Teoria Fenomenos de transporte UNIDAD VII

Vista previa del material en texto

Fenómenos de Transporte – Unidad VII – Página 1 
 
UNIDAD VII 
 
MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE ENERGIA 
Cuando dos objetos que están a temperaturas diferentes se ponen en contacto térmico, el calor fluye desde el objeto de temperatura más 
elevada hacia el de temperatura más baja. El flujo neto se produce siempre en el sentido de la temperatura decreciente. Los mecanismos por los 
que fluye el calor son tres: conducción, convección y radiación. La propiedad física que describe la velocidad la que se conduce el calor es la 
conductividad térmica k. 
 
Conducción Si existe un gradiente de temperatura en una sustancia, el calor fluye sin que tenga lugar un movimiento observable de la materia. 
El flujo de calor de este tipo recibe el nombre de conducción, y de acuerdo con la ley de Fourier, el flujo de calor es proporcional al gradiente de 
la temperatura y de signo opuesto. Para el flujo de calor en una dimensión, la ley de Fourier es 
 
 
 
 
 
 
donde q = velocidad del flujo de calor en dirección normal a la superficie 
A = área de la superficie 
T = temperatura 
x = distancia normal a la superficie 
k = constante de proporcionalidad o conductividad térmica 
puede ser conducido por sólidos, líquidos o gases. En los metales, la conducción térmica resulta del movimiento de los electrones libres; existe 
una estrecha relación entre la conductividad térmica y la conductividad eléctrica. En los sólidos que son malos conductores de la electricidad, y 
en la mayor parte de los líquidos, la conducción térmica se debe a la transferencia de la cantidad de movimiento entre las moléculas o átomos 
adyacentes que vibran. En gases, la conducción se produce por el movimiento al azar de las moléculas, de forma que el calor se “difunde” desde 
regiones más calientes hacia otras más frías. El ejemplo más común de conducción pura es el flujo de calor en sólidos opacos, tales como la 
pared de ladrillo de un horno o la pared metálica de un tubo intercambiador de calor. Con frecuencia, la conducción de calor en líquidos o gases 
se ve influida por el flujo de los fluidos, y los procesos conductivos y convectivo están enlazados bajo el término de convección o transferencia 
de calor convectiva. 
 
Convección. La convección se refiere al flujo de calor asociado con el movimiento de un fluido, tal como cuando el aire caliente de un horno 
entra a una habitación, o a la transferencia de calor de una superficie caliente a un fluido en movimiento. El segundo significado es más 
importante para las operaciones unitarias, de forma que incluye la transferencia de calor a partir de paredes metálicas, partículas sólidas y 
superficies líquidas. Por lo general, el flujo convectivo por unidad de aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la superficie y 
la temperatura del fluido, como se establece en la ley de Newton de enfriamiento 
 
 
 ( ) 
donde Ts = temperatura de la superficie 
Tf = temperatura global del fluido, más allá de la superficie 
h = coeficiente de transferencia de calor 
Observe que la dependencia lineal de la fuerza impulsora de la temperatura Ts – Tf es la misma que para la conducción pura en un sólido con 
conductividad térmica constante, tal como se observa a partir de la integración de la ecuación. A diferencia de la conductividad térmica, el 
coeficiente de transferencia de calor no es una propiedad intrínseca del fluido, sino que depende tanto de los patrones de flujo determinados 
por la mecánica de fluidos como de las propiedades térmicas del fluido. Si Tf – Ts > 0, el calor será transferido del fluido a la superficie. 
 
Convección natural y forzada. Cuando las corrientes en un fluido son consecuencia de las fuerzas de flotación generadas por diferencias de 
densidad, que a su vez se originan por gradientes de temperatura en la masa del fluido, la acción recibe el nombre de convección natural. 
Cuando las corrientes se deben a un dispositivo mecánico, tal como una bomba o un agitador, el flujo es independiente de las diferencias de 
densidad y recibe el nombre de convección forzada. Las fuerzas de flotación también existen en la convección forzada, pero por lo general sólo 
tienen un pequeño efecto. 
 
Radiación. Radiación es el término que se emplea para designar a la transferencia de energía a través del espacio por medio de ondas 
electromagnéticas. Si la radiación pasa a través de un espacio vacío, no se transforma en calor ni en otra forma de energía, ni se desvía de su 
trayectoria. Sin embargo, si en su trayectoria encuentra algún material, la radiación se transferirá, reflejará o absorberá. Sólo la energía 
absorbida es la que aparece como calor y esta transformación es cuantitativa. La energía emitida por un cuerpo negro es proporcional a la 
temperatura absoluta elevada a la cuarta potencia 
 
 
donde Wb = velocidad de emisión de la energía radiante por unidad de área 
σ = constante de Stefan-Boltzmann 
T = temperatura absoluta 
Los gases monoatómicos y la mayoría de los diatómicos son transparentes a la radiación térmica, y es muy frecuente encontrarse con que el 
calor fluye a través de las masas de tales gases por radiación y por conducción-convección. Ejemplos de ello son las pérdidas de calor desde un 
radiador o una tubería no aislada que conduce vapor de agua hacia el aire de una habitación, así como la transferencia de calor en hornos y 
otros equipos que operan con gases calentados a temperaturas elevadas. Los dos mecanismos son mutuamente independientes y transcurren 
en forma paralela, de modo que un tipo de flujo de calor puede ser controlado o variado independientemente del otro. Es posible estudiar de 
manera separada la conducción-convección y la radiación, y sumar sus efectos separados en casos donde ambos son importantes. En términos 
muy generales, la radiación se hace importante a temperaturas elevadas y es independiente de las circunstancias del flujo del fluido. La 
conducción-convección es sensible a las condiciones de flujo y no se afecta relativamente por el nivel de temperatura. 
 
LEY DE FOURIER DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR 
Considérese una placa de material solido de area A situada entre dos grandes laminas paralelas separadas por una distancia Y. suponemos que 
inicialmente (para algun instante t<0) la temperatura del material solido es T0 en todas las partes. En t=0 la lámina de abajo se lleva 
repentinamente a una temperatura ligeramente superior Ti, que se mantiene constante. A medida que transcurre el tiempo, el perfil de 
temperatura de la placa cambia, y al fin se alcanza una distribución lineal de temperatura en estado estacionario. Una vez que se llega a esta 
Fenómenos de Transporte – Unidad VII – Página 2 
 
condición de estado estacionario, para mantener la diferencia de temperatura se requiere una velocidad constante de flujo de 
calor Q a través de la lámina. Se encuentra entonces que para valores suficientemente pequeños de se cumple la siguiente relación: 
 
 
 
 
 
 
Es decir, la velocidad de flujo de calor por unidad de área es proporcional a la 
disminución de temperatura sobre la distancia Y. La constante de proporcionalidad k es 
la conductividad térmica de la placa. La ecuación también se cumple si entre las dos 
láminas se coloca un líquido o un gas, en el supuesto de que se tomen las precauciones 
necesarias para eliminar la convección y la radiación. 
Expresando la ecuación anterior en forma diferencial, es decir, usamos la forma límite de 
la ecuación a medida que el espesor de la lámina tiende a cero. El flujo local de calor por 
unidad de área en la dirección y positiva se designa mediante qy. Con esta notación, la 
ecuación se convierte en 
 
 
 
 
Esta ecuación, que sirve para definir k, es la forma unidimensional que de la ley de 
Fourier de la conducción de calor establece que la densidad de flujo de calor por 
conducción es proporcional al gradiente de temperatura o para expresarlo en forma 
gráfica, "el calor se desliza cuestaabajo en la gráfica de temperatura contra distancia". Si 
la temperatura varía en las tres direcciones, entonces es posible escribir una ecuación 
como la dada para cada una de las direcciones de coordenadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si cada una de estas ecuaciones se multiplica por el vector unitario idóneo y luego se suman las ecuaciones resultantes, se obtiene 
 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
Forma tridimensional de la ley de Fourier 
Esta ecuación describe el transporte molecular de calor en medios isotrópicos. Por "isotrópico" se entiende que el material no tiene ninguna 
dirección preferida, de modo que el calor se conduce con la misma conductividad térmica k en todas las direcciones. 
Además de la conductividad térmica k, definida por la ecuación, se usa ampliamente una cantidad conocida como difusividad térmica α. Se 
define como 
 
 
 
 
 
DEPENDECIA DE LACONDUCTIVIDAD CALORIFICA DE GASES Y LIQUIDOS CON LA TEMPERATURA Y PRESION 
Cuando no es posible encontrar datos de conductividad térmica para un compuesto particular, puede hacerse 
una estimación usando el diagrama de estados correspondientes de la figura, que se basa en datos de 
conductividad térmica para varias sustancias monoatómicas. Este diagrama, que es semejante al de la 
viscosidad, es una gráfica de la conductividad térmica reducida kr = k/kc que es la conductividad térmica a 
presión p y temperatura T dividida entre la conductividad térmica en el punto crítico. Esta cantidad está 
graficada como una función de la temperatura reducida Tr = T/Tc y la presión reducida pr = p/pc,. La figura se 
basa en una cantidad limitada de datos experimentales para sustancias monoatómicas, pero puede usarse en 
estimaciones aproximadas para materiales poliatómicos. No debe usarse en la vecindad del punto crítico. 
Puede observarse que la conductividad calorífica de un gas a bajas presiones tiende hacia una función límite 
de la temperatura T; para la mayor parte de los gases, 
este límite se alcanza ya prácticamente a la presión de 
1 atm. La conductividad calorífica de loa gases a baja 
densidad aumenta con la temperatura, mientras que 
para la mayor parte de los líquidos disminuye al 
aumentar dicha variable. En la región liquida la 
correlación es menos satisfactoria, y los líquidos asociados o polares, como el agua 
pueden presentar un máximo de la curva entre k frente a T. 
La cantidad kc puede estimarse en dos formas: i) dada k a temperatura y presión 
conocidas, preferiblemente cerca de las condiciones a las que debe estimarse k, con base 
en el diagrama puede leerse k, y entonces calcular kc= k/kr , o bien, ii) puede estimarse 
un valor de k en la región de baja densidad por el método dado y luego proceder como 
en i). 
En la siguiente figura se representa k# vs Pr y Tr, donde k# es el cociente entre la 
conductividad a T y P y la conductividad a T y P atmosférica. Para el caso de gases 
poliatomicas ninguna de las correlaciones es muy correcta. 
 
TEORÍA DE LA CONDUCTIVIDAD TERMICA DE GASES A BAJA DENSIDAD 
Las conductividades térmicas de gases monoatómicos diluidos se comprenden bien y pueden describirse por la teoría cinética de los gases a 
baja densidad. Aunque se han desarrollado teorías detalladas para gases poliatómicos, se acostumbra utilizar algunas teorías aproximadas 
simples. Aquí, como en Teoría de la viscosidad de los gases de baja densidad, proporcionamos una deducción simplificada de la trayectoria libre 
media para gases monoatómicos, y luego resumimos el resultado de la teoría cinética de los gases de Chapman-Enskog. 
Usamos el modelo de esferas rígidas de masa m y diámetro d que no se atraen entre sí. El gas como un todo está en reposo ( =O), pero deben 
explicarse los movimientos moleculares. 
Usamos el siguiente resultado de la teoría cinética para un gas constituido por esferas rígidas: 
 ̅ √ ⁄ velocidad molecular media 
 ⁄ ̅ frecuencia de colisiones contra la pared por unidad de área 
Fenómenos de Transporte – Unidad VII – Página 3 
 
 
 
√ 
 trayectoria libre media 
Las moléculas que llegan a cualquier plano en el gas tuvieron, en promedio, su última colisión a una distancia a del plano, donde 
 ⁄ 
En estas ecuaciones, k es la constante de Boltzmann, n es el número de moléculas por unidad de volumen y m es la masa de una molécula. 
La única forma de energía que puede intercambiarse en una colisión entre dos esferas rígidas 
lisas es la energía de traslación. La energía media de traslación por molécula en condiciones de 
equilibrio es 
 
 
 ̅̅ ̅̅ 
 
 
 
Para tal gas, la capacidad térmica molar a volumen constante es 
 ̃
 
 
(
 
 
 ̅̅ ̅̅ ) 
 
 
 
donde R es la constante del gas. 
La ecuación dada es satisfactoria para gases monoatómicos hasta temperaturas de varios miles 
de grados. 
Para determinar la conductividad térmica, analizamos el comportamiento del gas bajo un gradiente de temperatura dT/dy. Se supone que las 
ecuaciones vistas siguen siendo válidas en esta situación en desequilibrio, excepto que 
 
 
 ̅̅ ̅̅ en la ecuación se toma como la energía cinética 
media para moléculas que tuvieron su última colisión en una región de temperatura T. La densidad de flujo de calor qy a través de cualquier 
plano de y constante se encuentra sumando las energías cinéticas de las moléculas que cruzan el plano por unidad de tiempo en la dirección y 
positiva y restando las energías cinéticas del número igual de moléculas que cruzan en la dirección y negativa: 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅ |
 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅ |
 
 
 
 
 
 ( | | ) 
La ecuación se basa en la suposición de que todas las moléculas tienen velocidades representativas de la región de su última colisión y que el 
perfil de temperatura T(y) es lineal para una distancia de varias trayectorias libres medias. En vista de la última suposición, podemos escribir 
 | | 
 
 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 
 
 
 
Al combinar las tres últimas ecuaciones se obtiene 
 
 
 
 ̅ 
 
 
 
Esto corresponde a la ley de Fourier de la conducción de calor con la conductividad térmica dada por 
 
 
 
 ̅ 
 
 
 ̅ 
donde es la densidad del gas, y 
 
 
 
Entonces, al sustituir las expresiones para ̅ y λ de las primeras tres ecuaciones se obtiene 
 
 
 
√
 
 
 (gas monoatómico) 
que es la conductividad térmica de un gas diluido compuesto de esferas rígidas de diámetro d. Esta ecuación predice que k es independiente de 
la presión. 
 
TEORÍA DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE LIQUIDOS 
Hace medio siglo se desarrolló una teoría cinética muy detallada para la conductividad térmica de líquidos monoatómicos, pero aún no ha sido 
posible implementarla para cálculos prácticos. Como resultado, debemos usar teorías aproximadas o métodos de estimación empíricos. 
Decidimos analizar aquí la teoría simple de Bridgman de transporte de energía en líquidos puros. Bridgman supuso que las moléculas están 
dispuestas en una red cúbica, con una separación de centro a centro dada por ( ̃ )
 
, donde ̃ es el volumen por molécula. Además 
consideró que la energía se transfería de un plano de la red al siguiente a la velocidad sónica vs, para el fluido dado. El desarrollo se basa en una 
nueva interpretación de la ecuación de la teoría del gas constituido por esferas rígidas: 
 
 
 
 ̅ | ̅̅ ̅| 
La capacidad calorífica a volumen constante de un líquido monoatómico es aproximadamente la misma que para un sólido a alta temperatura, 
que está dada por ( ). La velocidad molecular media en la dirección y,| ̅̅ ̅|, se sustituye por la velocidad sónica vs. La distancia a que la 
energía recorre entre dos colisiones sucesivas se toma como el espacio ( ̃ )
 
 en la red. Al hacer estas sustituciones en la ecuación anterior 
se obtiene: 
 ( ̃ )
 
 
Ecuación de Bridgman 
Datos experimentales muestran una concordancia aceptable con la ecuación, incluso paralíquidos poliatómicos, aunque el coeficiente 
numérico es demasiado alto. Se obtiene una mejor concordancia si el coeficiente se cambia a 2.80: 
 ( ̃ )
 
 
Esta ecuación está limitada a densidades bastante superiores a la densidad crítica, debido a la suposición tácita de que cada molécula oscila en 
una "jaula" formada por sus vecinas más próximas. El éxito de esta ecuación para fluidos poliatómicos parece implicar que la transferencia de 
energía en colisiones de moléculas poliatomicas es incompleta, ya que la capacidad calorífica usada aquí, ( ), menor que las 
capacidades caloríficas de líquidos poliatómicos. La velocidad de sonido a baja frecuencia está dada por la cantidad: 
 √
 
 
(
 
 
)
 
 
Fenómenos de Transporte – Unidad VII – Página 4 
 
la cantidad (
 
 
)
 
de obtenerse a partir de mediciones de compresibilidad isotérmica o a partir de una ecuación de estado, y (Cp/Cv) está 
bastante próxima a la unidad para líquidos, excepto cerca del punto crítico. 
 
CONDUCTIVIDAD CALORIFICA EN SOLIDOS 
Las conductividades térmicas de sólidos deben medirse experimentalmente, ya que dependen de muchos factores que son difíciles de medir o 
predecir. En materiales cristalinos, la fase y el tamaño del cristal son importantes; en sólidos amorfos el grado de orientación molecular tiene 
un efecto considerable. En sólidos porosos, la conductividad térmica depende bastante de la fracción de huecos, del tamaño del poro y del 
fluido contenido en los poros. 
En términos generales, los metales son mejores conductores de calor que los no metales, y los materiales cristalinos conducen el calor más 
fácilmente que los materiales amorfos. Los sólidos porosos secos son muy malos conductores de calor y en consecuencia son excelentes para 
aislamiento térmico. Las conductividades de la mayor parte de los metales puros disminuyen al aumentar la temperatura, mientras las 
conductividades de los no metales aumentan; las aleaciones muestran un comportamiento intermedio. Quizá la regla empírica más útil es que 
la conductividad térmica y la conductividad eléctrica van de la mano. 
Para metales puros, en oposición a las aleaciones, la conductividad térmica k y la conductividad eléctrica ke están relacionadas 
aproximadamente como sigue: 
 
 
 
Ecuación de Wiedemann-Franz-Lorenz 
El número de Lorenz, L, varia aproximadamente de 22 a 29x10-9 volt2/K2 para metales puros a 0°C y cambia pero muy poco con temperaturas 
por arriba de O°C, donde aumentos de 10 a 20% por 1000°C son típicos. A temperaturas muy bajas (-269.4°C para mercurio) los metales se 
vuelven superconductores de electricidad pero no de calor, y así L varía bastante con la temperatura cerca de la región de superconducción. La 
ecuación tiene un uso limitado para aleaciones, ya que L varía mucho con la composición y, en algunos casos, con la temperatura. 
El éxito de la ecuación para metales puros se debe a que los electrones libres son los portadores de calor en metales puros. La ecuación no es 
adecuada para no metales, donde la concentración de electrones libres es tan baja que predomina el transporte de energía por movimiento 
molecular. 
 
BALANCE DE ENERGÍA APLICADO A UNA ENVOLTURA: CONDICIONES LÍMITES 
Los problemas que se analizan en este capítulo se plantean por medio de balances de energía en la envoltura. Se elige una placa (o envoltura), 
cuyas superficies son normales a la dirección de conducción del calor, y luego para este sistema se escribe un planteamiento de la ley de 
conservación de la energía. Para sistemas en estado estacionario (es decir, independientes del tiempo) escribimos: 
{
 
 
 
} {
 
 
 
} {
 
 
 
} 
La energía calorífica puede entrar y salir del sistema por el mecanismo de conducción de calor, de acuerdo con la ley de Fourier. También 
puede entrar o salir energía calorífica debido al movimiento global de fluido; este tipo de transporte se denomina transporte convectivo, y la 
energía que entra o sale por este medio se llama calor sensible. 
La energía calorífica puede producirse por degradación de energía eléctrica, disminución de velocidad de los neutrones, degradación de 
energía mecánica y conversión de energía química. 
La ecuación mencionada es solo una fracción restringida, ya que no tiene en cuenta la energía cinética, potencial ni el trabajo. Pero es útil para 
la resolución de problemas de conducción de calor en sólidos y fluidos no compresibles. 
Al escribir la ecuación para un sistema consistente en una delgada lámina o envoltura, el espesor de esta puede hacerse tender hacia cero. Esto 
conduce a una ecuación diferencial para la distribución de la temperatura. Al integrarla, aparecen constantes de integración que dependen de 
las condiciones límites. 
Los tipos más comunes de condiciones límite son: 
a. La temperatura puede especificarse en una superficie. 
b. Puede proporcionarse la densidad de flujo de calor normal a una superficie (esto equivale a especificar la componente normal del 
gradiente de temperatura). 
c. Se requiere que la temperatura y la densidad de flujo de calor normal a la interface sean continuas en las interfases. 
d. En la interfase sólido-fluido, la componente normal de la densidad de flujo de calor puede estar relacionada con la diferencia entre la 
temperatura en la superficie sólida To y la temperatura "global" del fluido Tb: 
 ( ) 
Esta relación se denomina ley de enfriamiento de Newton. Realmente no es una "ley", sino más bien la ecuación de definición para h, que se 
denomina coeficiente de transmisión de calor. 
 
 Pared plana 
Se usará la ley de Fourier, ecuación 
 
 
, para obtener expresiones 
de la conducción de calor unidimensional en estado estacionario a través de 
algunas geometrías simples. Para una placa plana o pared en la que el área 
de corte transversal A y k para la ecuación son constantes, puede escribirse 
como 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
Esto se ilustra en la figura, donde . La ecuación indica que si T 
es sustituida por T2 y x por x2, la temperatura varia linealmente con la 
distancia. 
Si la energía no se genera ni se acumula en la pared, q es idéntico en todas 
las secciones transversales. 
Si la conductividad térmica no es constante, sino que presenta una variación lineal con la temperatura, entonces, al sustituir la ecuación e 
integrar: 
 
 
 
 
 
( ) 
Fenómenos de Transporte – Unidad VII – Página 5 
 
Como se mencionó en la introducción, la velocidad del proceso de transferencia es igual a la fuerza impulsora sobre la resistencia. Ahora, la 
ecuación puede escribirse en esta forma: 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 Pared plana de varias capas o de paredes compuestas 
Cuando se conduce el calor por una pared plana constituida por capas de distintas sustancias, se crea una situación comparable con un sistema 
eléctrico en el que hay resistencias en serie. 
La ecuación de Fourier para cada capa, siendo q el mismo para las tres paredes, por ser estado 
estacionario: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
si esta ecuación se considera análoga a la Ley de Ohm para la conducción eléctrica, es una 
medida de resistencia al flujo calorífico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La resistencia global es la suma de las resistencias individuales 
 
 Cilindro hueco 
Se considera un cilindro hueco hecho de un material de conductividad k. se escribe la ecuación de Fourier en coordenadas cilíndricas 
 
 
 
 (Área normal al flujo calorífico) 
al integrar la ecuación se obtiene la transferencia de calor en función de las condiciones de contorno: 
 ∫
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 ( )
 ( ⁄ )
 
multiplicando y dividiendo por 
 
 ( )
 (⁄ )
 
( )
( )
 
 
 ( ⁄ )
 
( )
( )
 
 
 
 
T es una función lineal del ln(r) 
 
 Cilindro en varias capas 
Se combinan los análisis de paredes planas de múltiples etapas en la de cilindro hueco: 
 ( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
 Manantial de origen eléctrico 
El sistema que vamos a considerar es un alambre eléctrico de sección transversal circular de radio R 
y conductividad eléctrica k. Por el alambre circula una corriente eléctrica cuya densidad de corriente 
es I. La transmisión de corriente eléctrica es un proceso irreversible, y algo de la energía eléctrica se 
convierte en calor (energía térmica). La velocidad de producción de calor por unidad de volumen 
está dada por la expresión 
 
 
 
 
 
La cantidad Se, es la fuente de calor que resulta de la disipación eléctrica. Aquí suponemos que el 
aumento de temperatura en el alambre no es tan grande, como para que sea necesario tener en 
cuenta la dependencia respecto a la temperatura de la conductividad térmica o de la conductividad 
eléctrica. La superficie del alambre se mantiene a la temperatura To. Ahora mostramos cómo 
encontrar la distribución radial de temperatura en el interior del alambre. 
Para el balance de energía consideramos que el sistema es una envoltura cilíndrica de espesor Δr y 
longitud L 
(
 
 
 
) (
 
 
 
) (
 
 
 
) 
 | ( ) | 
Divido por 
 
 
 |
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 |
 
 
La expresión en el miembro derecho es la primera derivada de rqr respecto a r, de modo que la ecuación se vuelve 
 ( )
 
 
Fenómenos de Transporte – Unidad VII – Página 6 
 
 
Esta es una ecuación diferencial de primer orden para la densidad de flujo de energía, que puede integrarse para obtener 
∫ ( ) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La constante de integración C1 debe ser cero debido a la condición límite de que: 
CL 1: en r=0 qr no es infinita 
Por lo tanto, la expresión final para la distribución de densidad de flujo de calor es 
 
 
 
 
Esto indica que la densidad de flujo de calor aumenta linealmente con r. Ahora sustituimos la ley de Fourier en la forma qr = -k(dT/dr) en la 
ecuación anterior para obtener 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando se supone que k es constante, esta ecuación diferencial de primer orden puede integrarse para obtener 
 
 
 ∫ ∫
 
 
 
 
 
 
 
La constante de integración se determina a partir de 
C.L 2: en r=R, T=T0 
Por lo tanto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplico y divido por R2 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
La ecuación proporciona el aumento de temperatura como una función parabólica de la distancia r al eje del alambre. Una vez que se conocen 
las distribuciones de temperatura y de la densidad de flujo de calor, puede obtenerse más información sobre el sistema 
 
Elevación máxima de temperatura (para r=0) 
 
 
 
 
 
 
 Elevación media de la temperatura 
〈 〉 
∫ ∫ ( ( ) ) 
 
 
 
 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por tanto, la elevación de temperatura promediada sobre la sección transversal es igual a la mitad de la elevación máxima de temperatura. 
 
Salida de calor en la superficie (para un alambre de longitud L) 
 | | 
 
 
 
en estado estacionario, todo el calor producido por disipación eléctrica en el volumen rR2L debe salir a través de la superficie r = R. 
como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se obtiene 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
K/keT0 es el número de Lorenz 
Multiplicando y dividiendo por 
 
 
 
*
 
 
+ ( ) 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 Conducción de calor con una fuente de calor viscosa 
A continuación consideramos el flujo de un fluido newtoniano incompresible entre dos cilindros coaxiales 
como se muestra en la figura. Las superficies de los cilindros interior y exterior se mantienen a T = To y T = 
Tb, respectivamente. Podemos esperar que T sea una función exclusiva de r. 
A medida que el cilindro exterior gira, cada envoltura cilíndrica de fluido "roza" con una envoltura 
adyacente de fluido. Esta fricción entre capas adyacentes del fluido produce calor; es decir, la energía 
mecánica se degrada en energía térmica. La fuente de calor por unidad de volumen que resulta de esta 
"disipación viscosa", que podemos designar por S, aparece automáticamente en el balance en la envoltura 
cuando se usa el vector de densidad de flujo de energía combinada e. 
Fenómenos de Transporte – Unidad VII – Página 7 
 
Si la elevación de temperatura es apreciable, entonces debe tenerse en 
cuenta la dependencia de la viscosidad respecto a la temperatura. En la 
mayor parte de los problemas de flujo, el calentamiento viscoso no es 
importante. 
Sin embargo, si hay grandes gradientes de velocidad, entonces no puede 
despreciarse. Algunos ejemplos de situaciones en las que debe tenerse en 
cuenta el calentamiento viscoso son: i) flujo de un lubricante entre partes 
que se mueven rápidamente; ii) flujo de polímeros fundidos a través de 
boquillas en la extrusión a alta velocidad; iii) flujo de fluidos altamente 
viscosos en viscosímetros de alta velocidad, y iv) flujo de aire en la capa 
límite inmediata a la superficie de satélites o cohetes terrestres durante su 
reentrada a la atmósfera de la Tierra. Los dos primeros son más 
complicados porque muchos lubricantes y plásticos fundidos son fluidos no 
newtonianos. 
 
 Conducción de calor con una fuente de calor química 
Una reacción química se realiza en un reactor tubular de radio interior R de 
lecho fijo de flujo axial. El reactor se extiende desde z = -∞ hasta z = +∞. y 
está dividido en tres zonas: 
Zona I: zona de entrada rellena con esferas no catalíticas. 
Zona II: zona de reacción, que se extiende desde z=O hasta z=L, rellena 
con esferas catalíticas. 
Zona III: zona de salida rellena con esferas no catalíticas. Se supone que el 
fluido avanza por el tubo del reactor en "flujo tapón", es decir, con velocidad 
axial uniforme a un valor superficial. La densidad, la velocidad de flujo 
másico y la velocidad superficial se tratan como independientes de r y z. 
Además, se supone que la pared del reactor está bien aislada, de modo que 
la temperatura puede considerarse como si fuese esencialmente 
independiente de r. Se desea encontrar la distribución axial de temperatura en estado estacionario T(z) cuando el fluido entra en z=-∞ con una 
temperatura uniforme T1. 
En una reacción química se produce o consume energía térmica cuando las moléculas reaccionantes se reordenan para formar los productos. 
La velocidad volumétrica de producción de energía térmica por reacción química, Sc, en general es una función complicada de la presión, 
temperatura, composición y actividad del catalizador. 
 
 Conducción de calor con una fuente de calor nuclear 
Consideremos un elemento combustible nuclear esférico como se muestra en la figura. Consta de una esfera de 
material fisionable de radio R(F) rodeado por una envoltura esférica de "revestimiento" de aluminio con radio 
exterior R(C) . En el interior del elemento combustible se producen fragmentos de fisión cuyas energías cinéticas 
son muy elevadas.La mayor fuente de energía térmica en el reactor la constituyen las colisiones entre estos 
fragmentos y los átomos del material fisionable. Esta fuente volumétrica de energía térmica que resulta de la 
fisión nuclear se denomina Sn. Esta fuente no es uniforme en toda la esfera de material fisionable; es más baja 
en el centro de la esfera. 
Para encontrar la temperatura máxima en la esfera de material fisionable, todo lo que se requiere es igualar r a 
cero. Ésta es una cantidad que conviene conocer cuando se hacen estimaciones de deterioro térmico. 
Este problema ha ilustrado dos cuestiones: i) cómo manipular un término que corresponde a la fuente y que 
depende de la posición, y ii) la aplicación de la continuidad de la temperatura y la densidad de flujo de calor 
normal en el límite entre dos materiales sólidos 
 
 Conducción de calor en estado no estacionario 
Es muy importante para la ingeniería en muchas circunstancias. Puede controlar la velocidad a la que el equipo de proceso alcanza condiciones 
estables de funcionamiento, y es también importante en la determinación del tiempo de proceso de muchos objetos sólidos. Por ejemplo. El 
tiempo volcanizado para artículos construidos engoma o plástico moldeado, depende a menudo del tiempo necesario para alcanzar en el centro 
una temperatura concreta, sin perjudicar térmicamente el material de la superficie. 
La ecuación diferencial básica para la conducción en estado no estacionario en un sólido es el caso especial del balance diferencial de energía, 
aplicable también a un fluido incompresible en reposo 
 
 
 
 
 
 
donde 
 
 
 es la difusividad térmica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
Para transferencia de calor en solidos con medidas fijas en el espacio no se tendrán componentes de velocidad en ninguna dirección 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
El balance diferencial de energía también puede obtenerse en coordenadas cilíndricas, escribiendo un balance de energía sobre un volumen de 
control cuya forma sea la de un cilindro hueco. Sin generación de calor y sin flujo: 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
Fenómenos de Transporte – Unidad VII – Página 8 
 
 Conducción en el interior de una lámina de espesor infinito 
El sistema a considerar es un sólido, inicialmente a una temperatura uniforme T0, extendiéndose desde x== hasta x=∞. La temperatura en la 
superficie situada en x=0 es súbitamente elevada y mantenida a una temperatura superior Ts, se supone que debido al aislamiento sobre las 
caras normales a las coordenadas “y” y “z” o bien debido a que el sistema es ∞ en las direcciones, debemos tener en cuenta la conducción solo 
en la dirección x. 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 ① 
Para reducir la ecuación a una forma más simple, definimos arbitrariamente una nueva variable n, que combina la variable independiente t y x 
en la expresión: 
 
 
√ 
 
 donde es la difusividad térmica y x la distancia donde se evalúa la transferencia de calor en el tiempo t 
para obtener las derivadas de ① expresadas en función de n, realizo derivadas sucesivas, considerando 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
( 
 
 
) 
 
√ 
( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
(
 
 
) 
 
√ 
 
 
(
 
 
) 
 
√ 
 
 
(
 
 
 
√ 
) 
 
 
 
 
 
 
Reemplaza en ① para dar la ecuación diferencial ordinaria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se puede expresar como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación diferencial ordinaria 
Esto puede aún simplificarse, sustituyendo una nueva variable 
 
 
 
Luego 
 
 
 
Separo variables e integro 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 ② 
Para la evaluación de C1 y C2 se dispone de dos condiciones de contorno: 
1) T=Ts, para x=0, n=0  C2 = Ts 
2)T=T0, t=0, n=∞ 
 
 ∫ 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
√ 
( ) 
Reemplazando C1 y C2 en ② 
 
 
√ 
( )∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
∫ 
 
 
 
√ 
 
 
Distribución de T en la lámina 
Integral de error de Gauss 
 
 
 
 
NUMERO DE BIOT 
Es un número adimensional, para formas sencillas, la ecuación ⁄ puede integrarse considerando la temperatura de superficie 
Ts=cte. En estos casos, la resistencia térmica entre la superficie y el fluido es despreciable. Cuando la resistencia es significativa, la temperatura 
en la superficie cambia con el tiempo. Se define entonces el número de Biot como: 
 
 
 
 
 
 
 
 Donde es la conductividad del sólido, h el coeficiente de convección y l la longitud característica 
Bi compara la resistencia para que el calor se transfiera por el fluido hasta llegar al solido con la resistencia a fluir por el solido 
El número de Biot es una medida que relaciona la resistencia por fenómenos de conducción (dentro del solido) y los fenómenos de convección 
(fuera del solido) 
*Si Bi<0,1 KS es grande, resistencia interna pequeña, resistencia externa predominante. Se favorece el fenómeno de conducción 
*Si Bi>100 Ks es bajo, resistencia interna predominante. Se favorece el fenómeno convectivo 
*Si 0,1<Bi<100 no puede despreciarse ninguna resistencia. Es lo que sucede en la realidad. Existen perfiles dentro y fuera del conducto 
Fenómenos de Transporte – Unidad VII – Página 9 
 
 
Perfiles 
 Para Bi <0,1 Para Bi>100 Para 0,1<Bi<100 
Ts Ts
To To
 
Ts Ts
To To
 Ts
To
 
 Calentamiento Enfriamiento Calentamiento Enfriamiento 
 
DISTANCIA DE PENETRACION 
La ecuación 
 
 
 
 
√ 
∫ 
 
 
 
√ 
 
 indica que en un tiempo cualquiera después que se ha modificado la 
temperatura de la superficie, se producirá alguna variación en todos los puntos del sólido por muy alejados que 
estén de la superficie caliente. Sin embargo, la variación real que tiene lugar en los puntos distantes, es muy 
pequeña y puede despreciarse. Más allá de una cierta distancia de la superficie caliente no penetra la suficiente 
cantidad de calor para modificar la temperatura en una forma apreciable. Esta distancia de penetración xp se 
define arbitrariamente como la distancia desde la superficie para la cual la variación de temperatura es 1% de la 
variación inicial de la temperatura de la superficie. Es decir, (T – Ta)/(Ts – Ta) = 0.01 ó (Ts – T)/(Ts – Ta) = 0.99. La 
figura indica que la integral de probabilidad alcanza el valor de 0.99 cuando Z = 1.82 de forma que 
 √ 
 
CANTIDAD DE CALOR TRANSMITIDO 
Para encontrar la cantidad de calor total transferido a un sólido semiinfinito en un determinado tiempo es preciso calcular el gradiente de 
temperatura y el flujo de calor en la superficie caliente en función del tiempo. El gradiente de temperatura en la superficie se obtiene 
diferenciando la ecuación 
 
 
 
 
√ 
∫ 
 
 
 
√ 
 
 para obtener 
(
 
 
)
 
 
 
√ 
 
La velocidad de flujo de calor en la superficie es entonces 
(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 ( )
√ 
 
Teniendo en cuenta que q es igual a dQ/dt, es posible integrar la ecuación para obtener la cantidad total de calor transferido porunidad de área 
QT/A durante el tiempo tT, como sigue: 
 
 
 
 ( )
√ 
∫
 
√ 
 
 
 ( )√
 
 
 
REGLA DE NEWMAN 
No todos los cilindros y láminas que se encuentran en la industria tienen suficiente proporción longitud-grosor para poder ser tratados como 
infinitamente largos o anchos. La técnica para resolver problemas en el sistema con dimensiones finitas en todas las direcciones es bastante 
simple; se denomina regla de Newman. Newman ha demostrado que si un objeto de forma paralepípeda se enfría o se calienta, la solución 
general que describe a la temperatura en función del tiempo t y de las tres variables de distancia x, y y z pueden escribirse como 
 
si tomamos un cuerpo finito en todas las direcciones y lo sumergimos en un fluido que se encuentra en una temperatura mayor, se obtendrá 
transferencia de calor en todas las direcciones. La regla de Newman me permite analizar la transferencia de calor por conducción para cuerpos 
tridimensionales. La solución para la conducción tridimensional en estado estacionario T=T(x,y,z,t) se resuelve como el producto de las 
soluciones unidireccionales. 
Considerando condiciones de contorno homogéneas 
 ( ) ( ) ( ) ( ) para coordenadas ortogonales 
 ( ) ( ) ( ) ( ) para coordenadas cilíndricas 
En el caso de un cilindro finito la solución está conformada con los resultados de evaluar la temperatura alcanzada por un cilindro por la 
temperatura alcanzada por la placa, ya que para este cuerpo, el calor que recibe en sentido radial lo hace como cilindro y el caso que recibe sus 
caras lo hace como placas. 
En el caso de un cubo finito la solución estará conformada por la intersección de tres placas semifinitas de igual espesor. El calor que recibe en 
todos los sentidos lo hace en carácter de placas