Pruebas de hipótesis - Inferencia estadística

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Inferencia estadística
Pruebas de hipótesis
En la inferencia estadística clásica todos ellos se basan en distribuciones de muestreo, las cuales son
distribuciones de probabilidad de funciones de observaciones muestreales.
Por ejemplo, la media muestral
En prueba de hipótesis se sugieren una hipótesis sobre θ (por decir, θ=4) y se examina el grado de
evidencia de muestra a favor de la hipótesis, y sobre esta base se acepta o se rechaza la hipótesis.
En la práctica lo que se necesita saber es:
1. La forma de construir el estimador puntual g,
2. El estimador del intervalo (g1,g2)
3. Los procedimientos para probar las hipótesis.
y
es una función de las observaciones y su distribución de probabilidad se conoce como distribución de
muestreo
En inferencia estadística clásica, las propiedades de los estimadores se analizan en términos de las
propiedades de sus distribuciones de muestreo.
Inferencia estadística
Pruebas de hipótesis
• La estimación puntual
• La estimación por intervalos de confianza.
División de la estimación en áreas
• Pruebas de hipótesis sobre parámetros, para determinar si un parámetro de una distribución 
toma o no un determinado valor
• Pruebas de Bondad de Ajuste, para definir si un conjunto de datos se puede modelar mediante 
una determinada distribución.
División de las pruebas de hipótesis en áreas
Definición
Hipótesis es una aseveración de una población elaborado con el propósito de poner aprueba, para 
verificar si la afirmación es razonable se usan datos.
En el análisis estadístico se hace una aseveración, es decir, se plantea una hipótesis, después se 
hacen las pruebas para verificar la aseveración o para determinar que no es verdadera.
Prueba de hipótesis Una prueba o contraste de una hipótesis estadística es una regla o 
procedimiento que conduce a una decisión de aceptar o rechazar cierta hipótesis con base en los 
resultados de una muestra. Los procedimientos de prueba de hipótesis dependen del empleo de la 
información contenida en una muestra aleatoria de la población de interés. Si esta información es 
consistente con la hipótesis se concluye que esta es verdadera; sin embargo, si esta información es 
inconsistente con la hipótesis se concluye que esta es falsa.
Definiciones
Pruebas de hipótesis
Pasos para verificar las hipótesis
Por ejemplo, suponga que una teoría plantea que el producto de una reacción química se distribuye 
normalmente con media de m y una varianza σ²=16, es decir,X ~ N(μ, σ²=16). La experiencia indica 
que μ=10 si cierto mineral está presente en la reacción, y μ=11 si dicho mineral no está presente. 
Cómo podemos saber si dicho mineral está o no presente?
En este caso podemos tener las siguientes hipótesis: Ho: μ = 10 vs H1: μ = 11. 
Para verificar cuál de las dos hipótesis es la verdadera debemos realizar los siguientes pasos:
• Tomar una muestra aleatoria de varias reacciones (n) {X1, X2,..., Xn}.
• Generar o calcular un "Estadístico de prueba", que servirá para definir la acción a emprender, de 
aceptar o rechazar la hipótesis nula.
• Definir el criterio de aceptación o de rechazo. Es decir, el procedimiento de prueba parte los 
posibles valores del estadístico de prueba en dos subconjuntos o regiones: Una "región de 
aceptación de H0" y una región de rechazo de H0.
• Tomar la decisión de aceptar o rechazar H0 dependiendo de si el estadístico de prueba queda en la 
región de aceptación o en la región de rechazo.
Hay que comprender que la aceptación de una hipótesis simplemente implica que los datos 
obtenidos no dan suficiente evidencia para rechazarla. Por otro lado, el rechazo de una hipótesis 
implica que la evidencia muestral refuta la hipótesis planteada. Puesto de otra manera, el rechazo de 
una hipótesis significa que existe una pequeña probabilidad de obtener la información muestral 
observada, cuando realmente dicha hipótesis es verdadera.
Definiciones
Pruebas de hipótesis
Hipótesis estadística. Una hipótesis estadística es una afirmación o conjetura acerca de la 
distribución f(x,θ) de una o más variables aleatorias. Si la hipótesis estadística identifica por completo 
la distribución, recibe el nombre de "hipótesis simple", y si no la especifica recibe el nombre de 
"hipótesis compuesta".
Generalmente la distribución tiene un parámetro desconocido θ y la hipótesis se relaciona con este 
parámetro; en otros casos, se desconoce la forma de la distribución y la hipótesis se relaciona con una 
distribución específica f(x, θ).
Por ejemplo, la hipótesis "la media del proceso es 100" es una hipótesis simple, mientras que la 
hipótesis " la media del proceso es diferente de 100" es una hipótesis compuesta. 
Hipótesis simples: μ=100, σ²=16, σ=0.03
Hipótesis compuestas: μ ≠100, μ>100, σ ²>16, θ<0.03
Con frecuencia los investigadores enuncian como sus hipótesis lo contrario de lo que consideran como 
verdadero con la esperanza de que los procedimientos de demostración (y los datos) conduzcan a 
rechazarlos.
Objetivo de la prueba de hipótesis.
El propósito de la prueba de hipótesis no es cuestionar el valor calculado del estadístico (muestral), sino 
hacer un juicio con respecto a la diferencia entre estadístico de muestra y un valor planteado del 
parámetro.
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 1: Plantear la hipótesis nula Ho y la hipótesis alternativa H1.
La prueba de una hipótesis se realiza mediante un procedimiento sistemático de cinco pasos. Al 
realizar pruebas de hipótesis. se parte de un valor supuesto (hipotético) de un parámetro poblacional. 
Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media 
(X), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (μ). Se acepta o se 
rechaza el valor hipotético, según proceda, se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral 
resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. 
Cualquier investigación estadística implica la existencia de hipótesis o afirmaciones acerca de las 
poblaciones que se estudian. 
La hipótesis nula (Ho) se refiere siempre a un valor especificado del parámetro de población, no 
a una estadística de muestra. La letra H significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia. Por lo 
general hay un "no" en la hipótesis nula que indica que "no hay cambio" Podemos rechazar o aceptar 
Ho. 
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 1: Plantear la hipótesis nula Ho y la hipótesis alternativa H1.
La hipótesis nula es una afirmación que no se rechaza a menos que los datos muestrales 
proporcionen evidencia convincente de que es falsa. El planteamiento de la hipótesis nula siempre 
contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.
La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Es una afirmación 
que se acepta si los datos mUestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula 
es falsa. Se le conoce también como la hipótesis de investigación. El planteamiento de la hipótesis 
alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.
Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra 
griega α, también es denominada como nivel de riesgo, este termino es mas adecuado ya que se 
corre el riesgo de rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera. Este nivel esta bajo el 
control de la persona que realiza la prueba.
Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significancia indicará la 
probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de área de aceptación.
El nivel de confianza (1-α), indica la probabilidad de aceptar la hipótesis planteada, cuando es 
verdadera en la población.
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 2: Seleccionarel nivel de significancia.
La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos regiones, una región de 
rechazo (conocida como región crítica) y una región de no rechazo (aceptación). Si la estadística de 
prueba cae dentro de la región de aceptación, no se puede rechazar la hipótesis nula. 
Sea C un subconjunto del espacio muestral. C es la región de rechazo (crítica) de un contraste 
o prueba dada si dicho contraste nos lleva a rechazar la hipótesis nula H0 cuando la muestra 
cae en C. 
A la región de rechazo se le acostumbra denominar "región crítica de la prueba". Es decir, la región de 
rechazo puede considerarse como el conjunto de valores de la estadística de prueba que no tienen 
posibilidad de presentarse si la hipótesis nula es verdadera. Por otro lado, estos valores no son tan 
improbables de presentarse si la hipótesis nula es falsa. El valor crítico separa la región de no rechazo 
de la de rechazo.
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.
Tipo de errores
Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba de hipótesis, ya sea de aceptación de la Ho o 
de la Ha, puede incurrirse en error:
Un error tipo I se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es verdadera y debía ser 
aceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se denomina con la letra alfa α. Un error tipo II, se 
denota con la letra griega β se presenta si la hipótesis nula es aceptada cuando de hecho es falsa y 
debía ser rechazada. En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión 
equivocada.
Decisiones posibles
Situaciones posibles
La hipótesis nula 
es verdadera
La hipótesis nula 
es falsa
Aceptar la hipótesis 
nula
Se acepta 
correctamente
Error
tipo II
Rechazar la hipótesis 
nula
Error
tipo I
Se rechaza 
correctamente
La probabilidad del error tipo I es siempre igual al nivel de significancia que se utiliza al probar 
hipótesis nulas. Esto es así porque, por definición, la proporción de área en la región de rechazo es igual 
a la proporción de resultados muestrales que ocurrirían en esa región, cuando la hipótesis es verdadera. 
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.
Tipo de errores
Para que cualquier ensayo de hipótesis sea bueno, debe diseñarse de forma que minimice los errores 
de decisión. En la práctica un tipo de error puede tener más importancia que el otro, y así se tiene a 
conseguir poner una limitación al error de mayor importancia. La única forma de reducir ambos 
tipos de errores es incrementar el tamaño de la muestra, lo cual puede ser o no ser posible.
La probabilidad de cometer un error de tipo II (β), depende de la diferencia entre los valores supuesto 
y real del parámetro de la población. Como es más fácil encontrar diferencias grandes, si la 
diferencia entre la estadística de muestra y el correspondiente parámetro de población es grande, la 
probabilidad de cometer un error de tipo II, probablemente sea pequeña.
El estudio y las conclusiones que obtengamos para una población cualquiera, se habrán apoyado 
exclusivamente en el análisis de una parte de ésta. De la probabilidad con la que estemos 
dispuestos a asumir estos errores, dependerá, por ejemplo, el tamaño de la muestra requerida. Las 
contrastaciones se apoyan en que los datos de partida siguen una distribución normal.
Existe una relación inversa entre la magnitud de los errores α y β: conforme α aumenta, β 
disminuye. Esto obliga a establecer con cuidado el valor de α para las pruebas estadísticas. Lo ideal 
sería establecer α y β
Resumen
En la práctica se establece el nivel α y para disminuir el Error β se incrementa el número de 
observaciones en la muestra, pues así se acortan los limites de confianza respecto a la hipótesis 
planteada. 
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.
Tipo de errores
Ejemplo. Un laboratorio desea probar la efectividad de un remedio que se aplica a un grupo de 20 
personas. El fabricante quiere probar que el nuevo remedio tiene una efectividad del 90% comparado 
con la efectividad de un remedio en uso, que es del 60%. Aceptará el nuevo remedio si el número de 
éxitos es mayor o igual a 15; en caso contrario lo rechazará. Formule las hipótesis adecuadas (según lo 
planteado) y evalúe los valores de α y β.
Si denominamos por θ la efectividad del nuevo remedio, podemos formular las hipótesis de la siguiente 
manera, según lo planteado por el fabricante:
Ho: θ = θo =0.90
H1: θ = θ1 =0.60
n = 20
Si denotamos por X el número de éxitos, entonces la región crítica será C= {X/x<15}.
α = P(TI) = P(Re Ho/Ho) = P(X<15/ θ = 0.90)
Dado que el número de éxitos X sigue una distribución binomial con parámetros n=20 y θ =0.90 bajo la 
hipótesis nula, el error tipo I estará dado por:
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.
Tipo de errores
Ejemplo.
El error tipo II o β está dado por:
β = P(TII) = P(Ac Ho/H1) = P(X ≥ 15/ θ = 0.60)
β = 0.0113
Un buen procedimiento de prueba es aquel en que tanto α como β sean pequeños. Para nuestro 
ejemplo α = 0.126 es relativamente alto, y el valor de β = 0.0113 es relativamente bajo. Estos 
valores pueden modificarse cambiando apropiadamente la región crítica.
Por ejemplo, si se define la región de aceptación como X≥16, los errores tipo I y II serían:
α = P(TI) = P(X<15/θ = 0.90) = 0.043
β = P(TI) = P(X ≥15/ θ = 0.60) = 0.051
que son valores más aceptables tanto para α como para β. Obsérvese que si se reduce el error tipo I 
se aumenta el error tipo II (si se mantiene el mismo tamaño de la muestra). Si se quieren reducir 
simultáneamente ambos errores debe aumentarse el tamaño de la muestra.
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.
Tipo de errores
Ejemplo. Considere de nuevo la teoría que plantea que el producto de una reacción química se 
distribuye normalmente con media μ y una varianza σ²=1. Se quiere probar la hipótesis μ=10 contra la 
hipótesis μ=11, con base en una muestra de n=9 reacciones.
a. Se desea determinar la región crítica con base en un nivel de significancia de 0.05.
Para encontrar la región crítica, plantearemos el problema en una forma general de la siguiente 
manera:
Ho: μ = μo = 10
H1: μ = μ 1 > μo, donde μ1=11 
n = 9, α = 0.05
Como la hipótesis alternativa es μ=μ1 > μo, entonces debemos determinar una región crítica de tal 
manera que se rechace la hipótesis nula μ=μo si la evidencia muestral indica el valor medio es 
realmente mayor de μo; es decir, la región crítica está determinada por un valor c tal que la media 
muestral > c ofrezca una región critica de tamaño α=0.05
El error tipo I estará dado por:
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.
Tipo de errores
Ejemplo.
Así, si μ0=10, n=9, σ ²=1, α=0.05 → Z0.05 = 1.645
Debe observarse que el valor crítico "c" no depende del valor específico que tome la hipótesis alternativa, 
sino que sólo depende de si el valor de μ es mayor o menor que μo.
La regla de decisión será: rechazar la hipótesis nula μ=10 si la media de una muestra de 9 reacciones es 
superior a 10.548. Es decir, se rechaza la hipótesis de que el mineral no está presente en la reacción 
química.
b. Cuál será el error tipo II para el caso anterior?
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.
Tipo de errores
Ejemplo.
c. Cuál será el tamaño mínimo requerido de la muestra para demostrar la hipótesis nula 
μ=μo=10 contra la hipótesis alternativa μ=μ1=11 con un nivel significancia de 0.05 y un error tipo II de 
0.06?
Para nuestro caso, tenemos que μo=10, μ1=11, α=0.05, β=0.06,Z0.05=1.645,
Z0.06=1.555 y el tamaño requerido de la muestra será:
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.
Tipo de errores
Ejercicio. Se sabe que el tiempo de secado de cierto tipo de pintura bajo condiciones especificadas 
de prueba está normalmente distribuido con una media de 75 minutos y una desviación estándar de 9 
minutos. Unos químicos han propuesto que se diseñe un nuevo aditivo para reducir el tiempo 
promedio de secado. Se piensa que los tiempos de secado con este nuevo aditivo se distribuirán 
normalmente con una desviación estándar de 9 minutos.
Debido al gasto asociado con el aditivo, la evidencia debe sugerir fuertemente una mejoría en el 
tiempo de secado antes de que se adopte tal conclusión. Formule las hipótesis nula y alternativa 
adecuadas.
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 3: Cálculo del valor estadístico de la prueba.
Valor determinado a partir de la información muestral, que se utiliza para determinar si se rechaza la 
hipótesis nula., existen muchos estadísticos de prueba para nuestro caso utilizaremos los estadísticos 
z y t. La elección de uno de estos depende de la cantidad de muestras que se toman, si las muestras 
son de la prueba son iguales a 30 o mas se utiliza el estadístico z, en caso contrario se utiliza el 
estadístico t.
Pruebas unilateral o de un extremo: la hipótesis planteada se formula con ≥ o ≤
Ejemplo:
H0 : µ ≥ 200 H0 : µ ≤ 200
H1 : µ < 200 H1 : µ > 200
Prueba bilateral o de dos extremos: la hipótesis planteada se formula con la igualdad.
Ejemplo 
H0 : µ = 200
H1 : µ ≠ 200 
Tipos de prueba
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 3: Cálculo del valor estadístico de la prueba.
Tipos de prueba
En las pruebas de hipótesis para la media (μ), cuando se conoce la desviación estándar (σ)
poblacional, o cuando el valor de la muestra es grande (30 o más), el valor estadístico de prueba es z y 
se determina a partir de:
n
x
Z

−
=
El valor estadístico z, para muestra grande y desviación estándar poblacional desconocida se 
determina por la ecuación:
n
S
x
Z
−
=
En la prueba para una media poblacional con muestra pequeña y desviación estándar poblacional 
desconocida se utiliza el valor estadístico t.
n
S
x
t
−
=
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 4: Formular la regla de decisión
Se establece las condiciones específicas en la que se rechaza la hipótesis nula y las condiciones en 
que no se rechaza la hipótesis nula. La región de rechazo define la ubicación de todos los valores que 
son tan grandes o tan pequeños, que la probabilidad de que se presenten bajo la suposición de que la 
hipótesis nula es verdadera, es muy remota 
Distribución muestral del valor estadístico z, con prueba de una cola a la derecha
Valor critico: Es el punto de división entre la región en la que se rechaza la hipótesis nula y la región en 
la que no se rechaza la hipótesis nula.
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Paso 5: Tomar una decisión
En este último paso de la prueba de hipótesis, se calcula el estadístico de prueba, se compara con el 
valor crítico y se toma la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.
Tenga presente que en una prueba de hipótesis solo se puede tomar una de dos decisiones: aceptar o 
rechazar la hipótesis nula. Debe subrayarse que siempre existe la posibilidad de rechazar la hipótesis 
nula cuando no debería haberse rechazado (error tipo I).
También existe la posibilidad de que la hipótesis nula se acepte cuando debería haberse rechazado 
(error de tipo II).
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Ejemplo
El jefe de la Biblioteca de la Facultad de Economía de la UNAM manifiesta que el número promedio de 
lectores por día es de 350. Para confirmar o no este supuesto se controla la cantidad de lectores que 
utilizaron la biblioteca durante 30 días. Se considera el nivel de significancia de 0.05 
Datos:
Día Usuarios Día Usuarios Día Usuario
1 356 11 305 21 429
2 427 12 413 22 376
3 387 13 391 23 328
4 510 14 380 24 411
5 288 15 382 25 397
6 290 16 389 26 365
7 320 17 405 27 405
8 350 18 293 28 369
9 403 19 276 29 429
10 329 20 417 30 364
Solución: Se trata de un problema con una media poblacional: muestra grande y desviación estándar 
poblacional desconocida.
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Paso 1: Seleccionamos la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
Ho: μ═350
Ha: μ≠ 350
Paso 2: Nivel de confianza o significancia 95%
α═0.05
Paso 3: Calculamos o determinamos el valor estadístico de prueba
De los datos determinamos: que el estadístico de prueba es t, debido a que el numero de muestras 
es igual a 30, conocemos la media de la población, pero la desviación estándar de la población es 
desconocida, en este caso determinamos la desviación estándar de la muestra y la utilizamos en la 
formula reemplazando a la desviación estándar de la población.
n
S
x
Z
−
=
Calculamos la desviación estándar muestral y la media de la muestra
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Medidas muestrales
Media 372.8
Mediana 381
Moda 405
Desviación estándar 52.4143965
Varianza de la muestra 2747.26897
Curtosis 0.36687081
Coeficiente de asimetría 0.04706877
Rango 234
Mínimo 276
Máximo 510
Nivel de confianza (95.0%) 19.571868
Paso 4: Formulación de la regla de decisión.
La regla de decisión la formulamos teniendo en cuenta que esta es una prueba de dos colas. El área 
en la que no se rechaza Ho esta entre las dos colas.
Nivel de significancia: α = 0.05; α/2 = 0.025; Probabilidad DE 0.975; Z= 1.96
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Por consiguiente la regla de decisión: es rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa, 
si el valor Z calculado no queda en la región comprendida entre -1.96 y +1.96. En caso contrario no 
se rechaza la hipótesis nula si Z queda entre -1.96 y +1.96
Hipótesis: H0: µ = 350; H1: ≠ 350
x= 372.8
n=30
S = 52.4144
n
S
x
Z
−
=. 
383.2
30
4144.52
3508.372
=
−
=Z
Paso 5: Toma de decisión.
Comparamos Z = 2.38 y lo comparamos con el valor critico de Zc = 1.96. Como el estadístico de 
prueba calculado cae a la derecha del valor critico de Z, se rechaza Ho. Por tanto no se confirma el 
supuesto del Jefe de la Biblioteca. 
Procedimiento de las pruebas de hipótesis
Pruebas de hipótesis
Ejercicio. Un auditor desea probar el supuesto de que el valor promedio de todas las cuentas por 
cobrar en un empresa determinada es $260,000, tomando una muestra de n=36 y calculando la media 
muestral. Desea rechazar el valor del supuesto de $260,000 sólo si la media muestral lo contradice en 
forma clara, por lo que debe “darse el beneficio de la duda” al valor hipotético en el procedimiento de 
prueba. 
Curva característica
Pruebas de hipótesis
Para calcular el error tipo II o β se debe especificar la hipótesis alternativa como una hipótesis simple. 
Sin embargo, en la mayoría de los casos, esta hipótesis se plantea como compuesta. Al plantearse la 
hipótesis alternativa como compuesta, no se puede calcular el error tipo II asociado con la prueba. Sin 
embargo, para obviar esta dificultad lo que se hace es asignarle varios valores a la hipótesis alternativa, 
calcular el error tipo II y realizar una curva con estos valores.
Esta curva recibe el nombre de "Curva Característica Operativa o Curva OC", y es muy empleada 
principalmente en estudios de control de calidad.
Ejemplo
Ho: μ=μo = 10
H1: μ > μo
n=9, α=0.05
La región crítica de esta prueba está en c=10.548, es decir, se rechaza Ho μ=10 si la media de la 
muestra es mayor de 10.548. Para construir la curva OC se presentan en la tabla siguiente diferentes 
valores de la hipótesis alternativa con sus respectivasprobabilidades de aceptación. 
Curva característica
Pruebas de hipótesis
La siguiente es la Curva Característica Operativa (β vs μ) de la prueba de hipótesis planteada.
Curva característica
Pruebas de hipótesis
Si se tiene la hipótesis nula Ho:θ= θo contra la hipótesis alternativa H1: θ= θ1 el valor del error tipo II 
se obtiene como una función de los valores alternativos de θ bajo H1, es decir, para cada valor de θ1 
se calcula β, valor que a veces denotamos por β(θ).
La gráfica θ vs β(θ) recibe, como ya se dijo, el nombre de Curva Característica Operativa, Curva OC, 
o curva CO.
Recordemos que β(θ) es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula H0 cuando la verdadera es la 
hipótesis alternativa H1.
Por lo tanto, 1- β(θ) representa la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la verdadera es la 
hipótesis alternativa, es decir, representa la probabilidad de rechazar hipótesis falsas.
Sin embargo, en la mayoría de estudios diferentes a los de control de calidad, en vez de la curva 
característica operativa se emplea la gráfica denominada "Función de Potencia", donde se grafica θ 
vs 1 - β(θ). 
P(μ)=P( > c/ μ=μ1) = 1-β(μ)
Función de potencia
Pruebas de hipótesis
Definición. La función P(θ) = 1- β(θ) recibe el nombre de función de potencia, y representa la 
probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando ésta es falsa, es decir, mide la probabilidad de 
rechazar hipótesis falsas.
El valor de la potencia es 1- β y puede interpretarse como la probabilidad de rechazar de manera 
correcta una hipótesis falsa. La potencia es una medida muy descriptiva y concisa de la sensibilidad de 
una prueba estadística, donde por sensibilidad se entiende la capacidad de una prueba para detectar 
diferencia.
Considere la siguiente prueba de hipótesis:
Ho: μ=μo = 10
H1: μ>μo 
n = 9, α = 0.05, σ² = 1.
Considere también las siguientes regiones críticas:
A: Rechazar Ho si 
B: Rechazar Ho si 
Para calcular β(μ) es necesario darle valores a μ, y de ahí calcular la potencia 1- β(μ).
> 10.65
> 10.45
Función de potencia
Pruebas de hipótesis
Las tablas siguientes presentan los valores de los errores tipo II y de la potencia para las pruebas 
planteadas.
Calculamos β(μ)





 −
=
9/1
65.10 
 ZA





 −
=
9/1
45.10 
 ZB
Calculamos P(μ ). P(μ ) = 1-β(μ)
Pruebas de hipótesis
Curva característica y función de potencia
Curva característica y función de potencia
Pruebas de hipótesis
Curva característica y función de potencia
Pruebas de hipótesis
Ejemplo: Considere el siguiente plan de muestreo para la aceptación de un lote de artículos enviado 
por un proveedor: Del lote se toma una muestra de 25 unidades, se la inspecciona y se cuenta el 
número de artículos defectuosos. El lote se acepta si en la muestra se encuentran tres artículos 
defectuosos o menos.
En caso contrario se lo rechaza. Se pide construir la curva OC y la función de potencia.
La siguiente tabla presenta las probabilidades de aceptación para diferentes niveles de calidad, dados 
por los valores de la fracción defectuosa, y la gráfica presenta tanto la curca OC como la función de 
potencia.
Curva característica y función de potencia
Pruebas de hipótesis
Ejemplo:
Se observa que para una fracción defectuosa del 5.7% la probabilidad de aceptación es 
aproximadamente del 95%, es decir, el error tipo I sería del 5% para este valor, y para una probabilidad 
de aceptación del 10%, se requeriría un lote con una fracción defectuosa del 25%. Además, para una 
fracción defectuosa del 14.5% aproximadamente la probabilidad de aceptación será de 0.5 
(correspondiente a lo que en control de calidad se denomina como el "punto de indiferencia".