Sistemas de Fuerzas - Parte 1

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ESTÁTICA y RESISTENCIA 
DE LOS MATERIALES
UNIDAD I: SISTEMAS DE FUERZA
Introducción
MECÁNICA
MECÁNICA DEL 
CUERPO RÍGIDO
ESTÁTICA
DINÁMICA
MECÁNICA DE 
LOS CUERPOS 
DEFORMABLES
RESISTENCIA DE 
LOS MATERIALES
MECÁNICA DE LOS 
FLUÍDOS
INCOMPRESIBLES HIDRÁULICA
COMPRESIBLES GASES
La ESTÁTICA, una rama de la mecánica de los cuerpos rígidos, estudia el
equilibrio de los cuerpos, es decir, de aquellos que están en reposo o se
mueven a una velocidad constante.
Es una ciencia 
APLICADA
Introducción
CUERPO
Combinación de un gran número de partículas (puntos materiales) que
ocupan posiciones fijas entre sí, es decir, las mismas permanecen a una
distancia fija entre sí.
Partícula: es una pequeñísima cantidad de materia que ocupa un punto
en el espacio.
Introducción
HIPÓTESIS 
Simplificaciones para apreciar el problema 
MEDIO CONTÍNUO
Introducción
1er Hipótesis: INDEFORMABILIDAD (RIGIDEZ)
Bajo la hipótesis de rigidez se supone invariable la distancia entre dos
puntos de un cuerpo cuando éste se encuentra sometido a la acción de
fuerzas exteriores→ Cuerpo RIGIDO.
Nota: En las estructuras son aceptables las deformaciones mientras que sean
compatibles con la función para la cual fueron proyectadas y no pongan en peligro
la seguridad.
Introducción
2da Hipótesis: LINEALIDAD
Los sistemas lineales son aquellos en los que los efectos son
proporcionales a las causas.
- Desplazamientos infinitesimales (pequeños).
- Pequeñas deformaciones.
- El material se comporta linealmente (Ley de Hooke).
- Equilibrio en la posición, sin deformar.
UNIDAD 1
Concepto de fuerza. 
Expresiones vectoriales y escalares. 
Fuerzas concurrentes y no concurrentes 
en el plano. Reducción. 
Fuerzas concurrentes y no concurrentes 
en el espacio. Reducción.
Equilibrio. 
Momento de una fuerza.
Respecto de un punto y de un eje.
Cuplas.
Fuerzas distribuidas sobre líneas, 
superficies y volúmenes. 
Diagramas de carga. Rozamiento. 
SISTEMAS DE FUERZA
UNIDAD 1
SISTEMAS DE FUERZA
Concepto de fuerza. 
Expresiones vectoriales y escalares. 
Fuerzas concurrentes y no concurrentes 
en el plano. Reducción. 
Fuerzas concurrentes y no concurrentes 
en el espacio. Reducción.
Equilibrio. 
Momento de una fuerza.
Respecto de un punto y de un eje.
Cuplas.
Fuerzas distribuidas sobre líneas, 
superficies y volúmenes. 
Diagramas de carga. Rozamiento. 
UNIDAD 1
SISTEMAS DE FUERZA
Concepto de fuerza. 
Expresiones vectoriales y escalares. 
Fuerzas concurrentes y no concurrentes 
en el plano. Reducción. 
Fuerzas concurrentes y no concurrentes 
en el espacio. Reducción.
Equilibrio. 
Momento de una fuerza.
Respecto de un punto y de un eje.
Cuplas.
Fuerzas distribuidas sobre líneas, 
superficies y volúmenes. 
Diagramas de carga. Rozamiento. 
¿QUÉ ES UNA 
FUERZA?
Fuerza
Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y puede
ejercerse por contacto real o a distancia. Una fuerza se caracteriza por
su punto de aplicación, magnitud y dirección y se representa por un
vector, al que llamaremos, vector fuerza (modelo).
𝑃1 = 𝑝𝑒𝑠𝑜𝐴
𝑃𝑖
Recta de Acción
Caracterización →
Fuerza
Una fuerza es toda acción que
tiende a modificar el estado
de reposo de un cuerpo.
Fuerza
𝑇1
𝑇2
Utilizaremos generalmente
vectores deslizantes por lo
tanto desaparece el
concepto de dirección y
aparece el de:
RECTA DE ACCIÓN
𝑇2
Recta de Acción: colineal con la 
cadena o cable
−𝑇2
Fuerza
𝑃1
𝑃2
Utilizaremos generalmente
vectores deslizantes por lo
tanto desaparece el
concepto de dirección y
aparece el de:
RECTA DE ACCIÓN
Recta de Acción: colineal con la 
cadena o cable
Clasificación 
• Fuerzas Externas.
• Fuerzas Internas.
• Fuerzas gravitatorias.
• Fuerzas de contacto.
• Fuerzas de Cuerpo.
• Fuerzas de Superficie.
Clasificación 
• Fuerzas Externas.
• Fuerzas Internas.
• Fuerzas gravitatorias.
• Fuerzas de contacto.
• Fuerzas de Cuerpo.
• Fuerzas de Superficie.
Pilares de la Estática
1) Principio del Paralelogramo.
2) Transmisibilidad.
3) 1º Ley de Newton.
4) 3º Ley de Newton. PR
IN
CI
PI
O 
DE
L 
PA
RA
LE
LO
GR
AM
O
1°
LE
Y 
NE
W
TO
N
3°
LE
Y 
NE
W
TO
N
Cuerpo Rígido
ESTÁTICA
TR
AN
SM
IS
IB
IL
ID
AD
Tres Principios.
Ley del Paralelogramo
𝑃1
𝑃2
𝑅 = 𝑃1 + 𝑃2
𝑃1
𝑃2
𝑅𝐴
𝐴
1° Principio de la Estática: El efecto de 2 fuerzas, P1 y P2, aplicadas a un
mismo punto de un cuerpo rígido, es equivalente al de una única fuerza
llamada resultante, aplicada en el mismo punto, y cuya intensidad y
dirección quedan definidas por la diagonal del paralelogramo que tiene
por lados los vectores representativos de las fuerzas componentes.
Ley del Paralelogramo
𝑃1
𝑃2
𝑅𝐴
𝑅 = 𝑃1 + 𝑃2
La única posibilidad que dos fuerzas concurrentes esté en
equilibrio es que su resultante 𝑹 sea nula. ¿Qué es el Equilibrio? → es un estado
invariable, una situación balanceada
𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Ԧ𝐹 = 𝑚. Ԧ𝑎
𝑉 ≠ 𝑐𝑡𝑒
෍ Ԧ𝐹 = 0
Ley del Paralelogramo
𝑃1 𝑃2
Caso particular: vectores colineales.
La ley del paralelogramo se reduce a una suma algebraica o suma escalar.
𝑅 = 𝑃1 + 𝑃2
𝑃2 𝑃1
Para que halla equilibrio: 𝑅 = 0
𝑃2 𝑃1 2° Principio de la Estática: Para que dos
fuerzas se equilibren es necesario que
posean igual recta de acción, igual
intensidad y sentidos contrarios.
Sistema NULO: sistemas constituidos
por dos fuerzas en equilibrio.
𝑅 = 𝑃1 + 𝑃2 = 0 → 𝑃1 = −𝑃2
Principios básicos
2° Principio de la Estática: Para que dos fuerzas se equilibren es necesario que
posean igual recta de acción, igual intensidad y sentidos contrarios.
1° Principio de la Estática: El efecto de dos fuerzas 𝑃1 y 𝑃2 , aplicadas a un
mismo punto de un cuerpo rígido, es equivalente al de una única fuerza llamada
RESULTANTE, 𝑅, aplicada en el mismo punto y cuya intensidad y dirección quedan
definidas por la diagonal del paralelogramo que tiene por lados los vectores
representativos de las fuerzas componentes.
3° Principio de la Estática: El efecto de un sistema de fuerzas determinado, sobre
un cuerpo rígido, no se modifica si a dicho sistema se agrega o quita un sistema
de fuerzas nulo.
Transmisibilidad
𝑃1
𝑃1 = 𝑃1′′
Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido
permanecerán inalteradas si una fuerza que actúa en un punto del cuerpo rígido se
sustituye por una fuerza de la misma magnitud y la misma dirección, pero que
actúe en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea
de acción.
A
B
𝑃1
A
𝑃1′
𝑃1′′
B
A
𝑃1′′
𝑃1 𝑃1 + (−𝑃1
′) = 0
Sistema NULO
1° Ley de Newton
Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula
permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se
moverá con velocidad constante en línea recta (si originalmente estaba
en movimiento).
𝑃1 𝑃2
𝑃3
𝑃𝑖
𝑅 = 0
𝑉 = 𝐶𝑇𝐸𝑉 = 𝐶𝑇𝐸
3° Ley de Newton
Las fuerzas de acción y reacción de cuerpos en contacto tienen la
misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos.
𝑃1
−𝑃1
𝑃1
−𝑃1
Sistema de Fuerzas (SF)
SISTEMAS DE 
FUERZA
ESPACIALES
PLANOS
𝑍
𝑌𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑂
𝑂
Utilizaremos terna izquierda.
Z
Y
X
𝑃1
𝑃4
𝑃3
𝑃2
Sistema de Fuerzas (SF)
ESPACIALES
CONCURRENTES
PARALELOS
ALABEADOS (no 
concurrentes)
𝑍
𝑌
𝑋
𝑃1
𝑃3
𝑃2
𝑍
𝑌
𝑋
𝑃1
𝑃3
𝑃2
𝑂
𝑂
Utilizaremos terna izquierda.
𝑃𝑖
𝑃𝑖
Caracterización de Fuerzas
Z
Y
X
𝑃
𝑃𝑦
𝑃𝑧
𝑃𝑥𝛼
𝛾
𝛽
O
𝛼, 𝛽, 𝛾 → Ángulos directores
𝑃𝑥 = 𝑃. cos 𝛼
𝑃𝑦 = 𝑃. cos 𝛽
𝑃𝑧 = 𝑃. cos 𝛾
𝑃 = 𝑃𝑥
2 + 𝑃𝑦
2 + 𝑃𝑧
2
𝑃 = 𝑃𝑥 Ƽ𝑖 + 𝑃𝑦 Ƽ𝑗 + 𝑃𝑧 ෘ𝑘
𝑖, 𝑗, 𝑘 → Versores dirigidos a lo largo
de los ejes coordenados.
Momento
𝑀 = 𝑃 × 𝐶 − 𝐴 = (𝐴 − 𝐶) × 𝑃
𝑀 = 𝑃 × Ԧ𝑟 = 𝑃 × 𝐶 − 𝐴 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑃𝑧
(𝑥𝑐 − 𝑥𝐴) (𝑦𝑐 − 𝑦𝐴) (𝑧𝑐 − 𝑧𝐴)
= 𝑀𝑥 Ƽ𝑖 + 𝑀𝑦 Ƽ𝑗 + 𝑀𝑧 ෘ𝑘
Ԧ𝑟 = 𝐶 − 𝐴 → vector posición.
Regla de signos…
+, sentido horario
𝐶 (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 , 𝑧𝑐)
O
Z
Y
X
𝑃

𝐴 (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴)𝑀
C: Centro de momentos.
A: Punto perteneciente a la recta
de acción de la fuerza.
Momento
𝑀 = 𝑃 × (𝐶 − 𝐴)
𝑀 = 𝑃 . (𝐶 − 𝐴) . sin 𝛾
𝑑
M = 𝑃. 𝑑
𝑑, distancia perpendicular desde 𝐶 hasta la línea de acción de 𝑃.
Nm = 𝑁 . [𝑚]Sistema SI →
𝑀
𝐶 (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 , 𝑧𝑐)
O
Z
Y
X

𝑃
𝐴 (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴)
La magnitud de M cuantifica la tendencia
de la fuerza P a hacer rotar al cuerpo
alrededor de un eje fijo, dirigido a lo
largo del momento.
Momento
Terna izq.→ regla mano 
izquierda.
+
𝑴
𝐶 (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 , 𝑧𝑐)
O
Z
Y
X
𝑃
Terna izq.→ regla mano 
izquierda.
𝑴
𝐶 (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 , 𝑧𝑐)
Z
Y
X
𝑃
Momento
M = 𝑃. 𝑑
𝑑, distancia perpendicular desde 𝐶 hasta la línea de acción de 𝑃.
Nm = 𝑁 . [𝑚]Sistema SI →
Sentido horario: +
Regla de signos…
𝑑
𝑃
𝑀
M = −𝑃. 𝑑
𝑑
𝑃
−𝑀
Enfoque más simple consiste en tratar a
las componentes escalares de Ԧ𝑟 y 𝑃 como
si fueran positivas y, después, asignar por
inspección el signo apropiado al
momento producido por cada
componente de la fuerza.
Momento
𝑀 = 𝑃 × (𝐶 − 𝐴)
𝑀
𝐶
O
Z
Y
X
𝑃
𝐴
Ԧ𝑟
𝑀 = 𝑃 × (𝐶 − 𝐴) =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑃𝑥 0 𝑃𝑧
(𝑥𝑐 − 𝑥𝐴) 0 (𝑧𝑐 − 𝑧𝐴)
𝑀 = − ቂ𝑃𝑥. 𝑧𝑐 − 𝑧𝐴 − 𝑃𝑧(𝑥𝑐 − 𝑥𝐴)] ም𝐽
𝑀 = −[𝑃𝑥 . 𝑧𝑐 − 𝑧𝐴 − 𝑃𝑧 𝑥𝑐 − 𝑥𝐴 ] = (+)
Análisis sobre el plano 𝑧𝑥
𝑃𝑥
𝑃𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑧
Par de Fuerza (CUPLA)
𝑃1
𝑃2
𝐴1
𝐴2
𝐶
(𝐴2 − 𝐴1)
𝑃1 = −𝑃2
(𝐶 − 𝐴2)
𝑅 = 𝑃1 + 𝑃2 = 0
𝑀𝑃1
𝐶 +𝑀𝑃2
𝐶 ≠ 0
SF de dos fuerzas, con rectas de acción paralelas, igual
magnitud y diferente sentido, forman un par de fuerzas o
PAR.
→
Efecto físico: tienden a rotar el cuerpo.
Par de Fuerza (CUPLA)
Efecto físico: tienden a rotar el cuerpo.
Par de Fuerza (CUPLA)
𝑃1 = −𝑃2
𝑅 = 𝑃1 + 𝑃2 = 0 𝑀𝑃1
𝐶 +𝑀𝑃2
𝐶 ≠ 0
𝑀𝑃𝑎𝑟
𝐶 = 𝑃1 × 𝐶 − 𝐴1 + 𝑃2 × (𝐶 − 𝐴2)
𝑀𝑃𝑎𝑟
𝐶 = 𝑃1 × 𝐶 − 𝐴1 + (−𝑃1) × (𝐶 − 𝐴2)
𝑀𝑃𝑎𝑟
𝐶 = 𝑃1 × [ 𝐶 − 𝐴1 − 𝐶 − 𝐴2 ]
𝑀𝑃𝑎𝑟
𝐶 = 𝑃1 × 𝐴2 − 𝐴1
𝑃1
𝐴1
𝐴2
𝐶
(𝐴2 − 𝐴1) (𝐶 − 𝐴2)
𝑑
Momento del PAR de Fuerzas.
𝑃2
Par de Fuerza (CUPLA)
𝑃1 = −𝑃2
𝑅 = 𝑃1 + 𝑃2 = 0
𝑀𝑃𝑎𝑟
𝐶 = 𝑃1 × 𝐴2 − 𝐴1
𝑃1
𝐴1
𝐴2
𝐶
(𝐴2 − 𝐴1) (𝐶 − 𝐴2)
𝑑
𝑀𝑃𝑎𝑟
𝐶 = 𝑃1 . 𝑑 = 𝑃2 . 𝑑
• Los pares de fuerza quedan definidos por su momento (en intensidad y signo).
• ¿Cuál es la RESULTANTE de un PAR de Fuerzas? → NULA.
𝑃2
Par de Fuerza (CUPLA)
• Cuando un par actúa sobre un cuerpo rígido, es irrelevante dónde
actúan las dos fuerzas que forman al par o cuáles son la magnitud y la
dirección que esas fuerzas tienen. Lo único que importa es el
momento del par (su magnitud y signo).
• El vector 𝑀𝑃𝑎𝑟
𝐶 representa un par de fuerzas actuante en un plano
determinado y su dirección es normal a dicho plano.
• Es un vector libre, por lo cual, su punto de aplicación puede ser
elegido en el origen de coordenadas si así lo deseamos.
Momento respecto a un Eje
𝑀
O
Z
Y
X
𝑃

𝐴 (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴)
𝐶𝑒(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶 , 𝑧𝐶)
𝑀𝑒 = 𝑃 × (𝐶𝑒 − 𝐴) ∗ Ƽ𝑒
Ƽ𝑒
𝑀
Se define el momento respecto a un eje 
como la proyección de 𝑀 sobre el eje Ƽ𝑒.
𝑀𝑒
Momento respecto a un Eje
𝑀𝑒 = 𝑃 × (𝐶𝑒 − 𝐴) ∗ Ƽ𝑒
𝑀𝑒 =
𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑃𝑧
𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 𝑧𝐶𝑒 − 𝑧𝐴
𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧
𝑀𝑒 = 𝐸𝑆𝐶𝐴𝐿𝐴𝑅
El significado físico se puede ver como
la tendencia de la fuerza 𝑃 a hacer
rotar el cuerpo rígido alrededor del eje
Ƽ𝑒.
𝑀
O
Z
Y
X
𝑃

𝐴 (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴)
𝐶𝑒(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶 , 𝑧𝐶)
Ƽ𝑒
𝑀𝑒
Traslación de una Fuerza
O
Z
Y
X
𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴)
𝑀𝑇 = 𝑃 × (𝑇 − 𝐴)
𝑃
𝑇(𝑥𝑇 , 𝑦𝑇 , 𝑧𝑇)
𝑃
𝑃
−𝑃
𝑃
𝑀𝑇
𝑇 𝑇
𝐴
𝐴
SF NULO
Traslación de una Fuerza
𝑃
𝑃
−𝑃
𝑃
𝑀𝑇
𝑇 𝑇
𝐴
𝐴
Cualquier fuerza 𝑃 que actúe sobre un
cuerpo puede ser trasladada a un punto
cualquiera, siempre y cuando se agregue un
par cuyo momento sea igual a:
𝑀𝑇 = 𝑃 × (𝑇 − 𝐴)
𝑀𝑇 = 𝑃 . 𝑑
𝑑
Sist. EQUIVALENTE de fuerzas
Dos sistemas de fuerzas (𝑖; 𝑗 ) se consideran equivalentes cuando
tienden a impartirle al cuerpo rígido la misma traslación en las
direcciones 𝑥, 𝑦, 𝑧 y la misma rotación alrededor de los ejes 𝑥, 𝑦, 𝑧
respectivamente.
෍𝑃𝑖𝑥 =෍𝑃𝑗𝑥 ෍𝑃𝑖𝑦 =෍𝑃𝑗𝑦 ෍𝑃𝑖𝑧 =෍𝑃𝑗𝑧
෍𝑀𝑖𝑥 =෍𝑀𝑗𝑥 ෍𝑀𝑖𝑦 =෍𝑀𝑗𝑦 ෍𝑀𝑖𝑧 =෍𝑀𝑗𝑧
Analíticamente...
Reducción de un SF
O
Z
Y
X
𝐴
𝐵
𝐶
𝑂
𝑃1
𝑃3
𝑟3
𝑟1
𝑟2 𝑃2
O
Z
Y
X
𝐴
𝐵
𝐶
𝑃1𝑃3
Z
Y
X𝑂
𝑀1
Reducir un sistema de fuerzas es encontrar una
expresión equivalente más simple.
Cualquier sistema de fuerzas, sin importar que tan
complejo sea, puede ser reducido a un sistema
equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado.
Traslación de 𝑃1 al punto 𝑂. Como
consecuencia, tenemos un vector
de par 𝑀1 → sistema equivalente
(produce el mismo efecto) que 𝑃1
en A.
𝑃2
Reducción de un SF
𝑃2
Vectores fuerza, 𝑃, actuado en 𝑂
El efecto de trasladar las fuerza son los vectores
pares 𝑀.
Repitiendo el procedimiento
de traslación para el resto de
las fuerzas…
Y
Z
X
𝑀3
𝑂 𝑃2
𝑃3
𝑃1
𝑀1
𝑀2
O
Z
Y
X
𝐴
𝐵
𝐶
𝑂
𝑃1
𝑃3
𝑟3
𝑟1
𝑟2
Y
Z
X
Y
Z
X
Reducción de un SF
𝑃2
𝑀3
𝑂 𝑃2
𝑃3
𝑃1
𝑀1
𝑀2
Sistema equivalente → Resultante de Reducción y
Momento Resultante de Reducción.
𝑂
𝑅𝑅
𝑀𝑅
O
Z
Y
X
𝐴
𝐵
𝐶
𝑂
𝑃1
𝑃3
𝑟3
𝑟1
𝑟2
Y
Z
X
Y
Z
X
Reducción de un SF
𝑃2
𝑀3
𝑂 𝑃2
𝑃3
𝑃1
𝑀1
𝑀2
𝑂
𝑅𝑅
𝑀𝑅
O
Z
Y
X
𝐴
𝐵
𝐶
𝑂
𝑃1
𝑃3
𝑟3
𝑟1
𝑟2
Ecuaciones analíticas→
𝑅 =෍𝑃𝑖 𝑀𝑅
𝑂 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑃𝑖 × 𝑂 − 𝐴𝑖 +෍
𝑗=1
𝑚
𝑀𝑗
Reducción de un SF
Sistema equivalente Fuerza-Par → Caracteriza completamente el 
efecto de un sistema de fuerzas dado (general) sobre el cuerpo rígido.
Dos sistemas de fuerzas son EQUIVALENTES cuando pueden ser
reducidos al mismo sistema Fuerza-Par en un punto dado 𝑂.
𝑃𝑖 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1,… . ,𝑚 ⟹ 𝑅𝐼 , 𝑀𝑅𝐼
𝑃𝑗 𝑐𝑜𝑛 𝑗 = 1,… . , 𝑛 ⟹ 𝑅𝐼𝐼 , 𝑀𝑅𝐼𝐼
Sistema de Fuerzas 𝐼
Sistema de Fuerzas 𝐼𝐼
𝑅𝐼 = 𝑅𝐼𝐼
𝑀𝑅𝐼 = 𝑀𝑅𝐼𝐼
Reducción de un SF
𝑅 =෍𝑃𝑖
𝑀𝑅
𝑂 =
Ƽ𝑖 Ƽ𝑗 ෘ𝑘
𝑃𝑖𝑥 𝑃𝑖𝑦 𝑃𝑖𝑧
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
+ 𝑀𝑗𝑥 Ƽ𝑖 + 𝑀𝐽𝑦 Ƽ𝑗 + 𝑀𝐽𝑧 ෘ𝑘
𝑅 = 𝑅𝑥 Ƽ𝑖 + 𝑅𝑦 Ƽ𝑗 + 𝑅𝑧 ෘ𝑘
𝑀𝑅
𝑂 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑃𝑖 × 𝑂 − 𝐴𝑖 +෍
𝑗=1
𝑚
𝑀𝑗
𝑅𝑥 ≠ 0
𝑅𝑦 ≠ 0
𝑅𝑧 ≠ 0
𝑀𝑥 ≠ 0
𝑀𝑦 ≠ 0
𝑀𝑧 ≠ 0
Caso GENERAL
Reducción de un SF
Cambio de Centro de Reducción.
Cuando un sistema de fuerzas dado se ha reducido a una fuerza y un
par que actúa en el punto O, dicho sistema puede reducirse a una
fuerza y un par actuando en cualquier otro punto O’.
𝑅𝑀𝑅
𝑂
𝑂
𝑅𝑀𝑅
𝑂
𝑂
𝑂′
𝑅
𝑅 = constante→ Invariante vectorial
Ԧ𝑟
Reducción de un SF
𝑅𝑀𝑅
𝑂
𝑂
𝑅𝑀𝑅
𝑂
𝑂 𝑂′
𝑅
𝑅 = constante→ Invariante vectorial 𝑀𝑅
𝑂′ = 𝑀𝑅
𝑂 + 𝑅 × 𝑂′ − 𝑂
Momento de 𝑅 respecto del nuevo
centro de reducción 𝑂′. Es el par que
aparece, al trasladar el vector 𝑅 al
nuevo centro de reducción 𝑂′.
Ԧ𝑟
Casos Particulares
• 𝑅𝑅 ≠ 0
• 𝑀𝑅
𝑂 ≠ 0
Un Sistema de Fuerzas puede ser reducido a una única fuerza o
Resultante, si 𝑅 y 𝑀𝑅
𝑂 son mutuamente perpendiculares entre sí.
• 𝑅 ≠ 0
• 𝑀𝑅
𝑂 = 𝑅 × Ԧ𝑟
𝑅 ⊥ 𝑀𝑅
𝑂
Otras posibilidades de Reducción
• 𝑅 ≠ 0
• 𝑀𝑅
𝑂 ≠ 0
a) SF Concurrentes (espacio).
Z
Y
X
𝑃1
𝑃3
𝑃2
Z
Y
X
𝑅
O
𝐴 𝐴
𝑅 ⊥ 𝑀𝑅
𝑂 RESULTANTE DEL SISTEMA
𝑃𝑖
𝑅𝑅
𝑀𝑅
𝑂
O
Otras posibilidades de Reducción
• 𝑅 ≠ 0
• 𝑀𝑅
𝑂 ≠ 0
b) SF Paralelas
• 𝑅 ≠ 0
• 𝑀𝑅
𝑂 = 𝑅 × (𝑂 − 𝐴′)
𝑅 ⊥ 𝑀𝑅
𝑂
RESULTANTE DEL SISTEMA
Z
Y
X
𝑃1
𝑃3
𝑃2
Z
Y
X
𝑀𝑅
𝑂
𝑅𝑅
𝑂
Z
Y
X
𝑅
Ԧ𝑟 𝐴´(𝑥, 𝑦, 0)
𝑂
Otras posibilidades de Reducción
• 𝑅 ≠ 0
• 𝑀𝑅
𝑂 ≠ 0
c) SF Coplanares, no concurrentes.
• 𝑅 ≠ 0
• 𝑀𝑅
𝑂 = 𝑅 × (𝑂 − 𝑂′)
𝑅 ⊥ 𝑀𝑅
𝑂
Z
Y
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑂 Z
Y
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑂 Z
Y
𝑅
𝑀𝑅
𝑂
𝑂 Z
Y
𝑅
𝑀𝑅
𝑂′
𝑂
𝑂′
RESULTANTE DEL SISTEMA
Otras posibilidades de Reducción
• 𝑅 = 0
• 𝑀𝑅
𝑂 ≠ 0
El SF puede ser reducido a un solo par, llamado Par 
Resultante del Sistema.
• 𝑅 ≠ 0
• 𝑀𝑅
𝑂 = 0
El SF admite un único elemento → Resultantedel Sistema.
Equilibrio
La ESTÁTICA es el estudio de CUERPOS en EQUILIBRIO.
¿Qué significa EQUILIBRIO? Estado INVARIABLE
BALANCE
Un cuerpo está en equilibrio sólo si cada punto del cuerpo tiene la misma
velocidad constante→ hablamos de traslación uniforme.
La suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en
equilibrio es igual a cero.
La suma vectorial de las momentos respecto a cualquier punto es igual a cero.
Equilibrio
Un Sistema de Fuerzas puede ser reducido a una 𝑅 y un 𝑀𝑅
𝑂 (sistema
fuerza-par).
Si este sistema es: 𝑅 = 0 𝑀𝑅
𝑂 = 0
Las fuerzas externar forman un sistema equivalente igual a cero. El
cuerpo rígido está en EQUILIBRIO.
𝑃𝑖 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1,… . ,𝑚 ⟹ 𝑅𝐼 , 𝑀𝑅𝐼
𝑃𝐽 𝑐𝑜𝑛 𝑗 = 1,… . , 𝑛 ⟹ 𝑅𝐼𝐼 , 𝑀𝑅𝐼𝐼
Sistema de Fuerzas 𝐼
Sistema de Fuerzas 𝐼𝐼
𝑅𝐼 + 𝑅𝐼𝐼 = 0
𝑀𝑅𝐼 +𝑀𝑅𝐼𝐼 = 0
Hemos visto…
• PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA
• CONCEPTO DE FUERZA
• CONCEPTO DE MOMENTO
• SISTEMAS DE FUERZA
• REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE FUERZA A UN SISTEMA EQUIVALENTE
• EQUILIBRIO
Bibliografía
- ESTÁTICA, Mecánica para Ingeniería – Autor: Bedford – Fowler
- ESTABILIDAD, primer curso – Autor: Enrique Fliess
- MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS, ESTÁTICA – Autor: Beer, Johnston.
	Diapositiva 1: ESTÁTICA y RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
	Diapositiva 2: Introducción
	Diapositiva 4: Introducción
	Diapositiva 5: Introducción
	Diapositiva 6: Introducción
	Diapositiva 7: Introducción
	Diapositiva 8: UNIDAD 1
	Diapositiva 9: UNIDAD 1
	Diapositiva 10: UNIDAD 1
	Diapositiva 12: Fuerza
	Diapositiva 13: Fuerza
	Diapositiva 15: Fuerza
	Diapositiva 16: Fuerza
	Diapositiva 17: Clasificación 
	Diapositiva 18: Clasificación 
	Diapositiva 19: Pilares de la Estática
	Diapositiva 20: Ley del Paralelogramo
	Diapositiva 22: Ley del Paralelogramo
	Diapositiva 24: Ley del Paralelogramo
	Diapositiva 25: Principios básicos
	Diapositiva 26: Transmisibilidad
	Diapositiva 27: 1° Ley de Newton
	Diapositiva 28: 3° Ley de Newton
	Diapositiva 31: Sistema de Fuerzas (SF)
	Diapositiva 32: Sistema de Fuerzas (SF)
	Diapositiva 33: Caracterización de Fuerzas
	Diapositiva 34: Momento
	Diapositiva 35: Momento
	Diapositiva 36: Momento
	Diapositiva 37: Momento
	Diapositiva 38: Momento
	Diapositiva 39: Par de Fuerza (CUPLA)
	Diapositiva 40: Par de Fuerza (CUPLA)
	Diapositiva 41: Par de Fuerza (CUPLA)
	Diapositiva 42: Par de Fuerza (CUPLA)
	Diapositiva 43: Par de Fuerza (CUPLA)
	Diapositiva 44: Momento respecto a un Eje
	Diapositiva 45: Momento respecto a un Eje
	Diapositiva 47: Traslación de una Fuerza
	Diapositiva 48: Traslación de una Fuerza
	Diapositiva 49: Sist. EQUIVALENTE de fuerzas
	Diapositiva 50: Reducción de un SF
	Diapositiva 51: Reducción de un SF
	Diapositiva 52: Reducción de un SF
	Diapositiva 53: Reducción de un SF
	Diapositiva 54: Reducción de un SF
	Diapositiva 55: Reducción de un SF
	Diapositiva 56: Reducción de un SF
	Diapositiva 57: Reducción de un SF
	Diapositiva 59: Casos Particulares
	Diapositiva 60: Otras posibilidades de Reducción
	Diapositiva 61: Otras posibilidades de Reducción
	Diapositiva 62: Otras posibilidades de Reducción
	Diapositiva 64: Otras posibilidades de Reducción
	Diapositiva 65: Equilibrio
	Diapositiva 66: Equilibrio
	Diapositiva 67