Formulas aplicadas en probabilidad

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Resumen de fórmulas de probabilidad
Fórmulas básicas de probabilidad (Capítulo 1)
Definición de Laplace (Sección 1.2)
resultadosdetotalcantidad
Aenconenidosresultadosdecantidad
AP =)(
Definición empírica (Sección 1.2)
n
)A(fr
)A(fr)A(P abs
rel
=≈
Axiomas y consecuencias (Sección 1.2)
• P(A) ≥ 0
• P(E) = 1
• A ∩ B = ∅ <=> P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• P(A) ≤ 1
• P(A) + P( A ) = 1
• P(∅) = 0
• A ⊂ B => P(A) ≤ P(B)
Suma de probabilidades (Sección 1.2)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩
B ∩ C)
Probabilidad condicional (Sección 1.3)
• )(
)()/(
)(
)(
)/(
BP
APABP
BP
BAP
BAP =
∩=
Multiplicación de probabilidades (Sección 1.3)
• 
( ) ( )
BA
CPA
BP)A(P)CBA(P ∩=∩∩
• 
∏
=
−
==




=
n
1i
1i
1j
ji
n
1i
i
AAP)A(P II
Independencia de sucesos (Sección 1.4)
• A, B indep. <=> P(A/B) = P(A) <=> P(B/A) = P(B) <=> P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
• A, B indep. <=> A, BC indep. <=> AC, B indep. <=> AC, BC indep.
Probabilidad total (Sección 1.5)
• 
∑∑
==
=∩=
n
i
ii
n
i
i pPpAPpAPAP
11
)()./()()(
Regla de Bayes (Sección 1.6)
• 
∑
=
=
n
i
ii
ii
i
pPpAP
pPpAP
ApP
1
)()/(
)()/(
)/(
Variables aleatorias unidimensionales (Capítulo 2)
Funciones de densidad y distribución y probabilidades (Sección 2.3)
• 
∑
−∞=
==≤
0
)()()(
00
x
x
XX
xPxFxXP
 (X discreta)
• 
∫
∞−
==<=≤
0
)()()()(
000
x
XX
dxxfxFxXPxXP
 (X continua)
•
)()( xF
dx
d
xf
XX
=
Cambio de variables continuo (Sección 2.4)
d x
d y
xf
yf XY
)(
)( =
Esperanza (Sección 2.5)
• 
∫
+∞
∞−
= dxxfxXE
X
)()(
• 
∫
+∞
∞−
= dxxfxxE
X
)()())(( ϕϕ
• Para X discreta, reemplazar integrales por sumatorias y fX por PX.
• 
ℜ∈+=+=+ baconbXaEbEaXEbaXE ,)()()()(
Varianza (Sección 2.6)
• 
∫
∞
∞−
−=−== dxxfxXEXEXVar
XXX
)()()))((()( 222 µσ
• 
222 )()( XEXE
X
−=σ
• 
ℜ∈=+ baconabaX
X
,)( 222 σσ
Mezcla (Sección 2.9)
• fXMEZCLA = P(A1) fX1(x) + P(A2) fX2(x) + ... + P(An) fXn(x)
Variables aleatorias bidimensionales y n-dimensionales (Capítulo 3)
Marginación (Sección 3.3)
• 
∑+∞
−∞=
=
y
XYX
)y,x(P)x(P
 para variables discretas
• 
dyyxfxf
XYX ∫
+∞
∞−
= ),()(
 para variables continuas
Distribución condicional (Sección 3.4)
• 
)(
),(
),(
/ yP
yxP
yxP
Y
XY
YX
=
 para variables discretas
• 
)(
),(
),(
/ yf
yxf
yxf
Y
XY
YX
=
 para variables continuas
Independencia de variables aleatorias (Sección 3.5)
• X e Y indep. <=> fX/Y(x,y) = fX(x) <=> fY/X(x,y) = fY(y) <=> fXY(x,y) = fX(x) . fY(y)
• Para variables discretas es análogo
Esperanza condicional (Sección 3.6)
• 
∫
∞
∞−
== dxyxfxYXE
YXYX
),()/(
//
µ
• Para variables discretas es análogo
Cambio de variables (Sección 3.7 , 3.8)
• 
),(
),(
),(
),(
yx
vu
yxf
vuf
X Y
U V
∂
∂
=
• 
∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
= dxdyyxfyxyxE
XY
),(),()),(( ϕϕ
• E(X + Y) = E(X) + E(Y)
• 
∑∑
==
=



 n
i
ii
n
i
ii
XEaXaE
11
)(
• XYYXbYaX
abba σσσσ 222222 ++=+
•
YXXYYXXY
XYEdxdyyxfyxYX µµµµσ −=−−== ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
)(),())((),cov(
• YX
XY
σσ
σρ =
Máximos y mínimos (Sección 3.9)
Hipótesis sobre las
variables aleatorias X i:
Y = max{X1, X2, ..., Xn} Y = min{X1, X2, ..., Xn}
Las X i son independientes
e idénticamente distribuidas
[ ] )()()( 1 yfyFnyf
X
n
XY
−=
[ ]n
XY
yFyF )()( =
[ ] )()(1)( 1 yfyFnyf
X
n
XY
−−=
[ ]n
XY
yFyF )(11)( −−=
Las X i son independientes,
y cada una tiene su propia
distribución
[ ]
[ ] [ ])(...)(
)()(
1
yFyF
yFyF
XX
n
i
XiY
=
== ∏
=
[ ]
[ ] [ ])(1...)(11
)(11)(
1
1
yFyF
yFyF
XnX
n
i
XiY
−−−=
=−−= ∏
=
Las X i no son
independientes
∫ ∫ ∫
∞− ∞− ∞−
=
y y y
nXXX
Y
dxdxdxf
yF
n 12...
......
)(
21
∫ ∫ ∫
∞ ∞ ∞
−=
y y y
nXXX
Y
dxdxdxf
yF
n 12...
......
1)(
21
Distribuciones particulares (Capítulos 4 - 7)
Nombre Cap. Función de probabilidad / densidad Esperanza Varianza
Beta 7 ( )
( ) ( )




∀
<<−
ΓΓ
+Γ
=
−−
xotro
xxx
ba
ba
xf
ba
X
0
10)1(
)(
11
(***)
ba
a
+
)1()( 2 +++ baba
ba
Binomial 4




∀
≤≤−



=
−
xotro
nxpp
x
n
xP
xnx
X
0
0)1.(.
)(
n.p n.p.(1-p)
Chi-cuadrada 7 (*) ν 2ν
Exponencial
negativa
5



≤
>
=
−
00
0
)(
x
xe
xf
x
X
λλ 1 / λ 1 / λ2
F 7 (*) (*) (*)
Gamma (**) 5




≤
>
Γ=
−−
00
0
)(
)(
)(
1
x
x
k
ex
xf
xk
X
λλλ
(***)
k / λ k / λ2
Geométrica 4



∀
≥−
=
−
xotro
xpp
xP
x
X 0
1)1.(
)(
1 1 / p 1 / p2
Hipergeométrica 7








−
−
⋅



=
n
N
xn
kN
x
k
xP
X
)(
-- --
Multinomial 7 ∏
=
==
k
i i
i
x
p
nxXP
ix
1 !
!)(
-- --
Normal
(ver aparte)
6
ℜ∈∀=




 −−
x
e
xf
x
X σπ
σ
µ
2
)(
2
2
1 µ σ2
Pascal 4




∀
≥−



−
−
=
−
xotro
kxpp
k
x
xP
kxk
X
0
)1.(.
1
1
)(
k / p k / p2
Poisson 5




<
≥=
−
00
0
!)(
x
x
x
e
xP
x
X
µµ µ µ
t-Student 7 (*) 0
2−ν
ν
Uniforme 7




∀
≤≤
−=
xotro
bxa
abxf X
0
1
)( 2
ba +
12
)( 2ab −
(*) No resulta de utilidad
(**) Para calcular probabilidades de la gamma se puede usar:
• 
∫ ∑
−
=
=−=ox
k
i
X iYPdxxf
0
1
0
)(1)(
• 
∫ ∑∞+
−
=
==
ox
k
i
X iYPdxxf
1
0
)()(
donde X:Gamma(λ,k) e Y:Poisson(µ) con µ = λ . x0
(***) 
∫+∞ −−=Γ
0
1)( dxexk xk
Para k natural, vale Γ(k) = (k-1)!
Distribución normal (Sección 6.1)
• Estandarización: X:N(µ;σ) ∧ σ
µ−= XZ
 => Z:N(0,1)
• Valores tabulados: 




 −Φ=



 −==≤
σ
µ
σ
µ xx
FxFxXP
ZX
)()(
• Fractiles tabulados: Dada Z:N(0;1), zα = z tal que Φ(z) = P(Z ≤ z) = α
• Función lineal: X:N(µx ; σx) ∧ Y = aX+b => Y:N(a µx + b ; σx |a|) 
• Combinación lineal: Xi:N(µ i;σi) independientes ∧ 
∑
=
=
n
i
ii XZ
1
α
 =>








== ∑∑
==
n
i
iiz
n
i
iizNZ
1
22
1
;: σασµαµ
Teorema central del límite (Sección 6.2)
• n
X
Z σ
µ−=
 tiene una distribución aproximadamente normal estándar
• 
∑
=
=
n
i
i
XY
1 tiene una distribución aproximadamente
);( σµ nnN