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CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
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DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL 
 
 
I. INTRODUCCIÓN: 
 
Vamos a comenzar hoy con el estudio de la dinámica del punto material. 
 
Esta Unidad es como la contracara de la unidad denominada Cinemática del Cuerpo 
Rígido. En aquella vimos la faceta más Racional de la materia. Aquí veremos, al contrario que 
en la otra, la faceta más fáctica, porque es la que más uso hace de los principios 
observacionales. Haremos entonces un recuento histórico de cómo se fueron elaborando 
estos principios, qué significaron en sus comienzos, cómo deben ser interpretados en la 
actualidad, y finalmente analizaremos unos cuantos casos con soluciones integrables para las 
ecuaciones de movimiento. 
 
El problema fundamental que nos propone la dinámica es la resolución de la ecuación 
del movimiento a partir del conocimiento de las expresiones de las fuerzas que actúan sobre 
la partícula y de las condiciones iniciales (de posición y de velocidad). Si la solución de la 
ecuación diferencial no es posible por los métodos convencionales, hoy por hoy se puede 
recurrir a los métodos computacionales (resolución numérica). 
 
Pero vayamos al grano y comencemos desde el principio, revisando o redefiniendo 
algunas ideas previas. 
 
 
II. DINÁMICA Y PUNTO MATERIAL. 
 
La dinámica, como ya sabemos, es la rama de la mecánica que estudia el movimiento 
de los cuerpos, a partir del estudio de las causas que lo producen; es decir, a partir de la 
inclusión de las fuerzas o, mejor dicho, de las interacciones. 
 
El estudio del punto material desde esta óptica nos obliga quizás a redefinir el concepto 
de punto material. Antes lo habíamos considerado sin masa, o al menos prescindíamos de 
ésta. Ahora la tendremos que considerar todo el tiempo, porque un objeto sin masa no tiene 
inercia, y no le es aplicable la segunda ley de Newton. 
 
Asimismo, debemos reconsiderar el concepto de punto o de partícula. En cinemática 
habíamos dicho que un cuerpo podía ser considerado como un punto cuando sus dimensiones 
eran despreciables con respecto a las distancias que éste recorre y/o a las distancias en juego 
de la trayectoria analizada. Y que la palabra “despreciables”, debía significar en realidad, que 
las dimensiones de la partícula debían ser del mismo orden de magnitud que el error con el 
que se medían las distancias antes mencionadas. 
 
Pero en dinámica, como el centro neurálgico son las interacciones, vamos a 
direccionar esas distancias justamente hacia allí, hacia las partículas o cuerpos, con las cuales 
el objeto de nuestro interés interactúa. Un cuerpo podrá entonces ser considerado como 
puntual, cuando sus dimensiones sean despreciables respecto a las distancias que las 
separan con los cuerpos o partículas con las cuales interactúa (o más precisamente, cuando 
sus dimensiones estén dentro del orden de magnitud del error, con el que medimos esas 
distancias). 
 
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III. PRINCIPIOS Y LEYES. 
Principio y ley parecieran ser sinónimos, pero en realidad son términos que deberían 
tener una connotación diferente. 
 
Un principio es un enunciado de un hecho experimental evidente. Un enunciado hecho 
a partir de una observación ya sea de una realidad natural, o de un experimento provocado. 
Los principios son el fundamento de las ciencias fácticas. 
 
Una ley, en cambio, es una relación entre magnitudes, que surge a partir de los 
principios observacionales. 
 
Existen métodos especialmente desarrollados, que permiten obtener expresiones que 
relacionan magnitudes de manera algebraica. Los métodos del análisis dimensional, el 
teorema de Pi Buckingham y el Principio de Fourier de homogeneidad dimensional, son 
ejemplos de ello. 
 
 
IV. SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIAL (SRI) Y NO INERCIAL (SRNI). 
 
Un SRI es un sistema de referencia (para nosotros una terna triortogonal derecha), 
que está fija, o que si se mueve lo hace con MRU (o sea, con velocidad constante en módulo 
dirección y sentido). 
 
Llamamos observador inercial a un observador que observa (valga la redundancia) el 
movimiento de los cuerpos, desde un Sistema de Referencia Inercial. 
 
 
V. INTERACCIÓN. 
 
Dos o más cuerpos (partículas en nuestro caso), producen interacciones (fuerzas), que 
se manifiestan por la aparición recíproca de aceleraciones. Es una observación general que 
se manifiesta en todos los cuerpos. 
 
 
VI. PRINCIPIOS PREVIOS A NEWTON. 
 
Aristóteles (384 a 322 AC): Un cuerpo que está en reposo respecto a un observador, 
mientras no haya algo que lo perturbe, permanecerá en reposo por toda la eternidad 
(Mecánica de Alessio, 2.007). 
 
Galileo Galilei (1564 a 1642): Las leyes de la mecánica son invariantes respecto a dos 
observadores: Uno fijo, y otro que se mueva con velocidad rectilínea y uniforme (MRU) 
respecto de aquél (del fijo). 
 
Algunos autores les adjudican a ambos estudiosos principios mucho más 
evolucionados, más cercanos a la forma de redacción del propio Newton. Nosotros no 
pretendemos hacer revisionismo histórico, así que exponemos las posturas a modo de simple 
comentario. La duda queda planteada y la puerta queda abierta para el que quiera seguir 
investigando. 
 
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VII. PRINCIPIOS Y LEYES NEWTON (4/ENE/1643 al 31/MAR/1727). 
 
Newton nace el 4 de enero de 1.643, conforme el calendario actual, el Gregoriano, 
impuesto por el Papa Gregorio XIII en 1582. Pero en esa época gobernaba Inglaterra Enrique 
VII, que había roto vínculos con Roma, y no adhería a las disposiciones papales, pro lo que 
se seguía utilizando el calendario Juliano (de Julio César). Conforme a éste Newton nacía el 
25/DIC/1642 (10 días de diferencia). 
 
El trabajo de Newton sintetiza todos los conocimientos previos de su época y los 
enuncia en forma de tres principios (que también son leyes, porque tienen expresiones 
asociadas) íntimamente relacionados entre sí y mutuamente complementarios. 
 
Pero su aporte fundamental no es sólo la síntesis, sino que también les da una 
expresión analítica, fundamentalmente a través de la segunda ley y para ello desarrolla toda 
la matemática necesaria para poder manifestarla: el cálculo diferencial. 
 
Finalmente, enuncia la Ley de Gravitación Universal 𝐹 =
𝐺.𝑚1.𝑚2
𝑑2
⁄ , que es una de 
las cuatro leyes macro del universo. Hoy en día nos puede parecer algo completamente 
natural y simple, pero para su época fue prácticamente una aventura del pensamiento, porque 
no había datos para sustentarla. 
 
Newton fue una de las mentes más brillantes de su época. Supo ver e interpretar la 
naturaleza de las “cosas” (fenómenos), supo trasladarlos a un modelo físico adecuado y 
delinear un modelo matemático que permitiera resolverlo. 
 
a. Primer Principio: (Principio de Inercia) 
 
Se puede ver como la unión de los principios de Aristóteles y de Galileo. Newton dice 
básicamente que, si un cuerpo está aislado, es decir, no interactúa con ningún otro, o está en 
reposo respecto de un observador inercial; o si se mueve, lo hace con movimiento rectilíneo 
y uniforme (MRU). 
 
Este principio puede verse como un caso particular del segundo principio, para el caso 
particular en que la fuerza resultante sea nula (que sería el caso de un cuerpo aislado, o que 
no interactúa con ningún otro). En ese supuesto, la aceleración debe ser nula y luego la 
velocidad nula, o bien constante. 
 
Sin embargo, como vimos, esto proviene de observaciones anteriores a la noción de 
masa y de fuerza (Aristóteles y Galileo) y además, pone de manifiesto la necesidad de utilizar 
un SRI. 
 
Sólo en estos sistemas de referencia, serán válidos los principios de Newton, y por 
ende, sus ecuaciones. 
 
b. Segundo Principio: (Principio de Masa) 
 
Este es el principio fundamental de la mecánica clásica, o mecánica newtoniana. 
 
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Básicamente establece una relación de causalidad(causa-efecto) entre la acción 
(fuerza) y la consecuencia de las mismas, que es la modificación del estado de movimiento 
de la partícula. 
 
Por eso en la secundaria nos acostumbran a recitar algo así como “fuerza es todo 
aquello que modifica, o que tiende a modificar el estado de movimiento de los cuerpos”. 
 
Lo enuncia diciendo básicamente que la resultante de todas las fuerzas que actúan 
sobre una partícula, es directamente proporcional a la aceleración que ésta adquiere, y que 
la constante de proporcionalidad es su masa. 
 
Obviamente es el postulado que mejor se adapta a la formulación de una ley: 
 
 �̅� = 𝑚. �̅� = 𝑚.
𝑑2�̅�
𝑑𝑡2
= 𝑚. �̅� ̈ 
 
Siendo �̅� en realidad, la fuerza resultante (�̅�) de todas las acciones que actúan sobre 
la masa m. Es decir: �̅� = �̅� = ∑𝐹�̅� 
 
Esta ley, que como ya dijimos, constituye el postulado fundamental de la mecánica 
newtoniana, brinda una descripción cuantitativa del movimiento, que nos permitirá, siempre y 
cuando seamos capaces de manifestar las fuerzas en juego, poder determinar unívocamente 
la aceleración y luego por simple integración, la velocidad y la posición de la partícula para 
cualquier instante de tiempo. 
 
Esta ley, tan simple como hoy en día nos parece, es el núcleo central de la obra 
maestra de Newton (Principia, o “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”) y también la 
que le valió largas vacilaciones y retrasos a la hora de publicarla (JUL/1.687). 
 
Y el problema principal, es que de las tres magnitudes que aparecen en ésta, que es 
su ley fundamental, sólo una estaba perfectamente definida (al menos en la época de 
Newton), que es la aceleración. 
 
En efecto, si bien todos tenemos una idea más o menos intuitiva de lo que significa 
fuerza, porque lo asociamos al esfuerzo muscular, que nos implica levantar un peso o una 
carga, no había una definición precisa. 
 
Si se admite el conocimiento preciso de la fuerza, entonces la segunda ley quedaría 
como una definición de masa, y así fue como Newton lo creyó. Por eso la llega hasta nuestros 
días con ese nombre, como principio de masa. 
 
Recién hacia mediados del siglo XIX, casi 200 años después de la publicación de 
Newton, aparece la genialidad de Ernst Mach (1.834 a 1.916), quien propone el análisis actual. 
 
Mach, a partir de una serie de sencillos experimentos entre partículas diferentes, 
expuestas a distintos tipos de interacción, nos conduce formalmente a la definición de la Masa 
Inercial. Luego de la cual, la segunda ley de Newton puede finalmente interpretarse, como 
una definición parcial o alternativa de fuerza. Por supuesto que no hay que olvidar la noción 
de interacción, ni la importantísima necesidad de cumplir con el tercer principio (principio de 
acción y reacción, que aún no hemos comentado. 
 
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Veamos un poco la secuencia de los experimentos de Mach: 
 
- Primero se vinculan dos partículas, que denominamos genéricamente como A y B y 
las sometemos a algún tipo de interacción mutua, como por ejemplo la de un vínculo 
elástico, tal como un resorte de compresión (figura A). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Si hacemos tres experiencias con esas dos partículas, cambiando el resorte en cada 
una (por ejemplo, poniendo un resorte más duro), y medimos las aceleraciones de 
cada partícula. 
 
- Las conclusiones que podríamos sacar serían las siguientes: 
 
i. Las aceleraciones de ambas partículas tienen siempre la misma dirección, pero 
sentido opuesto. 
ii. El cociente de las aceleraciones mutuas de cada experiencia es constante: 
 
𝑎𝐴,𝐾1
𝑎𝐵,𝑘1
=
𝑎𝐴,𝐾2
𝑎𝐵,𝐾2
=
𝑎𝐴,𝑘3
𝑎𝐵,𝐾3
= ⋯ = 𝑐𝑡𝑒1 
 
- Colocamos puntos suspensivos por que el resultado se hubiera repetido si hubiéramos 
seguido cambiando resortes, e incluso si hubiéramos cambiado el tipo de interacción 
(un choque, un resorte de tracción, etc.) 
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- Si cambiamos uno de los dos cuerpos, por ejemplo, el cuerpo B por otro que 
denominamos C, de propiedades físicas bien diferentes y repetimos las experiencias 
con los mismos tres resortes, tendremos la situación de la figura B: 
 
 
- La situación se vuelve a repetir, y el cociente de las aceleraciones vuelve a resultar 
constante: 
 
𝑎𝐴,𝐾1
𝑎𝐶,𝑘1
=
𝑎𝐴,𝐾2
𝑎𝐶,𝐾2
=
𝑎𝐴,𝑘3
𝑎𝐶,𝐾3
= ⋯ = 𝑐𝑡𝑒2 
 
- Finalmente, si hacemos interactuar al cuerpo B, con el cuerpo C, tendremos: 
 
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- Vemos que los cocientes de las aceleraciones vuelves a ser constantes: 
 
𝑎𝐵,𝐾1
𝑎𝐶,𝑘1
=
𝑎𝐵,𝐾2
𝑎𝐶,𝐾2
=
𝑎𝐵,𝑘3
𝑎𝐶,𝐾3
= ⋯ = 𝑐𝑡𝑒3 
 
- Como los módulos de las aceleraciones son siempre constantes, pero cambian, a su 
vez cuando cambiamos los cuerpos. Esto significa que esas constantes no dependen 
del tipo de interacción (cambio de resortes, o de experimento), sino que deben 
depender de alguna una propiedad inherente a los cuerpos (que evidentemente no es 
el volumen ni la superficie, etc., ya las mismas experiencias, si las hubiéramos 
realizado, así lo hubieran demostrado). 
... … 
- Pero además hay otra cosa interesante, y es que la última constante que hemos 
obtenido, resulta del cociente de las otras dos: 
 
𝑎𝐵,𝐾1
𝑎𝐶,𝑘1
=
𝑎𝐵,𝐾2
𝑎𝐶,𝐾2
=
𝑎𝐵,𝑘3
𝑎𝐶,𝐾3
= 𝑐𝑡𝑒3 =
𝑐𝑡𝑒2
𝑐𝑡𝑒1
 
 
 O sea: 
 
𝑎𝐵,𝐾1
𝑎𝐶,𝑘1
=
𝑎𝐴,𝐾1
𝑎𝐶,𝑘1
𝑎𝐴,𝐾1
𝑎𝐵,𝑘1
 
 
- Lo que quiere decir que la relación de aceleraciones es inversamente proporcional 
a la relación entra esta “nueva” propiedad de los cuerpos que estamos buscando 
(que ahora sabemos que es la masa pero que, en la época de Newton, no estaba tan 
claro…). 
 
- Como pasó con muchas otras magnitudes, caso por ejemplo de la energía, la 
temperatura, etc., fue necesario adoptar una como referencia y adoptarla como unidad, 
para poder hacer la comparación (medir) y valorar el resto. Y eso fue justamente lo 
que se hizo cuando se adoptó la unidad de masa. 
 
- La unidad de masa en el SI: 
 
a) Inicialmente, en 1795, después de la revolución francesa (5/5/1789) se definió el 
gramo masa como la correspondiente a un cm3 de agua pura a 4°C. 
b) En 1875, en la convención internacional del metro se adopta el kilogramo masa 
patrón, como el correspondiente a un cilindro de platino iridio (90/10), de altura 
igual al diámetro (aproximadamente 39 mm), que se construye y guarda a tal efecto 
en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, en Sévres, cerca de París. 
c) Recientemente, en mayo de 2019, la unidad de masa se logró definir a partir de la 
constante de Planck, h: «El kilogramo, símbolo kg, es la unidad SI de masa. Se define al 
fijar el valor numérico de la constante de Planck, ℎ, como 6.62607015 x 10-34 expresado 
en J·s (julios por segundo), unidad igual a kg·m²·s-1, donde el metro y el segundo se definen en 
función de c (velocidad de la luz en el vacío) y ΔνCs (duración del segundo atómico).» 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Masa
https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck
https://es.wikipedia.org/wiki/Metro
https://es.wikipedia.org/wiki/Segundo
https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luz
https://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_At%C3%B3mico_Internacional
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- Para los interesados en profundizar, recomendamos la lectura de las páginas 
pertinentes del excelente libro de Juan G. Roederer “Mecánica Elemental”, de editorial 
Eudeba. Realmente no es un libro que forme parte de la bibliografía de la materia, pero 
si es un excelente libro introductorio; y este tema en particular lo cubre con una 
simplicidad y elegancia inigualables. Como alternativa, se puede consultar también 
“Mecánica”, a secas, de Luis Roque Argüello. 
 
c. Principio de Acción y Reacción. 
 
Hay tantas formas de redactarlo, casi como de seres humanos en el mundo. Nosotros 
la hacemos así: Dos partículas que interactúan entre sí, se ejercen mutuamente fuerzasiguales y opuestas: 
 
𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎: �̅�1,2 = −�̅�2,1 (𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎) 
 
La ley de inercia es una expresión matemática, que condensa una experiencia. La 
experiencia es justamente el principio: Que las magnitudes de ambas fuerzas son iguales, que 
actúan sobre la misma recta de acción y que sus sentidos son opuestos. 
 
Otra forma: �̅�1,2 + �̅�2,1 = 0̅ (𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜) 
 
Cuidado: La anterior, no es una ecuación de equilibrio estático, porque ambas fuerzas 
están actuando sobre distintos cuerpos (sistemas). 
 
 
VIII. FORMAS DE EXPRESAR LA SEGUNDA LEY DE NEWTON: 
 
a. En forma vectorial convencional, utilizando las magnitudes dinámicas primarias o 
fundamentales en la mayoría de los sistemas de unidades: 
 
�̅� = 𝒎. �̅� (𝟏) 
 
b. Expresión escalar cartesiana de la segunda ley: 
 
{
𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥 = 𝑚. �̇�𝑥 = 𝑚. �̈�
𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦 = 𝑚. �̇�𝑦 = 𝑚. �̈�
𝐹𝑧 = 𝑚. 𝑎𝑧 = 𝑚. �̇�𝑧 = 𝑚. �̈�
 
 
c. Expresión en coordenadas cilíndricas: 
 
{
𝐹𝜌 = 𝑚. (�̈� − 𝜌. �̇�
2) 
𝐹𝜑 = 𝑚. (2. �̇�. �̇� + 𝜌. �̈�)
𝐹𝑧 = 𝑚. �̈� 
 
d. Expresión en polares: 
 
{
𝐹𝜌 = 𝑚. (�̈� − 𝜌. �̇�
2) 
𝐹𝜑 = 𝑚. (2. �̇�. �̇� + 𝜌. �̈�)
 
 
 
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e. Expresión en coordenadas intrínsecas: 
 
{
𝐹𝑡 = 𝑚. �̈� 
𝐹𝑛 = 𝑚.
�̇�2
𝜌
 
 
f. Expresión en esféricas: 
 
{
𝐹𝑟 = 𝑚. (�̈� − 𝑟. �̇�
2 − 𝑟. �̇�2. 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)) 
𝐹𝜃 = 𝑚. (2. �̇�. �̇� + 𝑟. �̈� − 𝑟. �̇�
2. 𝑠𝑒𝑛(𝜃). cos (𝜃)) 
𝐹𝜑 = 𝑚. (𝑟. �̈�. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 2. �̇�. �̇�. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 2. 𝑟. 𝜃�̇�. 𝑐𝑜𝑠(𝜃)̇ ) 
 
 
 
IX. TIPOS DE FUERZAS ENCONTRADAS EN LA NATURALEZA (clasificación 
física) 
 
Los físicos distinguen cuatro tipos de interacciones básicas: Fuerzas tipo I, tipo II, tipo 
III y tipo IV. 
 
a. Fuerzas tipo I. 
 
La primera es la gravitatoria. Este es otro de los grandes aportes de Newton (muchos 
la mencionan como la cuarta ley). 
 
En forma vectorial, la podemos expresar como: 
 
�̅�12 = −𝐺.
𝑚1.𝑚2.
𝑟12
2 . �̌�12 
Donde la constante G, se denomina constante de gravitación universal y vale 
aproximadamente: 6,67384. 10−11 
𝑁.𝑚2
𝐾𝑔2
 
 
La validez práctica de esta ecuación es indiscutida. En el año 1.846 los astrónomos 
Urbain Le Varrier (francés), y Lohn Adams (inglés), estudiando las irregularidades de la órbita 
de Urano y aplicando las leyes de gravitación de Newton, lograron descubrir un nuevo planeta 
(nuevo para aquél entonces): Neptuno. 
 
Otro de los tantos aspectos asombrosos de este aporte extraordinario de Newton, es 
que esta ley se verifica tanto para el micro como para el macrocosmos. Sólo deja de tener 
validez ante cuerpos extraordinariamente masivos, en cuyo caso es necesario recurrir a la 
teoría de la Relatividad General, desarrollada por Einstein por el año 1915…, casi 250 años 
después de que Newton desarrollara su teoría… 
 
Otro aspecto genial es cómo Newton logró determinar el valor de la constante. Para 
nosotros resulta muy fácil decir bueno, podemos relacionar F12 con el peso de un cuerpo. 
Entonces g (la aceleración de la gravedad terrestre) tiene que ser: 𝑔 =
𝐺.𝑚𝑇
𝑅𝑇
2 , dónde mT es la 
masa de la tierra, y RT el radio de la tierra. El problema es que en la época de Newton, ninguna 
de éstas estaba determinada con la precisión suficiente… 
 
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b. Fuerzas tipo II: 
 
El segundo tipo de interacciones son las del tipo electromagnético. Las fuerzas de 
Coulomb, por ejemplo, son parte de esta subdivisión, y vienen dadas por: 
 
�̅�12 = 𝑘.
𝑞1. 𝑞2.
𝑟12
2 . �̌�12 
 
Donde k, es la constante de Coulomb: 𝑘 =
1
4.𝜋.𝜀0
≅ 9. 109 
𝑁.𝑚2
𝐶2
 , y 𝜀0 es la permitividad 
dieléctrica del vacío, que aproximadamente vale: 8,85 × 10−12
𝐶2
𝑁.𝑚2
 
 
 
c. Fuerzas tipo III: 
 
El tercer tipo de interacciones son las que clasifican como Fuerza Nuclear Fuerte (o 
interacción nuclear fuerte), que son básicamente las fuerzas que aparecen dentro del núcleo 
atómico, y; 
 
d. Fuerzas tipo IV: 
 
Las últimas son las fuerzas que derivan de la interacción Nuclear Débil, que explican 
la desintegración de los núcleos radioactivos. Nosotros sólo vamos a decir, que se trata de 
fuerzas más intensas que las del tipo I (gravitatorias), pero menos intensas que las del tipo III. 
 
Se podría ver a las del tipo II, como caso particular de las nucleares débiles. El tema 
es que las del tipo IV, tienen su alcance limitado a las distancias del núcleo atómico, que están 
en el orden de magnitud de los 10-18. En cambio, las fuerzas del tipo II, suelen extenderse a 
distancias habituales del campo de la mecánica clásica. 
 
Para mayor abundamiento se recomienda la lectura de: Física General de Burbano 
Ercilia. 
 
 
X. TIPOS DE INTERACCIONES DESDE EL PUNTO DE VISTA DE INTERÉS DE LA 
MECÁNICA CLÁSICA O APLICADA. 
 
Desde un punto de vista “más mundano”, podemos decir que en definitiva las fuerzas 
del tipo I y del tipo II, de las mencionadas anteriormente, serán las responsables de casi todos 
los fenómenos que nosotros observamos en nuestra vida cotidiana (bien alejada de los 
laboratorios de física cuántica y de los observatorios astronómicos). Porque, en definitiva, 
convivimos con eventos que involucran velocidades mucho más pequeñas que la velocidad 
de la luz. 
 
En este tipo de fenómenos podemos distinguir dos grandes tipos de fuerzas o de 
interacciones: 
 
a. Fuerzas de interacción a distancia: 
 
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Son aquellas que no precisan de un medio material para poder manifestarse (Fuerzas 
de origen eléctrico, de origen gravitatorio y de origen magnético). 
 
Actúan siempre a través de campos, e incluso se pueden manifestar en medio del más 
absoluto vacío. 
 
b. Fuerzas de contacto: 
 
Son aquellas fuerzas que aparecen siempre entre superficies comunes de contacto y 
que precisan de un medio material para poder manifestarse. 
Podemos dividirlas a su vez en: 
 
- Fuerzas de contacto superficial: Fuerzas de rozamiento; Fuerzas entre partículas y 
superficies. Fuerzas de vínculo; etc. 
 
- Fuerzas de interacción con un medio fluido: Fuerzas de fricción viscosa que pueden 
responder a varios modelos: Stokes, Newton, etc. En base a la velocidad del objeto, 
podríamos hacer una clasificación (muy “sui-géneris”) de las fuerzas de fricción 
viscosas, de la siguiente manera: 
 
a) Modelo para bajas velocidades, (𝑣 < 20 𝑚/𝑠): rozamiento hidráulico. 
 
�̅�𝑓 = −𝑘. �̅� (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠) 
 
b) Modelo para velocidades medias (20 < 𝑣 < 200 𝑚/𝑠): rozamiento aerodinámico. 
 
�̅�𝑓 = −𝑘. �̅�
2 
 
c) Altas velocidades (𝑣 > 200 𝑚/𝑠), rozamiento balístico. 
 
�̅�𝑓 = −𝑘. �̅�
𝑛 
 
Nota: Una parte importantísima de la resolución del problema dinámico, consiste en 
ser capaz de determinar apropiadamente todas las interacciones que condicionan el 
movimiento (al menos las más relevantes), y de encontrar las expresiones o funciones, 
que permitan cuantificarlas. 
 
 
XI. PARTÍCULA LIBRE Y PARTÍCULA VINCULADA: 
 
La partícula podrá estar libre o Vinculada. 
 
• La partícula libre solo está sometida a fuerzas de acción a distancia y/o a fuerzas 
de contacto con medios fluidos. 
 
• La partícula vinculada es aquella que interactúa con superficies, líneas o cuerpos 
que la obligan a describir una trayectoria geométrica definida. Independientemente 
de esto, podría estar sometida también a otras fuerzas de acción a distancia. 
 
a. Fuerzas de vínculo (fuerzas reactivas): 
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Cuando la partícula está vinculada, obviamente aparecerá una fuerza de vínculo. 
 
Las fuerzas de vínculo son siempre desconocidas y se deben plantear como acciones 
geométricamente compatibles con la restricción que se pretende imponer.En particular, en 
dinámica, resultan de interés superlativo los vínculos que permiten algún tipo de movimiento 
de la partícula (si no pasa a ser un problema de estática). 
 
En la dinámica del punto se nos pueden presentar dos tipos de vinculaciones: partícula 
con línea y partícula con superficie. 
 
i) Vínculo con línea lisa: 
 
En el caso de una partícula obligada a desplazarse por una trayectoria curvilínea, a su 
vez, puede darse el caso de que haya o no, rozamiento. 
 
Si no hay fricción, o la podemos despreciar, decimos que la línea es lisa. Entonces la 
fuerza de vínculo viene dada exclusivamente por la reacción normal: �̅� que, expresada en 
intrínsecas, dado que la ecuación de la trayectoria es conocida: 
 
�̅� = 𝑵𝒏. �̌� + 𝑵𝒃. �̌� 
 
O sea, nunca tiene componente en la dirección de la tangente. 
 
ii) Vínculo con línea rugosa. 
 
En este caso la reacción de vínculo sigue siendo la Normal. Sin embargo, aquí aparece 
una fuerza de rozamiento por fricción sólida, denominada también fuerza de Coulomb, que 
depende de la reacción de vínculo. 
 
La normal, tendrá la misma expresión que antes. La fuerza de rozamiento dinámico, 
tendrá la dirección de la tangente, y depende de la intensidad de esa fuerza normal: 
 
{
�̅� = 𝑵𝒏. �̌� + 𝑵𝒃. �̌� 
�̅�𝑹𝒐𝒛 𝒅𝒊𝒏 = −𝝁.𝑵. �̌� 
 
 
Si el rozamiento es dinámico entonces μ sí es conocido a priori. 
 
iii) Vínculo con una superficie lisa: 
 
La normal, tiene que ser ahora, perpendicular a una superficie. Si conocemos la 
ecuación implícita de la superficie, por ejemplo 𝜑(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0. Entonces la dirección normal se 
puede determinar calculando el módulo del vector gradiente: �̌� =
∇̅(𝜑)
|∇̅(𝜑)|
 
Y la reacción normal valdrá: 
�̅� = 𝑁. �̌� = 𝑁.
∇̅(𝜑)
|∇̅(𝜑)|
 
O, como dice Alessio: 
 
�̅� = 𝝀. �̅�(𝝋) 
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En este caso, los valores de 𝜆 (y/o N), no se tienen que forzar. Deben salir como 
resultado de las ecuaciones del movimiento. 
 
iv) Vínculo con una superficie rugosa: 
 
Cuando la superficie es rugosa, sucede lo mismo que en el caso de la línea rugosa. 
Hay una reacción de vínculo, que es la Normal, pero también aparece una fuerza de 
rozamiento, en la dirección del movimiento (versor �̌�), pero con sentido contrario: 
 
{
�̅� = 𝑵. �̅�(𝝋) 
�̅�𝒓𝒐𝒛−𝒅𝒊𝒏 = −𝝁𝒅𝒊𝒏. 𝑵. �̌�
 
 
 
NOTA: En todos los casos, el valor de N no puede darse a priori, sino que debe surgir de la 
resolución de las ecuaciones del movimiento. Lo mismo pasa con la fuerza de rozamiento, en 
caso que se considere la estática. Recordar que el único rozamiento estático que se conoce 
a priori es el máximo, es decir, el que se tiene un instante antes de iniciarse el movimiento. 
En este caso: �̅�𝑟𝑜𝑧−𝑒𝑠𝑡⌋𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = −𝜇𝑒𝑠𝑡.. 𝑁. �̌�, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 �̌� = �̅�/𝑉. Agregamos como comentario 
recordatorio también, que las fuerzas de rozamiento estático no realizan trabajo; el rozamiento 
dinámico sí, porque implica un deslizamiento. 
 
 
 
En este gráfico, en abscisas tenemos F, que es la 
acción resultante de las fuerzas exteriores en la 
dirección del movimiento. en ordenadas la fuerza 
de rozamiento. El tramo OA, corresponde al caso 
de rozamiento estático, siendo Fe, el rozamiento 
estático máximo, el único que coincide con la 
expresión 𝜇𝑒 . 𝑁. Para valores inferiores, el 
rozamiento estático coincide con la resultante de 
las fuerzas exteriores en la dirección del 
movimiento (observar que la pendiente de la recta 
es de 45°). Cuando el cuerpo comienza a deslizar, 
el rozamiento cae automáticamente al valor dado 
por el coeficiente de rozamiento cinemático: 𝜇𝑐. 𝑁. 
 
b. Fuerzas activas: 
 
Para definirlas, podemos decir que las fuerzas activas son todas aquellas que no son 
reactivas. 
Las fuerzas activas pueden ser constantes (como el caso de la fuerza peso, para 
condiciones de validez de constancia, que se le impongan a la aceleración de la gravedad), o 
bien pueden ser función del tiempo, de la posición y eventualmente de la velocidad. 
 
Es decir, en el caso más general: �̅� = �̅�(𝑡, �̅�, �̇�). 
 
Nunca pueden ser función de la aceleración, porque se rompería el principio de 
causalidad, que es la base de la segunda ley… (cuestión que se vuelve a plantear un poco 
más adelante). 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
14/37 
 
XII. PROBLEMA FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA: 
 
La segunda ley de Newton �̅� = 𝑚. �̅�, como ya dijimos, es una relación causa efecto 
entre la acción (resultante de las fuerzas exteriores), la consecuencia que resulta de aplicar 
todas esas fuerzas sobre la partícula, que es su aceleración. Es decir, la modificación de su 
estado de movimiento. 
 
Esta ecuación, es una ecuación diferencial, que utilizando la notación de Newton se 
puede escribir así: 
 
�̅� = 𝒎. �̈̅� (𝟑) 
 
Su resolución implica un proceso de doble integración, para el cual resultará necesario 
determinar dos constantes, que evidentemente tienen que salir de las condiciones iniciales. 
 
Es decir, de alguna manera, la ecuación (3) nos ofrece una descripción 
cualicuantitativa del movimiento ya que, conocidas las fuerzas actuantes (�̅�), y las condiciones 
iniciales (�̅�0 𝑦 �̅�0), para cada instante de tiempo (t), puedo conocer la posición de la partícula. 
Luego la trayectoria queda unívocamente determinada. 
 
Esto constituye lo que se denomina determinismo de la mecánica clásica, y la 
resolución de la ecuación diferencial es el problema fundamental. 
 
XIII. CASOS DE INTEGRACIÓN DIRECTA DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON: 
 
Una vez salvada la dificultad que pueda representar el tener que manifestar la relación 
funcional de las fuerzas activas, la aplicación de la segunda ley, nos conducirá 
inexorablemente a una ecuación diferencial de segundo orden. 
 
Y conforme sea la complejidad de esas relaciones con las variables cinemáticas y con 
el tiempo, la ecuación diferencial resultante, podrá ser más o menos sencilla. 
 
Si la ecuación diferencial es simple, se podrán aplicar métodos de integración directa, 
como los que se ven habitualmente en los cursos de análisis matemático básicos. De lo 
contrario, deberemos recurrir a la integración numérica y al uso de recursos informáticos. 
 
Los casos más sencillos son aquellos en los que hay una única fuerza activa exterior 
y que es constante, o que depende a lo sumo de una única variable: 
 
a) Fuerza constante; 
b) Fuerza dependiente del tiempo; 
c) Fuerza dependiente de la posición; 
d) Fuerza dependiente de la velocidad. 
 
Nota: La fuerza evidentemente, puede depender de varias maneras diferentes de las 
variables anteriores. Pero dentro de este paradigma que representa la mecánica newtoniana, 
nunca puede ni podrá depender de la aceleración. ¿Porqué? La respuesta es muy sencilla, 
pero se las dejo como inquietud. 
 
a. Fuerza resultante constante: 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
15/37 
 
Si la fuerza es constante, �̅� = 𝑐𝑡𝑒̅̅ ̅̅ , la segunda ley en forma vectorial queda: 
 
�̅� = 𝑚. �̅� 
 
En forma escalar, y en coordenadas cartesianas: 
 
{
𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥
𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦
𝐹𝑧 = 𝑚. 𝑎𝑧
 
 
Si hacemos coincidir la dirección de la única fuerza exterior actuante, con la dirección 
de un de los ejes coordenados, por ejemplo x, nos queda: 
 
{
𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥
0 = 𝑚. 0
0 = 𝑚. 0
 
 
En definitiva, nos queda una única ecuación escalar del tipo: 
 
𝐹𝑥
𝑚
= �̈� 
 
O bien: 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
=
𝐹𝑥
𝑚
 
 
La anterior es una ecuación diferencial muy sencilla, de segundo orden, ordinaria, 
lineal, a coeficientes constantes, no homogénea e incompleta. Desde el punto de vista de su 
resolución es ecuación diferencial a variables separables. 
 
Le bajamos un orden, poniéndola en términos de la velocidad y separando variables 
queda: 
 
𝑑�̇� =
𝐹𝑥
𝑚
.𝑑𝑡 
 
Integramos entre la velocidad inicial (�̇�0) y una velocidad arbitraria cualquiera en un 
instante t (�̇�(t)), y los intervaloscorrespondientes para el tiempo. 
 
∫ 𝑑�̇�
�̇�
�̇�𝑜
= ∫
𝐹𝑥
𝑚
. 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
Y, 
�̇�(𝑡) − �̇�(𝑡0) =
𝐹𝑥
𝑚
. (𝑡 − 𝑡0) 
 
�̇�(𝒕) = �̇�(𝒕𝟎) +
𝑭𝒙
𝒎
. (𝒕 − 𝒕𝟎) 
 
La velocidad varía linealmente con el tiempo (MRUV). 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
16/37 
 
Expresando la velocidad como dx/dt e integrando de nuevo: 
 
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
= �̇�(𝑡0) +
𝐹𝑥
𝑚
. (𝑡 − 𝑡0) 
 
𝑑𝑥(𝑡) = [�̇�(𝑡0) +
𝐹𝑥
𝑚
. (𝑡 − 𝑡0)] . 𝑑𝑡 
 
𝒙(𝒕) = 𝒙(𝒕𝟎) + �̇�(𝒕𝟎). (𝒕 − 𝒕𝟎) +
𝟏
𝟐
.
𝑭𝒙
𝒎
. (𝒕 − 𝒕𝟎)
𝟐 
 
Que es la clásica expresión cuadrática, típica del MRV. 
 
b. Fuerza resultante, que depende exclusivamente del tiempo: 
 
�̅� = �̅�(𝑡) 
 
Entonces: 
�̅�(𝑡) = 𝑚. �̅� 
 
Escalarmente: 
{
𝐹(𝑡)𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥
𝐹(𝑡)𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦
𝐹(𝑡)𝑧 = 𝑚. 𝑎𝑧
 
 
Haciendo coincidir la dirección de la única fuerza exterior actuante, con la de algún eje 
coordenado (por ejemplo, x), queda: 
 
𝐹(𝑡) = 𝑚. 𝑑�̇�/𝑑𝑡 
 
Pero como por hipótesis, la fuera depende exclusivamente del tiempo, otra vez es a 
variables separables: 
 
𝑑�̇� =
1
𝑚
. 𝐹(𝑡). 𝑑𝑡 
 
Integramos entre límites apropiados: 
 
∫ 𝑑�̇�
�̇�
�̇�𝑜
=
1
𝑚
.∫ 𝐹(𝑡). 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
 
�̇�(𝒕) = �̇�(𝒕𝟎) +
𝟏
𝒎
.𝚽(𝒕) 
 
E integrando de nuevo para la posición: 
 
𝒙(𝒕) = 𝒙(𝒕𝟎) + �̇�(𝒕𝟎). [𝒕 − 𝒕𝟎] +
𝟏
𝒎
.∫ 𝚽(𝒕). 𝒅𝒕
𝒕
𝒕𝟎
 
 
c. Fuerza resultante dependiente exclusivamente de la posición. 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
17/37 
 
 
�̅� = �̅�(�̅�(𝑡)) 
 
La segunda ley queda: 
�̅�(�̅�(𝑡)) = 𝑚. �̅� 
 
�̅�(�̅�(𝑡)) = 𝑚.
𝑑(�̅�(𝑡))
𝑑𝑡
 
 
Haciendo: 
�̅�(�̅�(𝑡)) = 𝑚.
𝑑(�̅�(𝑡))
𝑑�̅�(𝑡)
.
𝑑�̅�(𝑡)
𝑑𝑡
 
 
�̅�(�̅�(𝑡)) = 𝑚.
𝑑(�̅�(𝑡))
𝑑�̅�(𝑡)
. �̅�(𝑡) 
Logramos separar las variables: 
 
�̅�(�̅�(𝑡)). 𝑑�̅�(𝑡) = 𝑚. �̅�(𝑡). 𝑑(�̅�(𝑡)) 
Integrando: 
 
 𝒎.∫ �̅�(𝒕). 𝒅(�̅�(𝒕))
�̅�(𝒕)
�̅�𝟎
= ∫ �̅�(�̅�(𝒕)). 𝒅�̅�(𝒕)
�̅�(𝒕)
�̅�𝟎
 (𝟒) 
 
Para el caso particular de los sistemas conservativos, la anterior se puede reducir a: 
 
𝟏
𝟐
.𝒎. [�̅�𝟐(𝒕) − �̅�𝟎
𝟐] = 𝚽(�̅�(𝒕)) − 𝚽(�̅�𝟎) (𝟓) 
 
Pero mucho cuidado con la última ecuación, ya el segundo miembro solo será válido 
para sistemas conservativos. Es decir, cuando el trabajo depende de la posición y no del 
camino (pero trabajo no es lo mismo que fuerza. Ver ejercicio en la guía con un resorte 
inclinado). 
 
Recordemos que un sistema es conservativo sí y solo sí (condición necesaria y 
suficiente), las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema son todas conservativas; o bien, 
porque si actúan fuerzas no conservativas (Fnc), éstas últimas no realizan trabajo. Los 
sistemas conservativos son sistemas reversibles y los no conservativos, no. 
 
La expresión (5) se ha convertido en una ecuación escalar. El primer miembro es la 
variación de la energía cinética y el segundo, que proviene del trabajo realizado por la 
resultante de las fuerzas exteriores, es la variación de la Energía Potencial. 
 
Entonces, continuando con nuestro caso particular de sistemas conservativos, para 
hallar la posición, tendremos que volver a integrar. Pero como estamos trabajando con 
magnitudes escalares, en principio más que la posición, lo que podríamos hallar es la ley 
horaria: 
 
�̅�2(𝑡) = �̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)] 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
18/37 
 
 
𝑣(𝑡) = ±√�̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)] 
 
 
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
= ±√�̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)] 
 
𝑑𝑠(𝑡) = (√�̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)]) . 𝑑𝑡 
∫ 𝑑𝑠(𝑡)
𝑠(𝑡)
𝑠0
= ∫ (√�̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)]) . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 
 Y, 
 
𝑠(𝑡) = 𝑠0 +∫ (√�̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)]) . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 
 
 Si el sistema es no conservativo, entonces: 
 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
= ±√�̅�0
2 +
2
m
. [∫ �̅�(�̅�(𝑡)). 𝑑�̅�(𝑡)
�̅�(𝑡)
�̅�0
] 
 
 Y, 
𝑠(𝑡) = 𝑠0 +∫ (√�̅�0
2 +
2
m
. [∫ �̅�(�̅�(𝑡)). 𝑑�̅�(𝑡)
�̅�(𝑡)
�̅�0
]) . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 
 
d. Fuerza dependiente exclusivamente de la velocidad: 
 
�̅� = �̅�(�̅�(𝑡)) 
 
�̅�(�̅�(𝑡)) = 𝑚.
𝑑(�̅�(𝑡))
𝑑𝑡
 
 
𝑑(�̅�(𝑡))
�̅�(�̅�(𝑡))
=
1
𝑚
. 𝑑𝑡 
Primera integración: 
 
∫
𝑑(�̅�(𝑡))
�̅�(�̅�(𝑡))
�̅�(𝑡)
�̅�0
=
1
𝑚
.∫ 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
19/37 
 
Si el sistema es unidimensional, resolviéndola llegaremos a una función de la 
velocidad: Φ(𝑣𝑥(𝑡)). 
 
Entonces, nos quedaría: 
Φ(𝑣𝑥 (𝑡)) =
1
𝑚
. (𝑡 − 𝑡0) 
 
Expresando la velocidad como 𝑣𝑥(𝑡) =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
 y si, logramos separar variables y volver a 
integrar, podremos obtener una expresión para x(t). 
 
XIV. ECUACIONES CARDINALES O UNIVERSALES DE LA MECÁNICA: 
 
a. Primera ecuación cardinal o universal de la mecánica: 
 
La primera ecuación universal o cardinal de la mecánica, no es otra cosa que lo que 
acostumbramos a llamar segunda ley de Newton, pero escrita tal como lo refirió el propio Isaac 
en su obra cúlmine. Es decir, utilizando la magnitud denominada cantidad de movimiento (o 
cantidad de movimiento lineal). 
 
Llamamos �̅�, cantidad de movimiento lineal, al producto de la masa por la velocidad 
de la partícula: 
 
�̅� = 𝑚. �̅� 
 
En función de esta nueva magnitud �̅�, la segunda ley de la mecánica se podría escribir 
así: 
 
�̅� = 𝑚. �̅� 
 
�̅� = 𝑚.
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
Como la masa, dentro del dominio de validez de la mecánica Newtoniana (nada 
cercano a velocidades comparables con la velocidad de la luz), podemos escribir la anterior 
como: 
 
�̅� =
𝑑(𝑚. �̅�)
𝑑𝑡
=
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
O sea: 
 �̅� =
𝒅�̅�
𝒅𝒕
= �̇̅� (𝑺. 𝑹. 𝑰) 
 
Que es la primera ecuación universal para sistemas de referencia inerciales. 
 
Si la terna que hemos elegido está rotando, es un sistema de referencia no inercial. 
 
Se puede modificar la segunda ley, utilizando el operador que habíamos visto cuando 
estudiamos movimiento relativo en la Unidad 3, para calcular la derivada de �̅�, cuando la terna 
rota: 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
20/37 
 
 
 
𝑑(�̅�)
𝑑𝑡
=
𝑑(�̅�)
𝑑𝑡
⌋
𝑟𝑒𝑙
+𝜔𝑇̅̅ ̅̅ ∧ �̅� 
 
O sea, la derivada absoluta de una magnitud relativa (medida desde un SRNI) es igual 
a la derivada de esa magnitud, pero realizada en forma relativa, más un término adicional que 
aparece porque la derivada anterior (la derivada realizada en forma relativa) fue realizada sin 
tener en cuenta la rotación de los ejes de la terna. 
 
Ese término adicional, vale 𝑤𝑇̅̅ ̅̅ ∧ �̅�. O sea, el producto vectorial entre la velocidad 
angular de la terna y la magnitud cuya derivada pretendo calcular (en este caso la cantidad 
de movimiento lineal). 
 
Finalmente, la primera ley universal para ternas no inerciales que rotan, quedará: 
 
 �̅� =
𝒅(�̅�)
𝒅𝒕
⌋
𝒓𝒆𝒍
+𝝎𝑻̅̅ ̅̅ ∧ �̅� (𝑺. 𝑹.𝑵. 𝑰. ) 
 
b. Segunda ecuación cardinal o universal de la dinámica. 
 
La segunda ley de Newton, se puede expresar también en términos de momentos. En 
el primer miembro aparece el momento de la resultante de las fuerzas exteriores respecto de 
algún punto O1, en principio arbitrario, y en el segundo, una magnitud “nueva”, que es el 
momento de la cantidad de movimiento, respecto del mismo punto O1 (respecto al cual hemos 
calculado el momento de las fuerzas exteriores). 
 
Para denotar al Momento de la Cantidad de Movimiento, utilizaremos la letra K (�̅�, 
porque es vector). 
 
�̅�𝑂1 = (𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅� 
 
Donde (P-O1) es un vector, que escrito así, va desde el punto O1 hasta el punto P. 
 
Al momento de la cantidad de movimiento también se lo acostumbra a llamar Momento 
de Momentum, o Momento Cinético. El supraíndice del vector K, indica el punto respecto del 
cual estamos calculado el momento. 
 
Sin embargo, el nombre momento de la cantidad de movimiento nos parece más que 
alusivo y el más conveniente. 
 
Si derivamos el vector cantidad de movimiento: 
 
𝑑�̅�𝑂1
𝑑𝑡
=
𝑑((𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅�)
𝑑𝑡
 
 
En el segundomiembro aplicamos la regla de derivada del producto, teniendo presente 
que se trata de un producto vectorial: 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
21/37 
 
𝑑�̅�𝑂1
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑃 − 𝑂1)
𝑑𝑡
∧ �̅� + (𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
𝑑�̅�𝑂1
𝑑𝑡
= �̅�𝑃 ∧ �̅� − �̅�𝑂1 ∧ �̅� + (𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
El primer término del segundo miembro es nulo porque los vectores �̅�𝑃 𝑦 �̅� son 
colineales (recordar que �̅� = 𝑚. �̅�𝑃). 
 
El segundo término lo podemos pasar al primer miembro, y el tercer término, conforme 
a la ecuación (2) es el momento resultante de las fuerzas exteriores: 
 
(𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑�̅�
𝑑𝑡
= (𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅� 
 
Porque �̅�, es justamente la resultante de las fuerzas exteriores y (𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅� es el 
momento de dicha fuerza. 
 
Luego reordenando: 
(𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑�̅�
𝑑𝑡
=
𝑑�̅�
𝑑𝑡
+ �̅�𝑂1 ∧ �̅� 
O bien: 
 �̅�
�̅�𝒆𝒙𝒕
𝑶𝟏 =
𝒅 �̅�𝑶𝟏
𝒅𝒕
+ �̅�𝑶𝟏 ∧ �̅� (𝑺𝑹𝑰) 
 
Donde �̅�𝑂1 es la velocidad del punto respecto del cual hemos tomado momentos. 
Obviamente que si este punto no se mueve, su velocidad es nula y el término desaparece (lo 
que usualmente es lo más conveniente). 
 
La ecuación anterior se conoce con el nombre de Segunda Ecuación Cardinal (o 
Universal) de la Mecánica (o también de la Dinámica en vez de Mecánica), y es válida 
únicamente para sistemas de referencia inerciales (SRI). 
 
Para sistemas de referencia no inerciales que estén rotando, hay que transformar la 
ecuación anterior, debido a la rotación de los ejes de la terna. 
 
Esta ecuación se transforma entonces en la siguiente: 
 
�̅�
�̅�𝒆𝒙𝒕
𝑶𝟏 =
𝒅 �̅�𝑶𝟏
𝒅𝒕
⌋
𝒓𝒆𝒍
+ �̅�𝑶𝟏 ∧ �̅� + 𝝎𝑻̅̅ ̅̅ ∧ �̅�
𝑶𝟏 (𝑺𝑹𝑵𝑰) 
 
c. Tercera ecuación cardinal o universal de la mecánica: 
 
La tercera ecuación universal de la mecánica, así como la primera y la segunda, deriva 
también de la segunda ley de Newton �̅� = 𝑚. �̅�. Recordemos que �̅� siempre representa a la 
resultante de todas las fuerzas exteriores que están actuando sobre nuestra partícula P en 
estudio). 
 
Si en la segunda ley, hacemos: 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
22/37 
 
�̅� = 𝑚.
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
�̅� = 𝑚.
𝑑�̅�
𝑑�̅�
.
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
�̅� = 𝑚.
𝑑�̅�
𝑑�̅�
. �̅� 
 
 �̅�. 𝑑�̅� = 𝑚. 𝑑�̅�. �̅� 
 
�̅�. 𝑑�̅� = 𝑚. �̅�. 𝑑�̅� = 𝑚. 𝑑 (
�̅�2
2
) = 𝑑 (
𝑚
2
. �̅�2) = 𝑑𝑇 
 
Donde es fácil “ver” que el segundo miembro no es otra cosa que la energía cinética 
escrita en forma diferencial. 
 
Es decir, la energía cinética, se define como 𝑇 =
1
2
𝑚. �̅�2, y si integramos 𝑚.𝑑�̅�. �̅�, entre 
una velocidad inicial, vo y una velocidad v, para un tiempo t arbitrario, tendremos: 
 
∫ 𝑚. �̅�. 𝑑�̅�
𝑣(𝑡)
𝑣𝑜
= ∫ 𝑚. 𝑑(�̅�2/2)
𝑣(𝑡)
𝑣𝑜
= ∫ 𝑑𝑇
𝑇(𝑡)
𝑇𝑜
= 𝑚.
1
2
�̅�2|
𝑣𝑜
𝑣(𝑡)
= 𝑇 − 𝑇𝑜 
 
Entonces, vemos que la energía cinética es una función diferencial total exacta, y 
podemos escribir: 
 
 �̅�. 𝑑�̅� = 𝑑𝑇 
 
En el primer miembro no ocurre lo mismo, porque tenemos el trabajo de la fuerza 
resultante, que es igual a la suma del trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula 
P, pero que no se puede a “priori” expresar como un diferencial total exacto, porque en general 
depende del camino recorrido (no de las posiciones extremas). 
 
Para salvar esta circunstancia, lo vamos a denotar con la letra griega delta (δ), y lo 
vamos a llamar trabajo elemental: δW. 
 
Finalmente, la tercera ecuación universal, en forma diferencial, quedaría: 
 
𝜹𝑾 = 𝒅𝑻 
 
Que no es otra cosa que la expresión del Teorema de las Fuerzas Vivas, que ya 
habíamos visto en los cursos previos de física. 
 
En forma integral: 
 
 ∫ �̅�. 𝒅�̅�
�̅�
𝒓𝒐̅̅̅̅
= 𝑻 − 𝑻𝒐 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
23/37 
 
Donde recordemos, que el primer miembro en general no se puede representar como 
la resta de una función evaluada en las posiciones extremas. Excepto cuando el sistema sea 
conservativo. Cuando el sistema es conservativo, en ese caso sí existirá una función potencial 
(que denominamos, energía potencial: U), que resuelve la integral del primer término por la 
valoración de la misma en las posiciones extremas. Pero es un caso particular, donde el 
Teorema de las Fuerzas Vivas, nos conduce a otro teorema conservacional, que es el de 
conservación de la Energía Mecánica. 
 
No insistimos más porque son todos temas de Física I. Invitamos a lectores y alumnos 
interesados en estos aspectos, a consultar los textos de esa materia. A modo de ejemplo, 
recomendamos: 
 
▪ Uno excelente y que me gustó muchísimo es “Física General” de Burbano Ercilia, 
de editorial Tebar; 
▪ Uno ya clásico es el tomo de mecánica, o tomo I de Física de Tipler – Mosca, de 
editorial Reverté. Si lo buscan un poco, hay versiones en pdf dando vueltas por la 
internet… (así están las editoriales…); 
▪ Mecánica elemental de Roederer, de editorial Eudeba que ya mencioné; 
▪ El Serway, también otro clásico, que viene en varias presentaciones. La más 
completa es en tomos separados y el que aplica sería el tomo 1, o tomo de 
mecánica. Pero también tiene una versión compacta, llamada “Fundamentos de 
Física”, junto con otro autor y también en un buen libro de texto introductorio y que 
cubre todos estos temas relacionados con la energía mecánica y el trabajo de las 
fuerzas conservativas y no conservativas. Estos fueron publicados por varias 
editoriales, incluyendo a Paraninfo de España, una excelente editorial. 
▪ Hay muchísimos, y no quiero hacer “proselitismo” por uno u otro libro, pero tampoco 
quiero dejar de mencionar un texto increíble como son los tomos (todos en realidad), 
aunque aquí aplicaría el de mecánica, que es “Curso de Física de Berkeley”, que 
está publicado en idioma original por el MIT, que ya todos sabemos lo que significa 
y en español por Reverté, otra gran Editorial de textos universitarios en nuestro 
idioma. 
 
Finalmente, podemos decir que tenemos un total de tres ecuaciones cardinales. Dos 
vectoriales y una escalar (la última). Juntas, dependiendo del tipo de problema, nos van 
permiten armar un sistema de hasta siete ecuaciones escalares independientes (tres por la 
primera, tres por la segunda y una por la tercera porque es escalar), lo cual nos permitiría 
resolver problemas con un total de hasta 7 incógnitas. 
 
XV. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO RELATIVO: 
 
Como hemos visto hasta aquí las leyes de Newton se aplican siempre desde sistemas 
de referencia inerciales porque interviene la aceleración absoluta del punto. 
 
Sin embargo, es posible realizar alguna modificación para el planteo desde un sistema 
de referencia no inercial, utilizando el teorema de adición de las aceleraciones, o teorema 
Coriolis, que hemos visto en el último capítulo de cinemática: 
 
�̅�𝑎𝑏𝑠 = �̅�𝑟𝑒𝑙 + �̅�𝑎𝑟𝑟 + �̅�𝐶𝑜𝑟 
 
Teniendo en cuenta la última, la segunda ley de Newton se puede escribir como: 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
24/37 
 
�̅� = 𝑚. �̅�𝑎𝑏𝑠 = 𝑚. (�̅�𝑟𝑒𝑙 + �̅�𝑎𝑟𝑟 + �̅�𝐶𝑜𝑟) 
 
O bien: 
 
�̅� − 𝑚. �̅�𝑎𝑟𝑟 −𝑚. �̅�𝐶𝑜𝑟 = 𝑚. �̅�𝑟𝑒𝑙 
 
Donde la �̅�𝑟𝑒𝑙 es la que se “ve”, mide y calcula desde el Sistema de Referencia no 
Inercial. Los términos que han pasado al primer miembro se denominan respectivamente 
pseudofuerza de arrastre y pseudofuerza de Coriolis. Pseudofuerza porque no son fuerzas, 
sino productos de masa por aceleración. Es decir, tienen unidades de fuerza, pero no lo son, 
por la sencilla razón de que no cumplen con el principio de acción y reacción (la tercera ley 
de Newton). 
 
Con esta nomenclatura, la segunda ley modificada quedaría: 
 
 �̅� + �̅�𝒂𝒓𝒓 + �̅�𝑪𝒐𝒓 = 𝒎. �̅�𝒓𝒆𝒍 
 
Donde las pseudofuerzas, o fuerzas ficticias se calculan como: 
 
�̅�𝑎𝑟𝑟 = −𝑚. �̅�𝑎𝑟𝑟 = −𝑚. [�̅�𝑂1 + �̅�𝑇𝑀 ∧ �̅�𝑇𝑀 ∧ (𝑃 − 𝑂1) + 𝜀�̅�𝑀 ∧ (𝑃 − 𝑂1)] 
 
�̅�𝐶𝑜𝑟 = −𝑚. �̅�𝐶𝑜𝑟 = −𝑚. [2. �̅�𝑇𝑀 ∧ �̅�𝑟𝑒𝑙] 
 
Las ecuaciones de aceleración de arrastre y de Coriolis fueron desarrolladas 
previamente enel capítulo III, Cinemática del Movimiento Relativo. El subíndice para la 
velocidad y aceleración angular, TM, significa Terna Móvil. 
 
Un punto interesante para comentar es la posibilidad de resolver problemas de 
equilibrio relativo y de reposo relativo. 
 
Por equilibrio relativo entendemos la condición de nulidad de la aceleración relativa 
(�̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅), y por reposo relativo las dos condiciones: �̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅, y �̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅, lo que anula también 
la pseudofuerza de Coriolis. 
 
Esta formulación ofrece una herramienta sumamente útil para la resolución e 
interpretación de determinados problemas, con la condición de elegir adecuadamente la Terna 
Móvil (sistema de referencia no inercial). 
 
 
XVI. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: 
 
Para la resolución de problemas, les recomendamos seguir el esquema clásico: 
 
a. Plantear un Modelo Físico (del problema): 
 
▪ Esto implica la lectura e interpretación de problema. Analizar y tomar nota de los 
datos relevantes y descartar los irrelevantes. Relegar aquellos datos de los que se 
tenga duda, a la espera de la evaluación de los resultados de la primera 
aproximación. 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
25/37 
 
▪ En cada paso, el modelo físico tiene que ser lo más sencillo posible. Tiene que 
considere sólo las magnitudes relevantes de problema. Después se puede ir 
complicando y mejorando. 
 
b. Plantear el modelo matemático, 
 
▪ Plantear el modelo matemático significa encontrar las ecuaciones diferenciales 
(pueden ser una o varias), que describen a mi modelo físico. El modelo matemático 
siempre viene dado en forma de una ecuación diferencial (o de varias); 
 
c. Resolver el problema matemático. 
 
▪ Si la (o las) ecuación diferencial(es) lo permite(n), y nuestro conocimiento también, 
por supuesto, el problema se resolverá en forma simbólica. Puede que algún software 
en este punto, sea de utilidad. Para los problemas que resolveremos en clase, se 
puede usar, aunque en general no hará falta. 
▪ Cuando el problema matemático no tuviera solución exacta (cosa que en la práctica 
real, es lo más común), habrá que recurrir a los métodos numéricos. 
 
d. Evaluar los resultados y eventualmente volver al paso 3, y/o iterar. 
 
▪ Para evaluar los resultados nosotros nos valdremos de la interpretación intuitiva y del 
análisis dimensional. 
▪ En muchos casos, sin embargo, será necesario recurrir a ensayos que validen los 
resultados. Los ensayos pueden ser a escala (aplicando teoría de modelos), en 
tamaño real, o simulación por medio de software de ingeniería, generalmente basada 
en el método de los elementos finitos. 
▪ En este punto hay que preguntarse: ¿los resultados teóricos concuerdan con los 
resultados de los ensayos?, ¿o con los resultados computacionales, o con los 
resultados lógicos esperados? 
▪ Si se tratara de un problema real y los datos del ensayo no se consideran 
satisfactorios, hay que revisar y repetir el procedimiento: volver a plantear el modelo 
físico, incorporando datos que hayan sido descartados en la primera aproximación, 
viendo o tratando de descubrir que no haya interacciones que hayan quedado ocultas 
y/o que no han sido incorporadas al modelo, o que hayan sido mal evaluadas… 
Puede ser también que se hayan considerado efectos o sobrevalorado efectos cuya 
incidencia no era tal…, etc. Hay que replantear el modelo y volver sobre los 4 pasos. 
▪ Existen varios algoritmos computacionales para la resolución de integrales por 
métodos numéricos: Diferencias centrales, diferencias finitas, diferencias por 
izquierda y por derecha, método de Laplace, etc. Básicamente todas ellas, 
reemplazan la integral por una sumatoria de muchos términos (aunque no infinitos), 
y reemplazan la expresión a integrar por una ecuación del tipo algebraico. Asimismo, 
se reemplaza el diferencial por un valor muy pequeño de la variable de integración, 
que queda así bien definido. El método consiste en resolver entonces esa sumatoria 
en un intervalo y evaluar el resultado obtenido. 
▪ La evaluación se logra, comparando dos soluciones o iteraciones sucesivas. Si la 
diferencia de resultados es cada vez más pequeña, se dice que el sistema, o que su 
solución es convergente. Si no, es divergente; lo que significa que en lugar de mejorar 
el planteo, lo estamos desvirtuando. 
▪ Otra cosa que puede ocurrir con los métodos numéricos, es que sean 
alternativamente convergentes y divergentes, dependiendo del valor, o del 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
26/37 
 
incremento que el hayamos asignado a la variable independiente. En este caso, 
estamos ante una divergencia dinámica y debemos abandonar el algoritmo y buscar 
otro, que tenga una convergencia bien definida. 
▪ Otra pregunta que viene a relación con las resoluciones numéricas es hasta cuándo 
hay que iterar… Bien, la respuesta simple y sencilla es hasta que la diferencia entre 
el resultado de una iteración y de la anterior, nos dé con la precisión que hemos 
definido como aceptable. Ese es el momento de suspender la iteración y de dar los 
resultados por buenos. 
▪ En el curso nuestro, cuando se trate de problemas académicos que aceptan 
integración directa (sin necesidad de resolución numérica), daremos los modelos por 
buenos cuando los resultados del punto 3 sean coherentes con lo que esperábamos 
obtener y consistentes. Es decir, no tengamos problemas dimensionales. Para los 
casos que requieran solución numérica´, dejaremos de iterar cuando dos soluciones 
consecutivas difieran en menos del 2 % en todo el dominio de la variable considerada. 
 
XVII. EJEMPLOS 
 
Ejemplo N° 1: 
 
Como primer ejemplo de la dinámica del punto material, analizaremos (desde un 
sistema de referencia inercial, SRI), el movimiento de un punto en un medio fluido sin 
gravedad (campo ingrávido), con resistencia al avance proporcional a la primera potencia de 
la velocidad. 
 
 Suponemos un medio ingrávido, simplemente para simplificar el caso y no estudiar un 
tiro oblicuo. 
 
 Con esta hipótesis, nuestro diagrama de cuerpo libre (DCL) quedará reducido a una 
partícula puntual, que avanza en una determinada dirección y sentido, a una determinada 
velocidad, y se le opone una resistencia de origen viscoso, proporcional a la primera potencia 
de la velocidad. 
 
 Aplicando la segunda ley de Newton, o primera ecuación cardinal de la mecánica, a la 
partícula m, tendremos: 
 
∑�̅� = 𝑚. �̅� 
 
 Por lo que dijimos, la única fuerza exterior que actúa sobre la partícula es la resistencia. 
La fuerza peso, que se asocia a todo objeto con masa en las cercanías de la tierra, no la 
tuvimos presente en virtud de la hipótesis de ingravidez. Luego tendremos: 
 
�̅� = �̅� = 𝑚. �̅� 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
27/37 
 
 
 Esta fuerza resistente, como dijimos, es proporcional a la primera potencia de la 
velocidad, pero de sentido opuesto, lo que se puede poner de manifiesto anteponiéndole un 
signo menos: 
 
�̅� = −𝑘. �̅� 
 
 Y reemplazando en la segunda ley: 
 
−𝑘. �̅� = 𝑚. �̅� 
 
−𝑘. �̅� = 𝑚. �̇̅� 
 
 Proyectando en la dirección del eje X: 
 
−𝑘. 𝑣 = 𝑚. �̇� 
 
−𝑘. 𝑣 = 𝑚.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
 
−
𝑘
𝑚
. 𝑑𝑡 =
𝑑𝑣
𝑣
 
 
 ∫
𝑑𝑣
𝑣
𝑣(𝑡)
𝑣𝑜
= ∫ (−
𝑘
𝑚
) . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
 
 Si adoptamos como condiciones iniciales que, para to=0; xo=0, y vo=vo, tendremos: 
 
ln (𝑣) |
𝑣
𝑣𝑜
= −
𝑘
𝑚
. 𝑡 |
𝑡
𝑡𝑜
 
 
ln(𝑣) − ln(𝑣𝑜) = −
𝑘
𝑚
. (𝑡 − 𝑡𝑜) 
 
 Como to = 0: 
 
𝑙𝑛 (
𝑣
𝑣𝑜
) = −
𝑘
𝑚
. 𝑡 
 
𝑣
𝑣𝑜
= 𝑒−
𝑘
𝑚
.𝑡
 
 
 𝒗(𝒕) = 𝒗𝒐. 𝒆
−
𝒌
𝒎
.𝒕 (𝟏) 
 
[𝐷] = [𝑘]. [𝑉] ==> [𝑘] =
[𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎]
[𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑]
=
𝑘𝑔.𝑚/𝑠2
𝑚/𝑠
=
𝑘𝑔
𝑠
 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
28/37 
 
 Notar que la velocidad inicial no puede ser nula, ya que si la única fuerza exterior 
aplicada que existe, depende linealmente de la velocidad y esta es nula, nunca habrá fuerza 
y el sistema permanecerá en reposo (“por toda la eternidad…”,como diría Aristóteles…). 
 
 Además, la fuerza tiene sentido contrario a la velocidad, o sea se opone al movimiento. 
Notar que la velocidad (1) es una función exponencial decreciente… 
 
Luego, si queremos hallar la posición, partimos de: v=dx/dt, entonces: 
 
𝑑𝑥 = 𝑣𝑜. 𝑒−
𝑘
𝑚
.𝑡. 𝑑𝑡 
 E integrando: 
 
 ∫ 𝑑𝑥
𝑥
𝑥𝑜
= ∫ (𝑣𝑜. 𝑒−
𝑘
𝑚
.𝑡) . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
 
 Si llamamos: u = -(k/m).t; 
 Entonces: u´=-(k/m); du = -(k/m).dt, y dt = -(m/k).du 
 
𝑥 − 𝑥𝑜 = ∫ (𝑣𝑜. 𝑒
𝑢. (−
𝑚
𝑘
)) . 𝑑𝑢
𝑢
𝑢𝑜
 
 
𝑥 − 𝑥𝑜 = −
𝑚
𝑘
. 𝑣𝑜. 𝑒
𝑢|
𝑢𝑜
𝑢
 
 Pero: 
 
{
 
 
 
 𝑢 = −
𝑘
𝑚
. 𝑡 
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜 = 0
𝑢𝑜 = −
𝑘
𝑚
. 𝑡𝑜 = 0 
 
 
 Entonces: 
 
𝑥 − 𝑥𝑜 = −
𝑚
𝑘
. 𝑣𝑜. (𝑒
−
𝑘
𝑚
.𝑡 − 1) 
 
 O bien: 
𝒙(𝒕) = 𝒙𝒐 +
𝒎
𝒌
. 𝒗𝟎. (𝟏 − 𝒆
−(
𝒌
𝒎
).𝒕
) (𝟐) 
 
 La velocidad, como ya dijimos, es una exponencial decreciente, se parece por lo tanto 
a la curva de descarga de un capacitor. La posición por su parte (ecuación 2), tiene un valor 
inicial, que es xo, y un valor final que es 𝑥𝑜 + (𝑚/𝑘). 𝑣0 La transición entre esas dos 
posiciones, tiene la misma forma que la carga de un capacitor. Les dejamos a ustedes la 
representación gráfica de velocidad y posición en función del tiempo. 
 
 
Resultaría muy interesante resolver este mismo problema suponiendo resistencia 
proporcional al cuadrado de la velocidad y comparar la evolución de los resultados a lo largo 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
29/37 
 
del tiempo con respecto a la dependencia lineal. Pero de nuevo, le dejamos la tarea al lector 
interesado. Nosotros nos reservamos para la publicación a futuro de un apunte 
complementario, exclusivamente de problemas. 
 
Ejemplo N° 2: 
 
Para el análisis con terna no inercial elegimos el problema 
N° 16 de la práctica del capítulo 4 bis, del libro de Alessio: Un tubo 
doblado liso, como se ve en la figura, gira con velocidad angular  
cte. En su interior hay un punto material de masa m. Encontrar la 
ecuación de la curva que debe tener el tubo para que el punto esté 
en reposo en cualquier posición. 
 
Para resolverlo elegimos un SRNI, con origen O1, 
coincidente con el punto O y los ejes X1 e Y1, asociados 
respectivamente a los versores i1 y j1, como se muestra en la figura superior. La terna gira 
solidaria al tubo en todo t, y con la misma velocidad angular (𝜔). 
 
El Estado de Movimiento de la Terna Móvil (EMTM), será: 
 
𝐸𝑀𝑇𝑀: 
{
 
 
 
 �̅�𝑂1 = 0̅ 
�̅�𝑂1 = 0̅ 
�̅�𝑇𝑀 = �̅� = 𝜔. 𝑗1̌
𝜀�̅�𝑀 = 0̅ 
 
 
 Estado de velocidades y de aceleraciones para la terna móvil: 
 
 𝐸𝑉𝑇𝑀: �̅�𝑃 = �̅�𝑂1 + �̅�𝑇𝑀 ∧ (𝑃 − 𝑂1) = 0̅ + 𝜔. 𝑗1̌ ∧ (𝑃 − 𝑂1) 
 
 𝐸𝐴𝑇𝑀: �̅�𝑃 = �̅�𝑂1 + �̅�𝑇𝑀 ∧ [�̅�𝑇𝑀 ∧ (𝑃 − 𝑂1)] + 𝜀�̅�𝑀 ∧ (𝑃 − 𝑂1) = 𝜔. 𝑗1̌ ∧ [𝜔. 𝑗1̌ ∧ (𝑃 − 𝑂1)] 
 
 EVTM y EATM nos darán la velocidad y la aceleración de arrastre respectivamente. 
 
El vector posición (P-O1) será: 
 
(𝑃 − 𝑂1) = 𝑥. 𝑖1̌ + 𝑦. 𝑗1̌ 
 
 Diagrama de cuerpo libre: Nos encontramos con un cuerpo de masa puntual, apoyado 
sobre una curva lisa. La reacción de vínculo evidentemente es perpendicular a la curva en el 
punto de apoyo, y como la curva pertenece al plano 𝑖1̌ − 𝑗1̌, no debería tener componente en 
�̌�1. Sin embargo, si sospechamos que la reacción tiene componente en este último versor, 
podemos plantearlo y que el sistema de ecuaciones resuelva su valor. Además de la fuerza 
de vínculo, tendremos como fuerza exterior, el peso, que es la manifestación de la interacción 
gravitatoria con el planeta tierra. Así las cosas tendremos: 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
30/37 
 
 
 Planteamos la segunda ley de Newton modificada para SRNI: 
 
�̅� + �̅�𝑎𝑟𝑟 + �̅�𝐶𝑜𝑟 = 𝑚. �̅�𝑟𝑒𝑙 
 
Como buscamos reposo relativo, entonces: 
 
{
�̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅
�̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅
 
Luego, tiene que ser: 
 
�̅� + �̅�𝑎𝑟𝑟 + �̅�𝐶𝑜𝑟 = 𝑚. 0̅ 
 
Donde: 
�̅�𝑎𝑟𝑟 = −𝑚. �̅�𝑎𝑟𝑟 
 
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 �̅�𝑎𝑟𝑟 = 𝜔. 𝑗1̌ ∧ [𝜔. 𝑗1̌ ∧ (𝑃 − 𝑂1)] 𝑦 (𝑃 − 𝑂1) = 𝑥. 𝑖1̌ + 𝑦. 𝑗1̌ 
 
�̅�𝑎𝑟𝑟 = −𝑚.𝜔. 𝑗1̌ ∧ [𝜔. 𝑗1̌ ∧ (𝑥. 𝑖1̌ + 𝑦. 𝑗1̌)] = 𝑚.𝜔
2. 𝑥. 𝑖1̌ 
 
y 
�̅�𝐶𝑜𝑟 = −𝑚. �̅�𝐶𝑜𝑟 = −𝑚. {2. �̅�𝑇𝑀 ∧ �̅�𝑟𝑒𝑙} = 0̅ 
 
𝑌𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 �̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅, 𝑒𝑛 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
 
Continuando: 
�̅� + �̅�𝑎𝑟𝑟 = 0̅ 
 
�̅� + �̅� + 𝑚.𝜔2. 𝑥. 𝑖1̌ = 0̅ 
 
−𝑚.𝑔. 𝑗1̌ −𝑁𝑥. 𝑖1̌ +𝑁𝑦. 𝑗1̌ +𝑁𝑧. �̌�1 +𝑚.𝜔
2. 𝑥. 𝑖1̌ = 0̅ 
 
Separando en los tres versores: 
 
{
𝑖1̌) 𝑁𝑥 = 𝑚.𝜔
2. 𝑥 
𝑗1̌) 𝑁𝑦 = 𝑚. 𝑔 
�̌�1) 𝑁𝑧 = 0 
 
 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
31/37 
 
De la figura anterior es fácil ver que 𝑡𝑔(𝛼) = 𝑁𝑥/𝑁𝑦, entonces: 
 
𝑁𝑦. 𝑡𝑔(𝛼) = 𝑚. 𝑔. 𝑡𝑔(𝛼) = 𝑚.𝜔2. 𝑥 
 
𝑡𝑔(𝛼) =
𝜔2
𝑔
. 𝑥 
 
𝑦´ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝜔2
𝑔
. 𝑥 
 
𝑑𝑦 =
𝜔2
𝑔
. 𝑥. 𝑑𝑥 
∫𝑑𝑦 = ∫
𝜔2
𝑔
. 𝑥. 𝑑𝑥 
 
𝑦 =
𝜔2
2. 𝑔
. 𝑥2 + 𝐶 
 
Donde C en la constante de integración, que si la curva parte del origen, tendremos: 
 
𝑦(0) = 0 =
𝜔2
2. 𝑔
. 02 + 𝐶 ==> 𝐶 = 0, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 
 
𝒚 =
𝝎𝟐
𝟐. 𝒈
. 𝒙𝟐 
 
Que es la forma de la curva necesaria para que la masa quede en equilibrio en 
cualquier posición. A mayor velocidad, menor apertura de la parábola. 
 
Si tenemos una forma de tubo parabólica ya determinada, y 𝜔 es más pequeño que el 
coeficiente de la parábola por lo que el punto encontrará su equilibrio en una posición baja de 
la parábola. A medida que 𝜔 aumente, la posición de equilibrio irá trepando a lo largo de la 
parábola hasta encontrar el punto crítico, donde se encuentra en equilibrio en cualquier punto. 
A partir de allí, si 𝜔 sigue aumentando, el equilibrio el equilibrio se vuelve a encontrar en un 
único punto, pero en la parte más alta de la parábola. 
 
Algo muy similar utiliza el inclinómetro de una aeronave, que es el indicador de viraje 
coordinado. Los virajes siempre son a diferente velocidad, por lo que el equilibrio se 
encontrará en un solo punto del tubo, dependiendo de la velocidad de giro y de las fuerzas 
intervinientes. Cuando las fuerzas de inercia (pseudofuerzas para ser más correctos) y las 
fuerzas gravitatorias que actúan sobre la bolita están en equilibrio, esta se centra y el viraje 
se dice coordinado. Cuando la aeronave tiende a salirse de la trayectoria, tiende a derrapar, 
predominan las fuerzas de inercia y la bolita asume una posición elevada hacia el lado 
contrario del centro del viraje. Cuando la aeronave tiene poca velocidad, tiende a deslizar 
hacia adentro de la trayectoria, y la bolita tiende a caer por el tubo hacia el lado interno del 
viraje, porque predominan las fuerzas gravitatorias. 
 
En la figura que sigue podemos ver la situación del indicador para un viraje a la 
izquierda. Para un viraje a la derecha tendremos una situación análoga, pero con el tubo 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
32/37 
 
inclinado hacia la derecha. En ambos casos, la pendiente del tubo en cada punto es diferente, 
modifica las componentes de la reacción de vínculo. El equilibrio se alcanza siempre, pero 
fuera del centro cuando el viraje no es coordinado, arriba y hacia afuera del centro de viraje 
cuando predominan las fuerzas de inercia y abajo y hacia el lado de giro, cuando predominan 
las fuerzas gravitatorias. Si el desequilibrio es grande, la bolita se irá a tope. 
 
 
Ejemplo N° 3. 
 
 Se tiene un pasador en C, que vincula cuna corredera que desliza sobre una guía 
horizontal, y que está tomada desde un punto A, inferior, a través de un resorte, como se 
muestra en la figura. 
 
En la figura de la derecha tenemos la ubicación de nuestro sistema de referencia, que 
es fijo, y por lo tanto inercial. 
 
En la figura que sigue, tenemos el Diagrama de Cuerpo 
Libre (DCL) de la corredera. Donde �̅�𝑟𝑜𝑧 representa la fuerza de 
fricción sólida entre correderay guía horizontal; �̅�, el peso; �̅�, la 
reacción de vínculo o normal, y; �̅�𝑒, la fuerza elástica del resorte. 
 
Primera ecuación universal: 
 
∑�⃗�𝑒𝑥𝑡 =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
33/37 
 
∑�⃗�𝑒𝑥𝑡 =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑚. �⃗�)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑚
𝑑𝑡
. �⃗� + 𝑚
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
= 0. �⃗� + 𝑚. �⃗� 
 
�⃗⃗� + �⃗⃗⃗� + �⃗�𝑟 + �⃗�𝑒 = 𝑚. �⃗� 
 
−𝑚.𝑔. 𝑗̆ + 𝑁. 𝑗̆ + 𝜇. 𝑁. 𝑖̆ − 𝑘. ∆𝑙. 𝑠𝑒𝑛(𝜃). 𝑖̆ − 𝑘. ∆𝑙. 𝑐𝑜𝑠(𝜃). 𝑗̆ = −𝑚. �̈�. 𝑖 ̆
 
Descomponemos la ecuación vectorial, en dos ecuaciones escalares: 
 
{
𝐸𝑛 𝑥: 𝜇. 𝑁 − 𝑘. ∆𝑙. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = −𝑚. �̈� (𝒊)
𝐸𝑛 𝑦: − 𝑚. 𝑔 + 𝑁 − 𝑘. ∆𝑙. 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 0 (𝒊𝒊)
 
 
Pero como podemos observar, tanto el ángulo θ como la elongación del resorte Δl 
dependen de la posición de la corredera. Por lo tanto, ambas variables dependen de la 
coordenada x de la corredera. 
 
Expresión de Δl: 
 
𝑥2 + ℎ2 = (ℎ + ∆𝑙)2 
 
𝑥2 + ℎ2 = ℎ2 + 2. ℎ. ∆𝑙 + ∆𝑙2 
 
0 = −𝑥2 + 2. ℎ. ∆𝑙 + ∆𝑙2 
 
∆𝑙 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−2. ℎ ± √4. ℎ2 + 4. 𝑥2
2
 
 
∆𝑙1 = −ℎ + √ℎ
2 + 𝑥2 
 
∆𝑙2 = −ℎ −√ℎ
2 + 𝑥2 
 
Pero como Δl2 < 0 no puede ser solución, se adopta Δl1, 
 
∆𝑙 = −ℎ + √ℎ2 + 𝑥2 (𝒊𝒊𝒊) 
 
Luego, las funciones trigonométricas que relacionan 𝜃 con x, se pueden calcular 
como: 
 
{
 
 𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
ℎ
√ℎ2 + 𝑥2
 (𝒊𝒗)
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
 (𝒗)
 
 
Reescribiendo las ecuaciones: 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
34/37 
 
{
 
 𝐸𝑛 𝑥: 𝜇. 𝑁 − 𝑘. (−ℎ + √ℎ
2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
= −𝑚. �̈� (𝒗𝒊)
𝐸𝑛 𝑦: − 𝑚. 𝑔 + 𝑁 − 𝑘. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
ℎ
√ℎ2 + 𝑥2
= 0 (𝒗𝒊𝒊)
 
 
 
 De la última podemos despejar la fuerza normal queda como función de la posición: 
 
𝑁 = 𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚. 𝑔 (𝒗𝒊𝒊𝒊) 
 
Y reemplazando (viii) en (vi): 
 
𝜇. [𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚.𝑔] − 𝑘. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
= −𝑚. �̈� (𝒊𝒙) 
 
De donde se puede obtener la aceleración como función de la posición: 
 
�̈� = −
𝜇
𝑚
. [𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚.𝑔] +
𝑘
𝑚
. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
 (𝒙) 
 
 E integrando, podemos obtener la expresión de la velocidad como función de la 
posición: 
 
𝑑�̇�
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑥
. 𝑣 = −
𝜇
𝑚
. [𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚.𝑔] +
𝑘
𝑚
. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
 
 
 
𝑣. 𝑑𝑣 = {−
𝜇
𝑚
. [𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚.𝑔] +
𝑘
𝑚
. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
} . 𝑑𝑥 
 
∫ 𝑣. 𝑑𝑣
𝑣
0
= ∫ {−
𝜇
𝑚
. [𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚.𝑔] +
𝑘
𝑚
. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
} . 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
 
 
1
2
. 𝑣2 = ∫ {−
𝜇
𝑚
. [𝑘. ℎ (.
−ℎ
√ℎ2 + 𝑥2
+ 1) +𝑚. 𝑔] +
𝑘
𝑚
. 𝑥. (
−ℎ
√ℎ2 + 𝑥2
+ 1)} . 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
 
 
1
2
. 𝑣2 = ∫ (
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
.
1
√ℎ2 + 𝑥2
+
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
− 𝜇. 𝑔 −
𝑘. ℎ
𝑚
.
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
+
𝑘
𝑚
. 𝑥) . 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
 
 
1
2
. 𝑣2 =
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
. 𝑙𝑛 (𝑥 + √ℎ2 + 𝑥2)|
𝑥0
𝑥
+
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
. 𝑥|
𝑥0
𝑥
− 𝜇. 𝑔. 𝑥|𝑥0
0 −
𝑘. ℎ
𝑚
.√ℎ2 + 𝑥2|
𝑥0
𝑥
+
𝑘
2.𝑚
. 𝑥2|𝑥0
𝑥 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
35/37 
 
1
2
. 𝑣2 =
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
. 𝑙𝑛 (
𝑥 + √ℎ2 + 𝑥2
𝑥0 +√ℎ
2 + 𝑥0
2
) −
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
. (𝑥 − 𝑥0) + 𝜇. 𝑔. (𝑥 − 𝑥0)
−
𝑘. ℎ
𝑚
. (√ℎ2 + 𝑥2 −√ℎ2 + 𝑥0
2) −
𝑘
2.𝑚
. (𝑥2−𝑥0
2) 
 
𝑣 = √2. [
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
. 𝑙𝑛 (
𝑥 + √ℎ2 + 𝑥2
𝑥0 +√ℎ
2 + 𝑥0
2
) −
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
. (𝑥 − 𝑥0) + 𝜇. 𝑔. (𝑥 − 𝑥0)
−
𝑘. ℎ
𝑚
. (√ℎ2 + 𝑥2 −√ℎ2 + 𝑥0
2) −
𝑘
2.𝑚
. (𝑥2−𝑥0
2)]
1
2⁄
 (𝒙𝒊) 
 
E integrando nuevamente respecto del tiempo, se obtendrá la ley de variación de la 
posición de la corredera (con el tiempo): 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= √2. [
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
. 𝑙𝑛 (
𝑥 + √ℎ2 + 𝑥2
𝑥0 +√ℎ
2 + 𝑥0
2
) −
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
. (𝑥 − 𝑥0) + 𝜇. 𝑔. (𝑥 − 𝑥0)
−
𝑘. ℎ
𝑚
. (√ℎ2 + 𝑥2 −√ℎ2 + 𝑥0
2) −
𝑘
2.𝑚
. (𝑥2−𝑥0
2)]
1
2⁄
 
 
𝑑𝑡 =
1
√2
. [
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
. 𝑙𝑛 (
𝑥 + √ℎ2 + 𝑥2
𝑥0 +√ℎ
2 + 𝑥0
2
) −
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
. (𝑥 − 𝑥0) + 𝜇. 𝑔. (𝑥 − 𝑥0)
−
𝑘. ℎ
𝑚
. (√ℎ2 + 𝑥2 −√ℎ2 + 𝑥0
2) −
𝑘
2.𝑚
. (𝑥2−𝑥0
2)]
−1
2⁄
. 𝑑𝑥 
 
 Se lo dejamos al lector interesado. 
 
 
 
 
 
 
XVIII. BIBLIOGRAFÍA: 
 
Dejando de lado los libros de física recomendados como lectura previa en el punto 
XIV.c, como bibliografía específica vamos a insistir con los dos textos de base y agregamos 
algunos pocos más sólo a modo de ejemplo. 
 
- Mecánica de Ángel Rodolfo Alessio, editado por el CEIT (UTN), Buenos Aires, 2007; 
- Mecánica de Marsicano, Tomo I, Ediciones Previas, UBA, Buenos Aires, 1979; 
- Mecánica de Luis Roque Argüello, Answer Just in Time, Buenos Aires, 2003; 
- Mecánica Racional de Ércoli y Azurmendi, Edutecne, UTN, Buenos Aires, 2014: 
- Mecánica Analítica de Enrique Yépez Mulia y Mitztli Yépez Martínez, Facultad de 
Ciencias de la UNAM, México, 2007; 
- TARG, Curso breve de mecánica teórica, Editorial MIR, Moscú, 1976; 
- Mecánica Clásica de H. Goldstein, editorial Reverté, Barcelona 1987. 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
36/37 
 
 
 
 
Péndulo simple 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�̅� = 𝑚. �̅� 
 
�̅� + �̅� = 𝑚. �̅� 
 
𝑇. �̌� − 𝑚. 𝑔. cos(𝛼) . �̌� + 𝑚. 𝑔. sen(𝛼) . �̌� = − 𝑚. (�̈�. �̌� +
�̇�2
𝜌
. �̌�) 
 
{
�̌�) 𝑚. 𝑔. sen(𝛼) = 𝑚. �̈� 
�̌�) 𝑇 −𝑚. 𝑔. cos(𝛼) = 𝑚.
�̇�2
𝜌
 
 
 Considerando pequeñas oscilaciones: 
 
{
𝛼 𝑚𝑢𝑦 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 (< 5°)
𝑠𝑒𝑛(𝛼) ≅ 𝛼
𝑐𝑜𝑠(𝛼) ≅ 1
 
 
 Además, �̇� = 𝑣 = �̇�. 𝑙 
{
�̌�) 𝑚. 𝑔. 𝛼. = 𝑚. �̈�. 𝑙
�̌�) 𝑇 − 𝑚. 𝑔 = 𝑚.
�̇�2
𝜌
 
 
 
Ecuación del movimiento: 
 
�̈� =
𝑔
𝑙
. 𝛼 
 
�̈� +
𝑔
𝑙
. 𝛼 = 0 
 
 
𝑚. �̈� + 𝐶. �̇� + 𝐾. 𝑥 = 0 
 
CAPÍTULO 4 Dinámica del Punto Material 
 
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�̈� + 2. 𝛽. �̇� +
𝐾
𝑚
. 𝑥 = 0 
 
Escriba aquí la ecuación. 
 
𝑥(𝑡) = 𝐾. 𝑒−𝛽.𝑡 . cos [(√(
𝐾
𝑚
)
2
− 𝛽2) . 𝑡 + 𝜑]