Variable compleja - Ejercicios

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VARIABLE COMPLEJA Segundo Cuatrimestre 2020 
MATEMATICA PARA INGENIEROS 1 
 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 
INGENIERÍA QUÍMICA, INGENIERÍA DE MINAS Segundo Cuatrimestre 2020 
Guía de Trabajos Prácticos VARIABLE COMPLEJA 
 
 NÚMEROS COMPLEJOS 
 
1 – Representa en el plano los siguientes números complejos y exprésalos en la forma polar 
 a) 31 i b) 22 i c) 2 d) i4 
2 – Determina el valor principal del argumento para cada uno de los siguientes complejos 
 a) -7 b) i 4 , c) 31 i b)-2i 
3 – Realiza las operaciones y expresa los resultados en la forma a+ib 
a) )1,2()7,5( 
 
b) )2,1)(4,3( 
 
c) 
)43(
)21(
i
i


 
d)  1500i 
e) 
i
i
i
i 


1
1 
 
4 - Convierte las siguientes expresiones a la forma r cis Expresa todos los valores posibles de θ en 
radianes e indica el valor principal. 
 a) i3 b) i 3 c) i
i
i
2
1
1
3








 
 
5 - Calcula y representa gráficamente los números complejos correspondientes en cada caso 
a)
3 1 b)  
2
1
31 i
 
c)   4
1
16 
6 - Determina todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones. Expresa la respuesta en la forma 
a+ib. 
a) 𝑧3 + 8 𝑖 = 0 b) 0222  izz c) iz 
2
 d) iz 432  
7– Escribe todos los valores de las siguientes expresiones en la forma a + i b y representa en el plano 
complejo 
a)  921 i b)  
5
3

 i
 
c)   3/11  i d)  
2/1
1 i e)  
2/7
1 i 
 
 REGIONES EN EL PLANO 
 
8 - Representa gráficamente las curvas definidas por los conjuntos de números que verifican cada una de las 
ecuaciones siguientes: 
a) 3Im z b) 2
22  zz c)|𝑧 − 1 − 𝑖| = 1 d)|
𝑧−2
𝑧+1
| = 2 
e) iziz 
 
f) 822  zz
 
 
9- Representa gráficamente las regiones del plano definidas por los conjuntos de números que verifican cada 
una de las siguientes relaciones: 
a) R e (z) > 1 b)|𝑧| > 1 − 𝑅𝑒(𝑧) c)    21Re  iz d) 1)Im(
2 z
 
e) |𝑧 − 2 + 4𝑖| ≤ 3 f) 11 z
 
g) 
π
6
≤ arg z ≤ π 
h) |𝑧| ≤ 10 𝑦 −
𝜋
4
< 𝑎𝑟𝑔𝑧 <
𝜋
4
 
 
10 - Indica para cada uno de los conjuntos de los ejercicios 8 y 9 si son abiertos, conexos o dominios. En el 
caso de los conjuntos conexos, decir si son simples o múltiplemente conexos. 
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MATEMATICA PARA INGENIEROS 2 
 
11.- Encuentra la relación en términos de complejos que define las regiones representadas gráficamente. 
Indica para cada caso si corresponde a conjuntos abiertos, conexos o dominios. En el caso de los conjuntos 
conexos, decir si son simple o múltiplemente conexos. 
 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 
 
12 - Escribe las siguientes funciones complejas 𝑓 como el par ordenado de funciones reales de x e y 
(𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)) donde 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑅𝑒 (𝑓(𝑧)) y 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐼𝑚 ( 𝑓(𝑧)) 
 
a) 𝑓(𝑧) = 2𝑖𝑧 b) 𝑓(𝑧) = 2𝑧 + 3 + 2𝑖 c) 𝑓(𝑧) =
1
𝑧
 d) 𝑓(𝑧) = 𝑧2 
 
3 6 x 
y 
3 6 x 
y 
 1,5 3 6 x 
y 
 1,5 3 6 x 
y 
 −2 x 
y 
 -2 x 
y 
 
 
 
 
2 
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MATEMATICA PARA INGENIEROS 3 
 
Para cada uno de las funciones obtiene la imagen de 𝑧1 = 1, 𝑧2 = 1 + 𝑖, 𝑧3 = 𝑖, 𝑧4 = −1 + 𝑖 𝑦 𝑧5 = −1, e 
indica gráficamente la correspondencia entre los valores de la variable independiente z y la variable 
dependiente w. 
 
13 – Dados los siguientes puntos en el plano complejo  4/,11 z ,  4/,22 z ,  2/,23 z , 
 2/,14 z y la función compleja de variable compleja
zew  = 𝑒𝑥(cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃). Representa 
gráficamente estos puntos y sus puntos imagen. 
 
14- Escribe las siguientes expresiones en la forma a + ib, donde a y b son números reales 
a)𝑓(𝑧) = 𝑒2𝜋𝑖 b) 𝑓(𝑧) = 𝑒1+4𝜋𝑖 c)𝑓(𝑧) = −3𝑒𝑖𝜋 3⁄ 
 
15–Demuestra que si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, entonces |𝑒𝑧| = 𝑒𝑥 y 𝑒𝑧̅̅ ̅ = 𝑒 �̅� 
 
16 – Encuentra todas las soluciones de las ecuaciones a) 𝑒𝑧 = 1 + 𝑖 b) (𝑒𝑧 + 1)3 + 8 = 0 
 
17 - Obtiene las funciones de dos variables reales que definen la parte real y la parte imaginaria de las 
funciones f(z)= sen z y g(z) = cosh z . (Sugerencia 𝑠𝑒𝑛 𝑧 =
𝑒𝑖𝑧−𝑒−𝑖𝑧
2𝑖
 , 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑧 =
𝑒𝑧+𝑒−𝑧
2
) 
 
18–Expresa en la forma binómica z1 y z2 si z1= sen(1-2i) z2= cosh(2+i) 
 
19- Calcula todos los valores posibles para la función multivaluada f(z) = log z para z1 = −1 + √3 i y 
z2 = 10i. Expresa los resultados en forma binómica e indica el valor principal. 
 
 CONTINUIDAD, DERIVADA Y ANALITICIDAD 
 
21- Determina para qué valores de z son continuas las siguientes funciones: 
a) zzw  3 b) zw  
c) zzf )(
 
d)  33 )( yxixyzg 
 
e) 
21 z
z
w


 
 
 
 22 - Obtiene si es posible la derivada de las siguientes funciones y determina los valores de z para los que 
existe la derivada justificando tus respuestas 
a) 32)(
2  zzf , b)    322 13)( zzzzf  , c) 
z
z
zf


1
)( , 
d) 
2
1
)(



z
z
zf
 
 
23 - Determina la región del plano complejo en la que son derivables las siguientes funciones 
a) xyiyxw 2
22 
 
b)
22)( iyxzf  c) ixyxw
22  d) 𝑓(𝑧) = 𝑧̅𝑅𝑒(𝑧) 
 
24 - Obtiene, cuando exista, la derivada de las funciones del ejercicio anterior 
 
25- Demuestra por qué las siguientes funciones no son analíticas en ningún punto del plano complejo: 
a) 𝑓1(𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑖𝑦 b) 𝑓2(𝑧) = 𝑒
𝑦(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥) 
 
26-Determina en qué regiones del plano complejo son analíticas las siguientes funciones, y calcula su 
derivada en esos puntos: 
a) 𝑓(𝑧) = 2𝑧2 + 3 b) 𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑧−1 c)𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = −𝑥𝑦 +
𝑖
2
(𝑥2 − 𝑦2) 
d) 𝑓(𝑧) =
1
𝑧4+2𝑧2+1
 e) 𝑓(𝑧) = (3𝑥2 + 5𝑦) + 𝑖(6𝑥𝑦 − 5𝑥) 
28 - Demuestra las identidades 𝑥 =1
2
(𝑧 + 𝑧̅) , 𝑦 =
1
2
(𝑧 − 𝑧̅). Emplea este resultado para expresar las 
siguientes funciones como funciones de z e indica el dominio para el que son analíticas estas funciones 
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MATEMATICA PARA INGENIEROS 4 
 
a)  xyiyxzf  33)( b) 𝑓(𝑧) = 2𝑥2 − 2𝑦2 + 3 + 𝑖2𝑥𝑦 
 
 
CUESTIONARIO CONCEPTUAL 
 
Dadas las siguientes proposiciones; contestar por Verdadero o Falso, completar con la respuesta correcta o seleccionar la 
opción adecuada, según corresponda. Justificar la respuesta dada 
 
1.- Si z es un número complejo imaginario puro ( z = iy ) , entonces cos z es siempre un número real 
 
2.- La función 𝑓( 𝑧 ) = 𝑠𝑒𝑛 𝑧 es una función compleja no acotada 
 
3.- Todos los ceros de f ( z ) = sen z son reales 4.- e 3i(π/2) = ………………….. 
5.- Para z en los complejos y f ( z ) = √𝑧
3
 , entonces f ( 1 ) = √1
3
 =1 
 
6.- f ( z ) = ( z - 2 ) / ( z 3 - 8 ) es analítica para todo z / z  2 . 
 
7.- Si f es una función de variable compleja derivable si | z + 3 | = 1, entonces f es analítica para | z + 3 | = 1 
 
8.- La derivada de f ( z ) = Log z , | z | > 0 , 0 <arg z < 2  es f ´( z ) = e - i arg z / | z | 
 
9.- Si w = z 3 y  / 3 arg z  / 2, entonces __________arg w  __________ 
 
10.- Si f ( z ) = ( x + 1 ) 2 + i ( y + 1 ) 2 es derivable si x = y , entonces f resulta : 
 
i ) analítica si x = y ii ) no es analítica para ningún ( x , y ) iii ) es analítica en x = y = 0 
 
11.- Dada f ( z ) = 2 x 2 + 2 x y i selecciona las conclusiones correctas y justifica tus respuestas 
 
(a) f es derivable en (0 , 0) (b) f no es derivable para ningún complejo 
 
(c) f es analítica en (0, 0) (d) f no es análitica para ningún complejo 
 
12.- Si f ( z ) = z 2 , entonces la familia de curvas en el plano z que tiene como imagen rectas horizontales en el 
plano w ( v = K ) está dadas por la ecuación ……………………………………… 
 
13.- Si z = ( cos y + i sen y ) n , entonces | z | = ……………………. y el arg (z) = ………………… 
 
14.- Si f (z) = e z , entonces | f (z) | = ……………………. y el arg ( f (z) ) = ………………… 
 
15.- Indicar cuáles de las siguientes funciones son enteras 
 
f ( z ) = z 3 f ( z ) = 𝑧̅ f ( z ) = 1 / z 2 f ( z ) = cos z 
 
16.- Una función de variable compleja f (z) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) es derivable en todo punto para el que u 
y v son continuas y tienen derivadas parciales u x , u y , v x, v y continuas y su derivada es f ´( z ) = u x + i v x 
 
17.- Dada f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , f es continua en  una región del plano complejo si y sólo si u y 
v son funciones continuas en  
 
18.- Las funciones derivables en un dominio (conjunto abierto y conexo) son analíticas en ese dominio. 
 
19.- Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen ∀ 𝑧 = (𝑥, 𝑦) / x–y = 1 para f tal que f (z) = (x – y) 2 + 2i (x + y) , 
entonces f es analítica en x – y = 1 
 
 
 TRANSFORMACIÓN CONFORME – ARMÓNICAS CONJUGADAS 
 
29 – Considera la función ivuzzf  2)( 
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MATEMATICA PARA INGENIEROS 5 
 
a) Determina la ecuación de la curva en el plano xy para la que u =1, repite cálculo para v = 2. 
b) Encuentra el punto de intersección que está en el primer cuadrante para las dadas y las curvas obtenidas. 
c) Demuestra que las curvas son ortogonales en el punto de intersección. 
 
30 - Dadas las siguientes funciones, obtiene, cuando es posible, una función ivuzff )(/ , analítica en 
algún dominio D e indica el dominio de analiticidad de f. Expresa las funciones obtenidas en términos de la 
variable compleja z. 
a) 16 4422  xyyxyxu , b) 32 232 yxyxyu  , c) 23 2yxv  
d)  yyxsenyev x cos 
 
31- Verifique que las siguientes funciones son armónicas en todo R2 y encuentre funciones armónicas 
conjugadas para cada una de ellas: 
a) 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥5 − 10𝑥3𝑦2 + 5𝑥𝑦4 b) 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑦 
c) 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑥3 − 3𝑥𝑦2 + 2𝑦 
 
 SINGULARIDADES 
 
32- Para cada una de las siguientes funciones, determina el dominio de analiticidad y clasifica las 
singularidades. En el caso de singularidades polares determina el orden del polo. Para las funciones 
multivaluadas define el corte de rama 
a) 
12
23
)(
2
2



zz
zz
zf
 
b)
  222
1
)(
2
2



zzz
z
zf
 
c) 
senz
z
zf )( 
d)  zLogzf  1)( )e) 
4)( zzf  
 
33 - Localiza y clasifica las singularidades aisladas de las siguientes funciones. Debes tener en cuenta que 
para funciones de variable compleja también se emplea la regla de L´Hospital para salvar las 
indeterminaciones en el cálculo de límites 
a) 
2
)(
z
senz
zf 
 
b) 
 22 1
312
)(



zz
z
zf
 
c)







z
sen
zf
1
1
)(
 
d) 
22
)(


z
senz
zf 
 
 
Singularidades: Cuestionario Conceptual 
 
1.- Dada una función de variable compleja f , escribe las definiciones correspondientes a : punto singular o singularidad , 
singularidad aislada y singularidad no aislada. 
 
2.- Explica porqué f ( z ) = csec(1/z) tiene una singularidad no aislada en z = 0 , 
 
3.- Dada f ( z ) = Log z , π/4 <arg z < (π/4) + 2 π explica por qué los puntos arg z = π/4 son singularidades no 
aisladas 
 
4.- ¿ A qué se llama corte de rama? Define rama y punto de ramificación. Dada f ( z ) = √𝑧
3
 , determina el punto de 
ramificación y define un corte de rama y la rama que este determina. 
 
5.- Clasifica las singularidades aisladas y explica como las identifica. 
 
6.- Explica el procedimiento para obtener el orden de una singularidad polar y obtiene el orden de las singularidades 
polares de f si f ( z ) = 
𝑧
(𝑧−𝑖) (𝑧−5)5
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMATICA PARA INGENIEROS 6 
 
 
Aplicaciones de las funciones analíticas El Potencial Complejo 
 
Responde a las siguientes preguntas relacionadas con el empleo de las funciones analíticas y de las transformaciones 
conformes en la descripción del movimiento de un fluido 
a) Describe las características del movimiento de un fluido definido por una función de variable compleja analítica en un 
dominio. 
b) Cómo se expresa en el lenguaje matemático que " no hay circulación a lo largo de una curva cerrada" y que condición 
debe cumplirse para que esto suceda. Cuál es el significado físico de esta condición. 
c) Cómo se expresa en el lenguaje matemático que " no hay circulación a través de una curva cerrada" y que condición 
debe cumplirse para que esto suceda. Cuál es el significado físico de esta condición. 
d) Sea el flujo dado por f ( z) = u ( x , y) + i v ( x , y) analítica en un dominio 
¿ qué representan las familias u ( x , y ) = c y v ( x ,y ) = k ?. 
 
Interpreta y resuelve los siguientes problemas 
 
1.- Dado el potencial complejo F ( z ) = z 2 
a) Obtiene las líneas equipotenciales y de corriente. 
b) Obtiene el campo de velocidades correspondiente al movimiento del fluido y el módulo de la velocidad. 
c) Construye un canal limitado por los semiejes coordenados positivos y la hipérbola x y = 1 y representar 
gráficamente algunas líneas de corriente dentro de ese canal e interpreta el flujo definido por este potencial 
complejo. 
2.- Dados los potenciales complejos a) F( z ) = 2 Log z b) F( z )=− 2 Log z c) F( z ) = 2i Log z 
 
i ) Obtiene y representa gráficamente las líneas equipotenciales y de corriente 
ii ) Obtiene el campo de velocidades correspondiente al movimiento del fluido y el módulo de la velocidad. 
iii ) Interpreta el flujo definido por este potencial complejo. 
3.- Supone que el potencial complejo que describe el flujo de cierto fluido está dado por 
( z ) = 1 / z ( m2/seg ) para z  0 
a) Calcula las componentes de la velocidad del fluido en ( 1 , 1 ) 
b) Encuentra la ecuación de la equipotencial que pasa por ( 1 , 1 ) . Representa esta curva gráficamente. 
c) Determina la ecuación de la línea de corriente que pasa por ( 1 , 1 ) y representarla gráficamente. 
4 .- Supone que , en todo punto de cierto medio, las componentes del vector densidad de flujo de calor Q 
son Q X = 3 , Q Y = −4 calorías por centímetro cuadrado por segundo. 
a) Determina la temperatura ( x,y ) en grados. Suponer que ( 0 , 0 ) = 0 y que la conductividad k 
del medio es igual a 0,1 calorías por centímetro , grado y segundo. 
b) Encuentra la función de corriente ( x , y ). Suponer que ( 0 , 0 ) = 0. 
c) Traza las equipotenciales donde  es igual a 0,40 , −40. 
d) Traza las líneas de corriente  = 0,40 ,  = −40. Comprobar que son paralelas a Q. 
 
 
 MAPEOS 
 
34 – a) Hallar la imagen de la región 0 < 𝑅𝑒(𝑧) < 1 bajo la transformación lineal 𝑤 = 𝑖𝑧. 
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MATEMATICA PARA INGENIEROS 7 
 
b) Hallar la imagen del semiplano 𝑥 > 0 bajo la transformación 𝑤 = 𝑖𝑧 + 𝑖 . 
c) Hallar la imagen del semiplano 𝑦 > 1 por la transformación 𝑤 = (1 − 𝑖)𝑧 . 
 
35 - – Dada la transformación 𝑤 = (1 − 𝑖)𝑧 + 2𝑖 , hallar y graficar la imagen de: 
a) La recta de ecuación 𝑦 =
1
2
𝑥 + 2 b) el semiplano 𝑥 ≤ 1. 
c) La circunferencia |𝑧 − 𝑖| = 2 d) el triángulo de vértices 𝑖, −1 + 𝑖, −1 
 
36 - Hallar la imagen por 𝑤 =
1
𝑧
 de los siguientes conjuntos: 
a) de la circunferencia |𝑧| = 1 
b) de la circunferencia |𝑧 − 1| = 1 
c) Una recta horizontal 𝑦 = 𝑎 , y de una recta vertical 𝑥 = 𝑏 , a y b constantes reales. 
d) El semiplano 𝑦 > 𝑐. Distinguir los casos 𝑐 > 0 y 𝑐 ≤ 0 
 
37 - Dada 𝑤 = 𝑒𝑧, obtener la imagen de los siguientes conjuntos: 
a) 𝑥 = 𝑎, con a constante 
b) 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , con a,b constantes. 
c) 𝑦 = 𝑐, con c constante 
d) La región R dada por 𝑥 ≥ 0, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 
 
38.- Si f ( z ) = 
1
𝑧+𝑖
 , obtiene la curva en la que se transforma y = 1 . Representa gráficamente la región de 
partida y su transformada. 
 
39 - Si w = i z 2 , obtiene la región imagen de R = { z / 0 < arg z <  / 3 , 1 < | z | < 2 } . Representa 
gráficamente la región de partida y su transformada. 
 
40 - Halla y representa gráficamente la imagen de la región 0  Arg z   / 4 bajo la transformación 
 
𝑤 = (1 + 𝑖) 𝑧2 − 3 + 2𝑖 
 
41 - Dada la función logaritmo en el plano complejo zLogzfwf )(/  (donde tomamos la rama 
principal), halla las imágenes de las curvas: 
a) 0rz  , b) 0arg z , donde 00 y r son constantes reales. Representa gráficamente la región 
dada y su imagen. 
 
42- Si zLogw  , emplea los resultados del ejercicio anterior para obtener la imagen de la región 
 2arg4 21/   zzz 
Representa gráficamente la región dada y su imagen. 
 
43 - Dada zsenzfwf )(/  , la función trigonométrica seno: 
a) Obtiene la imagen de las rectas: x = b, b es una constante real. En particular, obtiene la imagen de las rectas 
x = 0, x = ± π/6, x = ± π/6, x = ± π/3, x = ± π/2. Representa gráficamente. 
b) Obtiene la imagen de las rectas: y = a, a es una constante real. 
En particular, obtiene la imagen de las rectas y = 0, y = ± 1, y = ± 2. Representa gráficamente. 
c) Obtiene las imágenes de las regiones siguientes: 
 
R1 = {z = (x, y) ∶ −
π
2
< 𝑥 <
π
2
 ; 1 < 𝑦 < 2 } R2 = {z = (x, y) ∶ 0 < 𝑥 < π ; 1 < 𝑦 < 2 } 
 
44 – Escribir la transformación fraccionaria 𝑤 =
𝑖−𝑧
𝑖+𝑧
 como composición de traslaciones, rotaciones, 
dilataciones e inversiones. Usar esto para encontrar la imagen del semiplano 𝑦 > 0. 
 
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MATEMATICA PARA INGENIEROS 8 
 
45 - Si 
)(
)(
)(
iz
iz
zf


 , obtiene la región correspondiente en el plano w de 2/1z 
 
 
 
CUESTIONARIO CONCEPTUAL 
 
Dadas las siguientes proposiciones; contesta por Verdadero o Falso, completa con la respuesta correcta o selecciona la 
opción adecuada, según corresponda. Justifica la respuesta dada 
1.- Si f ( z ) = 
4
22
)4(
)16(


z
z , f tiene en z = -4 
a) una singularidad aislada removible b) un polo de orden 4 c) un polo de orden 2 
 
2.- Si f ( z ) se define: 
 
2
1
z
si z 0 
 1 si z = 0 
 
3.- Dada una rama de f ( z ) = √𝑧
4 tal que f ( 1 ) = i , entonces √−1
4 = ………………….. 
 
4.- Dada la rama de f ( z ) = √𝑧
4 tal que f ( 1 ) = -i , entonces √−16𝑖
4 = ………………….. 
 
5.- Los puntos de ramificación y los cortes de rama son singularidades no aisladas 
 
6.- Si w = z 4 y 0 arg z  / 4, entonces __________arg w  __________ 
 
7.- La transformación f ( z ) = ( 1+  3 ) i produce una rotación  = _____ y una dilatación igual a _______ 
 
8.- Si f es una función de variable compleja analítica en z = a y tal que f ( a ) = b el Arg ( f ´(a) ) representa 
geométricamente……………………………………………………………………………………………. 
 
9.- Si f ( z ) = z 2 , entonces la familia de curvas en el plano z que tiene como imagen rectas horizontales en el 
plano w ( v = K ) está dadas por la ecuación……………………………………………….. 
 
10.- Si una transformación f / f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) es conforme para todo ( x , y ) entonces una red 
cartesiana x = c , y = k tiene como imagen dos familias de curvas ortogonales. 
 
11.- Indica cuál o cuáles de las siguientes transformaciones producen una rotación igual a /2 de los puntos del plano 
complejo para los cuales está definida la transformación 
 
(a) w = (  /2 ) z (b) w = z 2 + (  / 2 ) (c) w = i z 2 (d) w = i / z 
 
12.- Dada f ( z ) = sen z / z analítica  z  0 , tiene una singularidad aislada removible en z = 0 
 
13.- Si f no es analítica en z = a pero existe un entorno reducido de z = a donde f es analítica entonces z = a 
es una singularidad aislada de f 
 
14.- Si v es la armónica conjugada de u en  entonces - u es la armónica conjugada de v en . es un 
dominio 
 
15.- Si f es una función analítica en  resulta que latransformación definida por w = f ( z ) es conforme en 
 . es un dominio 
 
16 .- Señala cuál de las siguientes funciones analíticas se redefinen a partir de funciones multivaluadas o de relaciones 
que tienen más de un correspondiente para cada punto del plano complejo 
f ( z ) = z 3 f ( z ) = z f ( z ) = Log ( z ) f ( z ) = sen z 
 
Entonces f tiene en z = 0 
a) una singularidad aislada removible 
b) un polo de orden 2 
c) una singularidad esencial 
VARIABLE COMPLEJA Segundo Cuatrimestre 2020 
MATEMATICA PARA INGENIEROS 9 
 
17 .- Dada u ( x , y ) = x 2 + y2 es posible encontrar una función v ( x , y ) tal que u x = v y y u y = - v x en 
algún dominio ( conjunto abierto y conexo ) de modo que f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) sea analítica en ese 
dominio. 
 
18.- Si f ( z ) = u ( x , y )+i v ( x , y ) es una función analítica en algún dominio ( conjunto abierto y conexo )  del 
plano y f ´(x )  0 en esa región, las familias de curvas u ( x , y ) = c y v ( x , y ) =k con c y k constantes 
reales tienen como imagen rectas verticales y horizontales respectivamente. 
 
 
 INTEGRACIÓN COMPLEJA 
 
46 - Evalúa dzzf
C
 )( para los siguientes casos: 
a) 𝑓(𝑧) = 𝑧 ̅
1) C: el segmento desde i hasta 1. 
2) C: el arco de la parábola 𝑦 = (1 − 𝑥)2 desde i hasta 1. 
3) C: es el arco de la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 1 desde i hasta 1, en sentido horario. 
b) 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧 
1) C: el segmento desde 0 hasta 1. 
2) C: el segmento desde 1 hasta 1+i. 
3) C: el segmento desde 1+i hasta 0. 
 
47- Evalúa   
C
dziyyx 2 en 
a) si C es el segmento de recta que une el origen con el punto 1 − 𝑖, 
b) si C es el segmento sobre el eje x de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 1, luego a lo largo de la recta 𝑥 = 1 de 𝑦 = 0 a 𝑦 = 1. 
 
 
 TEOREMA DE CAUCHY – GOURSAT Y COROLARIOS 
 
48- Dadas las siguientes integrales, determina para cuáles se puede asegurar que el resultado es cero porque 
es aplicable en forma directa el Teorema de Cauchy – Goursat 
a) 


1
2 2
z
zz
dz
 
b)  


1
34 25
z
dzzz
 
c) 


2
1 1iz
ze
dz
 
d) dz
z
z
z



1
2
cos
 
e) dz
zz
z
z




2
11
2
12
 
f) 



2
2 1
2
z
dz
z
z
 
 
49– Calcula 
a) ∫(𝑧 − 2)3 dz
3
1
 , b) ∫ 𝑒𝜋𝑧
i 2⁄
i
dz c) ∫ cos (
𝑧
2
)
𝜋+2𝑖
0
 dz 
 
50 - Evalúa las integrales siguientes 
a)  
C
iziz
dz
)1)((
, para las siguientes trayectorias C: i) 
5
7
z , ii) 
2
3
 iz , 
 iii) 51  iz (recorrido positivo) 
b) 



2
2 1
2
z
dz
z
z
 
 
VARIABLE COMPLEJA Segundo Cuatrimestre 2020 
MATEMATICA PARA INGENIEROS 10 
 
 TEOREMA DE LA INTEGRAL DE CAUCHY 
 
51- Sea C la frontera del cuadrado encerrado por las cuatro rectas 𝑥 = ±2 𝑒 𝑦 = ±2 . Evalúa la integral de 
contorno 
i)  
C
dz
z
z
 
8
cos
2
 ii)  
C
z
dzz
 
12
 
 iii) 
C
dz
z
z
 
cosh
4
 
 
52- Evalúa empleando la fórmula de la integral de Cauchy 
a) 



aaz
adz
z
z
1 ,
14
 
b) 
 



2
2
2C/ sobre,
1
z
iz
zdz
z
e
 c) 
   
  



3
22
 
21
cos
z
zz
dzzzsen 
d) 


2
3 2
4
iz
z
dz
 
e) dz
z
z



11
31
1
 
f) 



2
2 1
2
z
dz
z
z
 g) 
 


2
22 1
z
z
zz
dze
 
 
53- Evalúa 
C
dzzf )( para las funciones f y contornos C que se indican: 
a)
 
3C/ sobre,
1
)(
4
2


 z
z
e
zf
z
 b)
  
2/,
11
)(
22


 zC
zz
z
zf
 
 𝑐) 𝑓(𝑧) =
𝑒𝑧
𝑧(1 − 𝑧)3
 , 𝐶: 𝑖)|𝑧| =
1
2
 𝑖𝑖)|𝑧 − 1| =
1
2
 𝑖𝑖𝑖)|𝑧| = 2 
d) 𝑓(𝑧) =
1
(𝑧+1)3(𝑧−1)(𝑧−2)
 , 𝐶: 𝑖)|𝑧| =
1
2
 𝑖𝑖)|𝑧 + 1| = 1, 𝑖𝑖𝑖)𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑛 ± 𝑖 𝑦 3 ± 𝑖 
 
 
 SERIES DE TAYLOR Y DE LAURENT 
 
54- Verifica los siguientes desarrollos de Taylor alrededor de z = 0. Expresa la serie empleando el término 
enésimo e indica la región de convergencia de la serie 
a) 
!4!3!2
1
432 zzz
ze z
 
b) 
!7!5!3
753 zzz
zsenz 
c) 
!6!4!2
1cos
642 zzz
z
 
d) 
!7!5!3
753 zzz
zsenhz 
e) 
!6!4!2
1cosh
642 zzz
z
 
f) 

321
1
1
www
w
 
g) 

321
1
1
www
w
 h) 
 


32
2
4321
1
1
www
w
 
i) 
 


32
2
4321
1
1
www
w
 
 
55- Escribe los primeros términos distintos de cero para los desarrollos en serie de McLaurin de las funciones 
siguientes y alrededor de los puntos que se indican en cada caso. Escribe el enésimo término de la serie y 
determina la región donde cada desarrollo es válido. 
a) 0 ,)( 0  z
z
senz
zf
 
b) 𝑓(𝑧) =
1−𝑧
1+𝑧
 , 𝑧0 = 0 
 
56- Sin desarrollar la serie, determina la región de convergencia para la serie de Taylor converge a la función 
dada: 
es correcto
VARIABLE COMPLEJA Segundo Cuatrimestre 2020 
MATEMATICA PARA INGENIEROS 11 
 
a)  n
n
n zc
z
1
1
1
0
4




 
b)  n
n
n zc
iz
5
8
1
0
2
3 




 
 
57- Aplicando desarrollos en serie de Taylor de funciones conocidas, encontrar el desarrollo de las siguientes 
funciones alrededor del complejo 𝑧0 especificado. Indicar radio de convergencia 
a) 𝑒𝑧
2
 (𝑧0 = 0) b) 
1
𝑧
 (𝑧0 = 2 + 𝑖) c) 
1
1−3𝑧
 (𝑧0 = 0) 
58 - Encuentra el desarrollo en serie de Taylor de f(z) = 𝑒
1
1−𝑧 alrededor del origen. Determinar el radio 
de convergencia. 
 
59- Descompone en fracciones simples para obtener el desarrollo en serie de Taylor alrededor de 𝑧0 = 0 de 
las funciones 
𝑓(𝑧) =
1
(𝑧 − 1)(𝑧 + 𝑖)
, 𝑔(𝑧) =
1
(𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 1)2
 , 
Indica el radio de convergencia. 
 
60-Encontrar el desarrollo en Serie de Laurent de las siguientes funciones alrededor de 0. 
a) f(z) = 
𝑠𝑒𝑛𝑧
𝑧2
 b) g(z) = 𝑧3𝑒
1
𝑧 c) h(z) = 
1+𝑐𝑜𝑠𝑧
𝑧4
 
 
61-Desarrollar las siguientes funciones en Serie de Laurent en las regiones indicadas: 
a) f(z)= 
1
𝑧(𝑧+𝑖)
 en i) |𝑧 − 1| < 1 ii) 1 < |𝑧 − 1| < √2 iii) |𝑧 − 1| > √2 
b) g(z) = 
1
𝑧2(𝑧−3)2
 en i) 0 < |𝑧 − 3| < 3 ii) |𝑧 − 3| > 3 
c) 
𝑒2𝑧
(𝑧−1)3
 en |𝑧 − 1| > 0 
 
62 - Desarrolla las siguientes en serie de Laurent en las singularidades aisladas y emplea la serie para 
clasificar la singularidadaislada 
a)
2
)(
z
e
zf
z

 
b)𝑓(𝑧) = 𝑐𝑜𝑠
1
𝑧
 c)
z
z
zf
cos1
)(

 
 RESIDUOS 
 
63- Calcula los residuos en los polos de las siguientes funciones 
a) 
zz
tgz
zf
4
)(
2 

 
b) 
1
)(
3 

zz
z
zf
 
c) 
 5
)(
iz
e
zf
z


 
64- Emplea residuos para calcular 
C
dzzf )( para los contornos C y las funciones f siguientes 
a) 
C z
dz
sen 1
1
 C: |𝑧| =
1
10
 b) 
 
2/y ,
122


zCdz
zz
e
C
z
 
c) 3z: ,
42
3


Cdz
z
e
C
z
 
d) 1: ,
4
 zCdzz
senz
C 
e) 10: ,
13


zCdz
zz
z
C
 
f) 
   
2: ,
31
1
4


 zCdz
zzC 
 
 
65–Comprueba los siguientes resultados 
 



 8
3
1
1
32

dx
x 
221
4





x
dx 
 
clase recusantes 50:00
clase 12 7:00
VARIABLE COMPLEJA Segundo Cuatrimestre 2020 
MATEMATICA PARA INGENIEROS 12 
 
66–Verifica las siguientes igualdades para integrales reales: 
 




2
0
2cos35
d
 




2
2
645






d
sen
sen 
67 - Calcula las siguientes integrales complejas 
a) 
 
dz
zz
e
z
z



1
22 9
 b) 









1
2
5
532
)Im(
z
z dz
zz
z
ezzz 
 
 
 
CUESTIONARIO CONCEPTUAL 
 
Dadas las siguientes proposiciones; contesta por Verdadero o Falso, completa con la respuesta correcta o selecciona la 
opción adecuada, según corresponda. Justifica la respuesta dada 
1.- Si 
C
f (z) dz= 0 y C es un contorno cerrado entonces f es analítica en la región dentro y sobre C 
2.- La 
C
z 2 sen(z–1) dz =0 cualquiera sea el contorno cerrado 
3.- Si 
C
f (z) dz = 0 y C: es un contorno cerrado entonces siempre sucede que f es analítica en la región dentro y 
sobre C . 
4.- Si f ( z ) = i x y y C es el segmento de la recta y = x desde ( 0 , 0 ) a ( 1 , 1 ), entonces 
i ) 
C
f ( z ) dz = 0 ii ) 
C
f ( z ) dz = 
i1
0
f ( z ) dz iii) 
C
f ( z ) dz = i 
1
0
xy dx - 
1
0
xydy 
5.- La 
C
 f ( z ) dz = F ( 1 - 3 i ) – F ( 2 – 2 i ) si C es la curva de ecuación y = 2 x 2 - 5 x tomada desde el 
punto ( 1 , -3 ) al ( 2 , - 2 ) , 𝑓 es analítica en un dominio del plano que contiene a C y F es una primitiva de f . 
6.- Si  es alguna curva cerrada simple que encierra a z = 0 entonces 
!2
.2
3
i
dz
z
e z 

 
7.-







C z
senz
4
4

dz =  i/ 3 ,C es un contorno cerrado en el plano y  es un punto en el interior de C 
 
8.- Si f es analítica para todo z / z z0 y  es alguna curva cerrada simple que encierra a z 0 entonces 


f ( z ) dz =  



n
n
o dzzzcn

)( = 2  i c -1 
 
9.- La función f es analítica en un dominio D si y sólo si puede representarse mediante una serie de Taylor que 
converge a f en los puntos del interior de alguna circunferencia con centro en cada punto de D. 
 
10.- Para la serie de Taylor de 
iz
zf
8
1
)(
3 
 , desarrollada alrededor de z 0 = 3 3 , el radio del círculo dentro del cual 
la serie de Taylor converge a f es …………………………………. 
 
11.- El radio de la circunferencia dentro de la que converge la Serie de Taylor para 
)1(
1
)(
2 

zz
zf desarrollada 
alrededor de z = 2 + 3i es R = ……………………… 
 
 
12.- Si los primeros términos de la serie de Laurent para f ( z ) = ctg z válida para 0 < | z | < 1 son 
VARIABLE COMPLEJA Segundo Cuatrimestre 2020 
MATEMATICA PARA INGENIEROS 13 
 
...,
453
1
 3
42
 zz
z
zctg

 
se deduce que la singularidad aislada de f en z0 = 0 se clasifica como ______________y el Res f = ____ 
z0 = 0 
 
13.-
 


C
idz
az
2
1
 para toda curva cerrada C en el plano y para todo número complejo a 
 
14.- Si 𝛾 es alguna curva cerrada simple que encierra a z=0 , entonces 
 

........
1
dz
z
e
n
z
 
15.- Selecciona la respuesta correcta y justifica 
11 curva la es ............
3
12



 zCsidzz
z

 
 
a) 4 𝜋 i b) 0 c) 16 𝜋 i d) 2𝜋 i