MdCA_06 06_TEORIA_TRANSFORMACION DEL TENSOR DE PROPIEDADES ELASTICAS

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7 EI,ASTICID,{D LI\EAI
Análogamente, considerando las otras dimensiones, podemos obtener que:
^, _0v , 0w Ow Ou,r,-E-O! ; l*,=ar*E (7.1s)
(7.16)
elásticas (S1
Hooke se les
La tasa de la le,v consrirutiva (7.16) r,iene dada por:
ó=C:e+C:É
(7.17)
Paru el caso elástico lineal c es constante luego, c = 0 , resurtando así:
Notación Tensorial Notación Indicial
ó=clÉ 6i=c,¡r,ér, o'18)
Considerando Ia simetría del tensor de tensiones (o, = 6 ¡i _ 6 componentes
independientes) y del tensor de deformaciones (En:Etr _ 6 componentes independientes)
el tensor con las constantes erásticas presenta ¡imetna men,r.
lañ
"ukt -v ii/.t
ñ_ v 
¡jtk
(7.1e)
Debido a la simetría menor el tensor pasa de 81 a 36 constantes elásticas a determinar.
7 .3.L Ley de Hooke Gen eralizad,a, en la Notación de voigt
Aprovechando la simetría del tensor de tensiones podemos utilizar la notación de voigtpara almacenar sus componentes:
7 .3 Ley de Hooke Gener alizada
Notación Tensorial
La ley que reiaciona tensión-deformación (o - e) en su forma general es conocid a como /e1rle Hooke generaliTada dada por la sigüente expresión:
donde C es un tensor de cuarto
componentes independientes). A los
denomina mateia/es H ookeat¡osl.
Notación Indicial
o, =C¡*r E*r
orden que contiene las constantes
materiales que obedecen la le1, ¿"
oBS': Se dice que un material es homogéneo cuando las propiedades elásticas no
varían de punto a plrnto en el medio condnuo.
IUECÁNrc¡ o¡.1 tr{noro Co_r.-Tltuo: Corctpros BÁsrccts
t/'¡st >{o} =
Notación
Ingenieri I
Cada componente del tensor de tensiones (o11, 622, o33, 612, o23, o,r) puede ser
obtenida explícitamente utiüzando la reiación constitutiv a (7 .16). Expandiendo esta relación
parala componente or, hallamos:
Iu, ,
"=1,,.
["''o' =lo'z
Lor:
olt
6zz
o::
orz
oz:
ol:
o-.-
o...
6__
o 
r_r,
o-rt
o.,,
or
or.
6_
T-,r,
T-r=
f,_
orr =C,,*, tr.,
o, = Crrr¡ tr¡ * Cr,r¡ tz¡ + C,,r, €,,
^---- 
L-_v.- \-J
Crrrr trr C,rzl tzr Crrr, €r,
",,,1 
u,, a,,) u,, 
",,,1r,,?++
Cr,,, t,, Crr¡ t, Crr:: €::
Debido ala simetríamenor (sr¿ =t¡¿ € C¡r,r =C¡ru),la relación anteriorresulta:
olr =Cl' trr *C,,r, €22 +Crr:: t:: +2Cr rz€lz *2Crr,, €13 +2C1,¡ tr¡
Análogamente, podemos obtener las expresiones para 622, o33, 6tz, oz¡
agtupadas en forma matricial, resultando:
trr
Ezz
t¡¡
¿L rz
a^Lc27
28,,,
(7.20)
(7.21)
(7.22)
or: Y
(7.23)
c
Obsen'emos que el doblc . :
el sólido, luego esta ener-:.'-
| 1,
- O:q =_(or¡t11-o-:,) L-,J 
').,L Tensorial L
A continuación demosir.,:-
md1on C,j,., =C,,t,j.
7.3.2 Simetría dei
7.3.2.1 Ecuación ir
La ecuación de energía .:- :-
con, u - energía interr:.'- .'
del tensor tasa de de ti,::-. . -
fuentes intcrnas por u::.i . -
Considerando que el p: ---'
calor (r = 0), la ecuact' :-. - -
NOTA: Como hem' .
relacionadoconE::
deformaciones im¡----.,
É=é=Fr.D.F=D r
Teniendo en cuenta la .: - .
^,a.
donde consideramos
infinitesimales):
olr
6zz
o¡¡
orz
oz¡
ol:
c,,,, crr' c,,r, c,,,, c,,r, c,,,,
Crr, Crr, Crr' Cr,r, Crr', Crr*
Crr, Crr, Cr,r, Crr,, Crr, Crr*
C,r,, Crr, C,r' C,r,r Crr, C,r*
Crr,r Crr.'-, Cr,r, Crr^ Crr, Crr*
Crr,, Crr, C,r' Cr,r, C,r, Crr,,
{o}= tcl{e}
donde [C] .t Ia matriz con las propiedades elásticas.
La rcIación (7.23) nos indica que la representación del tensor de deformaciones en la
notación de \¡oigt tiene el sigüente formato:
7 E,LASTICIDAD LIN E,¡\I,
f'''t' =itrz
Lt r,
v"¡et >{€}=
Ezt
trr
Ezz
t::
2En
2En
2En
ttt
e,,,,
E_z
2u r,
2E 
r.,
2r,,
tr
t,,
Ez
| -\)'
I j'z
(7.24)
Ingenieril
Obsen emos que el doble producto escalar O : E tiene dimensión de energía almacenada en
el sólido, luego esta energía tiene que ser la misma obtenida por o: E o bien por {o}t {e},
+ g:g =l{o,rrr +o22r22 +or3trr +2o,re,r+2orrEr3 *2o',t,,)=}{t}i {t} (7.25)trriG¡ot ¿ L--G,gt
A continuación demostraremos que el tensor constitutivo elástico también presenta siruelría
ma1or C,¡r, = C r,,j .
7.3.2 Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
7.3.2.1 Ecuación de Energía
La ecuación de energía en forma local deducida en el capítulo 4 viene dada como:
pú-o,,D,, - pr+Q¡,,=0 (7.26)
con, u - energía interna específica (energía interna por unidad de masa); D,, -componentes
del tensor tasa de deformación (D,¡ =É,¡); p-densidad de masa; r-calor generado por las
fuentes internas por unidad de masa; Q, - vector flujo de calor.
Considerando que el proceso sea adiabático (q, =0) y sin que hava producción interna de
calor (r = 0), la ecuación de la energía se reduce a:
pú=o,,Du
.ll
- u - oo uu't 
= 
po'tu u
NOTA: Como hemos r.isto en el capítulo 2, el tensor tasa
relacionado con É por la expresión: É = Fr 'D'F . En
deformaciones implica que
É=é=Fr .D.F=D. r
y E=8, luego
Teniendo en cueflta la ecuación de continuidad en Ia forma Lagrangiana vista en el capítulo
4:
Po=JP = Po--P Q'28)
donde consideramos la aproximación de pequeñas deformaciones (deformaciones
infinitesimales):
(7.27)
de deformación D está
el caso de pequeñas
podemos decir que
I\{ECA*\ICA DEL N{EDIO CoITIIUo: CO\CF,PTOS BASICOS
l.l
¡ =lrl= l+l ''= r ' ,= ló,, 1 = t' ' Px'l
Para comportamiento elástico, Ia energa de deformación (a) es una
las componentes del tensor de deformación u=u(er), pudiendo
material (tasa) como:
D Ou 0e,¡
Dr" de,, Ot
ú=o'é,,
aE ij 
rr
y comparando con la ecuación (7.27), concluimos que:
f7 )c)\\''''./
función únicamente de
obtenerse su derir.ada
(7 30)
(7.31)
unidad de
energía de
(1 7)\\''"-,t
Con lo que se com::--
(C,¡*t =C*,,,), lueg,, -.
componentes indc¡.: -. -
7.3.3
dul 1
-=-O¡i 
=-6¡¡dE¡¡ P Po
7.3.2.2 Función Densidad de Energía de Deformación: V
En el caso de la eiasticidad lineal, la energía libre de Helmholtz, Ú (Pot
volumen), es sólo función de la deformación, i.e., Ú1e7=p' (densidad de
deformación por unidad de volumen) y viene dada por:
Ú(e¡=Ú'=Pou
que es Ia energ;a interna por unidad de volumen (densidad de energía),.v su tasa:
,I,r" = prú=b6,,É,,
p
=Ú" =o¡jét¡
Derivando la ecuación de la energ;a (7.32) con respecto ^ Ei
ecuación (7.31), podemos decir que:
av' 0u
-;-=Po 
^ =G,¡ -'+'dE i¡ de i¡
(7.33)
v relacionando ésta con la
(7.34)
Considerando la tensión como una función únicamente de la deformación, ou (E) , su tasa
queda definida como:
(7.3s)
y reemplazando o,, ación anterior, obtenemos:
(7.36)
o también:
. oo,, Doo,i=*€a ; O=¡;,t
dado por la expresión (7.34) en Ia ecu
. a (arlt"\.o --l 
- 
lt,-,
" }Ert[0u., J "' Podemos obsen-ar q*:' ...
A continuación, cSr.: r.: -- -
notación de \/oigt.
7 E,T,ASTICIDAD LI\h,Ar 467
. azi[/" azi[/ "
v-jj =-ct, =-c,,
' 0e r,Oe ,, ^' Dt,rO€ o, ^t
= C,i¡ é r, = C,¡r, é 0,
Con lo que se comprueba que el tensor constitutivo elástico
(C¡tr=Cr,¡), luego el número de términos independientes
componentes independientes.
(7.37)
Pfesenta simetría maYof
se reduce de 36 z 21
7.3.3 Ley de Transformación para la [-ey de Hooke
Generalizada
Considerando un sistema de coordenadas xyl x2, xr,la relación tensión-deformación (en
componentes) se establece a través de la ley de Hooke generab.zada como:
Notación Indicial
o u =C4tt Ett
Notación de Voigt
{o}=tcl{s}
(7.38)
Estas componentes están afectadas por cualquier cambio del sistema de coordenadas.
Luego, dado un nuevo sistema de coordenadas *i, ,i, xi,la le1'de Hooke generahzada
estará definida en función de las comoonentes de los tensores en dicho sistema:
Notación Indicial
6''j =Ctü' E''
Notación de Voigt
{o'}=[c']{e'}
(7.3e)
(7.40)
donde 6'¡,, E'¡¡ y C'¡o son las componentes de los tensores de tensión, deformación 1' de
las propiedades elásticas, respectivamente, en el sistema xi, xi, x't y dichas componentes,
en la notación de Voigt, vienen explícitamente dadas por:
{t'}=
Ei,
8,,,
ei,
2ei,
2E'r,
2eit
; {o'}=
o-rt
o,,.,
o__
o..,
o,,
6,,
8,,,
u",
8,,
2E'+
2E'r,,
28,,,
orr
ozz
o::
6tz
oz:
or¡
ci, cio ci, ciu
nf 
-f 
nf 
-fLzt Uzq Uzs Lza
c", c"o c", c"u
nt nl n, -fUz+ Uqq LqS Lqo
nf -f nf ntL¡s Lqs Lss Lso
nt nl nl nlL3e Uqt Use Uos
lc')= (7.41)
Podemosobservar que la matrtz simétrica [C'] co.ttie ne 2L componentes independientes.
A continuación, estableceremos las le1rs5 ¿. transformactón pan dichos tensores en la
notación de Voigt.
ult utz
Ltz Lzz
Lr¡ uzs
lrt n \'"^
Ll s Lzs
Lro Lzs
Nf¡:cirlc¡ DEt- ivfEDIo Colrtluo: Corcepros B'istcos
T.B.S.I Matriz de Transformación de los Tensores de TensiÓn y de
DeformaciÓn
Si en un determinado punto del medio continuo las componentes del tensot de tensión y
de deformación, asociadas al sistema de coordenadas x¡, xz, x3 , eStán representadas por
6,j, E,j, respectivamente, las nuet'as componentes de estos tensores de segundo orden en
un nuevo sistema caractenzado por una rotación del sistema originai, serán o', y E'i, ' cuYas
lel.es de transformación son:
Se puede demostrar C-*r ,.
lu)' +lMl' ,t [tr/]-' = ."
Notación Indicial
o', = a ¡¡a ¡to kr
Notación Indicial
E', = e ¡¡a ¡tt tt
Notación Xlatriciai
o'=AaAr
Notación X{atrictal
€'=A€Ar
7.3.3.2 Matriz de T:
Como 1'a se ha t-isto .-:r .
tensor de cuarto orde : .'
La transformación ar::
la relación (7.38):
trfnt)ldonde p I CS lA n'..:-:..
podemos obtener la ,-
elástico en la notaciri:: :-
(7.44)
quedan
(7,45)
(7.46)
tensor de tensiones en
2arra*
2a rra r.
2a,ra t,
(or.or, + orrorr)
(orror, + arrarr)
(o.ror, + arrarr)
(7.47)
attotl
a ztQ z3
a zta zz
(or.or, + arrarr)
(orror, + arrarr)
(orror, + arrar, )
(7.42)
(7.43)
donde la matriz de transformación .,4 r,iene explícitamente rePresentada por:
I o, etz a,,l
a., = A=l a, a.t a.,, IIJ I -' \
Lat atz av )
En la Notación de Voigt las leves de transformación (7.42) y (1.43), ver capítulo1,
dadas respectivamente Por:
{o' } -- lMl {o} % ¡o¡ = lu)-' {o' }
{r'} = [^/]{r} "*'" ,{e} = [¡/]-' {t'}
donde [M] ", 
la matrtz de transformación de las componentes del
Notación de \/oigt, y viene dada explícitamente por:
orr' orrt orr' Zarrar, 2arran
o rr' o ,r' o ,r' 2a "ra r. 2a ,ra '
orr' oart orrt 2arrar, 2arraat
e2ta, azzatz ut3az3 (arrar.r. + at2a2t) (orror, + orrorr)
ettazt ezzazz aztezz (orror, + a3za2t) (o.ror., + orror.)
a3tatt et:atz a3ta, (orror, + arrarr) (orror, + arrarr)
attetz QtzQtl
Q¡tA.>.¡ QzzQzz
Qt¡Qp anQl¡
(orror, + a''a2t) (orror, + arrarr)
(orror, * arrarr) (orror, + arra,r)
(orror, + a3.att) (orror, + a.ratr)
Iul=
), [^/] es la matriz de transformación de las componentes del tensor de deformación:
wl=
1)2
Qn arz at3
222
o zt a2z azz
i)2
azt az2 azt
2arrar, 2arrar, 2arra,
2a rra r, 2arra r, 2a rra r.
2arrar, 2arrar, 2ar.ar',
7 .4 Tensor C o
7.4.1 AnisotropÍ.
Los materiales en !... -:
propiedades del misnr :
de materiales en un.r Ji-
nivel macroscópico. ...,.'
dichas propiedade..
macroscópicamente. .) .,
transformación del S-:r- r-
que está formado pL): -.1 :
materiales fabricados : :
pueden estar const::--- i
presentando así una c--.:,'- ,
La mayoría de los m::...
estos ejes se pueden ::.-.,:
Figura 7.4b) tenemos ..:'.(7.48)
7 E,I ,,\ST.ICID.\D LI\EAI-
Se puede demostrar que las matrices t¡"t) v [Arl no son maüices ortogonales, es decir,[u] +Uvr]' y [^r]-' *[Nlr y además se puede demosüar que:
[M]' =[¡r]-'
7 '3'3'2 Matnz de Transformación del Tensor de propiedades Elásticas
Como ya se ha'isto en el capítLrlo 1, la ley de transformación panlascomponentes de untensor de cuarto orden es:
C'¡¡¡ = q ipT ¡qQ k,Q trl pq,, (7.s0)
;^.ff::?lffii:" 
anterior se puede expfesar en Notación de voig t, pataello partimos de
{o}= [c]{s}
{s}
[u]{o}=t¡"tltclñdB
{o' } = l¡úllcll¡,r1" {t'}
{o'} = [¡"t]tc) [M], {e'}
{o'}=[c']{t'}
donde [c'] .r la matiz consrituri'a elástica en er nuevo sistema (xi, x,r, xj). Luego,podemos obtener la ley de transformación para las componentes del tensor constitutivoelástico en la notación de Voigt como:
lc'l=[¡"t]lcl [¡"t]'
I-e1 de transfomtación de /a
matrile/á¡tica en Notación de (j.52)
Votq
7 .4 Tensor Constitutivo Elástico
7.4.I AnisotropÍa e Isotropía
Los materiales en genefal son anisótropos, es decir, en un punto del material laspropiedades del mismo presentan t'alores áiron,o, p"r^ arro"tas direcciones. ciertas clasesde materiales en una escala microsc .
nivelmacroscópico,estaspropi.d,d:l';XJJ.T'::i".fi :t1':,.X1"JJlj:':;,T,n'h:::dichas propiedades, p"áie.taore así considerar el material como isótropomactoscópicamente, 
. 
es decir' las propiedades del materiar son independientes de latransformación del sistema de .oori"ád"r. c";;-"1"-plo podemo. .i,", el hormigón,que está formado por la mezcla de distintos materialer. FI.u materiales como la madera omateriales fabricados por el hombre' como por ejemplo materiales compuestos, quepueden estar constituidos por fibras direccional-.rr," embebidas en una matriz,presentando así una clara anisotropía, incluso a un nir.el macroscópico.
La mayona de los materiales poseen algún tipo de simetría sobre uno o más ejes, es decir,estos ejes se pueden invertir sin cambiar las propi.drJ., del material. por ejemplo, en laFigura 7.4b) tenemos un plano de simetrír,^"I pl".ro xt _ xz, )¡a que podemos hacer el
(7.4e)
(7.51)
464 ]Vfnc^.rlc,I DEL N{EDIO CoITTIUo: CONCEPTOS BÁslcos
cambio de sistema de coordenadas del sistema x,,
1as propiedades elásticas del material. En la Figura
xt-x2Y xz-xt.
Recordar que la le1' de transformación del sistema
dada por la relación:
x21 x3 al sistema ,i, *'r, x] sin altent
7.a@) tenemos dos planos de simetría
x11 x2, x, al sistema xí, xz,
7.4.2.2 Simetría \1c:
Considerando el marec-:,
transformación entre los .-.-
f "il [o'' Qn "" 
.]['' 
]
I xt J=l a¡t Q¡t Ct¡t l.r, I
L"í I L,;; e','z "; i L'; ]
.]r3 vlene
(7.53)
a) Sistema de
coordenadas
,--;;-^lvr16r rrar
b) Un plano de
simetría
c) Dos planos
de simetría
SimeÍna Ticlínica
21 componentes independientes Q '54)
con esto podemos obrc::.:
Para obtener Ia marnz
operación de matrice s:
resultando:
l ¡r'l
lL'l=
Ya que para esta tran.:-
decii, ÍC'l=[C], podc:::
ser cefo para satisfacer -
plano de simetría Ia -.:.
almacenadas como:
lc)=
Figura 7.4: Planos de simetría.
Estudiaremos, a continuación, las distintas simetrías que pueden presentar los materiales.
El material puede presentar un plano de simetría (simetría monoclínica); dos planos de
simetría (simetría ortótropa); simetría tetragonal; simetría transversalmente ortótropa;
simetría cúbica )'por ultimo una simetría en todas las direcciones (isotropía).
7.4.2 Tipos de SimetrÍa del Tensor Constitutivo Elástico
7.4.2.1 SimetríaTriclínica
La simetda triclínica es el caso más general de anisotropía para un material. El tensor
elástico presenta 21 componentes independientes a determinar:
[c)=
cn cn cn cro cÉ c,,u
cD cn cn cro cT cru
cB cn cT cro c$ cru
cro cu cro coo co, cou
c$ cx cy c4s css cru
cru cru cru cou cru cuu
c)
C:
vll
0
0
7 E,LA,STICI DAD LINI-AI
7.4.2.2 simetría MonoclÍnica (un plano de simetría)
Considerando el material con un único plano de simetría (plano xr - xz), la ley de
transformación entre los sistemas de las Figura 7.a@) y Figura 7.4(r) l'iene dada por:
['íl [r o o l[r, l
l"l l=lo r o llx, I
L"; I lo o -'l 1", l 17 q\\--T-
con esto podemos obtener la matrtz de transformación (lMl ), definida en (7.47), como:
[u]=
1000 0 0
0100 0 0
0010 0 0
00010 0
0 0 0 0 -1 0
0 0 0 0 0 -1
(7.s6)
Para obtener la matriz constitutir.a elástica en este nuevo sistema, efectuamos la siquiente
operación de matrices:
resultando:
[c'l= (7.s8)
Ya que. P.ara.esta transformación la matriz constitutiva elástica debe presentar simetría, es
decir, LC')=lcl, podemos concluir que los términos que presentan úgno negativo deben
ser cero para satisfacer la condición de simetría. Luego, para materiales que presentafl un
plano de simetría la matriz constitutiva elástica contiene 13 constant"r i.rá"p.ndientes,
almacenadas como:
[c'l=[u)lc) [M]'
cn cn cB cro - cr, - cru
cn cr2 cn cro - cr, - cru
cn cn cn cro - cr, - cru
cro cro cro coo - co, - cou
- cr, - cr, - cr, - co, c$ cru
- cru - cru - cru - cou cru cuu
(7.57)
Sinetna Monoclínica
13 constantes independientes Q '59)
lcl=
00
00
00
00
C* Cru
Cru Coo
C,, C,,C,, C,o
C,, C,, C,,, C,o
CB Cr3 CT Cro
cro cro cro coo
0000
0000
ivfEc,Lrlc¡ oEl N{noro CotTlxuo: CONCEpTos BÁsrcos
7.4.2.3 Simetría Ortótropa (Dos Planos de Simetría)
La ley de transformación entre los sistemas de la Figun 7.4@) ), Figura 7.a@) viene dada
pof:
7.4.2.4 SimetrÍa Te ::
Este tipo de simetría pÍc:,.
sobre éste, otros 4 plan,, . - -
,=[:
l0
I
0 ?l*''=
100 0 0 0
010 0 0 0
0010 0 0
0 0 0 -l 0 0
000 010
0 0 0 0 0 -1
(7.60)
(1.62)
donde se ha considerado la relación (7 .47) para obten er Ia matri, lMl.
Para obtener las componentes del tensor constitutivo elástico en el sistema
1a siguiente operación de matrices:
lc')=lu)lc'lIu)'
resultando:
x", efectuamos
(7.61)
lc')=
cl cn cr, -cro o o
cn cn cr, -cro o o
cn cn cn -cro o o
-cro -cro -cro c44 o o
o o o o cr, -cru
0 0 0 o -cru cuu
Para esta transformación particular se debe cumplir que lC'l=[C')=lC), luego la matriz
constitutiva elástica se reduce a 9 constantes independientes a determinar:
lc)=
QtQrCrt o o o
CDCnCr, o o o
CBCnCr, o o o
000c0000
0000css0
00000cuu
(7.63)
Si consideramos un tercer plano de simetría, vamos a obtener la misma m trrz constitutir.a
Í^1
[Cl definida anteriormente en (7.63).
NOTA: N{ateriales como los huesos presentan un alto grado de anisotropía. Pero, algunos
inr.estigadores consideran sólo dos planos de simetría (simetría ortótropa) para modelarlos
numéricamente. I
Para determinar las c, :. .:'
planos de simetría ..::--:-
por (7.63) 1' además c :-'
obtener las compooÉitt:' --
las matrices de trans:' :::- -
f-I CoS(+) :: -
A =l -riné , 't-
L0
Sinehía OtótrEa
9 constantes independientes Las componentes d. -. :--.
la relación:
resultando:
7 E,nSTICIDAD LINEAT
7.4.2.4 Simetría Tetragonal
E,ste tipo de simetría presenta 5 planos de simetría. Un plano de simetría (plano rr -¡z),y
sobre éste, otros 4 planos de simetría como los mostrados en la Figura 7.5.
Figura 7.5: Simetría tetragonal.
Para determinar las constantes de la matnz constitutiva elásúca es suficiente considerar dos
planos de simetría (simetría ortótropa) obteniendo así la m^tnz constitutir.a elástica dada
por (7.63) y además considerar el plano de simetría según dirección xi. Primero debemos
obtener las componentes de la matriz elásttca en el sistema xí - x'r. Pala ello, consideramos
las matrices de transformación:
467
I cos(f,) sin(f;) 0'l
/ = 
L- 
sin(f;) ."Í*, ?]-t,=
0,5 0,501 0 0
0,5 0,5 0 -l 0 0
001000
-0,5 0,5 0 0 0 0
o o o o #-io ooo Jrr-i
(7.64)
Las componentes de la matriz constitutiva elástica en este nuevo sistema vendrán dadas por
la relación:
lc'l=l*t)lcl lMl' (7.65)
resultando:
N{t,cÁxrc,t oEl Meoro Cotrrxuo: Coxcnpros B,tsrcos
(Cr,+Crr+2C,.\, n
| 
-l- 
lr u+¡
\+)
(Cr,+C.r+2C,r\ nl-- , l-'rr
\.+)
Ct, + C'
2
( c,, + C., + 2Crr\ n
l---- , l-u++
\+)
( c,, + cr. + 2c,r\ , n
| _____________:__ lT u44\4)
I C,, +C,., )l.---l
[2)
( c.. - c,,\l....-l14)
0
Cr, + Ct
2
Cr. + C.,
2
C,,
C:r - CF C,, + C== + 2C,, n*r0
24
Cr, + Cou
Ct - C',,
AT
Cr, - C,
4
Cr., - Crt
2
C
C
0
[)
[)
Crr. - C,
4
0
7.4.2.5 SimetrÍa T:
En la simetría transr r'::, '
isotropía según el ¡--'-:-
mismas propiedades r.:-r:
lc')
(7.66)
plano de simetría, cuvo plano se puede apreciar en
(7.66) tienen que ser iguales p^r^ Ia sigüente
z
Cr, - Coo
Cr, - Cuo
2
Cr, + Coo
2
- t-'l
Si en esta dirección (*i,ri) presenta un
Ia Figura 7.5, las componentes de
transformación de coordenadas:
0 00
0 00
0 00
-l 0 0
0 -1 0
001
[r o o.l
o =l o -r o l-[¡tz]=
L0 0 1.1
100
010
001
000
000
000
(7.67)
:-:a:)'
(-.-
( cr, + c., + 2c,r\ , n
l.. 4 )- "^o
(c,r+crr+2c,.\ n
t- t v1t
[ 4 )"
Crt + C,
2
Cr, - C,
4
( c,, + c", + 2c,r) nt 4 )-'^
(c,, +9,, +2c,,\ ^I:ILT'
( 4 )-'
( C,, +C,,\|''.'|t-l
\2)
(Crr-C,,\
l.-----l
[4)
0
^ Cr,-C,l' --::---"33 2
Cr. + Cr.
z
Cr. + C,
2
...
Podemos P^rt'r de -. :
algunas transform.lc- .--
lnicialmente consld.:-.:-
ángulo O, =90o, rc:;-:,:
A_
Utilizando la relacr,
sistema:
Cr, - C,
2
Cr, + Cuu Cou - C'
22
cuu - c* cr, + cou
22
c'll
(7.68)
y comparando las dos matrices (7.66) ,y (7.68), concluimos que: Crr=Crr;C55=C66i
Cn = Czt. Luego, la matrtz constitutiva elástica para un material que presenta simetría
tetragonal posee 6 constantes independientes a determinar:
Aplicando urra \¡ez más la transformación (7.52), podemos obtener la siguiente matrtz:
7 EL\STICIDAD LI\DA]-
(7.6e)
7 .4.2.5 SimetrÍa Transversalmente Ortótropa (SimetrÍa Hexagonal)
En la simetría transversalmente ortótropa, además de presentar simetría ortótropa, presenta
-sotropía según el plano xt - Í2, r'er Figun 7.6, es decir, que el material presenta las
:nismas propiedades para cualquier transformación de base en este plano.
lcl=
Cn C't, Cr, o o o
QrCrrCrr o o o
CBCBCr, o o o
000c0000
000ocrr0
00000c$
Simetría Tetragona/
6 constantes independientes
X3, X3
Nlatriz de Trans formación:
I cos(o) sin(a)
I
A=l - sin(a) cos(a)
I
L0 0
ol
ol
rl
iiiii..
Figura 7.6: Simetría transversalmente ortótropa.
Podemos p^ttir de la matriz constitutiva elástica de simetúa ortótropa (7.63) y a trar'és de
algunas transformaciones de coordenadas en el plano xt - xz obtener las constantes.
Inicialmente consideramos la transforrnación en el plano xt - xz, ver Figura 7.6, cuyo
ángulo a = 90o , resultando así la siguiente matriz de transformación:
[o 1 ol
'=L;' : ?] -tMt=
010 0 0 0
100 0 0 0
001 0 0 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 -l
000 010
(7.70)
Utilizando la relación (7.52) podemos obtener la matrtz constitutiva elástica en este rluevo
sistema:
tr{EcÁrlc¡ oIlr ir{noio Co\Tlr-uo: Co¡-cnrlos tsÁsrcos
C,,
C,,
n
uzz
0
0
0
0 0l
0 0l
I0 0l
0 0l
trl
"'' _ilJt J1 _l
[t r
lJt Jt
A=l-+ +
I "12 "!Z
L'0
Cn Cr, o
C| Cr, o
Qt Cr, o
00coo
000
000
00
00
00
00
Cuu o
O C,,
S i nt etna Tra n st, ers a /m e n te O tó tropa
5 constantes independientes
mismas propiedades s:
con P =90o, ver Figu:
lc'l= (7.71)
y si comparamos (7.63)v (7.71) deducimos que: C, t=Czz, Cz3 =C,r, Cr, =Cuo.
Considerando ahor¿ un ángulo ct = 45o para la lev de transformación, la matrjz de
transforma ción lMl queda:
0,5 0,5 0 1
0,5 0,5 0 -l
0010
-0.5 0,5 0 0
0000
0000
(7.72)
Utilizando la relación (7.52) podemos obtener la matriz constitutiy a elástica lC'l
nuevo sistema:
lc')=
I(c,, + c,r) + c* +(cn + cD) - c44 c,, o o o
+(cn + ct) - c44 *Gr, + crr) + coo cr, o o o
CrrcBCrrooo
o o o !(C,,_Crr) o ooooocr50
00000c$
en este
(7.73)
Como punto de p,:.: , -
expresión (7.63). Sr,:r-.: --
alrededor del eje .,.: :
consecuentemente :
Partiendo de esta re-.,:
matriz de transform:c,
A_
comparando (7.73) con (7.71) concluimos que coc =tr(cr, - crr), quedando así 5
constantes independientes. Cualquier otra transformación de coordenadas en este plano, no
reducirá el número de componentes. Así, la matÁz con las propiedades elástica, p"r" .r'
material que presenta simetía transversalmente ortótropa viene dada por
[cl=
Cn Crr. Cr, o o
CnCnCr,oo
CnCBctoo
o o o +(c,,_crr) o
0000c$
00000
0
0
0
0
0
C,,
7.4.2.6 Simetría Cúbica
I,os metales en general están formados por cristales que
el material presenta dos planos de simetría (simetría
(7.74)
presentan simetría cúbica. Es decir,
ortótropa) r' además presenta las
Reemplazando (-.-o
elástica [C']'
L
7 ELASTCIDAD LI\EAL
mismas propiedades si hacemos una rotación según el eje .r3 con o = 90o l según el eje xi
con P: 90o , ver Ftgxa 7 .7 .
Rotación según eje x,
0=90o
CG>
Rotación según eie xi
0 =90'c',->
Figura 7.7: Simetría cúbica.
Como punto de partida utilizaremos la matriz constitutir.a con simetría ortótropa,
expresión (7.63). Sometemos esta m tflz 
^ 
ún transformación cancterizada por un giro
alrededor del eie x3 con a = 90o , podemos obtener igualmente la rnatriz (1.71) y
consecuefltemente:
lcl=
CnC,,Cr, o o o
cncncr, o o o
CBCBCr, o o o
000c0000
ooo0crro
00000c$
(7.75)
Partiendo de esta relación (7.15) y haciendo el giro al rededor del eie
matriz de transformación queda:
xi con 0=90o ,la
o oo'l
o o ol
0 o ol
0 0 ll
o -r ol
-l o 0_l
[r ool/=lo o rl-+Iu)=
L0 -r 0.1100
001
010
000
000
000
(7.76)
(7.77)
Reemplazando (7.76) en la ley de transformación (7.52), obtenemos Ia maütz constitutiva
elástica [C'l:
lc'l=
C,,
nLr:
C,,
0
0
0
CrrCrr o o o
ca3crr o o o
CrrCrrooo
o0crroo
ooocrro
oooocoo
N{EcÁxrc,c DEr. N{EDro Cor.Tr\uo: CoNCEpros BÁsrcos
Conlo que concluimos que: Czt=Cr,; Css=Cooi C,=Cn,\ra que lC,l=lC), resultando así
3 constantes independientes a determinar:
lc)=
CnCnCr, o o o
CnCnCr, o o o
cr. c,, cr, o o o
000c*00
0000c000
00000co¡
Sinetna Cúbica
3 constantes independientes
Isatropía
2 constantes Q.79)
independientes
(7.80)
lcl=¡
1.
1.
1.
0
0
0
Verificamos que 7 es ...:-:
lr
simétrico (I,,0, =:Ló,. 
^,^, 2,
con las propiedadcS c..--
tensorial e indicial com :
Considerando l.=K-:
constitutivo también p *.
Recordar que en el c¡:'
puedc ser escrito en iu:
La inversa de la matnz
(7.78)
7.4.2.7 Simetría en Todas Direcciones (Isotropía)
Finalmente, si el material presenta simetría en todas las direcciones se denomina materia/
isótropo. La matrtz constitutir.a elástica estará constituida por 2 constantes elásticas a
determinar:
[c)=
ul l
C,,
C,,
0
0
0
Crr.Cr, o o o
CtrCr, o o o
CrrCr, o o o
o o !(c,,_ct) o o
o o o |(c,,_c,r) o
o o o o \(cn_ctz)
000
000
000
p 0 0
o p o
oop
Haciendo un cambio de r.ariables: l.= ctz \ rt=i(crr-crr),la matriz constitutir.a erástica
se puede representar como:
lc)=
)t + 2¡t )\ ),
), ),+2p l
¡. ¡. ). + 2¡-t
000
donde las constantes 1", /¿ son conocidas como constanles t/e Lané.
Podemos descomponer la matriz [C] .orno,
0
0
0
0
0
0
lcl'=
t )-
i c)::
1
-t
^.-,/ll I \t -
-1
^ ,*¿Lr \_^/.- --
I
Podemos descompor:.:
7 ELASTCIDAD LI\E,AT
lc)=x
Notación Tensorial
C" = ).1 8L + 2¡il
1l
1l
11
00
00
00
1000
1000
1000
0000
0000
0000
000
100
010
00+
000
000
ool
o ol
0 0l
0 0l
+ 0l
ó+j
Ir
l0
l0
-v1ttl-*l 
o
l0
L0
['l Í
|ll
lr
lilh t t o o ol
tl
lol
L0l
\/erificamos que 7 es la matriz con ias componentes del tensor identidad de cuarto orden
- lr- ^ t.simétrico (I,¡,,, =;16 ,06 ,, + 6 ,¡6 ¡tl) en la notación de Voigt, r'er capítulo 1. Luego, el tensor
L
con las propiedades elásticas para un material isótropo r-iene rePresentado en notación
tensorial e inücial como:
(7.81;
(7.82)
Notación Indicial
ci*r =x6 ¡¡6 kr * ¡116,16 ,,+ óuór* 1
Considerando l. = r - tr lr , donde K es el nódulo de defornarión t'olamétrico, el tensor
constitutivo también puede ser escrito como:
(7.83)
Recordar que en el capítulo t hemos visto que cualquier tensor de cuarto orden isótropo
puede ser escrito en función de los siguientes tensores: 6 ,6 r, , 6 ¡¡6 ¡r ,6 ¡¡6 ¡¡ i
C,¡tt = ar 6 16 o, + ar 6,¡6 ¡¡ + ar 6,¡6 ,¡
La inversa de la matriz constitutiva elástica (7.80) t'iene dada por:
L X*1, -1 ¡, -l ¡. 0 0 0
p (3X+2tr) 2¡r (9,+2tt) 2p (3.?.'+2tt)
-l l 1 X+p, -l ¡. 0 0 0
,tt AX. rp) i AX * zp¡ ,tt O), + 2tr)
-l ¡" -l l I X+ ¡1"
lcl-'= ,tt AXl- rtD ,tt A)' - ,tD i fiX + 2t-r)
000
(7.8s)
Podemos descomponer Ia matnz [C]-' .o-o'
(7 84)
00
1o
l-r
01
l.L
00
0
I
n
c" = Klo 1+ ,rl, jr * rl
474 M¡rcÁrrc¡ DEL l,fuDro Coslluo: Cotcnprcts BÁsrccts
lll0
1ll0
1ll0
0000
0000
0000
00
00
00
00
00
00
I+-
2¡,r'
00
00
00
00
20
02
1000
0100
0010
0002
0000
0000
(),Tr(e)l + 2¡rc). ñ ='ioñ -
= 2¡te.ñ =yoñ - 7.Tr e n -
-€.ñ=y.ñ
Con lo cual concluim, . - - -
)' sus autovalores vie n.:. :-
7.5.2 Determinac
7.5.2.1 Módulo de :
Patra un cuerpo i'1, ,::-. - -
experimentalmente; Sr.,r- -
t Tensiofle S tr ,::r .
respecto al nt-..:
longitudinalt.:
' Tensiones t¿:r:-: -
' Tensiones :.::,- -
acortamien¡,-'.
Partiendo de estas su:
de:
t., = €r(or,o.,..o_- ,
Yr-,,' =Y.,-.', (T.,-, )
Podemos suponer Q-; ,.
normales:
Debido a que el matei-.., ,.
produce en €¡-, Figur; - '
CI' = I
donde
tl 7-l
rl
l^i[r r r o o o]l0t'
lol
lol
Verifiquemos que la segunda matriz de (7.86) es la inversa del tensor identidad simétrico de
cuarto orden en la notación de Voigt, r' además se cumple 9ue l,rr¡ =I,¡'u,luego, la inr.ersa
del tensor constitutir.o isótropo en notación tensorial e indicial puede ser escrita como:
Notación Tensorial Notación Indicial
(7.86)
(7.88)
(7.8e)
(7.e0)
c"r= -)' 1a1+-1-r
2p(9, + 2tt) 2¡t"
(o;,) = zr#;r¡,,6 r, +fila,ra ,, + 6,¡6 ¡r1 
í'az)
Se puede aún demostrar que C" : C" ' = ll')' = I.
7.5 Material Isótropo
7 .5.I l,ey Constitutiva
La le1'de Hooke generalizzda (7.1,6) para un material elástico üneal, homogéneo e
puede ser escrita utiüzando la ecuación (7.82), resultando:
o =(l.to1+ 2¡Á):e
=).18 1: € + 2u l:eñl.r ' .;E,
=),Tr(€)l +2pe
lsotfoPo
luego
Notación Tensorial
o=l"Tr(€)l +2pe
La forma inr.ersa de í.89) será:
Notación Tensorial
s = ----1- Trroll * -l-o2p"(3)u*2t) 2¡1,
Partiendo de la definición de autovalor y autovector del tensor de tensiones o .¡ = yoñ :
Notación Indicial
o,, =)"e*6, +2¡1.e,
Notación Indicial
-l . It,, =-O,.'.ó,. +-O'' 2¡t(9"*2lt) " 21,, t'
donde: E es el AIofu,, .,
coefciente de Poisson (adl::-.:
Podemos entonces csc:. .'
lt I
€_ =-lO. -V[O, +o^ E'" \ f