Banco de ejercicios 2

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Abel Cordero Salgado
IC43122
Álgebra
1er semestre
Ingeniería civil
Universidad del Valle de Puebla
Banco de ejercicios
1) Hallamos B - A
B – A = (3, 3, -2) - (2, 6, -3) = (1, -3, 1)
Tomamos el punto A como referencia y el vector B – A como coseno director, queda la siguiente ecuación
x = 2 + t (1) = 2 + t
y = 6 + t (-3) = 6 – 3t
z = -3 + t (1) = -3 + t
Ahora, sustituimos x, y, z respectivamente por 0 para hallar t y despejamos
x
0 = 2 + t
0 - 2 = t
t = -2
Si t = -2, sustituimos las ecuaciones
x = 2 + t
x = 2 + (-2)
x = 2 -2
x = 0
y = 6 – 3t
y = 6 – 3 (-2)
y = 6 + 6
y = 12
z = -3 + t
z = -3 + (-2)
z = -3 – 2
z = -5
y
0 = 6 – 3t
0 – 6 = -3t
-6 = -3t
t = -6/-3
t = 2
Si t = 2, sustituimos las ecuaciones
x = 2 + t
x = 2 + (2)
x = 4
y = 6 – 3t
y = 6 – 3 (2)
y = 6 – 6
y = 0
z = -3 + t
z = -3 + (2)
z = -1
z
0 = -3 + t
0 + 3 = t
t = 3
Si t = 3, sustituimos las ecuaciones
x = 2 + t
x = 2 + (3)
x = 5
y = 6 – 3t
y = 6 – 3 (3)
y = 6 – 9
y = -3
z = -3 + t
z = -3 + (3)
z = 0
Por lo tanto, nuestras coordenadas que pasan por 0 son (0, 12, -5), (4, 0, -1) y
(5, -3, 0).
2) Dado que la dirección del vector tiene dos coordenadas nulas, aplicamos la siguiente fórmula y sustituimos
Dirección (0, 1, 0), desplazamiento (8, 2, 3)
3) Dirección (3, -5, 1), desplazamiento (-1, 9, 1/4)
x – (-1) / 3 = y – 9 / -5 = z – 1/4 / 1
x + 1 / 3 = y – 9 / -5 = z – 1/4 / 1
4) Dirección (-7, -11, 6), desplazamiento (4, -1/5, 13)
x – 4 / -7 = y – (-1/5) / -11 = z – 13 / 6
x – 4 / -7 = y + 1/5 / -11 = z – 13 / 6
5) Dirección (1, 1, -3), desplazamiento (1/7, 6/7, -1)
x – 1/7 / 1 = y – 6/7 / 1 = z – (-1) / -3
x – 1/7 / 1 = y – 6/7 / 1 = z + 1 / -3
6) Hallamos el vector director PQ
PQ = Q – P = (-1, 0, 2) – (1, 2, 3) = (-2, -2, -1)
La ecuación queda de la siguiente forma:
{P +t PQ: E | R}
{(1, 2, 3) +t (-2, -2, -1): E | R}
7) Hacemos la suma de los puntos A y B
A + B = (2, 2, 1) + (1, 3, 2) = (3, 5, 3)
Dividimos entre 2 para hallar las coordenadas del punto intermedio
(3, 5, 3) / 2 = (3/2, 5/2, 3/2)
8) Tomamos un punto de la recta r, usaremos (2, -1, 1), como dirección usamos la misma de la recta s (-2, -2, 3) para que sean paralelas y calculamos la fórmula del plano
-2 (x- 2) -2 (y +1) + 3 (z- 1) = 0
9a) Punto (-1, 3, -4), vector (1, 0, 3)
1 (x + 1) + 0 (y – 3) + 3 (z +4) = 0
9b) Punto (-1/8, 2/3, -1), vector (-6, 8, 1/4)
-6 (x + 1/8) + 8 (y – 2/3) + 1/4 (z +1) = 0
9c) Punto (1/5, -5, -3), vector (7/3, -1, 0)
7/3 (x – 1/5) -1 (y + 5) + 0 (z +3) = 0
10a) P = (-1, -8, 7), Q = (1/2, 3, -5), R = (1, 1, 5)
Calculamos PQ
Q – P = (1/2, 3, -5) - (-1, -8, 7) = (3/2, 11, -12)
Calculamos PR
R – P = (1, 1, 5) - (-1, -8, 7) = (2, 9, -2)
Calculamos el producto de PQ y PR para obtener las coordenadas de nuestro vector perpendicular 
(PQ) (PR) = (3/2, 11, -12) (2, 9, -2) = (-22 – (-108), - (-3) – (-24), + 27/2 - 22) =
(86, -27, -17/2)
Marcamos un nuevo punto en el plano, denominado T, con coordenadas (x, y, z)
Calculamos el vector PT
T – P = (x, y, z) – (-1, -8, 7) = (x + 1, y + 8, z - 7)
Calculamos el producto entre PT y PQ * PR e igualamos a 0
(PT) (PQ * R) = (x + 1, y + 8, z - 7) (86, -27, -17/2) =
86 (x+1) -27 (y + 8) -17/2 (z – 7) = 0
Después graficamos y queda de la siguiente forma