TP MATEMATICA APLICADA PARTE A 2020

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Matemática Aplicada 2020 
 
GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS PARTE A 
TRABAJO PRÁCTICO N°1 
Números Complejos 
1.- Dados iz −=1 , iz −=12 , iz −−= 13 , calcular: 
a.- ( )221 32Re zz + 
b.- 







3
21Im
z
zz
 
c.- 
1
32
z
zz
 
2.- Calcular: 
a.- 
)Im(
)Re(
iz
zi
 
b.- ( )zz +Im 
c.- ( )zi 
3.- Escribir cada uno de los siguientes números complejos en forma trigonométrica y 
representar gráficamente. 
a.- iz +=1 
b.- iz = 
c.- 1−=z 
d.- 31 iz −−= 
4.- Expresar cada número complejo en forma polar, resolver y, luego, dar el resultado en 
forma binómica. 
a.- 
2
22
344








+
+
i
i
 
b.- 
6
10310
55






+
+
i
i
 
 Matemática Aplicada 2020 
 
c.- 
( )
12
4545cos10
1515(cos5






+
+
isen
isen
 
5.- Calcular y representar gráficamente cada resultado. 
a.- ( ) 41232 iz −−= 
b.- ( ) 31iz −= 
c.- 5 32−=z 
d.- ( )
21
´3022´3022cos
2
1






+= isenz 
e.- 6
1
1
i
i
z
−
+
= 
f.- 3 1=z 
6.- Calcular y expresar en forma binómica 
a.- )2( isen − 
b.- )43( iLn +− (valor principal) 
c.- ( ) 321 ii −− 
7.- Calcular el valor de z 
a.- 





−=
22
cos
i
z

 
b.- ie
z −=1 
c.- 
iiz = 
8.- Hallar todos los valores de z tales que 0)( =zsen 
9.- Determinar y representar gráficamente los conjuntos de puntos del plano complejo 
caracterizados por las siguientes relaciones. Clasificar cada conjunto indicando si son 
abiertos, cerrados, conexos. 
a.- 622 −++ zz 
b.- 21 − iz 
 Matemática Aplicada 2020 
 
c.- 2+ zz 
d.- 1
4
2

−
+
z
z
 
e.- ( )( ) 1Re 2 z 
f.- 1)Im()Re(0  zz 
g.- 121 =−− iz 
h.- 1)Re( − zz 
i.- |𝒛|𝟐 > 𝟎 
j.- |𝒛| = 𝟏 
k.- 𝑹𝒆(𝒛)𝑰𝒎(𝒛) > 𝟎 
l.- 𝟎 < |𝒛 − 𝒊| < 𝟏 
 
 
 Matemática Aplicada 2020 
 
TRABAJO PRÁCTICO N°2 
Límite. Derivada. Funciones armónicas 
A.- Límite 
1.- Calcule los siguientes límites 
a.- ( )1052
1
+−
+→
zzLím
iz
 
b.- 
( )( )
42
132
22 ++
−+
−→ zz
zz
Lím
iz
 
c.- 
z
z
Lím
z 0→
 
d.- 164
8
24
3
2 3
++
+
→
zz
z
Lím
i
ez
 
e.- 
22
1
2
2
1 ++
−+−
+→ zz
izz
Lím
iz
 
f.- 
1
1
6
2
+
+
→ z
z
Lím
iz
 
g.- 14
2
4
++
→
zz
z
Lím
i
ez
 
h.- 
13
3
3
+








−
−
→
z
zez
Lím
i
ez
i


2.- Demuestre que si zzzf 23)( 2 += entonces 26
)()(
0
0
0
0
+=
−
−
→
z
zz
zfzf
Lím
zz
 
3.- Dada 
23
12
)(
+
−
=
z
z
zf demuestre que 
( )20
00
0 23
7)()(
+
=

−+
→ zz
zfzzf
Lím
z
 si 
3
2
0 −z 
B.- Derivada 
1.- Verifique si cada una de las siguientes funciones son derivables 
a.- zzw += 
b.- zw = 
c.- 
3zw = 
d.- 
2
zw = 
e.- 
zew = 
f.- 
zew = 
g.- 
2zw = 
h.- zw cos= 
i.- zsenw = 
j.- zLnw = 
k.- 
z
w
1
= 
l.- zw = 
m.- )Re(zw = 
n.- 
2
z
z
w = 
o.- )Im(zzw = 
p.- 
z
z
w
2
= 
q.- 
( )2)Im()Re()Re(2 zzizw +=
 
 Matemática Aplicada 2020 
 
2.- Calcule la función derivada de cada una de las funciones que se indican a continuación: 
a.- zw cos= 
b.- 
zew = 
c.- zsenw = 
d.- 
2zw = 
e.- zw= 
f.- zLnw = 
C.- Funciones armónicas 
1.- Halle la conjugada armónica de las siguientes funciones y escribir )(zfw = 
a.- 23 32);( xyxxyxu +−= 
b.- senyeyxv x−=);( 
c.- )1(2);( yxyxu −= 
d.- shyxyxv cos);( = 
e.- 22ln);( yxyxu += 
2.- Dada )(zfw = analítica, compruebe que las familias de curvas 1);( cyxu = y 
2);( cyxv = son familias de trayectorias ortogonales excepto si 0);( =yxu y 0);( =yxv 
a.- 
2zw = 
b.- 
z
w
1
= 
c.- 
zew = 
d.- zw cos= 
3.- Sea )(zfw = analítica en un dominio D tal que 0z . Empleando las condiciones de 
Cauchy-Riemann en coordenadas polares y admitiendo que todas las derivadas parciales de 
);( yxu y );( yxv hasta el orden dos son continuas, demuestre que en dicho dominio D , las 
funciones u y v satisfacen la ecuación diferencial de Laplace en coordenadas polares: 
02 =++   uuu 
4.- Si 𝑰𝒎[𝒇(𝒛)] = 𝟔𝒙 (𝟐𝒚 − 𝟏) y 3)( =if encuentre )1( if + 
5.- En un cierto dominio una función ivuf += y su conjugada 𝒇 ̅̅ ̅ = 𝒈 son analíticas. 
Pruebe que f y g son constantes complejas conjugadas. 
6.- Suponiendo que )(zfw = es analítica y 0)( = zf , pruebe que ctezf =)( 
7.- Si )(zfw = es analítica y ( )  ctezf =Re , demuestre que ctezf =)( 
 Matemática Aplicada 2020 
 
8.- Considerando las ecuaciones diferenciales de C-R encuentre la función analítica más 
general ( ) ( ) ( )yxivyxuzf ;; += para la cual: 
a.- xyyxu =);( 
b.- chxeyxv y=);( 
c.- 𝒗(𝒙; 𝒚) = 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒚 
9.- Determine h de modo que la función 23);( hxyxyxu += sea armónica en todo el plano 
coordenado xy. 
10.- Pruebe que si );( yxv es conjugada de );( yxu y );( yxu es conjugada de );( yxv
entonces ambas son constantes. 
11.- Si ( )  )1(2Im yxzf −= , determine la parte real y la función. 
12.- Construya una función analítica )(zf tal que ( )  ( )senyyyxezf x += − cosRe y 
1)0( =f 
Respuesta: 1)( += −zzezf 
13.- Demuestre que no puede haber función analítica cuya parte imaginaria sea yx 2
2 − 
14.- Halle )(zf sabiendo que 34)( −= zzf y iif 3)1( −=+ 
Respuesta: izzzf 4332)( 2 −+−= 
15.- Encuentre una función analítica )(zf tal que ( )  22 343Re yyxzf −−= y 0)1( =+ if 
Respuesta: iizzzf 262)( 23 −−+= 
 
 Matemática Aplicada 2020 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 3 
Transformaciones Lineales 
1.- Halle la imagen de 1=− iz mediante 
z
w
1
= . Represente gráficamente. 
2.- Encuentre la imagen mediante 
2zw = para: a) 1+= xy b) xy −=1 
3.- Transforme según 
2zw = el recinto: a) 







1
4
)arg(
z
z

 b) 







3
)arg(
32

z
z
. Represente en 
cada caso. 
4.- ¿En qué recinto se transforma el triángulo de vértices )0;0(A , )4;0(B y )6;2(C mediante 
iziw −+−= 1)33( 
5.- Verifique que el semiplano 0)Re( z se transforma en el semiplano 1)Im( z bajo la 
transformación )1( += ziw 
6.- Encuentre la imagen del semiplano 0)Im( z mediante zizw += . Represente el recinto 
y su transformado. 
7.- Determine y represente la imagen de 





2)Im(0
0)Re(
z
z
 según 1+= izw 
8.- Verifique que la imagen del semiplano kz )Im( mediante la transformación por 
inversión es el interior de una circunferencia sí 0k . ¿Qué ocurre si 0k ? 
9.- Halle la imagen de 





0)Im(
1)Re(
z
z
 mediante la transformación por inversión. 
10.- Transforme mediante 
z
w
1
= cada una de las siguientes curvas: 
a.- 1=− iz 
b.- 1)Im()Re( =+ zz 
c.- 332 =− iz 
d.- 164 =− zi 
e.- 1)Re( =z 
f.- 41 =−+ iz 
g.- 0)Im()Re( =+ zz 
h.- 2)Im()1Re( =++− izz
 
11.- Halle los puntos fijos en cada uno de los casos: 
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a.- 
i
w
1
−= 
b.- 
iz
iz
iw
+
−
−= 
c.- 
1
1
−
+
=
z
z
w 
d.- 
1
1
−
+
=
+
−
z
z
iw
iw
 
e.- 1
1
1
1
1

+
−
=
+
−
kquetal
z
z
k
w
w
 
f.- 
2zw = 
g.- 
3zw = 
h.- 
2izw = 
i.- 
1
23
−
+
=
z
z
w 
j.- 
3
13
+
−
=
z
z
w 
k.- 
iiz
izi
w
2
)71()23(
−
+−+
= 
12.- Encuentre la transformación bilineal más general que tiene como puntos fijos: 
a.- 1=z y 1−=z 
b.- 2=z y 2−=z 
c.- iz = y iz −= 
d.- 1=z 
e.- iz = 
f.- iz 43−= y iz −=1 
g.- iz 5= y iz −= 2 
13.- Transforme 21 =+− iz mediante iziw 43)1( +−+= 
14.- Transforme 1=− iz mediante 
iz
iz
w
+
−
= 
15.- Transforme 2=+ iz mediante 
4+
+
=
iz
iz
w 
16.- Transforme 1=+ iz mediante 
1
1
−
+
=
+
−
z
z
iw
iw
 
17.- Transforme 232 =+z mediante iizw 32 −= 
18.- Transforme 33 =+− iz mediante 33 −= ziw 
19.- Transforme 2=z mediante 
2
3
2
−
−
= z
i
w 
20.- Transforme 3=z mediante 





−=
3
13
z
iw 
 Matemática Aplicada 2020 
 
21.- Transforme xy −=1 mediante 
1+
−
=
z
iz
w 
22.- Transforme 1−= xy mediante 
iiz
z
w
−
+−
=
2
 
23.- Transforme 11 =+z mediante 
42 +
−
=
z
iz
w