UNIDAD - TRANSFORMACIONES DE GASES IDEALES_DIAPOSITIVAS_1

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TERMODINÁMICA
Veremos las distintas trasformaciones que pueden sufrir los sistemas compuestos por gases perfectos y la aplicación 
de la Primera Ley de la Termodinámica.
Para gases ideales o perfectos se cumple:
𝑈 = 𝑓 𝑇 𝐻 = 𝑓(𝑇)
Nota: Todos los análisis que realizaremos a continuación para las distintas transformaciones son para una masa 
unitaria, es decir, (m=1). Por lo que, las expresiones que obtendremos serán de carácter específico.
Transformaciones de los Gases Ideales
TERMODINÁMICA
I) Transformaciones isocoras o isocóricas (𝑣 = 𝑐𝑡𝑒)
SISTEMAS CERRADOS
𝑄 = 𝑈 − 𝑈 + 𝐿
𝐿 = ∫ 𝑝 ∗ 𝑑𝑣 = 0 Por ser dv=0
𝑄 = 𝑈 − 𝑈 = 𝑚 ∗ 𝑐𝑣 ∗ (𝑇 − 𝑇 )
Si queremos una ecuación independiente 
de la masa
𝑞 = 𝑢 − 𝑢 = 𝑚 ∗ 𝑐𝑣 ∗ (𝑇 − 𝑇 )
En un sistema cerrado que evoluciona a 
volumen constante; el calor 
intercambiado con el medio es igual a la 
variación de la energía interna.
Figura 1
SISTEMAS CIRCULANTES
𝑄 = 𝐻 − 𝐻 + 𝐿𝑐
𝑞 = ℎ − ℎ + 𝐿𝑐
𝐿𝑐 = −𝑣 ∗ 𝑑𝑝 = −𝑣 𝑑𝑝
Nota: El Lc está representado por el 
sombreado en la (Fig. 1).
ℎ − ℎ = 𝑐𝑝 ∗ (𝑇 − 𝑇 )
𝑞 = 𝑐𝑝 ∗ 𝑇 − 𝑇 + 𝑣 ∗ (𝑝 − 𝑝 )
Trabajo para 
un Sistema 
Circulante
TERMODINÁMICA
SISTEMAS CERRADOS
SISTEMAS CIRCULANTESII) Transformación isobara o isobárica (𝑝 = 𝑐𝑡𝑒)
Figura 2
𝑞 = 𝑢 − 𝑢 + 𝐿
𝑢 − 𝑢 = 𝑐𝑣 ∗ (𝑇 − 𝑇 )
𝐿 = 𝑝 ∗ 𝑑𝑣 = 𝑝 ∗ (𝑣 − 𝑣 )
L es el área rayada en la figura 2
𝑞 = 𝑐𝑣 ∗ 𝑇 − 𝑇 + 𝑝 ∗ (𝑣 − 𝑣 )
Suponiendo nula la variación de energía 
cinética y potencial, tenemos:
𝑞 = ℎ − ℎ + 𝐿𝑐
𝐿𝑐 = −𝑣 ∗ 𝑑𝑝
Como 𝑑𝑝 = 0 => 𝐿𝑐 = 0
Nos queda:
𝑞 = ℎ − ℎ = 𝑐𝑝 ∗ (𝑇 − 𝑇 )
En un sistema circulante que evoluciona a 
presión constante, el calor intercambiado 
numéricamente coincida con una función 
de estado. (Algunos entienden que lo es).
L
Trabajo para 
un Sistema 
Cerrado
TERMODINÁMICA
III) Transformación isotérmica (T=cte)
Por Boyle y Mariotte p*v=cte. (Ecuación correspondiente a 
una hipérbola equilátera). Si analizamos entre los mismos 
estados (1) y (2).
SISTEMAS CERRADOS
𝑞 = 𝑢 − 𝑢 + 𝐿
u=f(T)
𝑢 − 𝑢 = 0 => q = L
𝑞 = 𝐿 = ∫ 𝑝 ∗ 𝑑𝑣 => 𝑝 =
∗
𝑞 = 𝐿 =
𝑅 ∗ 𝑇
𝑣
∗ 𝑑𝑣 = 𝑅 ∗ 𝑇 ∗
𝑑𝑣
𝑣
𝑞 = 𝐿 = 𝑅 ∗ 𝑇 ∗ ln
𝑣
𝑣
De Boyle y Mariote a T=cte: =
𝑞 = 𝐿 = 𝑅 ∗ 𝑇 ∗ ln
𝑝
𝑝
(Fig.3)
Figura 4
Lc
Figura 3
Trabajo para 
un Sistema 
Cerrado
Trabajo para 
un Sistema 
Circulante
SISTEMAS CIRCULANTES
𝑞 = ℎ − ℎ + 𝐿𝑐
h=f(T)
ℎ − ℎ = 0 => 𝑞 = 𝐿𝑐
𝑞 = 𝐿𝑐 = ∫ −𝑣 ∗ 𝑑𝑝 => 𝑣 =
∗
𝑞 = 𝐿𝑐 = −
𝑅 ∗ 𝑇
𝑝
∗ 𝑑𝑝 = −𝑅 ∗ 𝑇 ∗
𝑑𝑝
𝑝
𝑞 = 𝐿𝑐 = −𝑅 ∗ 𝑇 ∗ ln
𝑝
𝑝
De Boyle y Mariote =
𝑞 = 𝐿𝑐 = 𝑅 ∗ 𝑇 ∗ ln
𝑣
𝑣
(Fig.4)
TERMODINÁMICAConceptos preliminares de las trasformaciones 
adiabáticas
𝑄 = 0 ; 𝛿𝑄 = 0 ; 𝐶 = 0 ; (𝑞 = 0)
Se busca hallar la curva representativa de una 
Transformación Adiabática:
Partimos por comodidad de un sistema cerrado.
𝑞 = 𝑢 − 𝑢 + 𝐿 = 0; 𝑞 = 𝛿𝑢 + 𝛿𝐿 = 0
𝛿𝑢 = 𝑐𝑣 ∗ 𝑑𝑇 𝛿𝐿 = 𝑝 ∗ 𝑑𝑣
 𝑐𝑣 ∗ 𝑑𝑇 + 𝑝 ∗ 𝑑𝑣 = 0
 Como 𝑝 = ∗ => 𝑐𝑣 ∗ 𝑑𝑇 + ∗ ∗ 𝑑𝑣 = 0
 Dividiendo todo por (T)
𝑐𝑣 ∗ + 𝑅 ∗ = 0
Ecuación diferencial de una 
transformación adiabática.
Dividiendo todo por cv
∗ + ∗ = 0 Recordemos de Mayer R = cp-cv
 = = − = 𝐾 − 1
 El coeficiente K (característica de una transformación 
adiabática) es mayor que 1, dado que 𝑐𝑝 > 𝑐𝑣.
Reemplazando
𝑑𝑇
𝑇
+ (𝐾 − 1) ∗
𝑑𝑣
𝑣
= 0
Otra forma de la Ecuación diferencial de 
una transformación adiabática.
𝐾 =
𝑐𝑝
𝑐𝑣
TERMODINÁMICAIntegrando de manera indefinida la expresión anterior:
𝑑𝑇
𝑇
+ (𝐾 − 1)
𝑑𝑣
𝑣
= 0
ln 𝑇 + 𝐾 − 1 ∗ ln 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒
Haciendo la operación inversa al logaritmo nos queda:
𝑇 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒
Si trabajamos la expresión matemáticamente (Ver apuntes)
Obtendremos otras formas de poder expresarla:
𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒
𝑇 ∗ 𝑝 = 𝑐𝑡𝑒
En una transformación adiabática: 𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒
Como K>1 la adiabática es una hipérbola de mayor 
pendiente que la isotérmica.
Nota: Se puede apreciar, que entre los mismos límites 
de presión, el trabajo de circulación de la 
transformación Adiabática es mayor que el trabajo de 
circulación de la Isotérmica.
𝑇 ∗ 𝑝 = 𝑐𝑡𝑒
Otras formas de 
expresar la ecuación 
representantiva de 
una Transformación 
Adiabática
Ecuación representativa de 
una transformación 
Adiabática
TERMODINÁMICA
Ahora analicemos las expresiones antes vistas entre 
dos estados cualesquiera (1) y (2):
Si 𝑇 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒.
𝑇 ∗ 𝑣 = 𝑇 ∗ 𝑣
𝑇
𝑇
=
𝑣
𝑣
Ahora bien, si analizamos que: 𝑝 ∗ 𝑇 = 𝑐𝑡𝑒
𝑝 ∗ 𝑇 = 𝑝 ∗ 𝑇
= => =
𝑇
𝑇
=
𝑝
𝑝
TERMODINÁMICAIV) Transformación adiabática: (Q=0); (δQ=0); (c=0); (q=0)
Figura 5
Trabajo para 
un Sistema 
Cerrado
SISTEMAS CERRADOS
𝑞 = 𝑢 − 𝑢 + 𝐿
 𝐿 = − (𝑢 − 𝑢 ) => 𝐿 = 𝑢 − 𝑢 
𝐿 = 𝑐𝑣 ∗ (𝑇 − 𝑇 )
Sacando factor común T1
𝐿 = 𝑐𝑣 ∗ 𝑇 ∗ 1 −
𝑇
𝑇
Multiplicando y dividiendo por R
𝐿 =
𝑅 ∗ 𝑐𝑣 ∗ 𝑇
𝑅
∗ 1 −
𝑇
𝑇
𝐿 =
𝑅 ∗ 𝑇
𝑅
𝑐𝑣
∗ 1 −
𝑇
𝑇
Como = 𝐾 − 1
𝐿 =
𝑅 ∗ 𝑇
𝐾 − 1
∗ 1 −
𝑇
𝑇
𝐿 =
𝑅 ∗ 𝑇
𝐾 − 1
∗ 1 −
𝑣
𝑣
𝐿 =
𝑅 ∗ 𝑇
𝐾 − 1
∗ 1 −
𝑝
𝑝
(Fig.5)
TERMODINÁMICAIV) Transformación adiabática: (Q=0); (δQ=0); (c=0); (q=0)
Figura 6
Trabajo para 
un Sistema 
Circulante
SISTEMAS CIRCULANTES
Suponemos que no hay variación de 
energía potencial ni cinética
𝑞 = ℎ − ℎ + 𝐿𝑐 = 0
𝐿𝑐 = − ℎ − ℎ = ℎ − ℎ
𝐿𝑐 = 𝑐𝑝 ∗ 𝑇 − 𝑇
Dado que en un sistema cerrado el 
trabajo es.
𝐿 = 𝑢 − 𝑢 = 𝑐𝑣 ∗ (𝑇 − 𝑇 )
Hacemos
𝐿𝑐
𝐿
=
𝑐𝑝 ∗ 𝑇 − 𝑇
𝑐𝑣 ∗ (𝑇 − 𝑇 )
= 𝐾
De donde
𝐿𝑐 = 𝐾 ∗ 𝐿
Por lo tanto, tenemos:
𝐿𝑐 =
𝑲 ∗ 𝑅 ∗ 𝑇
𝐾 − 1
∗ 1 −
𝑇
𝑇
𝐿𝑐 =
𝑲 ∗ 𝑅 ∗ 𝑇
𝐾 − 1
∗ 1 −
𝑣
𝑣
𝐿𝑐 =
𝑲 ∗ 𝑅 ∗ 𝑇
𝐾 − 1
∗ 1 −
𝑝
𝑝
Por calorimetría:
𝑄 = 𝐶 ∗ ∆𝑇 = 0; ∆𝑇 ≠ 0 => 𝐶 = 0
En una transformación adiabática la 
capacidad calorífica del sistema es 
igual a cero
(Fig. 6)
TERMODINÁMICAV) Transformación Politrópica: (c=cte)
SISTEMAS CERRADOS
Los casos antes mencionados son casos particulares de 
las transformaciones politrópicas.
Cuando un sistema evoluciona, es decir, se transforma 
al pasar de un estado a otro, lo hace en forma 
politrópica.
Puede ser que lo haga como en algún caso particular 
de los señalados; pero en general lo hace sin cumplir 
con condicionamiento alguno, salvo el señalado, es 
decir
c=cte
𝑞 = 𝑢 − 𝑢 + 𝐿 𝛿𝑞 = 𝛿𝑢 + 𝛿𝐿
𝛿𝑞 = 𝑐 ∗ 𝑑𝑇 𝛿𝐿 = 𝑝 ∗ 𝑑𝑣 𝛿𝑢 = 𝑐𝑣 ∗ 𝑑𝑇
=> 𝑐 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑐𝑣 ∗ 𝑑𝑇 + 𝑝 ∗ 𝑑𝑣
(𝑐𝑣 − 𝑐) ∗ 𝑑𝑇 + 𝑝 ∗ 𝑑𝑣 = 0 si 𝑝 = ∗
(𝑐𝑣 − 𝑐) ∗ 𝑑𝑇 +
𝑅 ∗ 𝑇
𝑣
∗ 𝑑𝑣 = 0
(𝑐𝑣 − 𝑐) ∗
𝑑𝑇
𝑇
+ 𝑅 ∗
𝑑𝑣
𝑣
= 0
𝑑𝑇
𝑇
+
𝑅
𝑐𝑣 − 𝑐
∗
𝑑𝑣
𝑣
= 0
Por analogía con la adiabática; tenemos:
𝑅
𝑐𝑣 − 𝑐
= 𝑛 − 1
Siendo (n), la constante de la 
Politrópica.
TERMODINÁMICAV) Transformación Politrópica: (c=cte)
Reemplazando, nos queda:
𝑑𝑇
𝑇
+ (𝑛 − 1) ∗
𝑑𝑣
𝑣
= 0
Ecuación diferencial de una Transformación Politrópica
Si desarrollaramos esta ecuación diferencial, nos daría lo 
mismo que para las adiabáticas, pero con el exponente 
n en lugar de K, o sea:
𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 𝑇 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 𝑝 ∗ 𝑇 = 𝑐𝑡𝑒
Si = 𝑛 − 1 => = 𝑛 − 1
𝑛 = 1 +
𝑐𝑝 − 𝑐𝑣
𝑐𝑣 − 𝑐
=
𝑐𝑣 − 𝑐 + 𝑐𝑝 − 𝑐𝑣
𝑐𝑣 − 𝑐
𝑛 =
𝑐𝑝 − 𝑐
𝑐𝑣 − 𝑐
Lo mismo sucede con las expresiones de trabajo, por lo 
tanto:
𝐿 =
𝑅 ∗ 𝑇
𝑛 − 1
∗ 1 −
𝑇
𝑇
𝐿 =
𝑅 ∗ 𝑇
𝑛 − 1
∗ 1 −
𝑣
𝑣
𝐿 =
𝑅 ∗ 𝑇
𝑛 − 1
∗ 1 −
𝑝
𝑝
TERMODINÁMICAV) Transformación Politrópica: (c=cte)
SISTEMAS CIRCULANTES
𝑞 = ℎ − ℎ + 𝐿𝑐
Porque suponemos nula la variación de energía potencial y 
cinética.
𝐿𝑐 = 𝑞 + ℎ − ℎ
Dado que en el sistema cerrado.
𝑞 = 𝑢 − 𝑢 + 𝐿 => 𝐿 = 𝑞 + 𝑢 − 𝑢
Hacemos:
𝐿𝑐
𝐿
=
𝑞 + ℎ − ℎ
𝑞 + 𝑢 − 𝑢
𝐿𝑐
𝐿
=
𝑐 ∗ 𝑇 − 𝑇 + 𝑐𝑝 ∗ 𝑇 − 𝑇
𝑐 ∗ 𝑇 − 𝑇 + 𝑐𝑣 ∗ (𝑇 − 𝑇 )
𝐿𝑐
𝐿
=
−𝑐 ∗ 𝑇 − 𝑇 + 𝑐𝑝 ∗ 𝑇 − 𝑇
−𝑐 ∗ 𝑇 − 𝑇 + 𝑐𝑣 ∗ (𝑇 − 𝑇 )
𝐿𝑐
𝐿
=
𝑐𝑝 − 𝑐
𝑐𝑣 − 𝑐
𝐿𝑐
𝐿
=𝑛 => 𝐿𝑐 = 𝑛 ∗ 𝐿
El trabajo de circulación es n veces el trabajo de un 
sistema cerrado.
Nos queda enonces:
𝐿𝑐 =
𝒏 ∗ 𝑅 ∗ 𝑇
𝑛 − 1
∗ 1 −
𝑇
𝑇
𝐿𝑐 =
𝒏 ∗ 𝑅 ∗ 𝑇
𝑛 − 1
∗ 1 −
𝑣
𝑣
𝐿𝑐 =
𝒏 ∗ 𝑅 ∗ 𝑇
𝑛 − 1
∗ 1 −
𝑝
𝑝
TERMODINÁMICAPartiendo de la ecuación de la politrópica:
Isobárica: 𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒. 𝑛 = 0 𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒. => 𝑝 = 𝑐𝑡𝑒
𝑛 = = 0 => 𝑐 = 𝑐𝑝
Isocórica: 𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒. 𝑛 = ∞ 𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒
𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒. => 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 𝑛 = 𝑐𝑣 − 𝑐 = 0 𝑐 = 𝑐𝑣
Isotérmica: 𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒. 𝑛 = 1 𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒. => 𝑇 = 𝑐𝑡𝑒
𝑛 = = 1 𝑐𝑝 − 𝑐 = 𝑐𝑣 − 𝑐 => 𝑐 = ∞
Adiabática: 𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒. 𝑛 = 𝐾 = 𝑝 ∗ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒. 𝑄 = 0
𝑛 = = 𝐾 => c = 0
Si representamos lo antes expuesto 
en un diagrama de Clapeyron (P-v), 
podremos observar las distintas 
pendientes que toman las curvas 
para cada uno de los casos 
particulares anteriormente 
analizados.