Momento Cinético

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�⃗⃗� 𝑖
𝐴 = 𝑟 𝑖 ∧ 𝑚𝑖𝑣 𝑖 = 𝑟 𝑖 ∧ 𝑚𝑖(𝑣 𝐴 + �⃗⃗� ∧ 𝑟 𝑖) donde 𝑟 𝑖 = (𝑃𝑖 − 𝐴) 
�⃗⃗� 𝑖
𝐴 = 𝑟 𝑖 ∧ 𝑚𝑖𝑣 𝐴 + 𝑟 𝑖 ∧ 𝑚𝑖�⃗⃗� ∧ 𝑟 𝑖 
 
𝑚𝑖�⃗⃗� ∧ 𝑟 𝑖 = 𝑚𝑖 |
𝑖̌ 𝑗̌ �̌�
𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
| = 𝑖.̌𝑚𝑖 . [𝜔𝑦𝑟𝑧 − 𝜔𝑧𝑟𝑦] − 𝑗̌. 𝑚𝑖 . [𝜔𝑥𝑟𝑧 − 𝜔𝑧𝑟𝑥] + �̌�.𝑚𝑖 . [𝜔𝑥𝑟𝑦 − 𝜔𝑦𝑟𝑥] 
𝑚𝑖�⃗⃗� ∧ 𝑟 𝑖 = [𝜔𝑦𝑟𝑧 − 𝜔𝑧𝑟𝑦]. 𝑖̌ + [𝜔𝑧𝑟𝑥 − 𝜔𝑥𝑟𝑧]. 𝑗̌ + [𝜔𝑥𝑟𝑦 − 𝜔𝑦𝑟𝑥]. �̌� 
𝑟 𝑖 ∧ 𝑚𝑖�⃗⃗� ∧ 𝑟 𝑖 = 𝑚𝑖 |
𝑖̌ 𝑗̌ �̌�
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
[𝜔𝑦𝑟𝑧 − 𝜔𝑧𝑟𝑦] [𝜔𝑧𝑟𝑥 − 𝜔𝑥𝑟𝑧] [𝜔𝑥𝑟𝑦 − 𝜔𝑦𝑟𝑥]
| 
𝑟 𝑖 ∧ 𝑚𝑖�⃗⃗� ∧ 𝑟 𝑖 = 𝑖.̌𝑚𝑖 . {[𝜔𝑥𝑟𝑦
2 − 𝜔𝑦𝑟𝑥𝑟𝑦] − [𝜔𝑧𝑟𝑥𝑟𝑧 − 𝜔𝑥𝑟𝑧
2]} − 𝑗̌.𝑚𝑖 . {[𝜔𝑥𝑟𝑦𝑟𝑥 − 𝜔𝑦𝑟𝑥
2] − [𝜔𝑦𝑟𝑧
2 − 𝜔𝑧𝑟𝑦𝑟𝑧]} +
�̌�.𝑚𝑖 . {[𝜔𝑧𝑟𝑥
2 − 𝜔𝑥𝑟𝑥𝑟𝑧] − [𝜔𝑦𝑟𝑧𝑟𝑦 − 𝜔𝑧𝑟𝑦
2]} 
𝑟 𝑖 ∧ 𝑚𝑖�⃗⃗� ∧ 𝑟 𝑖 = 𝑚𝑖. {[𝜔𝑥𝑟𝑦
2 − 𝜔𝑦𝑟𝑥𝑟𝑦] − [𝜔𝑧𝑟𝑥𝑟𝑧 − 𝜔𝑥𝑟𝑧
2]}. 𝑖̌ + 𝑚𝑖. {[𝜔𝑦𝑟𝑧
2 − 𝜔𝑧𝑟𝑦𝑟𝑧] − [𝜔𝑥𝑟𝑦𝑟𝑥 − 𝜔𝑦𝑟𝑥
2]}. 𝑗̌ +
𝑚𝑖. {[𝜔𝑧𝑟𝑥
2 − 𝜔𝑥𝑟𝑥𝑟𝑧] − [𝜔𝑦𝑟𝑧𝑟𝑦 − 𝜔𝑧𝑟𝑦
2]}. �̌� 
𝑟 𝑖 ∧ 𝑚𝑖�⃗⃗� ∧ 𝑟 𝑖 = 𝑚𝑖. [𝜔𝑥(𝑟𝑦
2 + 𝑟𝑧
2) − 𝜔𝑦𝑟𝑥𝑟𝑦 − 𝜔𝑧𝑟𝑥𝑟𝑧]. 𝑖̌ + 𝑚𝑖. [𝜔𝑦(𝑟𝑧
2 + 𝑟𝑥
2) − 𝜔𝑧𝑟𝑦𝑟𝑧 − 𝜔𝑥𝑟𝑦𝑟𝑥]. 𝑗̌ +
𝑚𝑖. [𝜔𝑧(𝑟𝑥
2 + 𝑟𝑦
2) − 𝜔𝑥𝑟𝑥𝑟𝑧−𝜔𝑦𝑟𝑧𝑟𝑦]. �̌� 
Para cada término, realizando la sumatoria, para un intervalo de suma tendiendo a cero y extendiendo la suma 
al infinito nos queda: 
𝜔𝑥 { lim
∆𝑚𝑖→0
∑ (𝑟𝑦
2 + 𝑟𝑧
2)∆𝑚𝑖
𝑛=∞
𝑖=1 } = 𝜔𝑥{∫(𝑟𝑦
2 + 𝑟𝑧
2)𝑑𝑚𝑖} = 𝜔𝑥𝐼𝑥𝑥 
Momento de inercia del cuerpo respecto de un eje paralelo a la dirección x y que pasa por el punto A. 
𝜔𝑦 { lim
∆𝑚𝑖→0
∑ −𝑟𝑥𝑟𝑦∆𝑚𝑖
𝑛=∞
𝑖=1 } = 𝜔𝑦{−∫(𝑟𝑥𝑟𝑦)𝑑𝑚𝑖} = 𝜔𝑦𝐼𝑥𝑦 
Producto de inercia del cuerpo respecto de los ejes x e y que pasan por el punto A. 
𝜔𝑧 { lim
∆𝑚𝑖→0
∑ −𝑟𝑥𝑟𝑧∆𝑚𝑖
𝑛=∞
𝑖=1 } = 𝜔𝑧{−∫(𝑟𝑥𝑟𝑧)𝑑𝑚𝑖} = 𝜔𝑧𝐼𝑥𝑧 
Producto de inercia del cuerpo respecto de los ejes x e z que pasan por el punto A. 
De la misma manera, para los diferentes términos obtenemos: 
𝑟 𝑖 ∧ 𝑚𝑖�⃗⃗� ∧ 𝑟 𝑖 = [
𝐼𝑥𝑥 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥𝑧
𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑦𝑧
𝐼𝑧𝑥 𝐼𝑧𝑦 𝐼𝑧𝑧
] ∙ {
𝜔𝑥
𝜔𝑦
𝜔𝑧
} = 𝐼 ̿ ∙ �⃗⃗� 
Para el otro término: 
𝑟 𝑖 ∧ 𝑚𝑖𝑣 𝐴 = 𝑚𝑖𝑟 𝑖 ∧ 𝑣 𝐴 
Para un cuerpo con infinitos elementos de masa: 
∑ (∆𝑚𝑖𝑟 𝑖 ∧ 𝑣 𝐴) = ∑ (∆𝑚𝑖𝑟 𝑖) ∧ 𝑣 𝐴
𝑛=∞
𝑖=1
𝑛=∞
𝑖=1 𝑣 𝐴 es constante y para cada elemento de suma 
Haciendo tender el elemento de masa al infinitésimo y tomando el límite de la suma: 
{ lim
∆𝑚𝑖→0
∑ (∆𝑚𝑖𝑟 𝑖)
𝑛=∞
𝑖=1 } ∧ 𝑣 𝐴 = (𝐺 − 𝐴) ∧ 𝑣 𝐴 
Por lo tanto la ecuación del momento cinético para un cuerpo rígido nos queda: 
�⃗⃗� 𝐴 = (𝐺 − 𝐴) ∧ 𝑣 𝐴 + 𝐼̿ ∙ �⃗⃗�