥ 𝟎𝟎 
Ejemplos. 
1) Resuelve la siguiente ecuación |𝟔𝟔 − 𝟑𝟑𝒙𝒙| = 𝟗𝟗 
Solución. 
Se aplica la definición y se obtienen dos ecuaciones, las cuales se resuelven por separado: 
𝑆𝑆𝑠𝑠 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0, 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠 |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
 6 − 3𝑥𝑥 = 9 
 −3𝑥𝑥 = 9 − 6 
 −3𝑥𝑥 = 3 
 𝑥𝑥 = −1 
𝑆𝑆𝑠𝑠 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0, 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠 |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| = −𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
 − (6 − 3𝑥𝑥) = 9 
 −6 + 3𝑥𝑥 = 9 
 3𝑥𝑥 = 9 + 6 
 3𝑥𝑥 = 15 → 𝑥𝑥 = 5 
Por las soluciones son 𝒙𝒙 = −𝟏𝟏 y 𝒙𝒙 = 𝟓𝟓. 
 
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2) Encuentra el conjunto solución de |𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟏𝟏| = 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟓𝟓 
Solución. 
Se aplica la definición y se resuelven las ecuaciones: 
 3𝑥𝑥 − 1 = 2𝑥𝑥 + 5 
 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 = 5 + 1 
 𝑥𝑥 = 6 
 − (3𝑥𝑥 − 1) = 2𝑥𝑥 + 5 
 −3𝑥𝑥 + 1 = 2𝑥𝑥 + 5 
 −3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 = 5 − 1 
 −5𝑥𝑥 = 4 
 𝑥𝑥 = − 4/5 
y las soluciones son 𝒙𝒙 = 𝟔𝟔 y 𝒙𝒙 = −𝟒𝟒/𝟓𝟓 (Recuerde que debe comprobarse las respuestas). 
 
EJERCICIOS 
Determine el valor o valores de la incógnita en la ecuación: 
1) |𝑥𝑥 + 2| = 2 𝑹𝑹. 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = −4 4) |2𝑥𝑥 − 3| = 1 𝑹𝑹. 𝑥𝑥1 = 1, 𝑥𝑥2 = 2 
2) |3 − 𝑥𝑥| = 2𝑥𝑥 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = 1 5) |𝑥𝑥 + 5| = 3 − 2𝑥𝑥 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = −2
3
 
3) |𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 8| = 1 𝑹𝑹. 𝑥𝑥1 = 3, 𝑥𝑥2 = 3 − √2, 𝑥𝑥3 = 3 + √2 
 
 
ECUACIONES CUADRÁTICAS 
La ecuación de la forma 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎 donde 𝒂𝒂,𝒃𝒃, 𝒗𝒗 ∈ 𝑹𝑹 y 𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎, es una ecuación de segundo 
grado. 
Solución de una ecuación de segundo grado completa 
Las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos soluciones, también se denominan raíces. Estudiaremos 
tres métodos para resolver una ecuación de segundo grado. 
 
a) Completación de cuadrados 
En la ecuación 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒗𝒗, para completar el trinomio cuadrado perfecto se suman, en ambos miembros 
de la igualdad el cuadrado de la mitad del coeficiente del término Lineal. 
Ejemplo. 
Resuelve la ecuación 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 = 𝟎𝟎 
Solución. 
Se despejan los términos en 𝑥𝑥 tal que 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 = −3. 
Se suma �4
2
�
2
= 4 en ambos miembros 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 4 = 1. 
Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto (𝑥𝑥 + 2)2 = 1 
Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros(𝑥𝑥 + 2) = ±1 
Se obtienen 𝑥𝑥 = −2 + 1 = −1 ∨ 𝑥𝑥 = −2 − 1 = −3. 
Por lo tanto, las soluciones o raíces de la ecuación son: 𝒙𝒙 = −𝟏𝟏 ∨ 𝒙𝒙 = −𝟑𝟑. 
 
 
𝒙𝒙 =? 
 
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b) Factorización de trinomios 
Este método lo ilustraremos resolviendo las ecuaciones cuadráticas siguientes: 
1) 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟔𝟔𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟎𝟎. 
Solución 
Como el trinomio 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 − 27 se puede factorizar en(𝑥𝑥 − 9)(𝑥𝑥 + 3), entonces las raíces o 
soluciones de la ecuación cuadrática son: 𝒙𝒙 = 𝟗𝟗,𝒙𝒙 = −𝟑𝟑. 
 
2) 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 
Solución 
Como el trinomio 3𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 2 se puede factorizar en (3𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 1), entonces las raíces o 
soluciones de la ecuación cuadrática son: 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐/𝟑𝟑 ,𝒙𝒙 = 𝟏𝟏. 
 
c) Fórmula General 
A continuación, mostraremos la famosa fórmula general para ecuaciones de segundo grado. Sea la ecuación 
general de segundo grado 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒗𝒗. Se puede demostrar que la solución de la ecuación viene dada 
por: 𝒙𝒙 = −𝒃𝒃±�𝒃𝒃
𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒗𝒗
𝟐𝟐𝒂𝒂
 . 
 
Ejemplo. 
Determine las soluciones de la ecuación 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟒𝟒 = 𝟎𝟎. 
Solución. 
Con 𝑠𝑠 = 1, 𝑏𝑏 = −3, 𝑒𝑒 = −4 ⟹ 𝑥𝑥 = −(−3)±�(−3)
2−4(1)(−4)
(2)(1)
= 3±√9+16
2
= 3±√25
2
= 3±5
2
. Entonces las 
raíces de la ecuación dada son: 𝑥𝑥 = 3−5
2
= −1 y 𝑥𝑥 = 3+5
2
= 4. 
 
Observación (El carácter de las raíces de la ecuación): 
En la ecuación cuadrática 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎, con 𝒂𝒂,𝒃𝒃, 𝒗𝒗 ∈ 𝑹𝑹 y 𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎, la expresión 
 ∆ = 𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒂𝒂𝒗𝒗 es el conocido discriminante, y permite determinar si las raíces son reales o imaginarias. 
i.Si ∆ > 𝟎𝟎, las raíces son reales y diferentes. 
ii.Si ∆ = 𝟎𝟎, entonces son dos raíces reales iguales y su valor es: 
iii.Si ∆ < 𝟎𝟎, entonces son dos raíces complejas. 
 
Ejemplos. 
Determina el carácter de las raíces de las siguientes ecuaciones 
1) 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 
Solución. 
Como 𝑠𝑠 = 20, 𝑏𝑏 = −1, 𝑒𝑒 = −1, el discriminante es ∆ = (−1)2 − 4(20)(−1) = 1 + 80 = 81. 
De acuerdo con el resultado ∆ > 0, se deduce que la ecuación tiene 2 soluciones reales y diferentes. 
 
 
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2) 𝟒𝟒𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝒚𝒚 + 𝟕𝟕 = 𝟎𝟎. 
Solución. 
Al sustituir los valores de 𝑠𝑠 = 4, 𝑏𝑏 = −8, 𝑒𝑒 = 7, se obtiene: ∆= (−8)2 − 4(4)(7) = −48. En 
este caso ∆ < 0, por lo tanto, las raíces son complejas. 
 
EJERCICIOS 
A) Determinalas raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado. 
1) 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟒𝟒 = 𝟎𝟎. 𝑹𝑹. 𝑥𝑥1 = −4, 𝑥𝑥2 = −1 
2) 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 𝑹𝑹. 𝑥𝑥1 = −6, 𝑥𝑥2 = −5 
3) 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 = 𝟔𝟔𝒚𝒚 𝑹𝑹. 𝑦𝑦1 = 4, 𝑦𝑦2 = 2 
4) 𝟑𝟑𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟎𝟎 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑹𝑹. 𝑤𝑤1 = −5, 𝑤𝑤2 = 8 
5) 𝒛𝒛𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝒛𝒛 𝑹𝑹. 𝑧𝑧1 = −2, 𝑧𝑧2 = 15 
6) 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎 𝑹𝑹. 𝑥𝑥1 = −20, 𝑥𝑥2 = 12 
 
B) Emplea la fórmula general y encuentra las raíces de las siguientes ecuaciones: 
1) 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟎𝟎 𝑹𝑹. 𝑥𝑥1 = −5, 𝑥𝑥2 = −3 
2) 𝟑𝟑𝟔𝟔𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟒𝟒𝒚𝒚 − 𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟎𝟎 𝑹𝑹. 𝑦𝑦1 =
2−√89
6
,𝑦𝑦2 =
2+√89
6
 
3) 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟓𝟓 = 𝟎𝟎 𝑹𝑹. 𝑥𝑥1 = −5, 𝑥𝑥2 = 5 
4) 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝟒𝟒𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑹𝑹. 𝑥𝑥1 =
1−4𝑖𝑖
2
, 𝑥𝑥2 =
1+4𝑖𝑖
2
 
5) 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 = 1, 
 
C) Determine el carácter de las siguientes ecuaciones: 
1) 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 2) 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟎𝟎 3) 𝟑𝟑𝟐𝟐 – 𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 
 
D) Despeja de la ecuación la variable indicada. 
1) 𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝒏𝒏𝑹𝑹𝒏𝒏 , 𝑹𝑹 =? 3) 𝟏𝟏
𝑹𝑹
= 𝟏𝟏
𝑹𝑹𝟏𝟏
+ 𝟏𝟏
𝑹𝑹𝟐𝟐
, 𝑹𝑹𝟏𝟏 =? 
2) 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒈𝒈𝒕𝒕𝟐𝟐 + 𝒗𝒗𝟎𝟎𝒕𝒕, 𝒕𝒕 =? 4) 𝑨𝑨 = 𝒑𝒑�𝟏𝟏 +
𝒔𝒔
𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
�
𝟐𝟐
, 𝒔𝒔 =? 
 
E) Encuentre todas las soluciones reales de las ecuaciones dadas: 
1) 𝟏𝟏
𝒙𝒙−𝟏𝟏
+ 𝟏𝟏
𝒙𝒙+𝟐𝟐
= 𝟓𝟓
𝟒𝟒
, 𝑹𝑹. 𝒙𝒙𝟏𝟏 = −𝟕𝟕/𝟓𝟓,𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 
2) 𝒙𝒙+𝟓𝟓
𝒙𝒙−𝟐𝟐
= 𝟓𝟓
𝒙𝒙+𝟐𝟐
+ 𝟐𝟐𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐−𝟒𝟒
, 𝑹𝑹. 𝒙𝒙 = −𝟒𝟒 
3) √𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙, 𝑹𝑹. 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 
4) 𝟐𝟐𝒙𝒙 + √𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏, 𝑹𝑹. 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑 
5) 𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟏𝟏𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝑹𝑹. 𝒙𝒙 = −𝟐𝟐√𝟐𝟐,−√𝟓𝟓,𝟐𝟐√𝟐𝟐,√𝟓𝟓 
6) 𝒙𝒙𝟏𝟏/𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝒙𝒙−𝟏𝟏/𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙−𝟑𝟑/𝟐𝟐, 𝑹𝑹. 𝒙𝒙 = 𝟓𝟓 
 
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F) Aplicaciones 
1. La altura alcanzada por una pelota está dada por 𝟐𝟐 = −𝟏𝟏𝟔𝟔𝒕𝒕𝟐𝟐 + 𝒗𝒗𝟎𝟎𝒕𝒕 , si la pelota se lanza con una 
velocidad inicial de 𝒗𝒗𝟎𝟎 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝒑𝒑𝒔𝒔𝒗𝒗𝒗𝒗/𝒗𝒗: 
a. ¿Cuándo alcanza la pelota la altura de 𝟐𝟐𝟒𝟒 𝒑𝒑𝒔𝒔𝒗𝒗𝒗𝒗? 
b. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza la pelota? 
c. ¿Cuándo golpea el suelo la pelota? 
 
2. Si 𝑭𝑭 es la distancia Focal de un lente convexo y se coloca un objeto a una distancia 𝒙𝒙 de la lente, entonces 
la imagen del objeto estará a una distancia 𝑦𝑦 de la lente, donde 𝑭𝑭,𝒙𝒙,𝒚𝒚 y están relacionados mediante la 
ecuación de una lente 
𝟏𝟏
𝑭𝑭
=
𝟏𝟏
𝒙𝒙
+
𝟏𝟏
𝒚𝒚
 
Suponga que la distancia focal de una lente es de 𝟒𝟒.𝟏𝟏 𝒗𝒗𝒎𝒎 y que la imagen de un objeto es 𝟒𝟒 𝒗𝒗𝒎𝒎 más a la 
lente que al objeto en sí. ¿a qué distancia de la lente está el objeto? 
 
3. Un fabricante de bebidas refrescantes afirma que su naranjada tiene saborizante natural, aunque contiene 
solo 𝟓𝟓% de jugo de naranja. Una ley establece que para que se llame natural una bebida debe contener por 
lo menos 𝟏𝟏𝟎𝟎% de jugo de fruta. ¿Cuánto jugo natural puro debe agregar este fabricante a los 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈𝒈𝒂𝒂𝒈𝒈𝒈𝒈𝒏𝒏𝒗𝒗𝒗𝒗 
de bebida de naranja para apegarse a la nueva reglamentación? 
 
4. Dos ciclistas separados por 𝟗𝟗𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒔𝒔𝒈𝒈𝒈𝒈𝒂𝒂𝒗𝒗, inician al mismo tiempo un viaje para encontrarse. Uno se 
desplaza el doble de rápido que el otro. Si se encuentran 𝟐𝟐 𝟐𝟐 después, ¿a qué velocidad promedio viajo cada 
ciclista? 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 
Un sistema de dos ecuaciones lineales con n variables 𝒙𝒙𝟏𝟏,𝒙𝒙𝟐𝟐, … ,𝒙𝒙𝒏𝒏 
es un conjunto de ecuaciones de la forma: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒏𝒏𝒙𝒙𝒏𝒏 = 𝒃𝒃𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟐𝟐𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + … + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒏𝒏𝒙𝒙𝒏𝒏 = 𝒃𝒃𝟐𝟐 
.
.
.
𝒂𝒂𝒎𝒎𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝒎𝒎𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒏𝒏𝒙𝒙𝒏𝒏 = 𝒃𝒃𝒎𝒎
 
 
donde los 𝒂𝒂𝒔𝒔𝒊𝒊 son los coeficientes del sistema, las 𝒙𝒙𝒔𝒔 son las variables o incógnitas y los 𝒃𝒃𝒔𝒔 son los términos 
independientes. Si todos los términos independientes son ceros, el sistema es homogéneo, si el número de 
ecuaciones es igual al número de variables el sistema es cuadrado. Una solución del sistema de ecuaciones 
es el conjunto de elementos (𝒙𝒙𝟏𝟏 ,𝒙𝒙𝟐𝟐, …, 𝒙𝒙𝒏𝒏) que satisface el sistema. 
 
 
 
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Un sistema de ecuaciones lineales puede ser compatible o incompatible. En el caso de ser compatible admite 
una solución o infinitas soluciones. Un sistema homogéneo siempre es compatible, pues siempre admite al 
menos la solución trivial. En el caso de ser incompatible el sistema no admite ninguna solución. 
 
Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse por los métodos de sustitución, igualación, reducción, 
regla de Cramer, entre otros. 
Método de Sustitución 
Este método consiste en: 
• Despejar una incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones. 
• La expresión resultante se sustituye en la segunda ecuación para expresar una 
ecuación de una incógnita. 
• Se resuelve la ecuación y se determina el valor de dicha incógnita. 
• Sustituimos el valor de la incógnita calculada en cualquiera de las ecuaciones 
originales. 
• Para comprobar, se sustituyen los valores calculados en las ecuaciones 
originales. 
Ejemplos. 
1) Resuelva el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: �𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒚𝒚 = 𝟒𝟒 . 
Solución: 
Despejando 𝒚𝒚 de la primera ecuación 𝒚𝒚 = 𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝒙𝒙, la sustituimos en la segunda ecuación del sistema 
𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒚𝒚 = 𝟒𝟒 → 𝒙𝒙 + 𝟑𝟑(𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝒙𝒙) = 𝟒𝟒 → 𝒙𝒙 + 𝟗𝟗 − 𝟔𝟔𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 → −𝟓𝟓𝒙𝒙 = −𝟓𝟓 → 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏. Finalmente 
determinamos el valor de 𝒚𝒚 sustituyendo 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 en la primera ecuación del sistema 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟑𝟑 entonces: 
𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟑𝟑 → 𝟐𝟐 • 𝟏𝟏 + 𝒚𝒚 = 𝟑𝟑 → 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏. La veracidad de la solución del sistema 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏, puede 
comprobarse fácilmente al sustituirla en cada ecuación del sistema y dé como resultado una expresión 
verdadera. 
2) Resuelva el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: �
𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒚𝒚 − 𝒛𝒛 = 𝟑𝟑
𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟒𝟒𝒚𝒚 − 𝒛𝒛 = 𝟓𝟓
𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝒛𝒛 = 𝟗𝟗
 . 
Solución: 
Despejando 𝒛𝒛 de la primera ecuación 𝒛𝒛 = 𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒚𝒚 − 𝟑𝟑, la sustituimos 
en las otras ecuaciones del sistema y reducirla a un sistema de 𝟐𝟐 × 𝟐𝟐. 
Se procede de forma similar al primer ejemplo, encontrando que la 
solución del sistema 𝟐𝟐 × 𝟐𝟐 es 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏
𝟑𝟑
 y 𝒚𝒚 = −𝟐𝟐
𝟑𝟑
 . Para determinar el valor de la incógnita faltante, solo 
tenemos que sustituir los valores encontrados en cualquier ecuación del sistema, determinando así que 
𝒛𝒛 = −𝟕𝟕
𝟑𝟑
. La solución del sistema está dado por 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏
𝟑𝟑
 ,𝒚𝒚 = −𝟐𝟐
𝟑𝟑
 , 𝒛𝒛 = −𝟕𝟕
𝟑𝟑
. 
 
 
⟹ � 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 = 𝟔𝟔 . 
 
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Método de Igualación 
Este método consiste en: 
• Despejar la misma incógnita en cada una las ecuaciones originales. 
• Se igualan las dos expresiones obtenidas. 
• Resolvemos la ecuación con una sola incógnita.• Sustituimos el valor calculado en cualquiera de las ecuaciones originales. 
• Para comprobar, sustituimos los valores calculados en las ecuaciones. 
 
Ejemplo. 
Resuelva el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas �
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒙𝒙 − 𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝒚𝒚 = 𝟓𝟓
𝟑𝟑
𝟒𝟒
𝒙𝒙 + 𝟒𝟒
𝟓𝟓
𝒚𝒚 = 𝟕𝟕
 . 
Solución: 
Despejando 𝒙𝒙 en ambas ecuaciones del sistema se obtiene 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 + 𝟒𝟒
𝟑𝟑
𝒚𝒚 y 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟏𝟏
𝟑𝟑
− 𝟏𝟏𝟔𝟔
𝟏𝟏𝟓𝟓
𝒚𝒚. 
Igualando ambas ecuaciones 𝟏𝟏𝟎𝟎 + 𝟒𝟒
𝟑𝟑
𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝟏𝟏
𝟑𝟑
− 𝟏𝟏𝟔𝟔
𝟏𝟏𝟓𝟓
𝒚𝒚 → 𝟏𝟏𝟔𝟔
𝟏𝟏𝟓𝟓
𝒚𝒚 + 𝟒𝟒
𝟑𝟑
𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝟏𝟏
𝟑𝟑
− 𝟏𝟏𝟎𝟎 → 𝒚𝒚 = − 𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟏𝟏
. Finalmente 
sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones despejadas con anterioridad, por ejemplo en 
𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 + 𝟒𝟒
𝟑𝟑
𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 + 𝟒𝟒
𝟑𝟑
�− 𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟏𝟏
� → 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎
𝟐𝟐𝟕𝟕
 . La veracidad de la solución del sistema 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎
𝟐𝟐𝟕𝟕
,𝒚𝒚 = − 𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟏𝟏
, 
puede comprobarse fácilmente al sustituirla en cada ecuación del sistema y dé como resultado una expresión 
verdadera. 
 
Método de Reducción 
Este método consiste en: 
• Multiplicar una o las ecuaciones por constantes seleccionadas apropiadamente, 
para obtener ecuaciones equivalentes que tengan el mismo coeficiente en una de 
las incógnitas. 
• Después se suman o restan las ecuaciones para elimina la incógnita. 
• Se resuelve la ecuación o sistema resultante. 
• Sustituimos los valores determinados en cualquiera de las ecuaciones originales 
para determinar la incógnita restante. 
• Se comprueba la solución determinada, sustituyendo dichos valores en las 
ecuaciones originales. 
 
Ejemplo. 
Resuelva el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: �
𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟓𝟓𝒛𝒛 = 𝟏𝟏
𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒛𝒛 = 𝟐𝟐
𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝒛𝒛 = −𝟕𝟕
 . 
 
 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
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Solución: 
Multiplicamos por −𝟑𝟑 la segunda ecuación y se la sumamos por separado a las otras dos ecuaciones del 
sistema, es decir: 
𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟓𝟓𝒛𝒛 = 𝟏𝟏
−𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟗𝟗𝒚𝒚 − 𝟑𝟑𝟑𝟑𝒛𝒛 = −𝟔𝟔
 𝟕𝟕𝒚𝒚 − 𝟐𝟐𝟏𝟏𝒛𝒛 = 𝟐𝟐
 
𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝒛𝒛 = −𝟕𝟕
−𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟗𝟗𝒚𝒚 − 𝟑𝟑𝟑𝟑𝒛𝒛 = −𝟔𝟔
 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒚𝒚 − 𝟑𝟑𝟐𝟐𝒛𝒛 = −𝟏𝟏𝟑𝟑
 
Ahora el problema se redujo a resolver el sistema de 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 siguiente: 
� 𝟕𝟕𝒚𝒚 − 𝟐𝟐𝟏𝟏𝒛𝒛 = 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟒𝟒𝒚𝒚 − 𝟑𝟑𝟐𝟐𝒛𝒛 = −𝟏𝟏𝟑𝟑 → �
−𝟏𝟏𝟒𝟒𝒚𝒚 + 𝟓𝟓𝟔𝟔𝒛𝒛 = −𝟒𝟒
𝟏𝟏𝟒𝟒𝒚𝒚 − 𝟑𝟑𝟐𝟐𝒛𝒛 = −𝟏𝟏𝟑𝟑 → 𝟐𝟐𝟒𝟒𝒛𝒛 = −𝟏𝟏𝟕𝟕 → 𝒛𝒛 = −
𝟏𝟏𝟕𝟕
𝟐𝟐𝟒𝟒
 
Además al sustituir este valor en 𝟕𝟕𝒚𝒚 − 𝟐𝟐𝟏𝟏𝒛𝒛 = 𝟐𝟐 → 𝟕𝟕𝒚𝒚 − 𝟐𝟐𝟏𝟏 �− 𝟏𝟏𝟕𝟕
𝟐𝟐𝟒𝟒
� = 𝟐𝟐 → 𝒚𝒚 = −𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕
𝟒𝟒𝟐𝟐
. Para determinar 
el valor de 𝒙𝒙, sustituimos en cualquier ecuación del sistema original, por ejemplo 
𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒛𝒛 = 𝟐𝟐 → 𝒙𝒙 − 𝟑𝟑 �− 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕
𝟒𝟒𝟐𝟐
� + 𝟏𝟏𝟏𝟏 �− 𝟏𝟏𝟕𝟕
𝟐𝟐𝟒𝟒
� = 𝟐𝟐 ⟹ 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏
. Por tanto, La solución del sistema 
es 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏
,𝒚𝒚 = −𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕
𝟒𝟒𝟐𝟐
, 𝒛𝒛 = −𝟏𝟏𝟕𝟕
𝟐𝟐𝟒𝟒
 . 
 
Regla de Cramer 
Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de 
Cramer son los siguientes: 
1) Escribir el sistema de ecuaciones lineales en la forma 𝑨𝑨𝒙𝒙 = 𝒃𝒃. Donde 𝑨𝑨 
es la matriz de coeficientes, 𝒙𝒙 es el vector incógnita y 𝒃𝒃 es el vector constituido 
por los términos independientes. 
2) Calcular el determinante de 𝑨𝑨, constatando que este es distinto de cero, es 
decir 𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨) ≠ 𝟎𝟎. 
3) Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: 
a. Ir sustituyendo la primera columna del 𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨) por los términos independientes para obtener el 
determinante para 𝒙𝒙, simbólicamente representado por ∆𝒙𝒙. Luego sustituimos la segunda columna del 
𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨) por los términos independientes para obtener el determinante para 𝒚𝒚, simbólicamente representado 
por ∆𝒚𝒚 , de forma análoga para obtener ∆𝒛𝒛. 
 
b. Dividimos los resultados anteriores entre 𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨) ≠ 0, para obtener los resultados de las incógnitas, es 
decir: 𝒙𝒙 = ∆𝒙𝒙
𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨)
 ,𝒚𝒚 = ∆𝒚𝒚
𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨)
 y 𝒛𝒛 = ∆𝒛𝒛
𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨)
 . 
 
c. Se verifica si la solución es la correcta, sustituyendo los valores de 𝒙𝒙,𝒚𝒚 y 𝒛𝒛 obtenidos en cada una de las 
ecuaciones del sistema. 
 
Nota: Cuando el determinante de 𝑨𝑨 es cero, 𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨) ≠ 𝟎𝟎, la regla de Cramer no puede utilizarse, por lo que 
en estos casos, se deberá utilizar algún método alternativo. 
 
 
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CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 14 
 
Ejemplo. 
Resuelva el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: �
𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 − 𝒛𝒛 = 𝟒𝟒
𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝒛𝒛 = 𝟑𝟑
𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝒛𝒛 = −𝟓𝟓
 . 
Solución: 
Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes 𝑨𝑨. 
𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨) = �
𝟑𝟑 𝟐𝟐 −𝟏𝟏
𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝟐𝟐
𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟐𝟐
� = −𝟔𝟔 + 𝟒𝟒 − 𝟔𝟔 − 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 = −𝟑𝟑𝟓𝟓 
Aplicando la Regla de Cramer: 
𝒙𝒙 = ∆𝒙𝒙
𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨)
=
�
𝟒𝟒 𝟐𝟐 −𝟏𝟏
𝟑𝟑 −𝟏𝟏 𝟐𝟐
−𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟐𝟐
�
−𝟑𝟑𝟓𝟓
= −𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟎𝟎−𝟗𝟗+𝟓𝟓−𝟏𝟏𝟐𝟐−𝟐𝟐𝟒𝟒
−𝟑𝟑𝟓𝟓
= −𝟔𝟔𝟏𝟏
−𝟑𝟑𝟓𝟓
= 𝟔𝟔𝟏𝟏
𝟑𝟑𝟓𝟓
 
𝒚𝒚 = ∆𝒚𝒚
𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨)
=
�
𝟑𝟑 𝟒𝟒 −𝟏𝟏
𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟐𝟐
𝟏𝟏 −𝟓𝟓 𝟐𝟐
�
−𝟑𝟑𝟓𝟓
= 𝟏𝟏𝟏𝟏+𝟏𝟏+𝟏𝟏𝟎𝟎+𝟑𝟑−𝟏𝟏𝟔𝟔+𝟑𝟑𝟎𝟎
−𝟑𝟑𝟓𝟓
= 𝟓𝟓𝟑𝟑
−𝟑𝟑𝟓𝟓
= −𝟓𝟓𝟑𝟑
𝟑𝟑𝟓𝟓
 
𝒛𝒛 = ∆𝒛𝒛
𝒅𝒅𝒗𝒗𝒕𝒕 (𝑨𝑨)
=
�
𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟒𝟒
𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝟑𝟑
𝟏𝟏 𝟑𝟑 −𝟓𝟓
�
−𝟑𝟑𝟓𝟓
= 𝟏𝟏𝟓𝟓+𝟔𝟔+𝟐𝟐𝟒𝟒+𝟒𝟒+𝟐𝟐𝟎𝟎−𝟐𝟐𝟕𝟕
−𝟑𝟑𝟓𝟓
= 𝟒𝟒𝟐𝟐
−𝟑𝟑𝟓𝟓
= −𝟒𝟒𝟐𝟐
𝟑𝟑𝟓𝟓
 
 
La solución del sistema es 𝒙𝒙 = 𝟔𝟔𝟏𝟏
𝟑𝟑𝟓𝟓
,𝒚𝒚 = −𝟓𝟓𝟑𝟑
𝟑𝟑𝟓𝟓
, 𝒛𝒛 = −𝟒𝟒𝟐𝟐
𝟑𝟑𝟓𝟓
 , cuya veracidad puede comprobarse fácilmente al 
sustituir dichos valores en cada una de las ecuaciones del sistema. 
 
4) Método Gráfico. 
 
 
 
 
 𝑳𝑳𝟏𝟏 𝑳𝑳𝟏𝟏 = 𝑳𝑳𝟐𝟐 
 
 
 𝑳𝑳𝟏𝟏 
 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝑳𝑳𝟐𝟐 
 Incompatible Solución única Infinitas soluciones 
 
Ejemplo. 
Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 
�𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝒃𝒃𝟏𝟏𝒚𝒚 = 𝒗𝒗𝟏𝟏𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝒃𝒃𝟐𝟐𝒚𝒚 = 𝒗𝒗𝟐𝟐
 
 
En el caso de dos ecuaciones lineales con dos variables el sistema puede 
resolverse por medio de gráficas y así interpretar su compatibilidad o 
incompatibilidad. Las soluciones gráficas pueden ser: 
 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 15 
 
• Si 𝒂𝒂𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟐𝟐 
= 𝒃𝒃𝟏𝟏
𝒃𝒃𝟐𝟐
= 𝒗𝒗𝟏𝟏
𝒗𝒗𝟐𝟐
 , el sistema se dice compatible indeterminado, rectas coincidentes, infinitas soluciones. 
• Si 𝒂𝒂𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟐𝟐 
= 𝒃𝒃𝟏𝟏
𝒃𝒃𝟐𝟐
≠ 𝒗𝒗𝟏𝟏
𝒗𝒗𝟐𝟐
 , el sistema se dice incompatible, rectas paralelas, no existe solución. 
• Si las razones entre sus coeficientes son diferentes, o sea, no existe proporcionalidad, se dice que el 
sistema tiene solución única, rectas que se cortan en un punto. 
 
Sistemas de Otros Órdenes 
Para resolver estos sistemas de ecuaciones generalmente se utiliza el método 
de sustitución para reducir a una ecuación con una variable. 
 
Ejemplo. 
Resolver el sistema: �
𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟕𝟕
𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟓𝟓 
Solución: 
Se despeja el valor de una de las variables en la primera ecuación 𝒚𝒚 = 𝟕𝟕 − 𝒙𝒙 y reemplazandoen la segunda 
se obtiene 𝒙𝒙𝟐𝟐 + (𝟕𝟕 − 𝒙𝒙)𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟓𝟓 → 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟒𝟒 = 𝟎𝟎. Dividiendo entre 𝟐𝟐 resulta 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟕𝟕𝒙𝒙 +
𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 y factorando (𝒙𝒙 − 𝟒𝟒)(𝒙𝒙 − 𝟑𝟑) = 𝟎𝟎, tenemos de esta forma dos soluciones 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 ó 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑. Si 
𝒙𝒙 = 𝟒𝟒,𝒚𝒚 = 𝟑𝟑 y si 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑,𝒚𝒚 = 𝟒𝟒, entonces el conjunto solución es {(𝟑𝟑,𝟒𝟒), (𝟒𝟒, 𝟑𝟑)}. 
 
EJERCICIOS 
Determine el conjunto solución de los sistemas de ecuaciones dados: 
1) �𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝒚𝒚 = 𝟏𝟏 
2) �𝟗𝟗𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟒𝟒𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 = 𝟔𝟔 𝑹𝑹. (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = �−
2
13
, 19
13
� 
3) �
𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝒗𝒗 + 𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒅𝒅 = 𝟓𝟓
𝒗𝒗 − 𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝒅𝒅 = −𝟏𝟏
 
4) �
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝒚𝒚 = −𝟕𝟕
𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟓𝟓
𝟔𝟔
𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟑𝟑
 𝑹𝑹. (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = �242
101
, 414
101
� 
5) �
𝟐𝟐
𝒙𝒙
+ 𝟑𝟑
𝒚𝒚
= −𝟐𝟐
𝟒𝟒
𝒙𝒙
− 𝟓𝟓
𝒚𝒚
= 𝟏𝟏
 
6) �
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒚𝒚 = 𝟏𝟏
𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 = 𝟏𝟏
 𝑹𝑹. (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = �1
2
, 1
4
� 
7) �𝒚𝒚 = 𝒙𝒙
𝟐𝟐 − 𝟒𝟒
𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 
8) �𝟐𝟐(𝒙𝒙 − 𝒚𝒚) +
𝒙𝒙+𝒚𝒚
𝟑𝟑
= 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟏𝟏
𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 = 𝟑𝟑
 𝑹𝑹. (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = �18
7
,−1
3
� 
9) �
𝟔𝟔
𝒂𝒂−𝟏𝟏
− 𝟕𝟕
𝒃𝒃+𝟐𝟐
= −𝟑𝟑
𝟑𝟑
𝒂𝒂−𝟏𝟏 
+ 𝟒𝟒
𝒃𝒃+𝟐𝟐 
= −𝟐𝟐
 
10) �𝟓𝟓𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝒚𝒚 = −𝟓𝟓𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 = 𝟑𝟑𝟏𝟏 𝑹𝑹. (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (7,5) 
11) �𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒑𝒑 − 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟑𝟑 𝒒𝒒 + 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟐𝟐𝒑𝒑 + 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒒𝒒 = 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟎𝟎 
12) � 𝒙𝒙 −
𝟐𝟐𝒙𝒙−𝒚𝒚
𝟓𝟓
= 𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙 − (𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝒚𝒚) = 𝟐𝟐𝟓𝟓
 𝑹𝑹. (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = (2,−1) 
13) �√𝟑𝟑 𝒙𝒙 − √𝟐𝟐 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐√𝟑𝟑
𝟐𝟐√𝟐𝟐 𝒙𝒙 + √𝟑𝟑𝒚𝒚 = √𝟐𝟐
 
14) �
𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝒛𝒛 = 𝟏𝟏
𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟒𝟒𝒛𝒛 = 𝟐𝟐
𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 − 𝒛𝒛 = 𝟏𝟏
 𝑹𝑹. (𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (−4,6,1) 
 
 
 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 16 
 
15)�
𝟑𝟑
𝒙𝒙−𝟏𝟏
+ 𝟒𝟒
𝒚𝒚+𝟐𝟐
= 𝟐𝟐
𝟔𝟔
𝒙𝒙−𝟏𝟏
− 𝟕𝟕
𝒚𝒚+𝟐𝟐
= −𝟑𝟑
 23) �
𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 + 𝒛𝒛 = 𝟑𝟑
𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 − 𝟔𝟔𝒛𝒛 = 𝟕𝟕
𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 − 𝒛𝒛 = 𝟒𝟒
 
16) �
𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝒚𝒚 − 𝒛𝒛 = 𝟓𝟓
−𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟑𝟑𝒛𝒛 = 𝟎𝟎
𝟓𝟓𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 − 𝒛𝒛 = −𝟏𝟏
 24) �
𝟏𝟏
𝒙𝒙
+ 𝟏𝟏
𝒚𝒚
= 𝟕𝟕
𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟕𝟕
 
17) �𝒚𝒚
𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙
√𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟓𝟓
 𝑹𝑹. (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = (4,3) 25) �𝒚𝒚
𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙
√𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟓𝟓
 
18) �
𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 + 𝒛𝒛 = 𝟑𝟑(𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 + 𝒛𝒛 + 𝟔𝟔)
𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 − 𝟔𝟔𝒛𝒛 = 𝟕𝟕(𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝒚𝒚 − 𝒛𝒛 − 𝟓𝟓)
𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 − 𝒛𝒛 = 𝟒𝟒(−𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒚𝒚 − 𝟓𝟓𝒛𝒛 + 𝟒𝟒)
 26) 
⎩
⎨
⎧
𝒙𝒙
𝟐𝟐
+ 𝒚𝒚
𝟒𝟒
+ 𝒛𝒛
𝟒𝟒
= 𝟓𝟓
𝒙𝒙
𝟒𝟒
+ 𝒚𝒚
𝟐𝟐
+ 𝒛𝒛
𝟐𝟐
= 𝟒𝟒
𝒙𝒙
𝟒𝟒
+ 𝒚𝒚
𝟒𝟒
+ 𝒛𝒛
𝟐𝟐
= 𝟑𝟑
 
19) �𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 −
𝒚𝒚
𝒙𝒙
= 𝟏𝟏
𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟓𝟓
 𝑹𝑹. (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = (4,1) 27) �𝒙𝒙
𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟔𝟔
𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏 
20) �𝒚𝒚 = 𝒙𝒙
𝟐𝟐 − 𝟒𝟒
𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 28) �
𝟐𝟐𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝟐𝟐
𝒚𝒚 = 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑
 
21) �
𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐
+ 𝟏𝟏
𝒚𝒚𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟑𝟑
𝟏𝟏
𝒙𝒙
− 𝟏𝟏
𝒚𝒚
= 𝟏𝟏
 𝑹𝑹. (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = �1
3
, 1
2
� �− 1
2
,−1
3
� 
22) �𝒙𝒙
𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟗𝟗
𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑹𝑹.
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (12,5)(5,12) 
 
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 
Desarrollaremos algunos ejemplos, con el propósito de aplicar adecuadamente los aspectos teóricos 
relacionados con la resolución de problemas. 
 
Ejemplos: 
1) Un Problema Económico. 
En una tienda departamental ponen en oferta camisas y pantalones que están fuera de temporada. El primer 
día se vendieron cinco pantalones y siete camisas, para totalizar $𝟓𝟓𝟑𝟑𝟎𝟎, el segundo día de ventas se invirtieron 
las cantidades y se ganaron $𝟓𝟓𝟓𝟓𝟎𝟎. ¿Cuál fue el precio de un pantalón y de una camisa? 
Solución: 
Se plantea con dos variables los precios de los artículos: 
Precio de un pantalón ⟶ 𝒙𝒙 5𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 530 
Precio de una camisa ⟶ 𝒚𝒚 7𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 550 
Este sistema de ecuaciones lo resolveremos por el método de reducción: 
�𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟕𝟕𝒚𝒚 = 𝟓𝟓𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟕𝟕𝒙𝒙 + 𝟓𝟓𝒚𝒚 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟎𝟎 ⟹ �
−7 ∗ (5𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦) = −7 ∗ 530
5 ∗ ( 7𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦) = 5 ∗ 550 ⟹�
−35𝑥𝑥 − 49𝑦𝑦 = −3710
 35𝑥𝑥 + 25𝑦𝑦 = 2750 
⟹−24𝑦𝑦 = −960 ⟹ 𝑦𝑦 = 40 
 
 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 17 
 
Se sustituye 𝑦𝑦 = 40 en cualquiera de las ecuaciones originales y se obtiene 𝒙𝒙 
5𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 530 ⟹ 5𝑥𝑥 + 7(40) = 530 ⟹ 𝑥𝑥 =
530 − 280
5
⟹ 𝑥𝑥 = 50 
Por tanto, el precio de un pantalón es de $50 y el de una camisa de $40. 
 
2) Un Problema de Mezclas 
Un vinatero fortifica vino que contiene 𝟏𝟏𝟎𝟎% de alcohol al agregarle una 
solución de alcohol al 𝟕𝟕𝟎𝟎%. La mezcla resultante tiene un contenido 
alcohólico del 𝟏𝟏𝟔𝟔% y llena 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 botellas de un litro. ¿Cuántos litros del 
vino y la solución de alcohol usa el vinatero? 
Solución: 
 Identifiquemos las variables. 
Como nos piden las cantidades de vino y alcohol, hacemos 
𝒙𝒙: Cantidad de vino utilizado (𝑳𝑳) 
𝒚𝒚: Cantidad de solución de alcohol utilizada (𝑳𝑳) 
 Expresar todas las cantidades desconocidas en términos de la variable. 
Del hecho que el vino contiene 𝟏𝟏𝟎𝟎% de alcohol y la solución contiene 𝟕𝟕𝟎𝟎% de alcohol, obtenemos lo 
siguiente. 
Lenguaje Común Lenguaje Algebraico 
Cantidad de vino utilizado (𝑳𝑳) 𝒙𝒙 
Cantidad de solución de alcohol utilizada (𝑳𝑳) 𝒚𝒚 
Cantidad de alcohol en vino (𝑳𝑳) 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙 
Cantidad de alcohol en solución (𝑳𝑳) 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟎𝟎𝒚𝒚 
 
Establecer un sistema de ecuaciones. El volumen de la mezcla debe ser el total de los dos volúmenes que el 
vinatero mezcla, y 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 
También, la cantidad de alcohol en la mezcla debe ser el total del alcohol aportado por el vino y por la solución 
de alcohol, es decir, 
𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙 + 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟎𝟎𝒚𝒚 = (𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ⟹ 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙 + 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟎𝟎𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎 ⟹ 𝒙𝒙 + 𝟕𝟕𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 
En consecuencia, obtenemos el sistema � 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙 + 𝟕𝟕𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 , el cual podemos resolverlo fácilmente restando 
la primera ecuación de la segunda y obtenemos que 6𝑦𝑦 = 600 ⟹ 𝑦𝑦 = 100. Ahora sustituimos 𝑦𝑦 = 100 
en la primera ecuación, obtenemos que 𝑥𝑥 + 100 = 1000 ⟹ 𝑥𝑥 = 900. El vinatero utiliza 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑳𝑳 de vino y 
𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑳𝑳 de solución de alcohol. 
 
3) Un Problema Físico 
Dos corredores parten de un mismo lugar teniendo una velocidad constante. Si hubieran corrido en el mismo 
sentido, a los 𝟐𝟐𝟎𝟎 minutos la distancia entre ambos sería de 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎, pero si hubieran corrido en sentidos 
opuestos, la distancia sería de 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎. ¿Cuál es la velocidad de cada uno? 
Solución: 
Velocidad del primer corredor ⟶ 𝒙𝒙 
Velocidad del segundo corredor ⟶ 𝒚𝒚 
 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 18 
 
Para una velocidad constante la fórmula de la velocidad es 𝒗𝒗 = 𝒅𝒅
𝒕𝒕
 , por lo tanto 𝒅𝒅 = 𝒗𝒗𝒕𝒕. De ahí que podemos 
expresar el siguiente sistema de ecuaciones � 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒚𝒚 = 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 . Sumando ambas ecuaciones de 
obtiene que 𝟒𝟒𝟎𝟎𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ⟹ 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟎𝟎. Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones 𝒚𝒚 = 𝟕𝟕𝟎𝟎. 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
1. Una agenda electrónica y un traductor cuestan $𝟏𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎. Si la agenda 
electrónica tiene un costo de $𝟐𝟐𝟎𝟎 más queel traductor, ¿cuánto cuesta 
cada artículo? 
 
2. El hermano de Antonio tiene 𝟑𝟑 veces la edad de él, hace 𝟑𝟑 años su 
hermano tenía 𝟔𝟔 veces la edad de Antonio, ¿cuáles son sus edades 
actualmente? 
 
3. Una lancha viajó corriente arriba 𝟑𝟑𝟔𝟔 𝒌𝒌𝒎𝒎 en 𝟒𝟒 horas. Si la corriente 
hubiese sido del cuádruplo, el viaje lo hubiera hecho en 𝟔𝟔 horas, ¿cuál es 
la rapidez de la lancha y de la corriente? 
 
4. El mismo granjero al comprar los borregos y las gallinas pagó un total de $𝟔𝟔𝟒𝟒𝟓𝟓𝟎𝟎. Después y al mismo 
precio, adquirió 𝟏𝟏𝟎𝟎 borregos y 𝟏𝟏𝟒𝟒 gallinas, por los cuales pagó $𝟑𝟑𝟒𝟒𝟐𝟐𝟎𝟎, ¿cuál es el costo de cada borrego y 
cada gallina? 
 
5. ¿Cuántos litros de una solución al 𝟔𝟔% y cuántos de otra al 𝟑𝟑𝟎𝟎% se deben mezclar para obtener 𝟓𝟓𝟎𝟎 litros 
de una nueva solución al 𝟏𝟏𝟐𝟐%? 
 
6. Un químico tiene dos grandes contenedores de solución de ácido sulfúrico, con diferentes concentraciones 
de ácido en cada contenedor. La mezcla de 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎𝒈𝒈 de la primera solución y 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎𝒈𝒈 de la segunda le da 
una mezcla que es 𝟏𝟏𝟓𝟓% acida, mientras que si mezcla 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒈𝒈 de la primera y 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 de la segunda le da 
una mezcla de 𝟏𝟏𝟐𝟐 ½% acida. ¿Cuáles son las concentraciones de ácido sulfúrico en los recipientes 
originales? 
 
7. Un hombre invierte sus ahorros en dos cuentas, una paga el 𝟔𝟔% y la otra el 𝟏𝟏𝟎𝟎% de interés simple al año. 
El pone el doble en la cuenta que rinde menos porque es de menos riesgos. El interés que percibe es de 
$𝟑𝟑𝟓𝟓𝟐𝟐𝟎𝟎. ¿Cuánto invirtió en cada tasa? 
 
8. Un bote en un rio navega aguas abajo entre dos puntos a 𝟐𝟐𝟎𝟎 millas de distancia, en una hora. El viaje de 
regreso contra la corriente le toma 𝟐𝟐 ½ horas ¿Cuál es la velocidad del bote y con qué velocidad se mueven 
las aguas del rio? 
 
 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 19 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS 
Para ilustrar el uso de las técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones de tres incógnitas, 
desarrollaremos el siguiente ejemplo: 
 
1) Un Problema Financiero 
Alexander recibe una herencia de $𝟓𝟓𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. Su asesor financiero le sugiere invertir esto en tres fondos de 
mutualidad: un fondo de mercado de dinero, un fondo de acciones preferenciales y un fondo de acciones de 
alta tecnología. El asesor estima que el fondo de mercado de dinero rendirá 𝟓𝟓% en el año siguiente, el fondo 
de acciones preferenciales dará 𝟗𝟗% y el fondo de alta tecnología rendirá 𝟏𝟏𝟔𝟔%. Alexander desea tener un 
rendimiento total de $𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 el primer año. Para evitar riesgo excesivo, decide invertir el triple en el fondo de 
mercado de dinero que en el fondo de acciones de alta tecnología. ¿Cuánto debe invertir en cada fondo? 
Solución: 
Sean 𝒙𝒙: Cantidad invertida en el fondo de mercado de dinero. 
 𝒚𝒚: Cantidad invertida en el fondo de acciones preferenciales. 
 𝒛𝒛: Cantidad invertida en el fondo de acciones de alta tecnología. 
Convertimos en ecuación cada uno de los datos dados en el problema hasta obtener el siguiente sistema. 
�
𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 + 𝒛𝒛 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟗𝒚𝒚 + 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟔𝟔𝒛𝒛 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝒛𝒛
 
Multiplicando por 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 la segunda ecuación y reescribiendo la tercera, tendremos el siguiente sistema: 
�
𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 + 𝒛𝒛 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟗𝟗𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟔𝟔𝒛𝒛 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝒛𝒛 = 𝟎𝟎
 
Utilizando cualquier método para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se obtiene la solución 
𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎,𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎,𝒛𝒛 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎, es decir que Alexander debe invertir: $𝟑𝟑𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 en el fondo de 
mercado de dinero, $𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 en el fondo de acciones preferenciales y $𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 en el fondo de acciones 
de alta tecnología. 
 
EJERCICIOS 
1. Si tres recipientes contienen respectivamente 𝟑𝟑𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟎𝟎 y 𝟓𝟓𝟎𝟎 litros de ácido 
sulfúrico a distintas concentraciones. Si se juntan los contenidos de los tres 
recipientes se obtiene una mezcla al 𝟏𝟏𝟐𝟐%, si se junta el primer recipiente con 
el segundo se obtiene una mezcla al 𝟏𝟏𝟑𝟑.𝟔𝟔% y si se junta el segundo con el 
tercero se obtiene una mezcla al 𝟏𝟏𝟐𝟐%. Halle el % de ácido sulfúrico en cada 
uno de los recipientes. 
 
2. Un tanque se llena por tres llaves de agua 𝑨𝑨,𝑩𝑩 y 𝑪𝑪. Si se abren las tres al 
mismo tiempo el tanque se llena en 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒔𝒔𝒏𝒏, si abre las llaves 𝑨𝑨 y 𝑩𝑩 se llena 
en 𝟒𝟒𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒔𝒔𝒏𝒏 y si se abren las llaves 𝑩𝑩 y 𝑪𝑪 se llena en 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒔𝒔𝒏𝒏. ¿en cuánto 
tiempo se llenará el tanque por cada una de las llaves de forma separada? 
 
 
 SEGUNDA PARTE - ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 20 
 
3. Un inversionista tiene $𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 para invertir en tres tipos de bonos: a corto plazo, plazo intermedio y 
largo plazo. ¿cuánto debe ella invertir en cada tipo para satisfacer las condiciones dadas: 
a. Los bonos a corto plazo pagan 𝟒𝟒%, los de plazo intermedio 𝟓𝟓% y los bonos a largo plazo 𝟔𝟔%. La 
inversionista desea realizar un ingreso anual de 𝟓𝟓.𝟏𝟏%con iguales cantidades invertidas en bonos a 
corto y mediano plazos. 
b. Los bonos a corto plazo pagan 𝟒𝟒%, los de mediano a 𝟔𝟔% y los de largo plazo 𝟏𝟏%. La inversionista 
desea tener un rendimiento anual total de $𝟔𝟔,𝟕𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎 sobre la inversión, con cantidades iguales invertidas 
en bonos a mediados y largo plazo. 
 
4. Kitchen Korner produce refrigeradoras, lavadoras y cocinas en tres fábricas diferentes. La tabla da el 
número de cada producto producido en cada fábrica por día. Kitchen Korner recibe un pedido por 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒 
refrigeradoras, 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟒𝟒 lavadoras y 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟐𝟐 cocinas. ¿Cuántos días debe programarse cada una de las plantas para 
satisfacer este pedido? 
Aparato Fábrica 𝑨𝑨 Fábrica 𝑩𝑩 Fábrica 𝑪𝑪 
Refrigeradora 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟒𝟒 
Lavadora 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎 
Cocina 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔 
𝑹𝑹. (𝟏𝟏𝟐𝟐,𝟎𝟎,𝟐𝟐) 
5. Un comerciante desea combinar dos clases de caramelos con nueces, cuyos costos respectivos sonde 
$𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟎𝟎, $𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟎𝟎 y $𝟒𝟒.𝟎𝟎𝟎𝟎 por libra, para obtener 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎 libras de mezcla que cueste $𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎 la libra. ¿Cuántas 
libras de cada clase deberá utilizar, si además se desea que la cantidad de caramelos de la variedad más 
barata sea el doble que de la variedad más cara? 𝑹𝑹. (𝟒𝟒𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟎𝟎) 
 
6. Una herencia de 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎 millones de córdobas, será repartida entre tres hijos. En el testamento se estipuló 
que la herencia se repartirá de acuerdo con las edades de los hijos. Un cuarto de la suma del mayor y del 
mediano equivale al menor disminuido en 𝟐𝟐𝟎𝟎, y la mitad de la diferencia entre el mayor con el menor se suma 
el número del medio, dando como resultado 𝟓𝟓𝟕𝟕. Determine cuánto recibió cada hijo. 𝑹𝑹. (𝟔𝟔𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟏𝟏) 
 
 
 BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA 
 
 
Hay una gran cantidad de libros de matemática básica que fueron consultados. A continuación, presentamos 
una breve lista de los mismos: 
1. Ruiz Roberto. 2015. Libro de Texto de Matemática. Universidad Nacional de Ingeniería, Managua, 
Nicaragua. 
2. Swokowski – Cole. 2009. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning, corporativo 
Santa Fe, México. 
3. Walsh Carlos 2008. Matemática Introductoria. Universidad Nacional de Ingeniería, Managua, Nicaragua. 
4. Colección Lexus. 2006. Manual de Preparación Pre – Universitaria (Álgebra). Lima Perú. 
5. Leithold Louis. 1998. Matemáticas Previas al Cálculo. 3° edición, Oxford University Press. México. 
6. E. P. Pillips, T. Butts, M. Shaughnessy. 1991. Álgebra con Aplicaciones. Harla, S.A, México. 
En la webse encuentran innumerables documentos relacionados con las matemáticas pre – universitarias, 
algunos de los cuales fueron consultados. A continuación, presentamos una breve lista de los mismos:
1. http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm 
2. http://www.vadenumeros.es/primero/alturas-mediatrices-medianas.htm 
3. http://www.vadenumeros.es/primero/ecuaciones-logaritmicas.htm 
4. http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Logica.pdf 
5. https://es.khanacademy.org/math/algebra 
6. www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.html 
 
http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm
http://www.vadenumeros.es/primero/alturas-mediatrices-medianas.htm
http://www.vadenumeros.es/primero/ecuaciones-logaritmicas.htm
http://www.uv.es/%7Eivorra/Libros/Logica.pdf
https://es.khanacademy.org/math/algebra
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	1.2 PORTADA
	SEGUNDA PARTE
	ÁLGEBRA
	Autores
	Msc. Roberto Javier Ruiz Mendieta - Msc. Hank Espinoza Serrano
	2. COLABORADORES
	3.2 Parte II - ÁLGEBRA
	a) ,,𝟐.+ ,𝟓.-,𝟐.− ,𝟓.. b) ,,𝒂.− 𝟐,𝒄.-𝟐,𝒂.+ 𝟑,𝒄.. c) ,𝒙+ ,𝒙.-𝟏+𝒙+ ,𝒙.. d) ,𝟐𝒉-,𝟑-𝒙+𝒉. − ,𝟑-𝒙. .
	e) ,,𝒎+𝒏.− 𝟑,𝒎−𝒏.-,𝒎+𝒏. – ,𝒎−𝒏.. f) ,𝟓-,𝟒-𝟏𝟏. − ,𝟒-𝟔..
	a) ,,𝟐.− ,𝟓.-,𝟐.+𝟑 ,𝟓.. b) ,,𝒙+𝟐.− ,𝒙.-𝟐. c) ,,𝟑-,𝒎-𝟐..− ,𝟑-𝒎𝒏.+ ,𝟑-,𝒏-𝟐..-𝒎+𝒏. d) ,,𝒑+𝒒. −𝟐,𝒑−𝒒.-,𝒑+𝒒.+ 𝟐,𝒑−𝒒..
	4. BIBLIOGRAFÍA ÁLGEBRA
	5. CONTRAPORTADA