Multipolos eléctricos - Arturo Lara (1)

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Multipolos eléctricos
En principio, la ecuación 5-2 viene a ser un método para calcular el potencial debido a la distribución de cargas en cualquier punto de campo que se elija. Supóngase que las cargas se encuentran encerradas en un volumen finito de tamaño razonable. El volumen no necesita ser de una forma determinada sino que, de hecho, puede ser muy irregular. En las proximidades de un volumen tal, es de esperarse que los valores del potencial en varios puntos sean muy dependientes de los detalles de la distribución de la carga. Sin embargo, a medida que la distancia a este volumen se incrementa, parece claro que los detalles finos de la distribución de las cargas tienen menor importancia cada vez, siendo posible determinar el potencial principalmente de acuerdo con las variaciones a gran escala en las posiciones y magnitudes de las cargas. El caso extremo ocurre cuando el punto de campo se considera tan lejano a la distribución de carga, que ésta se comporta como si fuera una sola carga puntual; ya se vio este hecho en relación con (7-26) y (7-27). Lo que se desea ahora es conocer esta situación en mayor detalle, a fin de concluir que el efecto de la distribución de carga puede caracterizarse por un conjunto de cantidades que dependen de algunos detalles de la distribución, de manera similar a como algunas cantidades mecánicas, tales como la magnitud de la masa total y el momento de inercia de un conjunto de masas puntuales, dependen de diversas características de la distribución de masa. Estas cantidades reciben el nombre de multipolos eléctricos, y ya se les definirá en forma específica. Estas consideraciones también resultarán de gran utilidad para la descripción de los efectos de la materia en la electrostática, ya que, para los propósitos que se persiguen aquí, se considerará que un trozo de materia es esencialmente un conjunto de cargas eléctricas con distribución dada.
6- 1 Desarrollo multipolar del potencial escalar
La figura 8-1 muestra la situación general. Se tiene un sistema de N cargas puntuales, qx, q2, . . . , q¿, . . ,,q^, localizadas en un volumen V'. Se toma como origen 0 de coordenadas un punto arbitrario pero conveniente, que se encuentre ya sea en V o cerca de éste. Los vectores de posición de las cargas son , r2, . • rt, . .., ity. Se desea obtener el potencial, 0, en el punto de campo P, cuyo vector de posición con respecto a este mismo origen es r;
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así, P se encuentra en la dirección r a una distancia r de 0. Este potencial está dado por (5-2) como
4>(r) = f
i= 1
47T€0A,
(8-1)
donde R¿ = |r - rz |. Si se introduce el ángulo 0, entre las direcciones de r¿ y r, y se utiliza la
Figura 8-1 Geometría para el cálculo del potencial debido a un sistema de cargas puntuales.
ley de los cosenos, con ayuda de la figura puede observarse que
(8-2)
de manera que (8-1) queda
»	a
f(r)= S 			
> = > 477€0(r2 4- r,2 — 2rrz eos 0;) 7
(8-3)
Sin embargo, no hay nada específico que se pueda hacer con esto a menos que se conozcan los detalles exactos de la distribución de las cargas.
Supóngase ahora que P se encuentra lo suficientemente alejado de V', de modo que está más lejos del origen que cualquiera de las cargas. Aquí, r > r, para todas las z, la relación (Ti/r) es siempre menor que uno y se puede considerar un desarrollo en serie de potencias de esta relación. Si se factoriza la r2 de la raíz cuadrada en (8-2), se puede escribir
(8-4)
donde
Desarrollo multipolar del potencial escalar
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/ r \	/ r \2
t = — 2 í — ) eos B+1 — }
\ r I 1 \ r J
(8-5)
(8-6)
Ahora se introduce la serie de potencias
con el signo superior, para desarrollar la raíz cuadrada en (8-4). Se mantienen todos los términos del orden de (r¡lr)2 y se ignora el resto; así, no es necesario utilizar el cuarto término de (8-6) que incluye a t3 y, por lo tanto, a (r,/r)3. Sustituyendo (8-5) en (8-6) e ignorando todos los términos que contengan a (r¡/r)3 y (r,-/r)4, se encuentra que
3
+ 8
/ r. \	/ r \2
— 21 — ) eos# + ( — )
\ r )	\ r }
/ r \ ir \212
— 21 — ) eos B+ ( — I
\ r )	\ r )
(
r. \	] / r \ 2
y)cOS^+ 2(7) (3COS20,-’)
Si se divide esto entre r, de acuerdo con (8-4), y se sustituye el resultado en (8-1), se tiene que
^r)= Z¿7 S <7,+ 7-^—7 S ^z,cos(9;
4W , = 1	4^2 ,= 1
1	¿7 r2
+ —7 S ^7(3cos20,-1)+...	(8-7)
47re0/-3/=i 2
donde se han utilizado los puntos suspensivos para indicar que existen otros términos de orden mayor pero que no han sido calculados. El resultado (8-7) recibe el nombre de desarrollo multipolar del potencial. Los términos individuales de la suma se Úaman, respectivamente, el término monopolar, el término dipolar y el término cuadripolar. Puede observarse que su dependencia con la distancia r del punto de campo va como 1/r, 1/r2, 1/r3, y así sucesivamente, de tal forma que a medida que uno se aleja de la distribución de carga, los términos de mayor orden del desarrollo se vuelven cada vez menos importantes. Por conveniencia, la suma (8-7) se escribe en la forma
<í>(r) = <Mr) + </>p(r) +	+ • • •	(8-8)
Aunque no es necesario para lo que resta del capítulo, sí es interesante indicar que las funciones de los ángulos que surgieron en (8-7) son funciones que se conocen con el nombre de polinomios de Legendre. Si se escriben comoP;(x), estas funciones se definen por el desarrollo
1
(1 — 2xy +y2)i/2
00
= S PMy'
1 = 0
(8-9)
(|q<i;J><i)
de manera que vienen a ser los coeficientes de lasj^ en la suma. Algunas de ellas son
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P3(x) = |(5x3 —3x),....	(8-10)
Una vez que se conocen las primeras, las demás se pueden encontrar por medio de la relación recursiva que satisfacen:
(l + 1 )Pl+ j(x) = (2/ +1 )xPt(x) - IP¡_ i(x)	(8-11)
Se observa también que P/(l) = 1.
Si se compara (8-9) con (8-4) y (8-5), se puede observar que es posible hacer las identificaciones y =r¡ e y x = eos 0¿ ; ambas satisfacen las condiciones dadas entre paréntesis en (8-9). Así, se puede escribir
(8-12)
de modo que (8-1) puede escribirse, en general, como
1	00 i í n
4^0 ,_0 r'+l
(8-13)
cuyos primeros términos concuerdan con (8-7), que se obtuvo por desarrollo directo. Aunque (8-13) es una expresión completa del desarrollo general de 0, es necesario considerar únicamente la parte dada en (8-7).
Los resultados no son todavía del todo convenientes, dado que las cantidades que aparecen en las sumas incluyen tanto la localización del punto de campo P como las localizaciones de las cargas debido a la presencia de eos Sería mejor si se pudiera escribir los términos de (8-7) y (8-8) en forma en la que estos dos conjuntos de variables aparecieron separada y explícitamente, de preferencia en la forma de un producto de algo que dependa de la localización del punto de campo únicamente por algo que dependa exclusivamente de la distribución de carga. Para lograrlo, es necesario encontrar otra manera de expresar eos 0¡. En la figura 8-1 se puede observar tomando en cuenta (1-15), (1-97, (1-8) y (1-20), que
n r-r, A ír,\ lxxt +ly, +lzz¡
cosP =	—r- — |=	
rr¡ \ r¡ / r¡
(8-14)
donde lx, ly, y lz son los cosenos directores del vector de posición, r, deP, y x¡,y zi son las coordenadas rectangulares de la carga Resulta conveniente examinar cada uno de los términos de (8-8) por separado.