El término monopolar - Arturo Lara

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I. El término monopolar
La suma en el primer término de (8-7) es fácil de identificar. Es
S ^—Qtotal^Q
/= 1
(8-15)
donde Q es la carga neta del sistema. De esta manera, el término monopolar tiene la forma
Desarrollo mdtipolar dd potencial escalar
149
^(r)“4^7	(8-|6)
Dado que es éste el término dominante del potencial, cuando el punto de campo se encuentra muy lejos de las cargas se observa que toda la distribución actúa como si fuera una sola carga puntual, como ya se había concluido antes.
En este contexto, la carga neta Q recibe el nombre de momento monopolar de la distribución de carga. En otras palabras, el momento monopolar es la característica de la distribución de carga que es importante para el término monopolar.
Si las cargas se encuentran distribuidas de manera continua, la suma se puede remplazar por una integral por medio de (2-14), de manera que el momento monopolar puede calcularse a partir de
Q=J p(r')<tr'
Jv
(8-17)
donde la integral se toma sobre el volumen V de la distribución de carga fuente. Para distribuciones superficiales y lineales, se pueden obtener expresiones 'Similares por medio de (2-16).
IL El término dipolar
Si se sustituye (8-14) en la segunda suma de (8-7) se obtiene
N	N
2 cos0¡ = 2	+¿z+1ZZ¡)
/-i	«-i
* /,( 2	+^(2 «->'1+/,(2 «,*,)
(
N
(8-18)
Dado que la suma entre paréntesis de la ultima expresión contiene solamente las propiedades de la distribución de carga y no la posición del punto de campo, resulta ser una propiedad individual exclusivamente de la distribución de carga. Se le define como el momento dipolar, p, de la distribución de carga; es decir,
2
/-i
(S-l<9)
de modo que se puede escribir
N
2 ?,r,cos9,=r-p-=/¡j>x + /^ + /ip£
i -1
(8-20)
Cuando se sustituye esto en (8-7), se observa que el término dipolar puede escribirse en función del momento dipodar como
150
Multipolo» eléctricos
<M') =
„p L
477€0r2
pr
477€0r3
(8-21)
Nótese que (8-21) tiene la forma de un producto (escalar) de cantidades, una de las cuales sólo depende de la posición del punto de campo y la otra sólo de los detalles de la distribución de carga.
Si el punto P se encuentra muy lejos y si el momento monopolar Q se anula, entonces (8-21) será el término más importante en el desarrollo de 0, y el momento dipolar P será la característica dominante de la distribución de carga.
Si las cargas se encuentran distribuidas continuamente, la suma de (8-19) puede ser remplazada por una integral sobre el volumen V', de manera que p se puede encontrar a partir de
P
(8-22)
con expresiones similares para distribuciones superficiales y lineales.
III. El término cuadripolar
Este término es más complicado, pero puede escribirse en una forma útil y conveniente por medio de un método razonable directo. Si se utiliza (8-14), se encuentra que
r,2(3 eos2 — 1) = 3(r • rz)2 — r(2
= 3(/%xz + lyy¡ + lzZ¡f - r2(l2 + ly2 4- //)	(8-23)
En el último paso, de hecho se multiplicó r2 por 1, debido a (1-19) por lo que no se alteró su valor. Cuando se desarrolla el cuadrado de (8-23) y se agrupan los términos, se obtiene
r,2(3 eos2 0, - 1) = /X2(3xz2 - r,2) + 4 2(3yz2 - r,2)
+ 42(3z/2 - C2)++ ^>lylzyizi
(8-24) Ahora se sustituye (8-24) en la suma del tercer término de (8-7) después de factorizar el ± y sacarlo; también se dividen los últimos tres términos de (8-24), observando que 6lxlyXjy¡ - 3lxlyxiyi + 3lylxyiXi. Una vez realizado todo esto, se encuentra que la suma puede escribirse en una forma simétrica como sigue:
S <7/,2 (3 eos2 0Z — 1)
z
= 42 S <7/(3^2 - c2) + 44 S + lxlz 2
i	i	i
+ iyix^ + 42 S ^(3z2 - c2) + iyC£
Desarrollo multipolar del potencial escalar
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+ 4 4 S q^zíxí + lzlylL ^z¡yi + 42 S ^(3z,2 _ r¡2)	(8-25)
z	z	í
Nótese que cada término de este desarrollo es un producto de algo que depende solamente del punto de campo, es decir, su dirección, y una cantidad que depende exclusivamente de los detalles de la distribución de carga. Así, se define un conjunto de cantidades, Q¡k, que reciben el nombre de componentes del tensor del momento cuadripolar, como sigue:
Qjk = S - r^jk)	U, k = x,y, z)	(8-26)
i = 1
En esta expresión, j y k pueden ser independientemente x,y o z; el símbolo 8jk es el símbolo delta de Kronecker, que se define como
o = í 1 síj = k
jk \$sxj^k
(8-27)
Así, existen un total de nueve Q¡k definidas por (8-26). Por ejemplo,
Qxx = S ^(3x,2 - r,2)	= S q¿ x¡y¡
z	i
(8-28)
Al comparar (8-26), (8-28) y (8-25), se puede observar que la última podría escribirse de manera más compacta como
2 <7/,2(3cos2#, — 1)
i
= ix2Qxx + 4 4 Q*y+ 4 4 QXz
+ 4 4 Qyx + ly2Qyy + 4 4 Qyz
+ 4 4 QzX + 4 4 Qzy + lz2Qzz = S S 44& j = x,y,z k = x,y,z
(8-29)
Por último, cuando se sustituye (8-29) en (8-7) se observa que el término cuadripolar puede escribirse en función del momento cuadripolar como
QlTf.Qr Z j = x,y,z k = x,y,z
(8-30)
Si el punto P se encuentra muy lejos y si tanto el momento monopolar Q como el momento dipoiar p son cero, entonces (8-30) es el término principal del desarrollo de 0 y el tensor del momento cuadripolar, Q¡k, es la característica dominante de la distribución de carga.
Algunas veces es conveniente expresar el término cuadripolar explícitamente en función de las coordenadas del punto de campo en lugar de los cosenos directores. Esto puede lograrse utilizando lx =x/r, ly =y¡r, lz =z¡r, de acuerdo con (1-7) y (1-11). de manera que (8-30) queda como
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Multipolos eléctricos
<Mr)= -1 5‘| 2	2 JkQjk	(8-31)
477€or z j = x,y,z k = x,y,z
[Las formas (8-30) y (8-31) son reminiscencias del resultado obtenido en mecánica para la energía cinética de un cuerpo rígido cuando se la expresa en función de los momentos y productos de inercia.]
Si las cargas se hallan distribuidas en forma continua, la suma de (8-26) puede remplazare por una integral, de modo que para una distribución volumétrica se tendrá
Qjk= f P(y')(y'k'~r'28jk)d7f	(8-32)
J y
Por ejemplo,
2«•= f p(r')(3x'2-r'2)dr' Qxy= ( p(r')3x'y'dT'	(8-33)
J r"	J y
Existen expresiones similares para distribuciones superficiales y lineales.
Aunque (8-26) define un total de nueve cantidades Q¡k. realmente son menos las independientes. De (8-26) u (8-28) se observa que Qyx = Qxy y así sucesivamente; es decir,
QkjQjk
(8-34)
Así, el tensor del momento cuadripolar es un ejemplo de un tensor simétrico, y (8-34) reduce el número de componentes independientes a seis. Si ahora se suman las componentes diagonales, es decir, aquéllas para las que / = k, se tiene que
2.0 + Qyy + Qzz = 2 Q. [ (X2 - r2) + (3y,2 - r2) + (3z,2 - r,2) ] = O
i
dado que r2 —x2 +yz-2 + z2 ; así, se obtiene
11	(8-35)
y este resultado, que es verdadero sin importar la localización del origen ni la naturaleza detallada de la distribución de carga, reduce el número de componentes independientes a cinco.
Si la distribución de carga es muy simétrica, el número de componentes independientes puede reducirse aún más. Con un ejemplo de caso extremo, considérese el caso de simetría axial, es decir, la distribución que tiene un eje de simetría rotacional, tal como la de un cilindro, un cono o un huevo. Tómese al eje z como dicho eje y desígnense los elementos en este caso como Qjka. Entonces, para cada carga q' en (x',y', z) existirá otra carga del mismo valor en ( - .v',y' z’) y la contribución de este par a Qxra, por ejemplo, será 3q'x'y' 4 3q\ - ,vz)y, = O. Dado que todas las cargas pueden aparearse de esta manera, el resultado neto es que Qxva = 0. El mismo argumento se utiliza para el resto de los elementos fuera de la diagonal, de manera que
PZ = O (,/^A)
(8-36)
Desarrollo multipolar del potencial escalar
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con lo que se ha reducido el número a tres componentes. Pero, debido a (8-35), realmente hay sólo dos, ya que
a/+e,/+a/=o	(8-37)
Más aún, dado que no hay distinción real entre los ejesx y y en este caso, para cada carga en un valor dado de x habrá otra carga igual en el mismo valor numérico de y para el mismo valor de r . Por lo tanto, las sumas correspondientes de (8-26) serán iguales, con lo que
O a=O
\^xx *~yy
(8-38)
Al sustituir esto en (8-37), se encuentra que 2Qxxa + Qzza = 0. Por lo tanto, Qxxa= a = - \Qzza, por lo que realmente sólo hay una componente independiente del momento cuadripolar característica de la distribución de carga. Si se le llama Qa = Qzz“ al momento cuadripolar de esta distribución de carga axialmente simétrica, se tiene
Q^a = Qa
QXXa=Qyya=~-2Q
(8-39)
Bajo estas circunstancias, el término cuadripolar se simplifica considerablemente. Si se sustituyen (8-36) y (8-39) en (8-30) y se utiliza (1-9) para eliminar lx y ly, se encuentra que (¡)q se vuelve
Qa (3/z2—1)_ Qa (3cos2#—1)
4‘77’Cq	4r3	4t7€0	4r3
(8-40)
donde 0 es el ángulo que se forma entre el vector de posición r del punto de campo y el eje de simetría (el eje z). Un ejemplo de una situación como ésta se encuentra en los núcleos atómicos. Aunque sus propiedades deben ser descritas por la mecánica cuántica, el tratamiento es muy similar. Puede demostrarse que si un núcleo posee un momento cuadripolar, necesariamente debe poseer un eje de simetría en la dirección de su momento angular intrínseco o “espín”. Así, lo que se encuentra enlistado en las tablas de momentos cuadri- polares nucleares es esencialmente la cantidad Qa\ lo que realmente se tabula es Qa¡e, donde e es la carga electrónica, por lo que estos momentos cuadripolares nucleares están dados como áreas.