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Nombre de la asignatura 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
 
3º semestre 
 
Clave: 
LIC. 01142315 
 
Unidad 2 
Estadística inferencial para una población 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 2. Estadística inferencial para una población 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 1 
Índice 
Presentación .................................................................................................................................................................................................... 2 
Propósitos ........................................................................................................................................................................................................ 5 
Competencia a desarrollar ............................................................................................................................................................................... 5 
Estimación puntual y por intervalo de la media ................................................................................................................................................ 5 
Estimador puntual y sus propiedades ........................................................................................................................................................... 6 
Distribución muestral de la media, normal y “t de Student” ........................................................................................................................... 8 
Teorema del límite central .......................................................................................................................................................................... 17 
Intervalo de confianza para la media .......................................................................................................................................................... 18 
Estimación puntual y por intervalo de la proporción ....................................................................................................................................... 21 
Estimador puntual y sus propiedades ......................................................................................................................................................... 22 
Distribución muestral de la proporción ....................................................................................................................................................... 23 
Cálculo de un intervalo de confianza para la proporción ............................................................................................................................ 24 
Prueba de hipótesis ....................................................................................................................................................................................... 27 
Conceptos generales de la metodología .................................................................................................................................................... 28 
Prueba de hipótesis de la media ................................................................................................................................................................ 30 
Relación entre una prueba de hipótesis de la media y un intervalo de confianza ....................................................................................... 39 
Prueba de hipótesis de la proporción ......................................................................................................................................................... 40 
Relación entre una prueba de hipótesis de la proporción y un intervalo de confianza ................................................................................ 43 
Cierre ............................................................................................................................................................................................................. 45 
Fuentes de consulta ...................................................................................................................................................................................... 46 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 2. Estadística inferencial para una población 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 2 
 
Presentación 
 
En la presente unidad: 
 
 Se describe el propósito de la estadística inferencial. Se presenta el significado de estimador puntual, por intervalo y de distribución 
muestral, y se analiza cómo obtener conclusiones acerca de una población a partir de una muestra. 
 Se estudian dos distribuciones muestrales: la de la media y la de la proporción. 
 Se presentan condiciones, características y metodología para determinar sus estimadores puntuales y por intervalo. 
 Se analiza el significado de realizar una prueba de hipótesis, de la metodología que se sigue, y se realizan pruebas de hipótesis 
para la media y la proporción. 
 Se muestra la relación entre una prueba de hipótesis y un intervalo de confianza. 
 
La teoría del muestro permite obtener información acerca de una población finita a través de muestras extraídas al azar; sin 
embargo, es más práctico y frecuentemente más importante inferir información de una población mediante varias muestras 
extraídas de ella. 
 
Lo anterior se hace con la inferencia estadística o estadística inferencial, basándose en la teoría del muestro y el objetivo es estimar 
una medida descriptiva de la población (por ejemplo, la media o la varianza) a partir de la medida descriptiva de la muestra (media o 
varianza muestral); a los primeros se les llama parámetros y a los segundos estadísticos. 
 
Por ello, para una población en particular, los parámetros son fijos y frecuentemente desconocidos, mientras que los estadísticos varían 
dependiendo de la muestra. 
 
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Unidad 2. Estadística inferencial para una población 
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A continuación se muestran algunos de los parámetros más comunes y sus correspondientes estadísticos: 
Medida descriptiva Parámetro Estadístico 
Media  _
x 
Varianza 2 2s 
Desviación estándar  s 
Proporción p _
p 
 
Los principales tipos de inferencia que se realizan son: 
 
 Estimación puntual o por intervalo 
 Prueba de hipótesis 
 
Dado que las inferencias estadísticas que se hacen acerca de la población se realizan por medio de muestras, lo natural es usar la media y 
la varianza (estadísticos) como estimadores de los parámetros correspondientes. 
 
Para poder llevar a cabo lo anterior, existen dos problemas: 
 
 Determinar si la estimación está sesgada. 
 Determinar la cercanía del valor del estadístico con el valor del parámetro que se está estimando. 
 
 
 
 
 
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Para analizar el sesgo, considérese que se toman una gran cantidad de muestras de una población con media  y que se determina la 
media de cada una de las muestras, obteniendo los valores 
_
ix , con éstos es posible construir una distribución cuya media 




 _
x tiene un 
valor que puede estar cercano o no al valor de la media poblacional  . Si el valor de la de la media de la distribución de medias 




 _
x es 
cercano al de la población   , se dice que 
_
x es un estimador insesgado de  . 
 
Si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual a su correspondiente parámetro, el estadístico se llama estimador 
insesgado del parámetro; si no es igual se denomina estimador sesgado. Los valorescorrespondientes de tales estadísticos se conocen 
como estimaciones insesgadas o sesgadas, respectivamente. Hay dos tipos de estimación de parámetros. 
 
1. Estimación puntual: Es la que está dada por un valor numérico. 
2. Estimación por intervalo: Está dada por dos números, entre los que, muy probablemente, está el valor del parámetro poblacional. 
 
Es importante no confundir un estimador puntual con una estimación puntual; debe recordarse que la segunda es un valor particular 
obtenido de un estimador puntual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Propósitos 
 
Al término de esta unidad lograrás: 
 
 Comprender los alcances de la estadística inferencial. 
 Comprender el significado de estimador puntual y por intervalo. 
 Determinar los estimadores puntuales y por intervalo de las distribuciones muestrales de la media y la 
proporción. 
 Comprender y utilizar la metodología de las pruebas de hipótesis para la media y la proporción. 
 Reconocer la relación entre una prueba de hipótesis y un intervalo de confianza. 
 
Competencia a desarrollar 
 
 
 Analiza la información de una muestra para identificar las dinámicas de la población de estudio, mediante la 
resolución de problemas con técnicas de estadística inferencial. 
 
 
Estimación puntual y por intervalo de la media 
Si se consideran todas las posibles muestras de tamaño n que pueden extraerse de una población y se calcula la media 




 __
ix de cada una 
de las muestras, con estos valores se puede construir una distribución de la cual también se puede encontrar la media __
x
 como 
usualmente se ha hecho. 
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Por la forma en que se calcula __
x
 , puede verse que un estimador puntual es una función de un conjunto de observaciones de la población 
y es un “punto” en el sentido de que se refiere a un sólo valor. 
 
Del mismo modo, la información contenida en las 
__
ix calculadas permite construir un intervalo dentro del cual puede estar contenido el valor 
del parámetro  . 
 
Estimador puntual y sus propiedades 
 
Puede ser claro que por medio de las muestras es posible hacer una estimación de cualquiera de los parámetros de una población, de 
manera que no es fácil determinar cuál de los estadísticos es el más apropiado. Los siguientes cuatro criterios permiten hacer esta 
elección: 
 
1. Inestabilidad: Es preferible usar un estimador no sesgado, es decir, cuando ocurre que la esperanza del estadístico es igual al 
valor del parámetro, por ejemplo: 
 





 _
xE . 
Ahora bien, aun cuando lo anterior se cumpla, puede ocurrir algo como lo mostrado en la siguiente gráfica: 
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__
x
 
 
En este caso, la elección del estimador, usando sólo este criterio, no resulta suficiente. 
 
2. Consistencia: Se dice que el estimador del parámetro es consistente si el valor del estimador se aproxima al valor del 
parámetro de la población cuando el tamaño de la muestra se hace más y más grande. 
 
Por ejemplo, para la distribución muestral de medias tenemos que: 
 
   
x
xE 
 
n
x

  
 
De aquí puede apreciarse que conforme n se hace más grande el cociente se hace cada vez más 
pequeño, por lo que la desviación se acerca más al cero; ahora bien, que la desviación estándar sea 
cercana a cero, significa que los valores de x se encuentran muy cerca y alrededor del valor de  . 
 
3. Eficiencia: Se dice que el estimador del parámetro es eficiente cuando tiene la menor de las varianzas entre todos los posibles 
estimadores. 
 
4. Suficiencia: Se dice que el estimador es suficiente si genera tanta o más información acerca del parámetro de la que podría 
proporcionar otro estimador cuando se utiliza la misma muestra. 
 
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Distribución muestral de la media, normal y “t de Student” 
 
En general, existen tres tipos de información que se desea conocer sobre una distribución: 
 
 ¿Dónde está el centro? 
 ¿Qué tanto varía? 
 ¿Cómo está repartida? 
 
Por supuesto, querríamos conocer esta misma información respecto a una distribución muestral, como la distribución muestral de x . Con 
el siguiente ejemplo, se muestra la manera en que se procede para obtener la información y dar respuesta a las preguntas previas. 
 
Ejemplo 1. Considere que en la siguiente tabla se representa a toda una población, que consiste en el número de asaltos que la sucursal 
de cierta empresa tiene en una hora determinada del día: 
 
Sucursal Número de asaltos 
Calle Real 2 
Puente grande 3 
Plaza 6 
El centro 8 
Niño perdido 9 
 
A continuación: 
 
a) Haz los cálculos pertinentes para demostrar que: 
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60.5 , 440.7
2  y 728.2 
 
b) Haz una lista de todas las posibles muestras de tamaño 2 que se pueden generar de dicha población, considerando que se hace un 
muestreo con remplazo (son 25 en total). 
 
Núm. de 
pizzas 
2 3 6 8 9 
2 
3 
6 
8 
9 
 
c) Determina la media de cada una de las muestras y verifica la obtención de los valores de la tabla que se muestra a continuación. 
Con los datos de la tabla del inciso b), completa la distribución de medias muestrales: 
 
__
x 2 2.5 3 4 4.5 5 5.5 6 7 7.5 8 8.5 9 







__
xXP 25
1 
 
25
1 
 
25
4 
 
25
2 
 
25
2 
 
 
d) Haz los cálculos pertinentes para demostrar que la media de la distribución de medias muestrales es: 
 
60.5__ 
x
 
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e) Haz los cálculos pertinentes para demostrar que la varianza y la desviación estándar de la distribución de medias muestrales son, 
respectivamente: 
720.32 x y 923.1x 
f) Grafica las distribuciones de probabilidad de los incisos b) y d) y analiza las gráficas usando los valores de las medias y 
desviaciones estándar para cada distribución. 
 
A continuación se hará un tratamiento común que consiste en agrupar las medias en intervalos; recuérdese que existen distintos criterios 
para determinar el número k de intervalos. Si se usa el criterio 
2
25
2
2 
nk , siendo k el menor número que cumple con la desigualdad, se 
concluye que 4k , es decir, se deben usar cuatro intervalos; sin embargo, también se puede determinar el número de intervalos haciendo 
25 nk . 
 
 
g) Para el presente ejercicio, se considera el que 5k . Realiza los cálculos necesarios y completa la tabla siguiente. 
 
Límites de clase Marca de clase 




 __
x Frecuencia de clase 
2.0 – 3.4 2.7 4 
3.4 – 4.8 4 
4.8 – 6.2 9 
6.2 – 7.6 4 
7.6 - 9.0 4 
 
h) Grafica el histograma para los datos del inciso g). 
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Al analizar los resultados obtenidos hasta ahora, es posible ver que: 
 
 La media de la población y la media de la distribución de medias muestraleses igual, es decir: 
__
x
 
. 
 La varianza de la población es el doble de varianza de la distribución de medias muestrales, es decir: 
x
22 2  . 
 El rango de la población es el mismo que el de la distribución de medias muestrales. 
 La población tenía una distribución de probabilidad uniforme, mientras que la distribución de medias muestrales parece ser una 
distribución normal. 
 
Tratar de generar una distribución de medias muestrales para muestras de tamaño 3 es un ejercicio que puede llevarse a cabo con un poco 
de paciencia y que lleva a casi las mismas conclusiones que las descritas anteriormente; el único cambio es que x22 3  , lo que da una 
pista sobre la relación existente entre la varianza de la población y la varianza de la distribución de medias muestrales. 
 
Otro ejercicio interesante, mucho menos costoso en tiempo y que se recomienda hacer, es construir la distribución de medias muestrales 
cuando el muestreo se realiza sin restitución. Si se consideran los casos 2n y 3n , en cada uno de ellos sólo hay 10 muestras, y las 
conclusiones son parecidas; éstas se enuncian a continuación: 
 
 La media de la población y la media de la distribución de medias muestrales es igual, es decir: 
__
x
 
. 
 La varianza de la población es n veces la varianza de la distribución de medias muestrales, es decir: 
__22
xn  . 
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 El rango de la población es el mismo que el de la distribución de medias muestrales. 
 La distribución de medias muestrales tiende a una distribución normal conforme aumenta el tamaño de la muestra. 
 
En resumen, la distribución de medias muestrales es normal con media  y varianza 
n
x
2
2 __   . Esto significa que es posible calcular la 
probabilidad de que un valor de x se encuentre en un rango de valores, para lo que se deberá estandarizar mediante 
n
x
z


 . 
Como puede apreciarse, a través de la información generada de una muestra, es posible caracterizar a toda una población, ya que la 
distribución de medias muestrales se comporta como una distribución normal. 
 
Sin embargo, todo el análisis se puede llevar a cabo porque se conoce a toda la población y consecuentemente, se conocen sus 
parámetros. Sin embargo, lo más frecuente es que no sea posible trabajar con todos los elementos de la población, porque ésta es muy 
grande, sino únicamente con una muestra (pequeña en comparación con el tamaño de la población). En este caso, la distribución de 
probabilidad que se usa es denominada t de Student. 
 
Las condiciones bajo las que se usa esta distribución son: 
 
 Población con distribución normal. Si esto no sucede, no es posible usar t de Student. 
 Varianza desconocida. Por tal motivo, se debe estimar mediante la varianza muestral. 
 
Las características de la distribución t de Student son (Nieves y Domínguez, 2010, p. 382): 
 
1. Tiene media igual a cero. 
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2. Están distribuidas simétricamente alrededor de su media. 
3. Hay una distribución diferente para cada grado de libertad. 
4. Tienen varianzas mayores que 1, pero, a medida que aumenta el número de grados de libertad, la varianza tiende a 1. 
5. En comparación con la distribución normal estándar, las curvas son más bajas en la media, pero sus colas son más altas. 
 
Para la distribución t de Student, la “estandarización” es: 
n
s
x
t

 . 
La t calculada de esta manera tiene una función de probabilidad t de Student con 1n grados de libertad. 
 
Ejemplo 2 
 
Una compañía fabricante de lámparas de seguridad industrial, asegura que éstas tienen una vida media útil de 60 meses y una desviación 
estándar de 6 meses. Para verificar la información, una empresa prueba una muestra aleatoria de 50 lámparas de seguridad industrial. 
 
a) ¿Qué tipo de distribución se puede usar para inferir sobre la media poblacional? Justificar. 
b) ¿Cuál es la estandarización pertinente? 
c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una muestra con una vida útil promedio de menos de 58 meses? 
Solución: 
a) Como el tamaño de muestra es grande  30n y la desviación estándar es conocida, se puede usar la distribución normal. 
b) La estandarización que se puede usar es 
n
xx
z
x
x



 


 . 
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c) Lo que se pide es 






 58
__
xP . Para determinar el valor de esta probabilidad, primero se debe estandarizar 58
__
x , es decir: 
35.2
50
6
2
50
6
6058




z
 
Al consultar en la tabla para la distribución normal: 
 
0094.035.2
__







xP 
 
Este resultado significa que la probabilidad es de 0.0094, o bien, que en el 0.94% de las ocasiones que se tome una muestra se tendrán lámparas 
que duren menos de 58 meses. Aunque debe aclararse que esto será así sólo si la información que proporciona el fabricante es cierta. 
 
 
Ejemplo 3 
 
Un fabricante de armas afirma que su producto tiene un contenido promedio de níquel de 1.83 gramos. Se toma una muestra aleatoria de 8 de 
estas armas y se determina que el contenido de níquel de cada uno de ellos es: 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1, 2.0 y 1.6 gramos. 
a) Calcular la media y la desviación estándar de la muestra. 
b) ¿Qué tipo de distribución se puede usar para inferir sobre la media poblacional? Justificar. 
c) ¿Cuál es la estandarización pertinente? 
d) Con esta información, y con una certeza del 95%, se quiere responder la pregunta: ¿la afirmación del fabricante es cierta? 
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Solución: 
a) Para determinar la media de la muestra. 
95.1
8
6102122291127102
1






 ........
n
x
x
n
i
i
 
Para determinar la desviación estándar de la muestra, primero se calcula la varianza: 
       
       
0.0429
7
95.16.195.10.295.11.295.12.2
95.19.195.11.295.17.195.102
1
2222
2222
1
2
__
2















 
.
n
xx
s
n
i
i
 
Entonces, la desviación estándar es 2071.0s . 
 
b) Como no conocemos el valor de  , se estima a partir de s ; además, la muestra es pequeña por lo que se debe usar la 
distribución t de Student para inferir sobre la media poblacional. 
 
c) La estandarización que se usa para la distribución t de Student es 
n
s
x
t

 . 
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d) Al sustituir en la expresión anterior, y realizar los cálculos indicados, se tiene: 
1.64
8
207.0
83.195.1





n
s
x
t

 
 
Al buscar el valor de t en la distribución t de Student con 7 grados de libertad, se ve que t está contenida en la región del 90%. 
 
89.1
7,05.0

 t
89.1
7,05.0t64.1t
Probabilidad de 0.9
 
 
Lo anterior quiere decir que con una certeza del 90%, la información del fabricante es cierta; por lo tanto, la afirmación del fabricante no es cierta 
con el nivel de certeza que dijo tener. 
 
 
 
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Teorema del límite central 
 
Como ya se mencionó, hay tres cosas que es deseable conoceracerca de una distribución: 
 
 ¿Dónde está el centro? 
 ¿Qué tanto varía? 
 ¿Cómo está repartida? 
 
El siguiente enunciado, conocido como el teorema del límite central, proporciona información sobre los tres aspectos. 
 
Si se toman todas las muestras posibles, de tamaño n, sin reemplazamiento, de una población finita de tamaño N, con media µ y desviación 
estándar σ, entonces la distribución de las medias muestrales: 
 
 Será de tipo normal cuando la población de la que proceden las muestras es de tipo normal; en caso contrario, se aproximará a una 
normal para valores grandes de n  30n . 
 Tendrá media  __
x
. 
 Tendrá desviación estándar 
n
x

  o 
1


N
nN
n
x

 , respectivamente. 
El término 
1

N
nN
 es conocido como factor de corrección por población finita y puede omitirse cuando Nn 05.0 , es decir, 
cuando el tamaño de la muestra es menos del 5% del tamaño de la población. 
 
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Intervalo de confianza para la media 
 
Si para una población normal se quiere conocer la probabilidad de que un valor esté contenido entre la media y una desviación estándar 
usando la gráfica para la distribución normal, fácilmente puede verse que la región en la que debería estar el valor es la parte central y se 
puede tener una idea del valor esperado: 
Por otra parte, y sabiendo que la gráfica es simétrica, la probabilidad se puede escribir: 
 
     
   
   012102
1001



zPzP
zPzP
xPxPxP 
 
 
Al buscar en la tabla correspondiente, se concluye: 
 
   
6826.0
3413.02

  xP
 
 
De manera similar, se puede demostrar que: 
 
  %44.9522   xP 
  %74.9933   xP 

 
 2
 3 
 2
 3
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Sin embargo, en muchas ocasiones lo que se desea conocer es la probabilidad de que la media poblacional esté contenida en un cierto 
rango de valores, si se conoce el valor de la media de una muestra. 
 
A continuación se muestra cómo determinar un intervalo para el cual existe una probabilidad conocida de que la media poblacional esté 
contenida en dicho intervalo. 
 
Ejemplo 4 
 
Se desea saber entre qué valores puede estar la media de la población delictiva con una probabilidad del 0.95. 
 
Solución: Se expresa la probabilidad dada en términos del intervalo donde puede estar contenido el valor normalizado y se despeja  : 
 
95.096.196.1
95.096.196.1
95.096.196.1
__
__























n
x
n
P
n
x
P
zP




 
95.096.196.1
95.096.196.1
__
__
















n
x
n
P
n
x
n
P






 
 
De donde, finalmente, se obtiene que: 
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95.096.196.1
____








n
x
n
xP


 . 
 
Esto quiere decir que la media de la población se encuentra contenida en el rango dado por 
n
x
n
x



96.196.1
____
 , 
que también puede ser expresado como un intervalo 






n
x
n
x

96.1,96.1
____
; a este intervalo se le denomina intervalo de 
confianza para una probabilidad de 0.95. 
 
El resultado encontrado significa que para una población delictiva el intervalo de confianza depende de la media de la muestra, 
sin embargo, aunque cada muestra que se tome proporciona un intervalo diferente, esta metodología garantiza que la media de 
la población delictiva está contenida en el 95% de ellos. 
 
La siguiente tabla de valores permite determinar el valor correspondiente de z para un intervalo de confianza dado. 
 
Nivel de 
confianza 
99.7 99.0 98.0 96.0 95.5 95.0 90.0 80.0 68.3 
z 3.00 2.58 2.33 2.05 2.00 1.96 1.65 1.28 1.00 
 
Cuando se está considerando la distribución muestral de medias para estimar  , el intervalo de confianza para la media poblacional se 
encuentra con la expresión dada a continuación, siendo z el valor correspondiente al nivel de confianza deseado: 
n
zx
n
zx




____
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 2. Estadística inferencial para una población 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 21 
 
La “fórmula” significa que, conociendo 
__
x y  , puede encontrarse un intervalo que contenga a  con una confianza dada. Otras formas de 
expresar el intervalo de confianza: 
 
xx
zxzx   , y 






n
zx
n
zx

, 
 
 
Estimación puntual y por intervalo de la proporción 
 
Frecuentemente, la información que se obtiene de una muestra es solamente un sí o un no. Por ejemplo: 
 
 Una encuesta reveló que el 80% de las mujeres jóvenes fueron asaltadas en tiendas de autoservicio. 
 Un estudio indicó que el 60% de los Policías de género masculino de entre 28 y 50 años creen que los dos cónyuges deben 
compartir los gastos del hogar. 
 
Estos ejemplos muestran el significado de proporción: “fracción, razón o porcentaje que indica la parte de la muestra de la población que 
posee un rasgo de interés particular” (Lind, Marchal y Wathen, 2008, p. 310). 
El valor de la proporción se determina mediante 
n
x
p 
__
, siendo x el número de éxitos y n el número de elementos de la muestra; este 
valor se usa como un estimador de la proporción de éxitos en la población de estudio. 
 
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Debido a la forma de encontrar la proporción, es natural pensar en una distribución binomial como el modelo para las proporciones, siempre 
y cuando el tamaño de la muestra sea pequeño  30n ya que en caso contrario, resulta mucho mejor utilizar la aproximación normal 
a la binomial. 
 
Por lo anterior, se utiliza la distribución normal para calcular la estimación de la proporción por intervalo; que equivale a encontrar el 
intervalo de confianza para p poblacional. 
 
 
Estimador puntual y sus propiedades 
 
Se sabe que 
n
x
p 
__
 y que la variable x tiene un modelo de probabilidad binomial, cuya media es np y varianza npq , por tanto, 
p
n
np
p
__ . 
 
Lo anterior quiere decir que la media de la distribución muestral de proporciones es la probabilidad de éxito  p . 
 
En el caso de la varianza se tiene que 
2
2
n
npq
 . 
 
 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
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División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 23 
Distribución muestral de la proporción 
 
Considérese una población en la que los elementos son o éxitos o fracasos, en la que la probabilidad de éxito es p , siendo pq 1 la 
probabilidad de fracaso. 
 
Si se obtienen todas las posibles muestras de tamaño n y para cada muestra se determina la proporción 
__
p de éxito y con esta 
información se construye una distribución de probabilidad; ésta tiene las siguientes propiedades: 
 
 La media es p
p
__ . 
 La desviación estándar es 
n
qp
p
__ . 
La distribución construida se denomina distribución muestral de proporciones y tiene las siguientes características: 
 
1. Proviene de una población con distribución binomial: 
a. Los datos de la muestra son el resultado de contar. 
b. Únicamente hay dos resultados posibles: éxito o fracaso. 
c. La probabilidad de éxito es constante de unevento a otro. 
d. Los eventos son independientes. 
2. Si se cumple que 5pn y 5qn se puede recurrir a la distribución normal para aproximar a la binomial y la estandarización 
es 
n
qp
pp
z


__
. 
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Cálculo de un intervalo de confianza para la proporción 
 
En este caso, la mejor manera de explicar cómo se determina un intervalo de confianza para las proporciones es la siguiente: 
 
Ejemplo 7 
 
Se desea estimar el porcentaje de varones adultos de cierta ciudad que cometen al menos un delito al día. Supóngase que se toma una muestra 
aleatoria de 300 individuos y que, de ellos, 36 individuos cometen delitos. 
 
Responder las siguientes tres preguntas, que también fueron respondidas para  . 
 
a) ¿Cuál es la exactitud de la proporción de la muestra como estimación de p ? 
b) ¿Qué tamaño de muestra se necesitaría si deseamos una probabilidad de 0.95 de que el error de la estimación no exceda a 0.02 
unidades? 
c) ¿Cuál es el intervalo de confianza a 95% para p ? 
Solución: 
 
Por principio debemos resaltar el hecho de que el tamaño de muestra es lo bastante grande para justificar el uso de los métodos de la curva normal. 
 
a) Como la proporción de la muestra 
n
x
p 
__
 tiene una distribución normal entonces tiene: 
 media p 
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División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 25 
 y desviación estándar 
300
pq
n
pq
 
Se considera una probabilidad de 0.95 de que 
__
p se encuentre a una distancia menor de 1.96 desviaciones estándar de p , es decir, el error de 
estimación debe ser menor que 
300
96.1
pq ; por otra parte, como p es desconocida, debe estimarse haciendo: 
12.0
300
36
__


n
x
p
 
 
Por tanto, el error de estimación es aproximadamente: 
 
037.0
300
)88.0)(12.0(
96.1  
Es decir, con una probabilidad de 0.95, la estimación de la muestra 
__
p no difiere de p por más de 0.037 unidades, lo que da una buena idea de la 
exactitud del valor de muestra 0.12 como estimación de p . 
 
b) Para determinar el tamaño de la muestra necesaria, para obtener una precisión dada en la estimación de p , se selecciona n de 
manera que el número apropiado de desviaciones estándar de 
__
p sea igual al error máximo deseado en la estimación. 
 
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Sea e el error de estimación máximo seleccionado y sea z el valor correspondiente a la probabilidad deseada para no exceder este 
error máximo. Entonces n debe satisfacer la ecuación e
n
pq
z  , de donde 
2
2
e
pqz
n  . 
 
Para el problema que estamos resolviendo, sabemos que p no se conoce, de manera que debe estimarse según el valor de la 
muestra, es decir, usando 12.0
__
p y para 02.0e y 96.1z tenemos: 
    
 
1014
02.0
88.012.096.1
2
2

n 
Por tanto, se necesitará una muestra adicional de 714 para obtener la precisión deseada de la estimación. 
 
c) El intervalo de confianza del 95% para p se calcula usando el mismo razonamiento que para  , sólo que 
__
p toma el lugar de 
__
x , 
con lo que se tiene: 
     
157.0083.0
300
88.012.0
96.112.0
300
88.012.0
96.112.0
96.196.1
____
__
____
__



p
p
n
qp
pp
n
qp
p
 
 
Por tanto, un intervalo de confianza al 95% para p está dado por 157.0083.0  p . 
 
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Es necesario aclarar que la solución a cada uno de estos incisos está basada en métodos de muestras grandes; afortunadamente los métodos son 
bastante buenos también para muestras pequeñas, siempre que 5np para 5.0p y 5nq para 5.0p . 
 
Prueba de hipótesis 
 
Una hipótesis estadística es una aseveración o conjetura respecto a una o más poblaciones; por lo anterior, es muy importante tener claro 
que una hipótesis estadística se formula sobre la población o distribución que se está estudiando, no sobre la muestra. 
 
Para realizar una prueba de hipótesis es necesario establecer dos hipótesis estadísticas, conocidas como hipótesis nula e hipótesis 
alternativa, respectivamente. 
 
La hipótesis nula 
0H siempre se usa para establecer que el parámetro de interés, que es desconocido, es igual a un valor dado. Por 
ejemplo, si no se conoce la media poblacional µ, la hipótesis nula es: 00 :  H . 
 
La hipótesis alternativa 
1H
 establece que el parámetro es menor que (<), mayor que (>), o diferente de (≠) el valor especificado. 
 
Ejemplo 8 
 
Se sabe que la tasa de incineración de un residuo hospitalario es una variable aleatoria que puede describirse mediante una distribución de 
probabilidad. 
 
Se quiere saber si la media de la taza de incineración (parámetro) es distinta de 
s
cm
50 . 
Expresar la hipótesis nula y la hipótesis alternativa: 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
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Solución: 
 
Como en la hipótesis nula 0H se establece que el parámetro desconocido es igual a un valor especificado que sí se conoce, se tiene que la 
hipótesis nula es: 
s
cm
H 50:0  
En el caso de la hipótesis alternativa 1H , ésta es para establecer que el parámetro es diferente del valor especificado para 0

, por lo que la 
hipótesis alternativa o hipótesis de investigación es: 
s
cm
H 50:1  
 
Conceptos generales de la metodología 
 
Al procedimiento mediante el cual se toma la decisión sobre una hipótesis en particular, se le denomina prueba de hipótesis. 
 
Los procedimientos para realizar una prueba de hipótesis dependen de la información contenida en una muestra aleatoria de la población 
de interés; si la información es consistente con la hipótesis, se concluye que ésta es verdadera, y en caso contrario que es falsa. 
 
La hipótesis nula 0H debe formularse de manera que al rechazarla se apoye la conclusión de la investigación; mientras que la hipótesis de 
investigación debe expresarse como la hipótesis alternativa 
1H . 
 
Ejemplo 9 
 
Se seleccionará una muestra aleatoria de toletes policiales producidos con un nuevo método y se medirá el contenido de plástico. Se quiere saber 
si el contenido medio de plástico por tolete policial es menor que 500 gramos. 
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Solución: 
 
Lo primero que se debe identificar es el parámetro de interés, que en este caso es la media poblacional. En segundo lugar, debe establecerse 
claramente lo que se quiere probar; según el enunciado, se quiere probar que la media sea menor o igual a 500 gramos, es decir, que: g500 
Por tanto, la formulación del juego de hipótesis es: 
gH 500:0  
gH 500:1  
 
 
Al tomar decisiones, se pueden cometer dos tipos de errores, cuyos nombres y descripciones son: 
 
 Error tipo I. Se refiere al hecho de rechazar la hipótesis nula 
0H cuando ésta es verdadera. 
 Error tipo II. Hace referencia al hecho de no rechazar la hipótesis nula 0H cuando ésta es falsa. 
 
Podemos resumirlos en el siguiente cuadro: 
 
Decisión 0H es verdadera 0H es falsa 
No rechazar 0H No error Error tipo II 
Rechazar 0H Error tipo I No error 
 
Puesto que una decisión está basada en variables aleatorias, es posible asignarleprobabilidades a los errores, y éstos son representados 
como: 
 
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 α = P (error tipo I) 
= P (rechazar 𝐻0 | 𝐻0 es verdadera) 
α también recibe por nombre nivel de significancia. 
 β = P( error tipo II) 
= P (no rechazar 𝐻0 | 𝐻0 es falsa) 
 
A continuación se describe el procedimiento general para realizar una prueba de hipótesis: 
 
1. Leer cuidadosamente el problema para identificar el parámetro de interés. 
2. Estructurar la hipótesis nula 0H , sin olvidar que contiene a la igualdad. 
3. Especificar la hipótesis alternativa 
1H , tomando en cuenta que se trata de la hipótesis de investigación, esto quiere decir que se 
espera rechazar 0H y, en consecuencia, aceptar 1H . 
4. Escoger un nivel de significancia para α (controla la probabilidad de cometer el error tipo I). 
5. Escoger una estadística de prueba apropiada. 
6. Tomar una muestra aleatoria del parámetro. 
7. Con los datos, calcular el estadístico de prueba. 
8. Decidir si 0H debe ser o no rechazada y reportar los resultados en el contexto del problema. 
 
Prueba de hipótesis de la media 
 
Debido a lo descrito anteriormente, las pruebas de hipótesis para un parámetro poblacional asumen una de estas tres formas: 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
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 





01
00
:
:


H
H Ésta es denominada prueba de cola derecha. 
 





01
00
:
:


H
H Ésta es denominada prueba de cola izquierda. 
 





01
00
:
:


H
H Ésta es denominada prueba de dos colas. 
 
A continuación se describirá cómo se realiza la prueba de hipótesis para la media poblacional, y luego se resolverá un ejemplo, en los 
casos en los que: 
 𝜎 es conocida. 
 𝜎 es desconocida, el tamaño de la muestra es pequeño y la población es normal. 
 
Prueba de hipótesis para la media poblacional con 𝛔 conocida 
 
Los supuestos para poder realizar la prueba de hipótesis son: 
 
 La población o distribución de interés tiene media µ y varianza 𝜎2. 
 La población se distribuye normalmente y es aplicable el teorema de límite central. 
 El estadístico de prueba es 
n
x
z

0
0

 . 
A continuación se analizan los tres casos presentados al inicio de este apartado, aunque no en el mismo orden. 
1) El primer juego de hipótesis es 





01
00
:
:


H
H 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 2. Estadística inferencial para una población 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 32 
Si la hipótesis nula es verdadera, el 0z que se calcula caerá en la región de no rechazo de 0H , en caso contrario, 0z caerá en la región de 
rechazo, lo que significa que la muestra produjo un valor inusual del estadístico de prueba; lo anterior quiere decir que la información 
contenida en la muestra no apoya el supuesto de que 0H es verdadera. 
 
La regla de decisión se define como: 
 Se debe rechazar 0H si 
2
0 zz  o 
2
0 zz  
 No se debe rechazar 0H si 
2
0
2
 zzz  
2
z
2
z
Región de rechazo Región de rechazo
Región de no 
rechazo de Ho
0
2

2

1
 
2) El segundo juego de hipótesis es: 





01
00
:
:


H
H 
 
La regla de decisión se define como: 
 Se debe rechazar 0
H
 si 
zz 0 . 
 No se debe rechazar 0H si zz 0 . 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
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División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 33 
z
Región de rechazo
Región de no 
rechazo de Ho
0

1
 
3) El tercer juego de hipótesis es: 





01
00
:
:


H
H 
La regla de decisión se define como: 
 Se debe rechazar 0
H
 si 
zz 0 . 
 No se debe rechazar 0H si zz 0 . 
z
Región de rechazo
Región de no 
rechazo de Ho
0

1
 
 
Ejemplo 10 
 
Una muestra aleatoria de 100 muertes de elementos de seguridad registradas en México durante el año pasado, muestra una vida 
promedio de 71.8 años. Suponiendo una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media de los 
elementos de seguridad hoy en día es diferente que hace 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05. 
 
 
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Solución: 
 
Siguiendo los pasos descritos anteriormente: 
 
 Parámetro Media poblacional (µ) 
 Hipótesis nula años 70:0 H 
 Hipótesis alternativa años 70:1 H 
 Nivel de significancia 05.0 
Probabilidad del 0.95 
95% de confianza 
 Estadística 0z 
 Datos años 8.71
__
x , años 9.8 
 Estandarización 02.2
100
9.8
708.71
0 

z 
Valor crítico 96.1
2
z 
 Decisión Rechazar H0 dado que 
2
0 zz  
Conclusión La vida media hoy día es diferente que hace 70 años. 
 
96.1
2
 z 96.1
2
z
Región de rechazo Región de rechazo
Región de no 
rechazo de Ho
1
02.20 z
 
 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 2. Estadística inferencial para una población 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 35 
Ejemplo 11 
 
Del ejemplo anterior se vio que la media de hace 70 años es distinta, ahora se tiene interés en saber si la vida media de los elementos 
de seguridad, hoy en día, es mayor que 70 años. Utilice un nivel de significancia de 0.05. 
 
Solución: Siguiendo los pasos descritos con anterioridad tenemos: 
 
1) Parámetro Media poblacional (µ) 
2) Hipótesis nula años 70:0 H 
3) Hipótesis alternativa años 70:1 H 
4) Nivel de significancia 05.0 
Probabilidad del 0.95 
95% de confianza 
5) Estadística 0z 
6) Datos años 8.71
__
x , años 9.8 
7) Estandarización 02.2
100
9.8
708.71
0 

z 
Valor crítico 96.1z 
 
8) Decisión Rechazar 𝐻0 y aceptar 𝐻1 
dado que zz 0 
Conclusión La vida media de los elementos de seguridad hoy día es mayor 
a 70 años. 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 2. Estadística inferencial para una población 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 36 
645.1z
Región de rechazo
Región de no 
rechazo de Ho

02.20 z
 
 
 
Prueba de hipótesis para la media poblacional con 𝛔 no conocida 
 
Los supuestos para poder realizar la prueba de hipótesis son: 
 
 El tamaño de muestra es pequeño. 
 La media  y varianza 2 son desconocidas. 
 Tenemos una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal de la cual se determinan 
__
x y 2s . 
 El estadístico de prueba es 
n
s
x
t 00

 , es decir, una distribución t de Student con n-1 grados de libertad. 
A continuación se analizan los tres casos presentados al inicio de este apartado, aunque no en el mismo orden. 
 
1) El primer juego de hipótesis es 





01
00
:
:


H
H 
 
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 2. Estadística inferencial para una población 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 37 
La regla de decisión se define como: 
 Se debe rechazar 0H si 
2
0 tt  o 
2
0 tt  . 
 No se debe rechazar 0H si 
2
0
2
 ttt  . 
 
2
t
2
t
Región de rechazo Región de rechazo
Región de no 
rechazo de Ho
0
2

2

1
 
 
2) El segundo juego de hipótesis es: 





01
00
:
:


H
H 
La regla de decisión se define como: 
 Se debe rechazar 0H si 1,0  ntt  . 
 No se deberechazar 0H si 1,0  ntt  . 
t
Región de rechazo
Región de no 
rechazo de Ho

1
 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
Unidad 2. Estadística inferencial para una población 
División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 38 
3) El tercer juego de hipótesis es: 





01
00
:
:


H
H 
La regla de decisión se define como: 
 Se debe rechazar 0H si 1,0  ntt  . 
 No se debe rechazar 0H si 1,0  ntt  . 
t
Región de rechazo
Región de no 
rechazo de Ho

1
 
 
Ejemplo 12 
 
El Centro Preventivo y de Reinserción Social Nezahualcóyotl publica cifras del número anual de kilowatt-hora (kWh) que gastan varios equipos de 
seguridad. Se afirma que una cámara gasta un promedio de 46 kWh al año. Si una muestra aleatoria de 12 celdas indica que las cámaras gastan 
un promedio de 42 kWh al año con una desviación estándar de 11.9 kWh. ¿La información de la muestra sugiere, a un nivel de significancia de 
0.05, que las cámaras gastan en promedio menos de 46 kWh anualmente? Suponga que el gasto de kWh es normal. 
 
Solución: 
 
Siguiendo los pasos descritos anteriormente: 
 
1) Parámetro Media poblacional (µ) 
2) Hipótesis nula kWhH 46:0  
3) Hipótesis alternativa kWhH 46:1  
4) Nivel de significancia 05.0 
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División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 39 
5) Estadística 0t 
6) Datos kWhx 42
__
 , kWhs 9.11 
7) Estandarización 16.1
12
9.11
4642
0 

t , 
con 11 grados de libertad 
Valor crítico 796.111,05.0 t 
8) Decisión No rechazar 𝐻0 pues 1,0  ntt  
Conclusión La información contenida en la 
muestra no permite afirmar que el gasto promedio de kWh es menor que 46. 
 
Relación entre una prueba de hipótesis de la media y un intervalo de confianza 
 
La prueba de hipótesis para la inferencia estadística está estrechamente relacionada con el enfoque de intervalo de confianza porque la 
estimación del intervalo de confianza incluye el cálculo de límites para los que es “razonable” que el parámetro en cuestión se encuentre 
dentro de ellos. 
 
Para el caso de que una media poblacional µ con 𝜎2 conocida, la prueba de hipótesis y la estimación del intervalo de confianza se basan en 
la variable aleatoria estandarizada 
n
x
z


 . 
La prueba de 00 :  H contra 01 :  H a un nivel de confianza de  %1100  equivale a calcular un intervalo de confianza de 
 %1100  sobre µ y rechazar 𝐻0 si 𝜇0 no está dentro del intervalo calculado y de no rechazarla si 𝜇0 está dentro del intervalo de 
confianza. 
Estadística para la investigación en seguridad pública 
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División de Ciencias Sociales y Administrativas / Seguridad Pública 40 
 
Con un valor observado �̅�, no rechazar 𝐻0 con una confianza  %1100  implica: 
n
zx
n
zx
z
n
x
z
zzz








2
__
0
2
__
2
0
__
2
2
0
2





 
 
Así, regresando al ejemplo 10, acerca de las muertes de elementos de seguridad registradas en México, el intervalo de confianza del 95% 
se determina haciendo: 
 
5444.730556.70
100
9.8
96.18.71
100
9.8
96.18.71
0
0




 
 
Como 𝜇0 = 70 no está en el intervalo, se rechaza 𝐻0. Con esto, se llega a la conclusión de que la vida media de los elementos de seguridad 
hoy día es diferente que 70 años. 
 
Prueba de hipótesis de la proporción 
 
Las pruebas de hipótesis para la proporción asumen una de las siguientes formas: 
 




01
00
:
:
ppH
ppH
 
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 




01
00
:
:
ppH
ppH
 
 




01
00
:
:
ppH
ppH
 
 
Las dos primeras son denominadas pruebas de una cola y la tercera prueba de dos colas. En este caso, el estadístico a utilizar es: 
 
n
pp
pp
z
00
0
0
1

 
Ejemplo 13 
 
Un informe reciente de la industria de seguros indicó que el 40% de las personas víctimas de asalto había sido víctima de por lo menos un 
asalto los pasados cinco años. Un grupo de asesoría decidió investigar dicha afirmación, pues creía que la información era muy grande. Una 
muestra de 200 asaltos de este año mostró que 74 personas también fueron víctimas los pasados cinco años, utilizando un nivel de 
confianza del 99%. 
 
Solución: 
 
Siguiendo los pasos descritos para la prueba de hipótesis: 
 
1) Parámetro Proporción poblacional (p) 
2) Hipótesis nula 4.0:0 pH 
3) Hipótesis alternativa 4.0:1 pH 
4) Nivel de significancia 01.0 
5) Estadística de prueba 0z 
6) Datos 37.0p , 63.0q , 200n 
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7) Estandarización 
 
87.0
200
40.0140.0
40.037.0
0 


z 
Valor crítico 33.2z 
8) Decisión No rechazar 0H porque zz 0 
Conclusión La información contenida en la muestra 
no permite afirmar que la proporción es menor que 0.4. 
 
Ejemplo 14 
 
Se considera que una medicina comúnmente prescrita para aliviar deseos de matar de una persona es efectiva en el 60% de 
los casos. Resultados experimentales con un nuevo medicamento muestran que 70 de 100 adultos que padecen de estos 
deseos tuvieron alivio al tomar el medicamento. ¿La evidencia es suficiente para concluir que el nuevo medicamento es más 
eficaz que el prescrito comúnmente? Utilizar un nivel de confianza de 95%. 
 
Solución: 
 
Siguiendo los pasos descritos para la prueba de hipótesis: 
 
1) Parámetro Proporción poblacional (p) 
2) Hipótesis nula 6.0:0 pH 
3) Hipótesis alternativa 6.0:1 pH 
4) Nivel de significancia 05.0 
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5) Estadística de prueba 0z 
6) Datos 7.0p , 3.0q , 100n 
7) Estandarización 
 
04.2
100
60.0160.0
6.07.0
0 


z 
Valor crítico 65.1z 
8) Decisión Rechazar 0H porque zz 0 y 
aceptar 
1H
 
Conclusión Se puede afirmar que la nueva medicina es más eficaz a la que se prescribe 
actualmente. 
 
 
Relación entre una prueba de hipótesis de la proporción y un intervalo de confianza 
 
Igual que la prueba de hipótesis de la media se relaciona con su intervalo de confianza, la prueba de hipótesis de la proporción también se 
relaciona con su respectivo intervalo de confianza. 
 
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En el caso de una proporción poblacional p , la estructura de la prueba de hipótesis y la de la estimación del intervalo se basan en la 
variable aleatoria 
 
n
pp
pp
z
00
0
__
0
1

 , mientras que la prueba de 00
: ppH  contra 01 : ppH  a un nivel de confianza  %1100  es 
equivalente a calcular un intervalo de confianza de  %1100  sobre p . 
 
Por tanto, se rechaza 0H si 0p no está dentro del intervalo de confianza, y si 0p está dentro del intervalo de confianza, la hipótesis no se 
rechaza. 
 
Se sabe que con un valor observado 
__
p , no rechazar 0H con una confianza  %1100  implica: 
2
0
2
 zzz  
 
Es decir, 
 
|
1 200
0
__
2
 z
n
pp
pp
z 


 
 
De donde se obtiene: 
   
n
pp
zpp
n
pp
zp 00
2
__
0
00
2
__ 11 


  
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Así, retomando el ejemplo 14, tenemos que el intervalo de confianza del 95% se desarrolla de la siguiente manera: 
   
789.06101.0
089.07.0089.07.0
100
7.017.0
96.17.0
100
7.017.0
96.17.0
0
0
0






p
p
p
 
 
Como 6.00 p cae fuera del intervalo de confianza, entonces rechazamos 0H con lo cual llegamos a la misma conclusión acerca de la 
mayor eficacia del nuevo medicamento. 
 
Cierre 
 
En la primera parte de la unidad revisaste cómo se construye la metodología para hacer inferencia sobre una población, cómo se genera 
una distribución muestral de medias, la manera de determinar los estadísticos que la caracterizan y la forma en que éstos se relacionan con 
sus parámetros correspondientes. También se conoció una nueva distribución de probabilidad para muestras pequeñas, el significado de 
estimador puntual y por intervalo, así como la metodología para encontrarlos. 
 
En la segunda parte de esta unidad se usaron los contenidos previos para el cálculo de los estimadores puntual y por intervalo de la 
proporción. Se revisó, además, la metodología para dar certeza a las hipótesis de investigación y se usaron al realizar pruebas de hipótesis 
para la media y la proporción. 
 
Con todo lo anterior se presentaron los conocimientos y herramientas necesarios para comparar dos muestras poblacionales 
independientes para interpretar información que oriente en la toma de decisiones a través de técnicas de estadística inferencial. 
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Fuentes de consulta 
 
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 (s. a.). (s. f.). Test de hipótesis. Recuperado de http://goo.gl/bCxhbM 
 Álvarez, G. (s. f.). Prueba de hipótesis. Recuperado de http://goo.gl/t7x7hw 
 Hoel, P. G. (1991). Estadística elemental (4ª ed.). México: CECSA. 
 Kazmier, L. y Díaz, A. (2006). Estadística aplicada a la administración y a la economía (4ª ed.). España: McGraw-Hill. 
 Lind, D. A., Marchal, W. G. y Whaten, S. A. (2008). Estadística aplicada a los negocios y la economía (13ª ed.). México: McGraw-
Hill. 
 Lind, D. A., Mason, R. D. y Marchal, W. G. (2001). Estadística para administración y economía (3ª ed.). México: McGraw-Hill. 
 Mayes, A. C. y Mayes, D. G. (1980). Fundamentos de estadística para economía. México: Limusa. 
 Naiman, A., Rosenfeld, R. y Zirkel, G. (1987). Introducción a la estadística (3ª ed.). México: McGraw-Hill. 
 Nieves, A. y Domínguez, F. C. (2010). Probabilidad y estadística para ingeniería. México: McGraw-Hill. 
 Pagano, R. R. (2011). Estadística para las ciencias del comportamiento (9ª ed.). México: Cengage Learning. 
 Ross, S. M. (2008). Introducción a la estadística. España: Reverté. 
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