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Página 'íl~ Análisis vectorial 4}~ 1 Cinemática 'W@ Movimientos de caída libre <ii@'W Movimiento circunferencial ~&JW 1 Movimiento relativo 'íJ@~ Análisis de gráficas del movimiento mecánico ?J@'íJ Estática y centro ele gravedad Página ?6®&> 1 Dinámica 1 &>?J'íl ! Trabajo mecánico, energía y 1 potencia ~®~ Impulso y cantidad de movimiento 4}4}@ Choques 4}@1! Oscilaciones mecánicas @?J@ Ondas mecánicas Gravitación Capítulo G 2 Análisis vectorial ¿y¡>oO<- ---:.:. -. . / /~ r-• ..... .• w,. ... ., o Un vector es un segmento ele recta onentado que, por sus caracteristicas (módulo y dirección), permite represe111ar magnitudes vectoriales como velocidad, aceleración, fuer- za e intensidad de campo eléctrico, entre otras. Es s<~biclo que uno de los p1 ;meros en utilizar vectores f~1e Galileo Galilei (1564-1642}, quien al estudiar el movimiento de los proyectiles tuvo la necesidad de representar la veloci- dad en un i11stante dado. Además. se dio cuenta de que el movimiento horizontal no afectaba al movimiento vertical ele caída libre; esto le permitió descomponer el movimien- to, lo que se expresa geométricamente mediante la des- compOSICión del vector velocidad. De igual modo, Isaac Newton utilizó los vectores para representar las fuerzas y operar con ellas al establecer las leyes del movimiento. De este modo nace el análisis vectorial. que es tudia las propiedades de los vectores, así como sm operaciones. Estas operaciones no se rigen por las leyes (o reglas) de la Aritmética o del Álgebra común; por el contrarro, el ¡¡náli· sis vectorial tiene sus propias reglas y propiedades. En este n1aterial. el lector puede ver como se han aplicado dichas reglas o propiedades a los diversos problemas planteados. Es necesario que el lector se habitúe a estas reglas, ya que ellas se utilizarán en gran parte del curso. PROBLEMA H.0 1 Dos vectores A y B de igual módulo fo rman un ángulo S. i En qué relación esrán los módulos de los veccores A+ 8 y A- B ? A) sen( I) B) cos( i) C) taJ1( I) D) co{i) Resolución Nos preguntan por K=IA+BI l ti - 81 Condición • Para la suma E) sec(i) - 111 A¡.~-- . -.-- - -- - --- . . --~ ... IIICOS(G/2) B J; Capítulo ~ Análisis vectorial: Del gráfico (!) • Para la diferencia msen(t) Del gráfico ~ lfi - 81 == 2m sen ( ~) (!!) Luego (I) + (Il) _.l. .... . .t lumbreras Editores PROBLEMA H. 0 2 Se tienen dos vectores de módulo consrante dís· puestos sobre un plano. Se sabe que el mayor y menor valor de ;u resultante es 31 u y 6 u, respectivamente. ¿Qué módulo dene X- 8. cuando A y 8 forman 6(}>? A) zJ38'u B) 3.ff6 u D) ISOJ76 u Resolución C) I.s.fi6 u E) Jill u En el gráfico siguiente preguntan por I:A- aj. :( IX-81=? 60° B Aplicamos la ley de cosenos 1:4 - Bl= JA 2 + 81 -2A8cos60° (a) Para dar respuesta al problema debemos conocer los módulos del vecror A y B (A y 8). Para ello, utilizamos la condición del problema: • El mayor valor de la suma es cuando los vectores cienen la misma dirección. :A ~ Rmu=A+8=32u (!) • El menor valor de la suma se riene cuando las d irecciones son opuestas. J._ A -7 Rm;n=A-8=6 u Resolvemos (!) y (U) A=l9u y B= l3u 114 (11) Reempla: amos en (a) ~ Í.=i- 81 = J192 + 131 - 2(19Hl3lcos60° . . lA - al = Jill u PROBLEMA H.0 3 En el gráfico que se muestra, t\I es pumo niedío de AB, AC=CD= 10 u. Si la resul tante de los vectores P y Q tiene un valor de 26 u. deter- mine la medida del ángulo J\/,ID(A8= 23 u) . D '. . · ' . ·. . . Á. · · · · · · · · -- · · · · ·.w· · -- -- · · -- · · -- ·'a A) 60° D) 50° Resolución Se quiere determinar MAD =a. C) 53° E) 40° Para hallar la resultante de los veccores P y Q procederemos a desccmponerlos en los lados del triángulo. D ., .. , ... lO u/ ; ·· .. En d gráfico R=P"-Q P = P1 .. P1 1\ Q = Q, + Ql En (l) R = P1 +P2 +Qa +Q: R. =(P1 +QJ•·(P2 +Q2) ~ a b Donde: 1 a 1= 30 u y 1 b 1== 28 u 30 u 26 u 28 ll Aplicamos la ley de cosenos R] =i + b2- 2abcosa R 261=3&+282-2(30)(28) cosa 3 cosa =- S PROBLEMA H.0 4 (!) Al realizar algunas operaciones con los \oecto- res A y 8 se logró obtene r los vectores si- guientes: donde los módulos de los vectores son: Determine el módulo de /A -4B. A) 10Ji3 u B) 9J7 u C)7J5u D) 3Jf:f u E) sJSf u Resolución La incógnita es I7A- 4BI. De la condición te- nemos I 4A-sl~.rou ~ lsii-28l=2l4:4-8l=2ou (s;\ - 28)-(:A+ 28) = (71\ -48) ----....-.... m n lml=20u " lñl=l0-.Í3u (daco) ñ . . sJ3: ¡ r--ts--~-----20 u----~ ~ 15 . lumbreras Editores PROBLEMA H.0 S El gráfico representa una placa sobre la cual aC\Üan cúatro fuer:as coplanares. Determine el módulo de la resulcanre de escas cuacro fuerzas. A) SO.fí7N B) 40../UN C) 30.Jfi N D) 120 N E) 20 N ·········~······· h ••olJN · .. 15N / .......... ......... .. ... :,:·::: .. t.-.·.·;· •.•••••.••• .. ••••• •. •.•.••••• ·.·.·'7'• ·····; R~Zsolución El módulo de la resulcanre se determinará descomponiendo los veccores en las direcciones X. Y. Luego, graficamos la resultame Lv 1 =l20 N !16 'R = l:V, +Lv( l:i/_,=(+80)+(- 40)+(-10) LV,=+30 N L:v, = < ... 3o> .... <+ t 5> +<+8o> + <-5) LV y= +120 N .. R = 30.fí7 N PROBLEMA H.0 6 En el gráfico. los vectores dado:> están relaciO- nados enrre sí por e= m::\+ nB. donde m y 11 ; on números reales. Determine m y 71. ~ - ··:···: ... ~1\-·A:· -- ·:----: ' . ~ ... : ... ; .. , ... :, . . .. : • • • ! . . ' 1 • • • 1 . -- .. -.-,. . "' ...... • 1 • 1 • ~···r• . • • : . •• ~- - • : .. . .. : . ' ' . . ' . .. - .. - .. -... - .... --. . --.. --.. - -· . . . . . . • 1 1 1 · · · · '· - ··~·-········ .... : : : 8 : : ; : • ' ' • • 1 ·- - - - ~- - - - -~---~ ..... J ..... J 8 2 A) --· -- 11 11 5 3 C) - ll; -U 8 2 D) -S; 15 R~Zsolución Para determinar m y n, expresaremos los vecto- res como pares ordenados. Del gráfico C=(2;-2); A=(-2;3) y B=(-3; - 1) En la ecuación e= mA + n8 = m(-2; 3) +n(- 3; -1) Operamos (2; -2)=(-2m; 3m)+(-3n; -n) -t (2; - 2) =(-2m-3n; 3m - n) Igualamos los componentes 2m+3n=-2 3m-n =-2 (!) (TI) Resolvemos (1) y (!!) 8 2 m=-- ,.. n=-- 11 11 PROBLEMA H.0 7 El gráfico que se muestra es un rectángulo. Determine el módulo de la resultante del sistema de vectores mosrrados . A) 8 u S) 10 u C) 12 u D) 15 u E) 18 u R~Zsolución f-- 6 li----1 Descomponemos los vectores con respecto a los ejes X e Y ·. 8 u: Á YL Q---=----'-'Jh X 6u 17 Í lumbreras Ed1tores Del gráfico 1:v = (-6 u) 1:~, =(-Su ) Luego graficamos el vector resultante R • R=IO u PROBLEMA N. 0 8 Si la resultante del sistema de vectores mostra- dos es 2(J3 ... ¡)(-))u. determine el módulo - - - (J3-I)-del vecror D , si verifica D = C + ---s- P . A) 2 u D) 4J5 u 118 y l B) <1 u C) 2JS u E) J5 u Resolución Se quie:-e encontrar li51 = D. S! - - (J3-1 )-D=eT --- P :> (1) Emonces se requieren los vectores e y P. que se dererminaran de la condición del problema. p u R= :Lv,+L v, (11) Por condición. la resulrame es vertical; enronces -7 e=2 u " e= 2{-n u Por dato y el gráfico R-= -2{.J3 +1)=8+8J3 -P " P = lO(.J3 + 1}(-J) u En (!) o=[ 2(-n+( J35- 1 }lO>{ -.13 + 1)(-J)] u En ronces D= l-:!i - .;])u .. li5! = -.!21 + -!1 = 2./5 u PROBLEMA H.0 9 Se muestran tres vectores r\, B y C que ve· fifican 1 A 1 = 1 8 1 = l; l. Si la resultante de los tres vecrcres coma su menor \'3.lor, determine el valor del ángulo a y el valor de la res,tltance. Y( cm)~ X : ~24,7) ······_¡; ·x-ccm) e . ,. . A) 16° y H cm C) 14° y20cm D) 16° y 25 cm· E) 14° y SO cm Resolución Del dato en el gráfico 8 = (24; 7)cm -t lsl = 25cm -) 1:41 = 25 cm y lel = so cm Además, la dirección de 8 es 16'>. Si los tres vectores g iran el mismo ángulo en el mismo sentido, la resulcame no cambia.Por conveniencia, se girará a los tres veccore3 en 16° en senc1do horario. Y' '~-- ~~.4 : ·. . óoOl'. 1 /\. : ••.• 1 4~;,·¡.·~ .. : ... -,¡6o ..... .. . . .... -'· .. ... e ·r-.!...:..:'----...,. B X(cm) ·: -e ¡; · .... _; La resultante de los tres vectores es R=A+B+C ----75 Hallamos el vector i5 Por condición la resultanre debe ser mimma. entonces i5 y e deben ser opuesros. Y( cm)! e ~ a+ l6°=30° .. a=l4° 19 1 lumbreras Ed1tores Redibujamos los veccores y ' D,( 25 cm X 50 cm La resultan te mínima es R=C-D ~ R= S0-25 . . R= 25 cm PROBLEMA H.0 10 En el gráfico se muestran tres vectores P, Q y S , donde !'P I= 3 u y IQ' 1 = 2Ji0 u. Determine el valor de m si se verifica mP + 3Q = nS. Considere tan S= l/3 y ~ S ,J:. - Q Izo A) .!_± - 3 D) 16 3 Resolución B) 5 11 C) 3 17 E) 3 De la ecuació n mP , 3Q = nS, se construye la s iguiente grá fica (n < 0) . y 1 rane = - 3 De l date: IQI =2M u Luego K= 6u Del grá.fico !S_ +lm?l = 3K 3 Reemplazamos valores 6 ~ 3 + rrz (3)=3(6) 16 .. m = - 3 K X PROBLEMA H.0 11 Se muestra un vector A constante. ¿cuál e s el menor valor de un vector B que hay que sumarle al vector A tal que la resul ranre esre sobre el eje X? Y(cm) ' ~ - - - ------ 2 ::\ 5 o X(cm ) A) l cm B) 2 cm C) 1.5 cm D) 2.5 cm E) 1.2 cm R~solución Se quiere el menor valor de un vecwr B, con la cond ición que la resultante se encuentre en el eje X. Y(cm) X(cm) R A cominuacion. del vector ;::¡ se pueden cra:ar una inñnidad de vectores cal que la resultante se e ncuentra en el eje X. pero el vector que presenta el menor valor es el perpendicular al eje X: en el gráfico, e l vector B. :. lsl =2 cm PROBLEMA H.0 1 'l En el grárico se muestran dos vectores d is- puestos sobre un cubo. Determine en qué re- lación se encuentran los módulos de los vecto- res A + i3 y A - s. (~: · -- - - -:- - - - -- - -l\--: . . . - . : - • : B : 1 } \ ' • 1 . . ' ~ 1 1 • ' ' 1 • • ' . . ' ! • 1 , i • • : .. )· . .. . .. - • • .¡ .. - . .. - . :. 'i . ' . ' . . ... ..... -.. -- --.. -- . . . _, ... A) - S) .Ji 3 C) Ji 3 D) .J3 2 R~solucíón l a incógn ita es K JA+BI ifi-al Primero ha llaremos lA~ iil. E) 3 (!) 21 i lumbreras Ed1tores Descomponemos los vecrores en los lados del cubo. ' .--~ - --· --· ···· ···_:-t · ·· . ' ,...., •• • • • ¡; ~lx--·-~--------~~- - -·>·! a a ( 1 ,- ~ .. ..... • é - --~ ---- - ---~·::/ ··· -¡ ")( Del gráfico: jLv2 j = 2a IL:vyl=a 1Lvxl= 2a ILvl = J<2a)2 + <d + (2a)z ILvl= :>a Ahora el módulo de lA-81 Luego .·;; · -- -----·-- - ---~ .--:~ ··: / · ·~x:-:,:.-_·_·_-_·-· - ··:··\8 ' \ a . ... ... · .. r ... .. ' , .. - .. - -- - a r ... · --...,....----, '- a .v .. ·x (JI) y (111) En (1). reemplaz:amos (II) y (!!1) K= 3a a K=3 PROBLEMA N.0 13 Se tiene un hexágono regular de lado -t u. Si de uno de sus vértices se empie:a a trazar vectores dirigidos a cada uno de los vércices resranres, ¿qué módulo riene la resultante del sis tema de vectores? A) 12 u D) 24 u Resolución 8) 18 Ll Graficamos el problema C) 21 u E) 20 u '"'··- ~:,: .. " / ,' /"X-- • • A D _,::.·· .-_-_: ~~ {_ü~~::::- Se debe calcular isl = lii +a+ e+ o+ 'El Trasladando convenientemente los vecmres A y E se observa Luego e e De las propiedades geométricas de un hexágo- no rP.gular e l lado es igual al radio. enronces el diámetro es 8 u. ~ 151 = 3lcl = 3<8> .. lsl = 24 u PROBLEMA H.0 14 A partir de! gráfico, determine el veccor B si ' d 1 Jf7 su m o u o es -u . 2 z 4 · · ·· -- · --·· - · · ·· · ; 1 \ •• . . . ,' ·. t ! . ' : ;6 ·.. ,' ,'' ... , ' 4 ,· ·. /,'; r. . . .. .. . - -- - ...... .. - - .. . - ... ·'" y X C) 3i-]-k D) i+ ]-k Resolución Para determinar B aplicamos z¡ 4 '~'-<9; 9; .'U .. _. _ .• X '• . \fj ·. 4 :_-- . ·- . - .• . .. :·..::.·· N(4; 6; 0) Del gráfi co ~N =(4;6;0)-(0; 0;4) MN =(4; 6; - 4) ,\!IN = 2(27 + 3}- 2~) .. ' :6 (!) y (11} 23 ¡ lumbreras fd1tores En (11) ü - 2(21 ... 3] -lk ) (2i+3) - 2k) . \IN - 2../f7 = Jf7 En (1) PROBLEMA N. 0 15 A partir del gráfico, determi ne el vector unitario del vector A. 10 A o 2 ( • ") A) -J34 5i+3j l ( . ") C) ----;;:=;< Si + 3 j ..¡34 2 ( • ") O) r:-7 Si+3j '1/34 124 ' ' " ,. •', : \ 6 X l ( • ") B) 2 J3'4 Si- 3 j 2 ( . ") E)_ -J34 - Si+ 2j R~solución El vec.or unita rio de un vecwr A se determina según - r\ u - -. . ~- r\ (!) Aplicamos las propiedades geomécricas a! grá- fico y obtenemos: Y• lOsenucoset. 6-----4 Luego A= l Osena A= (-10senacoset>i ... (-IOsen2 ex)] Reemplazamos en (I) , obteniendo ~" =(- cosa)Í+(-sen et.}] De tana=3/ 5, entonces 3 S sen a = J'34; cos ex = J34 Finalmente .. ~.~ = -~(si ..-3]) v34 X PROBLEMA H. 0 16 Se muesn·,¡ un cuadrame sobre el cual se ha dispuesto un conjunto de vectores. de los CUrtles A. B, e y D tienen un origen común SeJiale la alternativa incorrecta. ••••••• J 2:1 ' ~·. .. i5 e o A) B -A +E =C B) X +E +e ... 8 + F = 20 C) A +E-D= - C O) La c?mponenre horizontal de R = A +E +e + 8 + l5 es 4e E) A +C +E =0 R~solución Comprobemos las siguientes alternativas: A) Verdadera 8-A+ E =<13-;\), E = l2A - A) ... 'E = e B) Verdadera <;.¡+E> ... e+ es ... ¡:)= e-e+ o =2C+ o =D+D .. A+E+e+B+F=2i5 C) Ve rdadera A ... E-D= C4+E)- 5 =e-5 =e -<2c> =- e .. A+E-D= -C O) Falsa R=A+E+C+B+D ---e R=2C+ Q+B 2C La componente 8. no es nula, entonces 'R.~ " 4e 25 1 lumbreras Editores E) Verdadera A-C+E=A ... E-'- C ---- PROBLEMA N.0 17 Una mosca, luego de pasar por el origen de coordenadas, sigue el trayecto moscrado para detenerse en P. Sí OM = 15, MN = 8J3 y NP = 4J3, determine su desplazamiento de O hacia P en cm. Y(cm A) (20; -12) B) (21; 12) C) (-2 1; 9) O) (-20; 12) E) (21; 9) R~solución : -~ ___ ... ··p X(cm) La incógnita es el vector desplazamiento de la mosca. 128 Graficamos según los valores dados: Luego. d = (21; 12) PROBLEMA N.0 18 Se muestra un conjunro de vectores dispues- to sobre un cuadrado. Si OA ts de 3J2 u, de- termine el módulo de la resultante de dichos vectores. o A) 6 u B) 6J2 u C) 9 ll D) 9J2 u E) l2 u R>!solución Se quiere determinar el módulo de la resul- tante de los vecwres mostrados. ' ¡ 1¿¡ í ~ 1 •:~ Observe que la ,;uma de vectores que se encuemran en !os lados del cuadrado es nula. también la suma de vectores en una d1agonal es nula. Entonces, la suma de vecwres es igual a la suma c!e los dos vectores que se encuentran en la otra diagonal del cuadrado. PROBLEMA N. 0 19 A partir del gráfico, determine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados, siendo 1 A 1 = S u y lE l = 6 u- ¡lA e )o ~o E .f- A) 12 u B) 13 u Cl 14 u 0) 15 u E) 18 u - -----------------------------~---------------------------- Resolución Se debe delermmar el módulo de la suma jsl = 1 ::i .._e~ F.,. 8-e- i5 .._ El Del gráfico o ¡; Pero í5 =E y l;il = i"P 1 = 5 u ' y Luego !P1 1 =5 u lJ I2EI=l2 u .. lsl=13u ~ 27 lumbreras Editores PROBLEMA N.0 20 Se muesrra un s~scema de \'ecrores que \'enfican que 1 ;:¡: 1:0 181 = 1 51= 6 u; 1 e[= 6-J 3 u y 1 H 1 = 8 u. Determme el módulo de la resulranre. .-\) 5 u B) sJ3 u C) lO u D) 10../3 u E) 6../3 u Resolución La incógnita es el módulo de la resultante: R =A+ 8~K + J + H + L+I +E+ F ~e +C + 5 R =A +B - K~J+H+L+l+E + F+G+C+D-) R=A+B+ H+C+ i5 ----- Descomponemos los vectores C y B, obteniendo 128 lí:vJ=su IEv,l=óu Luego -) R2=82+61 .. R=10 u R pROBLEMA H.0 21 S<! muestra un hexágono regular • .I.BCDEF de lado 24 u. Determine el módulo de FO -BC -OD. F , ___ _ , _,_.,;'i E D A) 12 u B) 18 u C) 40./3 u D) 30J3 u E) 36 u ResoluciónGraficamos los vectores (-ad y (-ao) .. . . .. . . .. La incógnHa es Del gráfico :S= F6+(-i3Cl+(-ool A' Pero Luego -) OM =20J3 . . !si= 2(2oJ3) = 4oJ3 u 291 lumbreras Editores PROBLEMA N.0 22 A pan: ir del gráfico exprese a1 \'ecror x en fun- ción de los vecrores A y 8. (~-.-.-.> ;:.--r • ·~ : ::::.~ •. '8' :/• i ..... ··~·-· - --------· -~--- - - - .:· .. '. ., \1 ' " 1 • ' . ~ - - · -·· - -- - - - - -· · - - - - --- -- - -- - - -~ J2(_ - ) A) -- r\ +B 2 J2(- - ) B) - -A +B 6 2J2(- - ) C) --A +B 3 J2(- -) O)-- A +B 4 E) -~J2(A' +B) 4 o Resolución Se debe expresar x en términos de A y B. 130 trasladamos convt!niemtm.!m~ ~1 v~ror ii para sumar con A Del gráfico m-J'i =: rJ2 -r También Relacionamos (-x) y ñi ;,; = { J2 -IH-x) En {1) 2<-x~x- J2x> =A+ s ...._,_..._.. iñ -t x = --1-(A + 8) 2J2 - J2(- - ) .. X"' --=- A+ B 4 (!) pROBL!:MA H. 0 '23 En el gráfico, .-iBCD es un cuadrado. Exprese al vec[or ~ en función de !os vecmres P y Q. 8 ' ' 1 : ' ' •, : ' . Q ' . . ., ' ·\: • 1 A "-- ----------··---·--'"lo A) ~(P +2Q) 5 C) ~(P -3Q) 2 D) ~(P- 2Q) ;) Resolución B) ~(P +Q) ;) E) ~(2? +Q) ;) Al extender el cuarto de circunferencia hasta comple[ar una semicircunferencia ( A'BD ) se observa que: • A'C J. HD en H • <rCA'A=53°/2 } -tiíAD=53° <I:A'Hr\ =53°/2 (A'A=HA) Sn el gráfico siguiente 5k k: 0 ......... .... fj _______ .. 5k S k (1) También (ll} (III) (lll) + (11) Pero - - !l.11 "'llQ (rienen igual módulo y dirección) Análogameme - 4k- 4- 1'-f= - Q=-Q Sk S - ?- N= = P 5 311 Lumbreras Ed1tores En (I) - 4- 2- x=-Q--P S S PROBLEMA H.0 '24 En el gráfico, PMNO es un cuadrsdo, donde S. T Y H son puntos medios de PM, PO y PS, res· pectivamente. Exprese al vector x en función de los vectores Ay B. 132 P~~- - .. - ~· -· · · · ·· · · lvl ' ,'H - A) iUi -2A) B) ~(!-4A) 21 2 C) 2 (28-3:4) 21 2(- - ) D) 7 B - 3A E) 1 (- - ) - B - 4A 21 Resolución Pa ra ..{·esolver el problema es conveniente de- terminar las medidas de a lgunos segmentos. B o .... ... ... .. .... ........... .. Al trazar HT se observa que es paralelo a OS, por consiguiente Jos triángulos THM y SGM son semejantes. Consideramos GS = (2 m) ~ TH==(3 m) El punro G es baricemro del triángulo PMO. -7 OG=(4 m) Por otro lado se observa que los triángulos THF y OFG son semejantes (ángulos internos iguales). Reordenamos los vecwres convenientemente, tenemos: - - p -A, -A - 2A \f B _fl / yr; ... : l ; ~ · • ' ? . 2' -./ /'(' ·e -L-Vx T 3- 4x Del gráfico - x+x+-x == -+ - 4A (3- - 7-) s ( - ¡ .¡ 2 2 - J_ (8 -) X =...:.. --4A .. . 21 2 PROBLEMA N.0 '25 A partir del gráfico mostrado, al vector x se le puede expresar en fu nción de los vectores A y - - - - a B segú n X =a A +es. Determine p-· Considere O y 0 1 los ceneros geométricos de las circunferencias. A) .!_ 3 D) 2 3 Resolución Piden K= E: ~ B) 3 C) 2 2 E) -3 (1) Primero relacionamos las medidas de algunos seg- mentos, aplicando las propiedades geométricas. S Del gráfico - (- A) NM= B-2 En el triángulo P/viS 33 1 lumbreras Edrtores Luego CL f3 En (!)·K = (- l) . (I) 2 .. K=-- 3 PROBLEMA H.0 26 3 a =-1 : 13 =- 2 Se muesrra un triángulo equilátero MNP donde H, 1 y J son pumos medios de MP, MN y NP, respectívameme. Si se verifica HN = mz\1N .,. n}P + RG, determine ~ n N //\ ...... 1 / •• G : .\ :,'Ji··· . . \ ······ · · ·· · ··· - ·· ·-- · - - -~ M H p A) -1 C) 1 4 D) _?_ 8 B) 2 E) _(4- ,/3) 6 , 134 Resolución De l:o ecuación HN - RG = mMN + n}P - . m ::>e qu1ere - /1 2a N 1 ~. 1 "' En el triángulo PR=IR También -. ..... -}P PR +RG 2 IR - RG l De (1) PR+RG 2 PR-RG De donde obtenemos PR=3RG En el triángulo HJ\1} p (0 (IT) o el gráfico -MÑ HJ::: - 1 - (1)- -- HN = 1 s'v/N +<- ll}P En el wángulo R}P PR+ Rj + }P = O - De (11) PR = 3RG - Ñú'l - - -4 3RG ... - .,. ]P = O 4 - ( l )- ( 1)-RG: - ll lYIN + -3 /P De (111)- ( IV) (lii) (IV) - - ( l 1 ) - ( 1 )-HN-RG= 2.,. U MN+ - 1.._ 3 JP - - (7 )- ( 2)-HN-RG= U MN- -3 }P ~ ..__... m n m 7 . . - =-- 11 8 PROBLEMA N.0 27 El gráfico OABC es un cuadrado, donde M. N y P son pumos medios de AB, BC y OC. res¡>e<ti· vameme. Si se verifica BT .¡.OS = aOA + pPC . derermme ~- CL A-' . . ....... JY.l__ . . 7 ...... B . ' . . . . . y '. : ~ ~ \. .. . ·. s .·· .. ... .. . . .. .. o ...... .... p=-_ __ ,..,c A) 1 B) 2 D) -2 Resolución C) -1 E) 1 2 De BT +OS= aOA ... ~PC. se pide ( ~). , OA ~ :a 2m '. : 2 a a ',et: ~;: :é --------------------> 35 1 lumbreras Editores Observamos el gráfico 1 rana= 2; CI.Tt3=90° Del triángulo AQB se observa que BT=TQ De la misma forma en el triángulo TOC TQ=QO En el t riángulo OCN se demuestra OS =SR y RN=OS/2 - 5- ~ ON=-OS 2 Del t riángulo OCN -- OA ON=OC+ - 2 S- - OA -0S=2PC + - 2 2 - 4- OA ---t OS=-PC+- 5 S Del triángulo OAB (l) (ll) De (1) + (II) - - ( 1 1 )- ( _¡ 2 )-BT- OS= S-3 OA + t-3 PC Entonces 2 2 a =-- y ll=- 15 15 .. ~= -1 CL PROBLEMA H. 0 28 Se tienen dos vectores concurrenres: A= 27 - 4]-k y 8 = 2] + Bk. Determine un vector unitario perpendicular al plano formado por los vecwres A y 8 . A) Jffi- (15Í - 7] +k) C) -~(13i-8]+k} ..¡293 1 ( " " ') O) -~ 15i +8j - 2k ..¡293 E) -~(137 -7]- zk) v297 Re1olución El \'ecror unitario se determina a partir de un vectOl c. donde e= A X B .4 - •C 8 (0;2 ;8) ~r ~ plano formado por { los ve-;cores .4: )' B "' .4 (2;-4;- 1) i Luego e = A X B = 2 o Se obtiene e= -2(1si + 8]- 2k) lci=2Jo s>2 ~<s>2 +<-d ~ lci=2J293 .. ~e=- ~(15i+8]-2k) PROBLEMA H." 29 En el sistema de coordenada$ XYZ se tienen rres puntos P(3; 4; 2), Q(2; -4; 0) y R(-6; - 1; 3) . Determine el área del triángulo formado por dichos puntos. A) 3./29 u2 B) 6-/19 u 2 C) sfl9 u2 D) 6.J29 u2 E) 2.. Jsi74 u2 2 Resolución Bosquejando el triángulo P (3; -t; 2); R (-6; -1 ; 3); Q(2; - 4; 0) El área del triángulo es fA:: .!.!RP X RQI 2 RQ = (8; -3; - 3) RP =(9; 5; -1) Cálculo del produCto vectorial j k RPx RQ = 9 5 -1 8 - 3 -3 (l) RPxRQ ::(-15- 3)i -(-27 +8>] +(-27 - 40), Resolvemos jRP X RQj = J I82 + 192 + 67 2 ~ IRPxRQj::J5174 En (1) .. JA:: ~JSI74u2 ------ ------- ----- ------- ------------ lumbreras EditorEs PROBLEMA N. 0 30 Halle el módulo de la fuerza resulranre; s1 F1= 30 N, F1=18 N, en el sistema de vectores mostrado. A) 7(K+l) N B) 14(K+ l) N C) 2l(K+l) N D) 12(K+ 1) N E) 28(K+l) N Resolución La resultante se determinará sumando las fuerzas de dos en dos, aplicando la regla del paralelogramo. Si considerarnos que K es un número impar. todas las fuerzas tendrán su pareja. 138 Luego jf1 ... F1 1= ,IFi .!. F; - 2Fl1 cose Reempla=arnos los daws: IF1 + F2 l = Jt30J1 + ( 18,1 ... 2 !30lCISlu) ~ R'=42N Sumamos de dos en dos (los plimeros con los últimos). ' F -F I=R' ¡";'1. !';JJ I1:FI= R'( K;1 )= 42( K;¡) ·· J1:Fj=2l(K-'-1) ® Observación Se Uega a un mismo resullado si K es un número 1 par. PROBLEMA H.• 31 Calcule el área coral del tetraedro cuyos vérti- ces están en los punros A (2; -l. 1). B (S; S; 4), C(3; 2; - 1) y D (4; 1; 3). Resolución El \'olumen del tetraedro es W:: !Ah 3 (1) Sosque¡amos el cerraedro con los datos men· c1onados. 0(4;1:3) e (3: 2;-1) Cálculo del area (.lA) IA.=.!.JACxAOl 2 -.....-...---' ¡: Tamb1én h =-dcos9=1 ABjcose (1) 1 - -En (!): 'W= 3 -2 JFJJA8jcose [Z)Recuerda 1 A·BI = tAIIBicose L producto escalar Efectuamos 1- - W =- IF·ABI 6 w = .!. i<Ac xAD)· ABI ¡u~ucto j L producto ••eaonal escala r (ll) Luego .-\C=(l. 3: -2) AD = (2; 2; 2) AB = (3; 6: 3) Cálculo de j k F= 1 3 -1 2 2 2 Operandoobtenemos F =(10: -6: -n Reempla::arnos en (JI) 1 w =61(10;-6;-4)(3;6;3)1 1 ~ 'W= - 130 - 36-121 6 PROB!.EMA N.• 32 El volumen de un tetraedro es 5 u3. Si rres de cuyos vértices son los puntos A(2; 1; -1), 8(3; O; 1), C(2; -1; 3), halle las coordenadas del cuarto vértice O si se sabe que está en el eje Y A) (O; 8; 2) B) (O; 8; -1) C) (- 2; 6; S) Q) {1; - 7; O) E) (O; 8: O) lumbreras Editores Resolución Análogameme al problema amenor r\(2;1:-1) 8(3; O; 1) C (2; -l ;3) D(O;y, 0) 1 . - en e! e¡e l' Luego AC "'(O; -2; -!) AB = (1;-l; 2) AD = (-2; y - l; 1) Volumen del tetraedro 'iY =iicACxAD)xABI t40 (!) Producto vecrorial j k AC x AD = o -2 ' -r -2 (y -1) ACxr\D = -(2 H(y - 1)} -8}--+k ACxr\D= -(..J.y-2; 8; 4) En (!) 1 w=¡¡l-<4y - 2: 8: -lJ·<t. -1: 2ll L produc1o esC<liJr ~ 1 ( :> =6 -!y-2 - 8.¡.8) _. )''=8 .. D={O; 8; 0) Capitulo os Cinemática La mecánica. 1,1 más antigua de las ciencias físicas, estudia el movimiento de los cuerpos. La cinemática es parte de la mecánica; en ella se estudian los procedimientos p,ua la descripción del movimiento mecánico sin consi clerar·las causas que la onginan o modifican. Al clescribir el movi· m1ento ele los cuerpos. se observa que existen movimien· tos ele trayectoria rectilínea y curvilínea. Lo~ movimientos más simples de describ1r y estudiar son los rectilíneos; por ellos se empieza. El más simple de todos, aquel en el que la velocidad es constante, es el movimiento rectilíneo uni· forme (MRU). Otro movimiento recti líneo eJe mayor complejidad, en el cual la velocidad varía pero de manera uniforme, es el mo· vimiento rectilíneo lll1iformemente variado (MRUV). en el que la aceleración se mantiene constante. Ambos moví· mientos se describen mediante las llamaclas ecuaciones del MRU y MRUV, que pueden se•· escalares o vectoriales. La gr.1n vanedad de problemas resueltos que incluye este capítulo permiten que nos familiaricemos con la ect~ación del 1\IIRU y la del MRUV. Es importante destacar que el material contiene tanto problemas ele aplicación directa como problemas de alto grado de complej idad que, cree· mos, despertarán en nosotros ·la capacidad de análisis. jhsf Capitulo Cinemática : ........ ....... ....... ................. .... .................. ······ ·· PROBL!MA N.o 1 Dos móviles A y B. se!'arados por 50 m. se mue!\ c!ll en la misma dirección con rapide: COJlSt.mtc de ~O y 15 m/s, respec:ivo.menre. Señale! al cabo ce cuánto dempo mínimo, A esca1 <i 150 m delante de B. A) 4 s D) 2 s Resolución S) 8 s C) 10 S E) 12 s Si a1 inicio B se encuenrra delante de A. A cardará más en si tuarse adelante. Para que emplee un menor tiempo debe en- conuarse delante de B. ~S 4[8 1 ~50 m 40t - ---i : r 1~ m/ : _...---........ --.?.._..S / ~~8, """'(,\) r---1 5c - --J--150 m--; Del gráfico l5t+l50=50+40t ~ l00=25r .. c=4 s PROBLEMA M.0 2 Un roedor se encuentra a 20 m debajo de un hal- cón y. al observarlo. huye recdlíneamcnte hacia un lgujero, que se encuentra a 1 S m delanre de él. con una rapidez constante de 3 m/s. Detemune la rapidez media del halcón, si este caza al roedor justo cuando ingresaba al agujero. A) 3 m/s D) 6 m/ s Resolución Graficamos , ..... ' (' "-'·-~ A ' S) 4 m/ s C) S m/s E) 8 m/s dist3nctl :s25 m ¡··.-. rrayecrona • • . :3 m/s roedor_;_-- ~ 1----15m---~ Para el halcón d Vua::: _:1!. r . .;s 25 m 4 Vm=-- tA8 (!) 43 t Lumbreras Editores Para el roedor En (I) 25m vn,= -- 5s .. v..,=5 m/s PROBLEMA H.0 J El altavoz situado entre dos montañas emite un sonido hacia la derecha. El eco de dicho sonido llega a la monraña de la izquierda en 4 s luego de ser emicído. Determine la distancia entre las montañas. (vs=340 m/s) 1\ r-20 m1 A) 670 m B) 650 m C) 690 m E) 1340 m O) !360m Resolución Gralicamos 144 1-20 m+-d1---¡ ~ r, 1--- ;( =? ---l El recorrido del sonido es Del gráfico -. 2x=340(4)+20 .. x=690 m PROBLEMA N. 0 4 En el gráfico mosrrado el niño y la tarántula se mueven con velocidad conscanre a partir del instante mostrado. Indique luego de cuántos segundos la tarántula empezará a ser cubierca por la sombra del niño, cuya alrura es de 1,5 m. ·~ r·· --~ 1 ~ 2,5 m 2 m/s 1 l----5,2m A) 0,25 s 0) 1 s B) 0,5 s 0.2 m/s C) 0,7S S E) ].S s Resolución Gr:\lkamos T lm t 1,5 m 1 _l ,, Zl&ffl ):~·en ,_ ! . " ;~2~ -J'J. ~------- ---- -~·~.P En ~~re momento. la sombrJ del icl'en comaen=a J cubnr a la ara.1ln. "". ,• ' - ' ~ 'iombra ~- -.• o 1--- 2r --1--- dsombra -~'----0,2<----! r--------5,2 m ---------1 Semejanza entre los triángulos MNP y PAQ. _!_ = ( ~) 2t d¡ombra Delgráfico: 2t+dsornbr~+0,2t=5,2 ~ S,2r==5,2 ............... 3t :. t= 1 S PROBlEMA N.0 S Dos móviles, A y 8, pasan simultáneamente por un mismo lugar experimentando un MRU en la misma dirección, con rapidez de 10 m/s y S m/s respectivamente. (Luego de cuánro tiempo los móviles equidistarán de un punto que se encuentra a 300 m deiame del lugar por el cual pasaron simultáneamente? A) 30 s 8) 40 s C) 35 S 0) 25 s E) SOs 451 lumbreras Editores Resolución Graficamos ~------- 101 --------- 10 m/s 10 m/ s ~=a- ~{.\ )----- 300 m _ _ __..,¡ P- x----1 ~ 1 - 1 ~ ª :> m, s __,13 ;, m, s ~.:- - -::s.,~x---1 P:punro 1---St--{ equidimnce <ie A y 8 PROBLEMA H.0 6 Del gráfico S.+x=300 10r= 300.Lx l5t+x=600+x .. e= -lOs ([) (11) Un tren, que se desplaza con velocidad constante, cru!a un túnel de 120 m en 8 s. Si una persona senrada al lado de una de las ven ranas del tren nota que permanece 4 s dentro de! túnel, determine la longitUd del eren. A) 120m B) 180m Resolución Grañcamos 1\lomento en que el tren comienz> a erutar el titnel C) 200 m O) 110m 8 S E) 240m Momento en que el tren termina de cru:Jr el n'onel ·~ 4 S l'---------- (120 + L) m------1 Para eluen d1='V1i ~ (l20+L)=v,(8) (!) La rapidez de la persona es igual a la del tren. Del gráfico 120 =vp(4) !46 Entonces vp=v,=30 m/s En (1) (120+ L) = 30(8) .. L= l20m pROBLEMA N.o 7 El gr;~tko muestra el lanzamiento simultáneo de dos esferas.-\ y B sobre u n p1so. Determine cuámo recorre A hasca el ins tante en que se cru:a con B. Considere que la esfera B rebota inscancáneameme con la misma rapidez y que ambas expedmencclll MRU. 0"-··· ·········· ····· ··· ··f- ~··· j¡;;,; ... L A) 40 m S) 15m C) 30m D) 20m E) 35m Resolución El móvil 8 recorre el doble que el móvil A. Graficamos 2v ..::#' --..._ ... •4.- · -- - - - -- .. - · ·~·-··· ..-$ s-- --'../ 1---- --30m - ----1 Del gráfico l5+3k=30 _, k=S m Recorrido de A e.~ = 1 5 -rk=l5-..5 .. e., = 20 m PROBL~MA tl.0 8 Una persona. al encontrarse a orillas del mar, se percata de que mar adentro se produjo una explosión y reconoce que la diferencia de los tiempos de llegada de los sonidos por el aire y por el agua es de 11 s. ¿A qué distancia de la persona se produjo la explosión. si la rapidez del sonido en el aire y el agua es de 340 m/s y 1440 m/s respectivamente? A) 3935 m O) 5100m Resolución B) 3824 m C) 4920 m E) 4896 m La rapidez del sonido en el agua es mayor que e n el aire. Vsonido{3gun) = 1440 m/ S V;.ontdo(>~re)= 340 m/s 47 1 ---------------- Lumbreras Ed1tores Dato: De d r ~ - (MRU para el sonido) V En (1) Reemplazamos d( 1440-340 )= 11 (1440) (340) .. d=4896 m PROBL~MA N.0 9 (!) Un tren de 60 m de longi tud se desplaza en línea recta con una rapidez constante de 40 m/s y demora en cruzar un puente r segundos. Si hubiese duplicado su rapidez, habría em- pleado dos segundos menos en cruzarlo. Determine la longitud del puente (en km) . A) 0,2 D) 0.1 Resolución Graficamos i4B B) 0,15 C) 0,12 E) 0,08 Según los daros, el rren expenmenca un ¡\JRU (I) (Ji) Si se duplica la rapidez (2vutn)emplea 2 se- gundos menos (c-2). t=2t-4 -+ t=4s En (ll) du·e11 =(40)(4) =160 m En (!) Lpueme = 1 00 m · · Lpu~nt~ =0,1 km PROBLEMA N.0 10 Un automóvil se va alejando en linea recta y perpendicular a un muro con rapidez de 20 m/s. Si a cierta distancia de este el conductor toca la bocina, y escucha el eco después de 4 s, ¿a qué distancia del muro se encontrará el conductor cuando escucha el eco? Considere vsomdo=340 m/s A) 640 m B) 320m C) 720m D) 600 m E) 520 m Resolución Grafi.:amos (, -Jm-lo= 3-!0 m, s) Piden .\ ==d- 80 (!) Del gráfico ,·, :::d -1- (d.,. 80) Para el >ontdo - 3-10(-;} =2d+80 rl"'ó-10 m En (ll :. x==720m PROBLEMA N.o 11 \ \ 1 ~ }· · f ·+·) . } ·;·· -j··t· ·;1 20 m/s ~ 20 m/s ócuchó ~1-- 1 - (-- r +· · r -- -- Í "- --:::-- el eco \ \ . =f~~ '-~-~ ._./ ¡---- d ---t-----80 m----, ~--------------x------------~ Los comadores r\ y B, que regls[ran el instante de la llegada de un rayo gamma, se encuenrran separa- dos 2m. Entre ellos (1.1YO lugar la de,;imegración de una pa.rticula subatómica conoctda como mesón en dos forones. iEn qué lugar sucedió la desinregración, si el comador rl registró uno de los fotones 10-~ s más tarde que el contador B? (Considere que la rapidez de los fotones es de 3 X 108 m/s) ~------ 2 m --------r A) 0,75 m Resolución Se pide x B) 0.85 m Date: t'=I0-9 s; c::;:3xl03 mi s C) 1,095 m D) 1,15 m E) 1,25 m 0~~0 - . -~"t::... '· · .. - -, --- :1\~1';::-- -.¡.Jr--=a:~=- ...,- r --A ~ B r-- x 2-x---t ----------------------------------------~--------·-- Luego (2 - .\) =cr x=u - cr" PROBi.! /1\A N. • 12 (!) (![) Reempla.:1ndo (l) en (11) :t•= (2 - x) - u· __, 2x=2 .... (3x !Os)(lo-9) .. x=l.lS m Frente a una esrac1ón A pasan dos móviles que se desplazan en línea recca con rapidez constante cie 5 m/5} 10 mis. para djrigirse h.tcia otra es ración 8. En ese insranre, por la estación B pasa erro móvil que se dirige hacia,..¡ con 30 n;/s y se cruza con los ameriores. con un intervalo de dempo de 1 mmuro . .:Qué disrancia hay entre las estaciones A y 8? A) S km Resolución Graflcamos 8) 6 km 20 m/s··· --::-7 A C) 6.5 km D) 7 km ~. , ~ l-----20c - ---+--- 30r----t En (0 E) 7,5 km .· Del gráfico d.~8=50t (1) dAB = (50)( 140) = 7QQQ m 1St l . 60 llr = ---= mm = s (S+ 30) . . d.u;=7 km --+ t=140s !50 B ... pROBLEMA N.• 13 Dos automóviles, .-l. V B. realbm rv~u .:~n 7 01, S r m - re<D,.ctiYanleme. A parm del msranre ¡r :J ~. • • - · ·rp.Jo. dew>ni11e d tmervalo de ciempo ~ue moo . . ·¡ debe rranscurriT para que d1chos auwmov1 es equidisten del ongen áe coordenadas. r · 5 m/s 1 B --o, ~X . ¡ 50 111 1 . ll3¡o ; m,s,s , \ A) 3 S 8) 5 s C) 6 S D) 8 s E) 2 S Resolución Graneamos N ----·---- De! ~,áfico .\ -5t=30 (1) De (11)- (l) 2t:: 10 .. i"'5 S PROBLEMA N.0 14 Un itlsecco realiza un MRU y se desp!.ua a !o largo de la recta L Si el área lA1 es do! ~u m- v fue barrida en 5 s, indique cuánto es e! :irca !A1, dado que se barrió en S s. y además con qué rapidez vuela el insecro. A) 60 m2 • 2 m/s S) 56 m2 • 4 m/s C) 64 m1 : 4 m/s D) 64 m1 ; 2 m/s E) 60 m1 ; 1 m/s lumbreras fd1tores R¡:solución Nos pirlen IA2 v 1'. 1 lA¡= - b¡h 2 (1) - (!!) Reempla::ando daros De(!) 64 = .!.((8v)j[8J 2 .. v=2 m/s (I) (ll) PROBLEMA N. 0 1 S Se ffilbía ::fercrmmado que la rapidc: .:onsran- ce de un móvil en rraye::roria recrilínea era de 1 m/s, pero después se comprobó que a la medida de longirud usada le ialraba un decí- metro de metro y que el cronómetro ucili:ado se adelamaba en l/20 de segundo por cada segundo Determine la verdadera rapide: del móvil en m/ s. A) ó/7 B) 10/21 C) 18/l9 D) 19/21 E) ~.'lO Resolución Experimemo ] S 7 reJo¡ ~ d~feccuoso __ v - I m/s __ v --:a - ~ ,---- ~ meuo 1----- 1 m ------! deJecwoso 0,9 m-----1, r¡O,l m ~------------~~tro 1------- 1 m ------1 con·ecro Entonces la rapidez real es 0,9 18m v=-=-- ,.!.2. 19 S 20 pROBLEMA H. o 1 6 -~""'·"nerJ ;e .:lespla:aba con ·,e!o.:1dad una'-'"'" _ nre cor una avemda. De promo. e! cho-con>U· . . . , e --u·-'', un rUidO caracrenstJco (cuando las rer ~-- ~···" edas pa.:an de un pavimemo a mro), el cual :S escc.:h.1do cJéa 0, 2 s. Determine la longitud de un pa\Jm~nr.:l. si la camionera permanece compkumenre durante ó s en él Considere que los .:~nrro~ de la llama deianrera }' posee- dor e:;rJr separados 3 m. A) 90 m D) 95 m B) 9! rn C) 93m E) 97 :n R~olución La camionera permanece compleramen:e du- rante 6 s en el pavimemo. 6s ~V :Z_.Q· 2 ~ ~~ ......r-- ~3m d< ----; ~------ LP --------~ luego Lp=3+dc - Lp== 3+6(v) (1) Para calcular v, utilizamos la otra información. --- b,__ (~~~~~:r~ ~~ .~l rurdo ) ~ 3 m --1 te escucha~ : _ 0 2 1 segundo : r- • 5 _ v ruido ·~D.~ · =·.:::.:_~-~ ___ __..:..___-::_·~-- l--3 m--1 la rap1de: de la camioneta es d 3 ¡ -,, .. = - = -- == ~ m - l L~) En (l) L?=3-ó(l5) PROBLEMA H.0 17 Un esrudiance se encuentra a 3 m del cenero de un:l veman:t de l m de ancho, ) un bus. CJ'.!::' experimenta MRU. se mueve por una pisra pa- ralela a la ventana con una distancia de 87 m. Si el bus de 10m de longitud fue observado por<!! estudiante durante 8 s. ¿qué valor tiene la velocidad del bus (en km!h)? A) 10 D) 18 Resolución Grafic.amos B) 15 C)l2 E) 20 cuminade obsefvat el bus T\-lv 10m 1_,- •' comienza a / ub~NM d bus • ' IV ;:¡; 53 ---------------- lumbreras Editores Para el bus Semejanza áe mángu!os (d 2) (0,5 ) --"=-- ~ d=<30m 90 3 En (1) (JO.,. IO) = vb"s(S) -., Vbus=5 m/ s ~'t>u, = 1 S km/h PROBLEMA N.0 1 S (l) Un ~u;:omóvil desarrolla un MRU sobre una pista horizontal con una rapidez de 30 m/s y logra acercarse perpendicularmente hacia una pared. Si de pronro toca la bocina durante cierro tiempo, ¿en qué relación se encuentra e! tiempo durante el e1.1al se tocó la bocina y el tiempo durance el cual el conductor escucha el eco' (vsonldo = 330 mi s) A) 1 D) 1,5 Resolución B) 1,1 C) 1,33 E) 1,66 Sea tp el tiempo que roca o pulsa el timbre, en este tiempo se forma un rren de ondas. 154 Del gráfico (1) Al rebotar en la pared tecc) se acerca al auto. ~.:omic:t:.J .11 ts.:uclar 1 \ el eco J L 1 /{ 1 r~ \ \ \ \ \ 1 ;, ' 1 ~- ~ . ~· J lterminJ d1 c>euch.lr el eéo te: tiempo que el conductor escucha el eco, que ademas es el tiempo de encuenrro ene re el auto y la última onda, para una separaciÓn L. Piden (ll) Donde !~:: __ L _ _ "' YsCp (v.,uto +vs) VJU(() +V,. (ll1) Luego pROB!. t:i't\A N. o 19 En Jos, e.-dces de un m ángulo equilátero de lado L se encuentran tres tormigas. E!i~ empie:a.'l 2 mowro.: ;;imultáneameme con una r.ap1cic! 1 constan re Si la primera hormiga mam1ene invaria- blenle!lte su curso hacia la segunda, la segunda hacia la tercera r la t~rcera hac!a la pnmera. ,al cabo de qué intervalo de nempo las hormtga:: logran o::scar en un misrr.o lug3r' 2L B) 3v R;~soJución L C} V L .JJ D) V 3 E) 31. 2 v Corno cada hotmiga sigue a la orra. cada una de ellas cambia de dirección describiendo una rr:t]"l'CtOrt·l curva. Debido a 1.1 simetría de los movimientos en cada instante, llS hormigas se encuenrran ub1cadas en los v¿rtices de un ttüngulo equilarero. qth! dismimtye de ram<HíO a medida que las hormigas se acercaiL Este tri.ingulo se hace nulo cuando las hom1igas se encuemran, siendo el punto de encuentro el ba- riccnno del triángulo eqUilátero. Además, nore que en cada instante la linea que une el vértice del triángulo con el baricemro (pumo de encuenrro} forma 300 con la velocidad. Descomponemos la velocidad en un tramo pequeño de AH en dirección radial y perpendicular a la radi2l. A v/.7·: '. , ., 1 • "11' • \ .~ . .. ' . .. l - v, =- ../3 2 La hormiga se acerca con una rapide! consrame hacia el cenero igual a v,, recorriendoe, entonces e,=-v ,t (!) 55 lumbreras fd11ores En (1) L "' V ¡-;; - ..,3 = - v3c 3 ? 1L .. t=- 3v PROBLEMA N.0 20 Un escarabajo se encuentra movréndose con rapidez constante de 2 cm/s en el inrerior de una caja cúbic<1, tal como se muestra. Si el escarabajo va desde el vértice P al vértice Q moviéndose por las paredes internas de !a caja pasando por su base, ¿qué mlnimo riempo demorará el escarabajo en dicho recorrido? (Considere J\!IN = JOJ3o cm) A) 40s B) 45 s C) 48 S D) SOs E) 54 s Resolución Sea el lado del cubo (caja) igual a a. ~ MN= J3a !56 Luego. d lado es ro,J3o == J3n ~ n = JQ,jiQ cm Como el escarabajo se desplaza por los lados (paredes) de la caja y su base, extendemos (abrimos) la caja para determmar el nempo míntmo; el t iempo es mí111mo cuando el reco- rrido es mínrmo. c==vc e . = emtn nun V M' a p Del gráfico En (I) 100 t mm = -2- · · 'min==SO S (I) i.v ... / ___ _,Q' a p• R pROBLEMA N. o 21 u na rvhiiJ tng.-e;a volando por la venc<lna de un aul.l , un esrudiance nota que !a d¡sran.:ta ·-·p,1·' a la polilla del techo cambta a ra· que ~~ .... . d~ o 5 m por segun.:!o; emre la ooliliJ v la 1on ~ ·· . · aied l.n,;:r,ll camb1a a ra:on d 1 merro; por se- p ndo emre ella misma y la pared del fondo, gu . a ra:ón de d1 merros por segunao. Despues de 3 s que h polilla ingresó, esta choca con w~a de las e;quma> del iondo. Derermtne que •:alor nene la velocidad de la polilla. st las dimensiones del aula son 3 m de aJcurJ. -!.5 m de ancho y 6 m de largo; además, 1:1 pvlii!.J IngreSÓ :t! ::lttb e5!:\!'1dc> ~ 3 !"1 Ct' 110'! de las paredes laterales. sfi A) -"-mis 2 .ffí C) -m/s 2 D) A o B Resolución B) 3J2 1 - -m.s 2 E) BoC Existen dos posibilidades, que la polilla se di- rija a la esquina t\, y la otra. que se dirija a la esquina B. B J:.-, --4.5 m~ \3 S ;'3 S : (daco) / le; : 3m · , J m. ,· . . .. , V., · ,' ·.¡1.,. ::~.; _... ··/ v, -v.,. Por d,uo ·==0.5 n: ,f.\ ó m 1 ,._,_==_ m ' s r 3 s • Si se dmge a la esqutna r\ 3m 1 , ' =-: m,s -' 3 S • Si se dirige a la esquma B l. S m v ·=--=O.S m/s .• 35 Primer caso J ,, ,J2í v = (2)· +(l)- +(0,5)- = T mis Segundo caso J , ( 1 )2 ( 1 )! 3J2 v = (2)· ... 2: + l = l mis PROBLEMA N.0 22 Un esquiador inicia su movimiento realizan- do MRUV. Si recorre la segunda mitad de su rrayecro empleando 10 s. determine el tiempo empleado en la primera mírad de su recorrido. A) 10 s B) 10(I+J2)s C) 10(J2 - l)s D) 5 s E) S(l+ J2) s 57 Lumbreras Editores Resolución Grafi camos el problema De las ecuaciones del J'v!RUV: Tramo AB . 1 , d = - at· 2 TramoAC ( 1 ~ 2d) = - n ( t + 1 O)- 2 (!) + (1!) 2 (t+l0)2 (t+ lO)= rJ2 l0= r(J2 - 1) . . t = 1 O( J2 + I) s !58 (1) ([[) PROBLEMA N,0 2 3 Un <telera inicia un mo\·lmJenco rectilíneo con aceleracion consrame. la cual le permite aumenrar su rapidez a ra:::ón de 5 mis cada 2 s. Det<!rm!ne el menor dempo que emplea el arlera para recorrer los primeros 60 m, si la máxima rap1dez que puede alcanzar es 5 m/s. A) l2 s 8) 11 s C) 10 S D) 13 S E) 1-t s Resolución Graneamos -;r- -----,B.-------e~ 1--d¡--+---d2-----! 1------60m ____ _, Del dato: ó.v=S m/s -7 ót=2 s La aceleración del acleta es a= t.v = S m/s t.r 2 s -7 a=2.5 m/s2 Tramo AB (MRVV) -7 5 =0+(~}~ Despejamos C¡=2 S -(~\., d¡- 1 ) - En 2 s ,¡l.:anz,¡ su rapide::: lírr.ice. entonces, para recorrer lvs 60 m en el menor tiempo, mancendr,í cS[I)S 5 m/s. PROBLEMA ~1 .0 24 Tramo BC (MRU) -7 (60-5) = (5)!! Despejamos Como . . r=l3 s Un cidista se desplaza con una rapidez de 15 m/ s. Si antes de llegar a un bache gira 32° el timón de la bicicl.:ta (maniobra que realiza sin cambiar la rapidez y durante 0,15 s); determine el módulo de IJ Jceleración media que experimenta el ciclista en dicho intervalo de tiempo A) 80 m!s1 B) 64 m/s2 C) 84 m/s 2 R2solución Graficamos: VF ~· - -- t1c=Oly .' , ( /,/ L/ ... Ji.~-- .. .. · ,_. O) 60 m/s2 ,- ~ --- .. --. -... -.. --. -.. : : lumb¡•eras Editores Usaremos la fótmula de aceleración med1a 1\r. -v0 l ¡¡ =-~-m j¡ Del segundo gráfico tenemos PROBLEMA H. 0 25 (I) En (1) - - 2(15)( is) <1,,,- ( 1~0) Un automóvil micia su movimiento con aceleración consrance de 2.5 m/ s1. Si luego de cieno tiempo empieza a disminuir su rap1de: a razón de 5 mis~ hasta que se detiene y el tiempo total empleado del aucomóvil fue de un rninuro, determine Sl! recorrido y el tiempo durante el cual estuvo aumentando su rap1dez. A) 2000 m; 40 s O) 1000 m; 20 s Resolución Graficamos Nos piden t y e. TramoAB TramoBC o vc=v8-a't' -. v8 ::2ar' ISO B) 3000 m; 20 s 1 min= 60 s C) 1000 m; 40 s E) 3000 m; 40 s (1) (TI) También De (1} = llll , . ., = 1•\ - <lf =(2, 5)(40) t·5=1 00 m s e'=- ') Por condJcion r+r'=tiO s t.,.!.. :60_, r=40 s .2 pROBLEMA >1.0 2ó (,;·+1'·) 1' e = ~ t _,. ··= ; r .. t.' =C~0 }-wh2ooom Dos p.miwias Py Q se mueven sobre el eje xcon velocidades consra~res de+ 30 m;s Y:: l2 mt s, res- ectivameme. Cuando dichas panículas pasan por las posiciones .\'r = -1.20 m y x\! = .,- 180 m. fa panícula p adquiere una aceleración consta me de -3 m/s2. ¿Qué distancia separará las panículas cuando cengan la misma velocidad? A) 3m B) 6 m C) 9 m D) 11m E) l2 m Resolución Del enu nciado se deduce que la panícula P experimenta un MRUV y. a parrir de P, Q un MRU. En ronces se hallará la distancia cuando P adquiera la velocidad de Q. Graticamos el p¡·oblema ·(P) - 120, ISO m-----'1 -!s ~~~v=O _E_ :J .1!. í)(P) t- 126 m --4--- 24 m ----{ (P) (Q) l2 m/ s - ~~ X :(Q) !+180 ' ' Q ; t--126 m--r 1-- 168 m--l ~ l26+x+ 168=300 . . x=6 m 61 lumbreras Editores PROBLEMA N.0 '1.7 Un automóvil se mueve sobre una pista ho- rizontal, e;{perimenrando MRU con 20 m/s, v se dirige a u n camion en reposo. Cuando ;¡ automóvil esrá a SO m del camión, este inicia su movimiento en la misma dirección del au- tomóvil con una aceleraciÓn constante a. ¿Qué valores debe rener a para que el auromóvi l nunca alcance al camion? A) a> 2 m/s2 B) a > 1,5 m!s1 C) a > 2,4 m/s2 D) a > 2,5 m!s1 E) a> 3 m/s2 Resolucion Si la acele ración del camión es cal que en el momenm que el auto está por a lcanzarlo pre- senta la misma velocidad que el auto, en ronces el au ro nunca podrá a lcanzar a l camión. Si m ación crí rica: {-so m-1---d,----{ 20 1 :20 m/s m s·-- a -· -1 1 =:s:t:::rr~ ,o .. ' •p • dauro -----1 ~ i A pare ir de P el camión se aleja del a uro porque su velocidad se incrementa y será mayor que la d el auto. 20t =<80 +(0 +220 } 20t=80+ lOt ~ r=8 s Como vF= vo+(acJmrón)c =0+ (<lcanuón) (8) =20 llc3mrón= 2,5 m/s 2 IB2 Si con es ta aceleración el amo no a!can::a al ..:am..ión, rampoco lo alcan:ará con una acele. ración mqor a(.liT'Iron > 2. 5 m/s2 PROB!.::MA í'l .0 28 Una partícula ub1cada en el punro A (O; 75) cm inicia su movimiento con u na ace leración constame igual a d' "' ( 1, 5i - 2)) cm! s1. Si la máxima rapidez que puede alcanzar la partí- cula es de 15 cm/s. ¿qué disrar.,ia 5<:!para a la parrícula del origen de coordenada;; 8 s des- pués de iniciado su movimicnro? A) sJIO cm B) ISJiO cm C) 7,5Ji0 cm D) IOJlo cm E) 17,SJI0cm Resolucion Graficamos e l problema o¡ X Tramo .48 (.\ lRUV) 15::0 -'- (2.5)1¡ Calculamos la distancia AB -(0+15 )(6) d~s- 2 Tramo BC (1\IRU) dsL'=¡·01.;x(8 -r 1) = 15(8-6) -. d,1c=30 cm " d .•. c=75 cm Del gráfico OC=21~ Calculamos k 751 =111+9k2= !Ok2 75 k::--= JIO k =7, 5M ~ oc =2(7.s)Jl0 .. OC= lSJiO cm PROBLEMA H.0 29 Una partícula se mueve sobre el plano XY experimentando MRUV. En el instante inicial la panícula presenca la posición P(-12;9) m y una velocidad v = (3i + 4 ]) mis- Si las áreas que --~------------ '--- barre el vector posición cada 2 s d1smmu)'enen 15 m 2• d erermin¿ el módulo de ll acele;ac1ón (en m/s1). A) 0,25 D) 1 Resolución Graficamos Dato B) 0.5 (.lA1-lA2) = 15 m1 Tramo PC 1 ( 1 b1 = v0c --a t) 2 C) 0.75 E) 1.5 (1) (JI) S3 ¡ lumbreras fdttores TramoPM (b1.,.Ll1 )=1'1)t'--}.l(rf b1 ~ b~ = 5(-t)- I(n)(..J. )2 b1 +b1=20-8n De (11)- (!11) ll,-bl ::..J-,1 De (1) h(b¡-bl)=I5 (lV) ( 1 O-2,1) -b2 = 20-Sn b1=10 - 6n 15(b, - b1)=15 -t b¡-bl=l En {lV): 1 =4n (lfl) :. <1=0,25 m.'s2 PROBLl:MA tl. 0 30 Dos móvil¿s r\ y 8 experimentan movimientos rectilíneos. uno hacia e! erro, con rapidez constan- te de lO m/s y 20 m/s, respecdvJmente. Si en el instante en que están separadus 275m 8 empieza· a frenar con una aceleración constante de módulo 1 m/s1, determine a qué d is tancia se encontra- rán separados cuando tengan igual rapidez. A) 20m Resolución Gralicamos B) 25m C) 30m D) !S m 1--- (t.iRUV) --i 10 S lO m/~~s .. ' .E_ 8f~ 1 m/s· : B.i'== 1-- lOO m - -r--- x---r--- ISO m---1 1---------- 275 m ---------l PROBLEMA H.0 31 E) 3S m Resolvemos 27S= 2SO+x .. x = 25 m Un automóvil de 3m de tongiwd y un ómnibus se desplazan en la misma dirección por vías paralelas y rectilíneas con una rapidez constante de S m/s y 10 m/ s, respectivamente. Si en el instante mostrado el automóvil acelera a razón de 10 m/s2 con la inrención de adelanrar a! ómnibus, determine la longmtd del ómnibus. dado que el automóvil logra su objetivo luego de 3 s a parcir del instante mostrado. A) 12m :s4 B) -~: '=-~ ' íO m C) :;.,..s .. •••n•••"" - --Q '"":r:i ? m 25m O) 14m E) 10m Resolución Graficamos d = ¡O-d,.,, + Lb\u (I) ~utJ 1 ' d "' 1·,r+-a!" Jt:fO 1..: :! 1 ' d :5(3)-,. - (10)(3)• 3UC.> 2 Luego d o: 1·~ (r)= l 0(3) = 30m bu;, '-''·h En (!): 60= 10+ 30+Lb11s .. L~>u. '"10 m PROBLEMA N.o 32 l~s2 _ SJTILs .;~ ~ ::;;;•uu~ Q' • 1 ' ' t-3 m-l-7 m~--dbu;---+-- Lbus--t ! !L. a ~--------------~~~=-~ 3s En una pisca rectilínea se desplazan dos automóviles y pasan por una estación con igual rapidez, v= 10 m/s, y con un intervalo de tiempo de 4 s . En el instante en que pasa el segundo automóvil frente .1 la esHción, empiezan a acelerar con 2 m/s2 y 4 m/s2, respectivamente. Decermine, luego de cuántos segundos, desde que acelera, este logra alcanzar al primero. A) M S Resolución Graficamos B) 2../lo s C) 2Js S D) 4Js s E) SJS s ss l lumbreras Editores Del gráfico d1 - d1==40m (f) Como d 1 ' ,=v .... ,,c- - n,r· -> - ~~ - 2 - Además d1 == 10r+r 2 PROBL2MA H.0 33 Resramos cr~-d¡ =r En (l) . . t =2 JI0s U~-conductor se desplaza por una autopista recta con una rapidez constante de 25 m/s y un ca. mton sale para adelantarlo lOS m. ¿cuál es la aceleración mínima constante que puede asegurar la parada del vehículo para no cho.:ar con el camión, si consid::nmos que el conduccor tiene un riempo de reacción de 0,2 s? R12solución Graficamos 25 , D) -m/s- 8 (MRU) (MRUV) ~dR----~-------- 105-dR --------~ Para el MRU dR=vrR Entonces dR.=25(0,2) d¡¡=S m Luego de S m pisa el freno. Para el MRUV v¡ = v6 -2ad 168 Entonces O== (25) 2 -2 (a)(105- 5) 25 , .. a =-m!s- 8 ?S , Con una aceleración menor que :::_ m !s- el 8 auto tmpactaJ·ía con el camión. ..: pROBLEMA N.o 3 4 Un eren de ó~ m de longitud ~e ~ncuenrra en reposo~ _cier<a d1srancia de un túnel recrilí_neo de 101 01 de largo¿ 1n1cia su m~vuntemo con u~a acelerac1on cOJ:sra~re. ~~la paree ~el~ncera ael tren . esa con u:ll rap1de: de o m/ s y la posrenor con 10 m/ s, 'que rap1de: (endra dtcho tren en el :;:;rranre en ~ue la mitad de es re está saliendo del túnel? A) !1m Resolución Graficamo:; B) 12 m/s C) 13 m/ s D) 8 m/s E) 10 m/s Comten:a J 1ngresar alrunel TramoAB 6 m/:; .____101m ----1 p j~~~ <únel 1 A¡:- 64 m--f . : r-64 m-+37 m-r32 mi : ~---·- .. 1(}m/s·-·; ' }Mitaddeltren • e - ' • _ , .~( oi515§~ -=: ~~~· s~liendodel túMI A B : :e 1--69m---! Tramo8C , l Vé = v¡ • 2a(d8c) _, V~ = 102 +2( ~ f69) . . vc= l3 m/s PROBLEMA N.0 H Desde dos esradones A y 8, separadas 1 H m, inician su movimiento dos automóviles con acelera- ción constante de módulo 4 m/s2 y 2 m/s2• respecrivarneme. Si después de 4 s parte de la estación B un tercer automóvil. determine el módulo de la aceleración del tercer automóvil, de tal manera que los aes automóviles se crucen simulráneamenre. Considere que los tres automóviles se mue· ven en carriles paralelos. B) 3,5 m/s1 D) 4,5 m/s2 E) 5,5 m!s2 67 Lumbreras Editores R2solución Grarlcamos ..----1-H m-----; A B ._ . . ' • • • j • • , r 2~-~ .. -0= -..()- o <>- (2) t----- - d1 - ----1 4 rTvs2 -! m/ s2 ocp._o · {llf--------- -;;_· orx;--. o - d, ----------------1 t-4 Del gráfico cenemos d¡-d!= 144 Desarrollamos 1()' 1 l - 4 r- - - (2)r- =dH 2 2 -+ t=l2 S Además PROBLEMA N.0 3ó ~ 113 :6:Ehr _¿ ~~~ (3) 1--------- dJ -------¡ Desarrollamos Un automóvil se mueve con una velocidad constance de módulo 20 m/s. Si en un instame dado - a d metros delante de él- parte orro automóvil con una aceleración constante de 2,5 m/s2 y se mueve en la misma dirección, determine d para que A y B se crucen en una sola oponunidad. A) lOO m B) 160m C) 70m O) 50 m E) 80 m 168 R~solución Gra.ficJrnos Del grático 20m '; (AJ -- ,.:x::,.._ o===o· M , (P) ,_ .i ---,..------ dg ____ __, 8 S (MRUI ,2~ :Ea· A f--------- d.\ ---------1 En 8 s B alcam:a 20 mis d.~=d..-da (!) a8 = vg!- ~ac2 = ~( ~ }sl2 _.. ds=SO m En p se da el único encuentro. a pamr de ese momemo B ser á más rápido que A y se alejará. (Revise prob. 27). Para MP 20=0+(2,5)c - r=S s PROBLEMA H.0 37 Para el a uro A dA = vAc dA = 20(8) ~ dA=l6Qm De donde: 160=d+80 :. d=BO m Una panícula se mueve sobre el eje x donde su posición queda defmida por x =( r; -{e!+ 16r + 10 )m; e en segundos. Con respecto a las siguientes proposiciones, indique verdadera (V) o falsa (F), segün corresponda: • Duranre el intervalo e e {O; 4] la parricula se mueve hacia la derecha. • A partir de l > -! la partícula se mueve hacia la izquierda aumemando su rapidez. Durante el intervalo re [O; 4] el recorrido de la partícula es 64/3 m. A) VVV B) FVV C) FVF O) VFV E) FFF 69 1 lumbreras Ed1tores Resolución De la ecuación; - t] ' x ==--4r -'-lór-10 3 Derivando se riene la velocidad v(i) = r2 -8r - 16 = (t--i)2 (!) La segunda denvada es la aceleración a(c)=(2r-8)m/~ • Verdadera Para tE [O; 4] {Il) Para este Intervalo, excepw e ==4 s, la velo- cidad es positiva. Observe la ecuación (!). Falsa En codo momento el móvil se dirige a la derecha • Verdadera Para t =O c=4s ....... 1, ) x::+lOm x=+lO m x=+ 94/3 ~--e---¡ Para r=4 s x = (4/ - 4(4)2 + 16(4) + to 94 XF=3m Luego 94 64 e=--10= - m 3 3 PROBLEMA N.0 38 Un gusano de longitud L se desplaza con una rapidez v sobre una superficie horizontal en lí- nea recra y en un determinado insrame cambia la dirección de su movimiento en 90°. 170 Determine a partir de ese insrame el riernpo que-rranscurre hasta que la distancia enrre SUs e.'\rremos seJ mínima y cuámo vale dicha dis. rancia. L L./3 A) V 4 C) L L -2-· --1' \'. 2 - L !::..¡¡ D) - ; 4v 2 Resolución Graficamos el problema Para el triángulo d2= (L - vt)2+v2c2 B) !_. !::_Ji 2v' 2 - E) !:. !::.jj V • 2 L2 +2[(vd-2(vr)(i)~a r -(iJ] (~vo -(i }f _JíL -7 d,,.,,- 2 rambién L vc= 2 L .. (::- 21· PROBLEMA H.0 39 Un auromovil se mueve en linea recra con una velocidad constante avanzando una distancia d para luego adquirir una aceleración constan- te de módulo a, disminuyendo su velocidad hasta que se detiene. Determine el tiempo de movimiento del automóvil, si se sabe que es mínimo. A)~ D) 2~ ll B) - - 2 a E) {d y2c; Resolución Se pide el tiempo mínimo {t) Tramo AB (MRU) d= vr1 d C¡ =- y Tramo BC (MRUV) V e,=- - a De(ID y (I) en (a) d V t=-+ - v a Reordenamos convenientemente r =((J~J +( ~J -2~+2l) r. =[[l-J~T + 2~] oun Por lo ramo 'min =2Jf o (I) (H) 71 1 lumbreras Eótores PROBL~~A H.0 40 En el gráfico. se d.:ne una canica A de ac.:ro ·· otra B de madera nn·dadas en reposo Si solta- mos B. A Jeco.re durame el tercer segundo de su movimiento 5 m éEn cuánco se desmvehn A r 8 al cabo de 3 s de abandonar A? A) 9 m B) 12m C) 15m O) 2-!-m E) 27m Resolución Al soltar el sistema, la canica de acero (A) des- ciende con la misma aceleración que la polea. Para un MRUV con v=O Entonces !72 Para la polca móvil mostrada cer.emos [ 1 r"--G· j ¡ ~f:~ jcL+L-y) l !r:-'1 l ------ - ,1 1 1 L' ¡,~,, , f· ) - --..:. l ('T - ---· d --------------JI _________ l A- Para la cuerda que rodea las poleas (3L+L') =2 (L ... x) + (L+L'-y) Entonces 3L+L'=3L+L'+2x - y y=2x u esfera sube una longitud y. y la polea des- ciende x, emonces la separación es d=x+y"'3X La polea en 3 s desciende 1 > 1 , x = -ac· = - (2)(3)· = 9 m 2 2 .. d=3(9) = 27 m ~ Nota La esfera de acero está fija a la polea. por conSigUiente la esfera deSCiende la m•sma long¡tud que la polea. •• CapttUlO 4 ) ) Movim ientos de caída libre , ..... Alistóteles (38-+JZ.2 a. n. e.l pensaba que at soltar desde una m1sma altura un objeto pesado y o1ro hv1ano. el peS."l· do lleg<Jb,, primero a la superfiCie cleb,do a su mayor peso. Esta forma de pensar predom1nó por dos m1lenios hasta que Galileo Galilei 11564·1642) hizo un<1 afirmación mSs acertada: sin la resistencia del a~re todos los objetos caen con la misma rapidez. Ello se pudo comprobar ;ui os m.is tarde. cuando Otto von Guericke inventó una máquina capaz de orig.nar el vacío (medio sin aire). En un medio sm aire. al soltar una pluma y una esfera de ,Kcro desde una misma altura. ambas llegan a la vez a la superhcie, verificándose la ,1firmación ele Galileo. Este hecho permite establecer que los cuerpos. al ser aiectados úmcamente por la atracción terreslfe. experimentan la misma acele- ración, denominada aceleración de 1,1 gravedad (g). Bajo esa cond1ción, este movim1ento se denomina movimiento de caída libre. Por ello, cada vez que soltemos Lln cuerpo o lo lancemos verticalmente (haCia arriba o haoa abajo) despreciando la resistencia del aire. el resultado final siem- pre será un movimiento vertiCal de caída libre (MVCL), el cual es un caso particular del movimiento rectilíneo unifor- memente vanado (IVIRUV); pero al lanzarlo en iorrna no vertical. ese cuerpo desaibirá_un movimiento parabólico de caída libre (MPCL). ------- --------- Capítulo ~Aovimientos de caí el a libre : .. ...... ... ... ...... ···· ·· ······. . ... ........... · - ............ ···· ··· ··· ······· PROBLEMA H. 0 1 ¿Qué rapide: presenta el anillo en el instante mostrado, si luego de 3 s empieza a cruzar a la esfera lanzada' {Desprecie la resistencia de! aire) g=lO m/ s 2 A)Sm!s B) 5 m/ s C) 2 m/ s D) 10 m/s E) -! m/ s R~so lución Nos piden la rapidez v del anillo. Note que la esfera a los 2 s comienza a descender. Separando imaginariamente a la esfera y al anillo V ! ~ (2) . • •• - - - .. • • •.•• .. • • •• • • . •• 1 • v=O v=O h ~ 3 S (9 y ' 1 S ' ' : : : 75 m 1hhlo 1fll1 ; 2 S l @ ~·~ . insmmeen -¡3o.mi's)'r·~·¡w mlsj queel anillo~ d¡' , cruzna .. ...... ... . .. . . .. (llQ .. . .. . -- - la esf!ra ·~w 20 m/s 75 1 Lumbreras Ed1tores Ecuación vectOrial para (1) - - 1 - l d1=v\Jr.,.;-gr· - d¡= (+20)(3) - 5(3)2 Despejamos d1 =-:-i5 m _, rl1= 15 m luego h~d,=75 -7 /¡=75-1 5=60m Para (2) (ecuación escalar) 1 1 h = v0t+- gr· 2 60 =v (3) + 5 (3) 2 . . v=S m/s PROBLEMA N.0 2 En el insranre en que se abandona una canica se lanza otra, tal como se muestra en la gráfica. Si cuando están separadas l./2 venicalmeme por segunda vez presentan la misma rapidez, determine el recorrido de la canica que se sol· ró hasta ese insrante. (Desprecie la resistencia que ofrece el aire). A) 3/8 L B) 2/5 L C) 3/ 4L D) 7/2L r S:1 v0=0 . E) 1/ 2 L L ' 1 V ____ ¿ - 1n' Í7S Resolución Gra1kamos el problema. separando imagina. namenre las camcas. Para (1) ( v0 + v,) y = ' 2 -> r=(f)r También v, = v{+ gr 'o v'=gt Para (2) vF=v0-gc v'=v-gt v' -7 v=2v' También del gráfico L ( 3v ' ) y= 2.' + L--;¡ r De(!) ( 2v'+v') 3v' x= -2- r = 1 r (1) ' 3 L -7 Vt ;: - 4 En (1) 3 v~-L .. . S PROBLEMA N.o 3 Un malab,nisra hace una demostración en un salón y lan:a pelotitas a 1,-l m del p1so, vem- almenre IMcia arriba con intervalos de 0,5 s. ~i el máximo número de pelotitas que pueden estar en el aire es 3. determine la mínima altu- ra del salón para dicha demostración. (g= 10 m/s1) . A) 2,1 m B) 2,05 m C) 2,35 m D) 2,65 m E) 3,15 m Resolución Observemos el lanzamiento H J vl ) '1, 3 • v ¡11.• . . . ,IJ...!., .. T. . , l . ) Lv 1,._). '-/ ' l. 'f ,. ''1~'' '•u¡•' 1 v 1.4 m ·~ 1' , 3 pelot.lS en el aire Del gráfico H= 1.4-h \' t, = g ~ = (0,5)(10) v=S m/ s .-\ltura máxima , y· il = - 2g Despejamos la altura máxima (51: h=- 20 25 fl=- 20 /1= 1,25 m En (1) H= 1,4+ 1,25 .. H= 2,65 m PROBL!'i:MA N.0 4 (!) Un objeto se lanza venicalmenre hacia arriba desde el borde de un edificio de 240 m de alrura. Si luego de 5 s su rapidez se cuadruplica. ¿con qué rapidez impacta en la base del edifi.:io? (g= 10 m/s2) • A) 30 m/s B) 40 m/s C) 50 m/s D). 60 m/s E) 70 m/s 771 lumbreras Editores Resolución Nos ptden la raptde: de tmpacco ,.,. Del dato c,-~ 8=5 s ,,. _, .. ' ,, 1 g= 10 mJs- ' t v, Ecuactón vectorial de A -+ 8 Vs =vA +g(rr~s> --+ (-4~)=(~v)-10(5) v=IOm/s Tramo A 'P (ecuación escalu) vf"=v}'T"2g(d.-~p) .. v1=70 mis PROBLEMA N.0 5 Se lanzan las esferas simultáneamente, como se muestra en el gráfico. (Luego de cuánto tiempo, a parur del instante señalado, las esferas esta- rán separadas S m por segunda vez? (Desprecie la resistencia del aire; considere g= 10 m/s2) 178 :--3m--i - - · .... : ........... -- .... ·~ B l . 1 ~m A) 0,2 S D) 0,8 s Resolución jg r B) 0,4 s . 8 rn •s C) 0,6 S E) 1 s Al acercarse. la distancia entre esferas dismi- ¡ nuye; la segunda ve: que están separadas S m es cuando las esferas se alejan. Del gráfico + Ya =8 _____.. Despejando _j c(!O = S .. r-O.S::. PROBLEMA H. o 6 En el graiico, el eren a panir del mstante mos- trado intcJa ~u movimiemo reali:ando un MRUV con -l m/;2• Si dc:sde la parte delanrera lanzamos vemcalmeme hacta arriba una pelo· ta. detem1ine la rapidez máxima con que po· dría ser l.tnzada para qLte caiga sobre e l tren. (g=IO m/ s1) . A) 10 m/s B) 15 m/s C) 25 m/s D) -10 m/ s E) 45 m/s Resoludón A mayor rapidez de lanzamiento, más tiempo debe permanecer en el aire la esfera. Ell!mite de la rapidez lo da el hecho que debe caer en e! tren, entonces la máxima rapidez de lanzamiento debe ser cuando la esfera impacra en la pane posterior del tren. Pua ello el rren debe recorrer SO m en un uempo igual a 1 ' d= "ve --.1: · 2 e=; s El uempo de subida de la esfera es Entonces la rapidez máxima de lanzanuenro es o vF = vo- gciub _, Ynux(l>n:) =grsub v.,, ... (l.ln: .) = (lO) (2,5) .. Ym.i.;.(b=} =25 m/s PROBLEMA H.0 7 Del borde de un pozo de !25 m de profun- didad, un niño suelta piedras a razón de una piedra por segundo. En el instante en que suelta la primera piedra, una persona ubicada en el fondo del pozo lanu venicaJmence hacia arriba un obJem con una rapide: de 50 m/s Determine el número de piedras que solro el niño hasta el instante en que el objeto se cruza con la segunda piedra. (g= lO m/s2) A) 2 D) 5 B) 3 C)4 E) 6 79 lumbreras Ed1rores Resolución Esrud1amos el encuenrro emre el objeto \ la segunda piedra. Hay gue tener en cuema que el ObJeto le lleva de venraja 1 s a la segundapiedra. hp+h0 = 125 _, I g(r - 1)2 +[SOr-± gr1] = 125 S(r-1) 2+50r- Sc1= 125 Resolvemos t=3 s Para el joven que suelta las piedras han pasado también 3 s U 4.l 1 S C~) 3.• u 1 s(." 0 soleó 4 piedras V 2.~ 1 s(,.. l.. t-1 PROBLEMA H.0 8 Una copa de vidrio es soltada desde cierra altu- ra respecto del piso y luego de 4,25 s se escu- cha el sonido del impacto. (Con qué rapidez se !80 debe lan: ar. verticalmeme haci<1 aba¡o ia coPa pau que el riemFO en que se es.:ucha el sonido sea 1 segundos menos' (Considere .!í = IJ m 51, ~ 1= 310 m/5) A) 10 m/ s B) 18 mls C) 21 m/s D) 1-! m's Resolución En el pnmer caso Por condición r+r'=4,25 s H = v,c· =320r' = 2.gc2 =5c2 2 En (1) ? ¡ - t+- = 4 25 6 ' • .,. -4 r=4 s E 30 m's (1) Observamos que t' no se modifica, solo cambia t Luego Entonces ;,:~undo aso H=5r== \'(!-2) - S(r-2)~ sc-n2=d2) +5(2)1 v:=30 m s pROBLEMA H.o 9 Una c>íer,l fue sol rada desde cierra altura y en el sépcimo segundo de su caída recorre 11:3 de su recorrido rora!. iQué rapidez presenta en el insranre que golpea el piso? (g= 10 m/sl) A) 100 m/s B) 110 mis C) 130 m/ s D} 150 m/s E) 160 mis Resolución Graficamos el problema v=O ..... :· ,(Ó:.y· .... ·,, - ¡_o{~---------~~ 3 H "=:· .......... 1 ... . !.. 1 A vFj ~--· ············· ··-· · ···- - - Del gráfico hli,l - /;&,! ----.~ ______. H 13 !gl711 .!.g(611 l l 4 5(7>1 - 5(6)1 =!:!. 13 H=845 m Luego o vi= v5 ..-2gH .. v_r= 130 mis PROBLEMA N.0 1 O Un cohete despega desde la superficie :errestre .:on una aceleración constante de lO m/s2 Después de 10 s se agota el combustible y el cohere se sigue elevando en caída libre. Determine el tiempo que transcurre desde que se acaba el combustible hasta que impacta en la superficie. (g= 10 m/s2) A) 12,4 s D) 20s Resolución Graneamos B} 10 s C) 16,2 s E) 24,1 s e·} . . : . . V ~>~r=O l¡ \ . l ~~ g •\ l \ -.\ 100 m/sl :\s 1-; /.: -~~~ lOs ( ¡ Bll jhsf Lumbreras Edrtores En 8 se acaba el combustible. Nos piden t 1 .,-r~=? DeAB (MRUV) va=v .. , +t~8 _, v8 = 1 0(10) v8 = 100 m/s HaUamos la distancia de .4 hacia B d ( V~ + Vg) ~B = - ·-2- t.~B _,. dAa=(0+;oo }lol d.4 8 =SOO m Tramo de BC (MVCL) Yc =v8 - gt ¡ -4 0=(100) - lOr¡ 1¡ = 10 S Hallamos la distancia de 8 hacia C d8c =CO~+O )o o> -4 d8c=SOO m Tramo de CA' o 1 l ' de.-~· = v,c, +-gt; -4 lOOO= St- ~~-~ -2- d_.¡s+dsc t2 = 14,14 S Luego c'=t¡ +tl t'=(10)+(14,14) .. t'=24,14 S PROBLEMA N.0 11 Una piedra fue lanzada vercicalmeme hacia arriba, luego de cieno tiempo pasa frente a una vencana de 2 m de altura que se encuenrra a 4 m de la trayectoria de la piedra. ~ 82 Si una persona al ouo lado en el cemro de la ven~ na (a l m de discanda) ve a la piedra du. rame l s. ¿que tiempo transcurre has ca que ¡~ persona vuelve a ver la piedra? (g= lO m/ s2). A) 0,5 S D) 2 s Resolución B) 1 s Graficamos el problema C) 1,5 s E) 3 s De A a B la piedra pierde lO m/s ~ v8 = (v-10) Para que vuelva a ver la piedra debe transcurrir t ro< al= 2 e' (1) , (v- 10) (v-lO) 1\ t =--=-- (!!) g 10 TraJTlO d.: A B l' \ '1"1'¡:: ) d = ~ r,s A8 1 V'"' !5 lll 5 ( 15-10) - En(ll):r'= lO =O,:> s En(!) twul= 2(0.5) .. e tot.,r= 1 $ PROBLEMA H. o 12 En un planeta se lanza verticalmente hacia arriba un:~ piedra, de cal manera que en el ter- cer y cuMtO segundo recorre 21 m y 1 S m, res- pectiv.lmenre. éCon qué rapidez fue lanzado? A) 12 m/s B) 18 m/s C) 20 m/s D) 28 m/s E) 36 m/s R~solución De la información se deduce que en cada segun- do recorre 6 m menos, por consiguiente, la ace· leración de gravedad del planeta es g_,=6 m/s2• (.~- -r·--4,) , 15m . 5 (~--t ............ T 3.er S : 21 m 1 1 ,~ .. 1 .. 1 ..... 1 o ~~/ 1(3 $) ' o\ ''1~1'' h (l s) l i?-.... 1 ........ .. 'l¡i' /1(3 s) -/1(2 s) = 21 Entonces Reemplazando valores, cenemO$ v0 (3) - 3 (3) 2 - •;0 (2) ... 3 (2) ~ = 21 .. :•0=36 m/s PROBLEMA H.0 13 Se tiene un tubo en posición vercical que va a ser soltado desde cierta altura, y en ese mis- mo instante una pequeña esfera es lanzada tal como se muestra. Si luego de 0,6 s del lanz.l· miento este logra atravesar completamente el rubo. determine la longitud del rubo. La esfe· ra permanece dentro del rubo duranre O, l s. (g= 10 m/s2) v=O A) 1,6 m B) 0,4 m C) 0,5 m D) 0,8 m E) 1m 83 ) lumbreras [d,tores Resolución Graficamos el problema Del gráfico L=d1+d1 Para la esfera También 10 m/s .b. ''IW' -+ 4=v' -{lO)(O.I) .. v'=S m/ s En (11) d2 =(5 ; 4 }o.1) 184 {l) (11) Para el tubo d, =(v12-r6 )o.1) También 6= v2~ 10(0.1) -+ v1=5 m/s Hallamos la distancia d. =(5+6X_!_J 1 2 10 -+ d1=0,55 m En (I) L= (0,55) +(0,45) .. L=1 m A dos .:ar tea; se les. abando~ a stmu!tá.nea- nte sobre las hoqutllas de oos tubos ll,;os. me 1 ·- E . 131 como ;e muestra en e graneo. ' n que lacion e>tJn los nempos que emplean las ;:nic:Js en re.:orrer la lon:;itud de los tubos' (.-tB: éljme•¡·o) 8 A) 0.5 B) O) 2 Resolución Graficamos el problema ··R_·- ·- · - - ~ ' 1 l g ' C} 1.5 E) falta a Para (1 ) 1 ' d_, 11 = i[gcos~Jc¡ " d~,1=(2R cos()] l , -+ 2RcosP =- gcosP r¡ 2 ' R r¡ =~- g Para (2) l , d 1 =2Rcoso =- acosat~ . ,\ z.) - , 4R -+ r; = - - g De (1).:.. (11) 2 ( 4~ ) ( ~ ) " ( ·~ l PROBLEMA N.0 15 (1) (11) Un globo aerostático asciende verticalmente con rapidez consrame de 10 m/s. Si el tripu- lante del globo lanza venicalmeme hacia arri- ba una piedra y luego de 2 s la ve pasar frente a él. ¿cuánto recorre la piedra hasta ese instante? (g=10 m/s2) A) 20m D) S m B) 15 m C) 10m E) 25m 85 Lumbreras fd,torc:s Resolución Graficamos el problema Para el globo (MRU) H=vt Ecuación vectorial para la piedra - l- ? J:!_ = Vpt+ l gt• + (v<) = (v +v')t-5c2 ~ vt = vt +v't-5c1 v'=St ~ v'=5 (2) v'=!O m/s v': rapidez de lanzamiento respecto al globo ~ vp==20 m/s Se deduce que luego de 2 s la piedra alcanza su altura máxima, emonces en el instante en que el tripulante observa la piedra. esta se encLlenrra en reposo (vF = O) respecro a tierra. El recorrido hasta ese instante es e=Cw2+o )2) .. e=20 m 86 PROBLEMA M.0 16 Uná piedra es lanzada verticalmente hacia aJTi. ba con una rapide: de 60 m/s desde la azorea de un ed1ficio de 50 m. Si luego de 3 s desde la base del edificio y sobre la misma verdcal de. la primera se lanza venicalmenre una segunda piedra con 30 rn/s , cqué diHancia separa a las esferas. cuando la primera piedra ha alcanzado su alcura máxima:> (g= l O m/ s2) A) 120m B) 135m C) 132m D) 185m E) 142m Resolución La primera piedra lleva una ventaja, con res- pecto a la segunda, de 3 s. En el momenro en que se lanza la segunda piedra, la primera tie- ne 30 m/ s. Entonces, a pani r de dicho instan re alcanza su altura máxima luego de 3 s. '1' 2. • piedra (!) -(~)(31 • Ir¡ - 2 - ) 11,=-+5111 PROBLEMA M.o 17 Entonces Hn1lx=l80 m En (1) x=S -"- 1&0 . . x=l85 m Un furbolisr,l. luego de driblear al arquero, se encuencra a 6 m frente al arco de 2,5 m de altura. Si en ese insr,1me htnza el balón c~n una raptdez de 10 mis y bajo un ángulo de 53° respecto a la horizomal, ¿anotar<i el gol? (g=lO m/s-). A) No. la pe lora choca en el parame superior. B) No. la peloca pasa por encima del parame superior. C) Si, la pelom cae dentro del arco. D) S1. la pelota impacta en el piso antes de ingresar al arco y luego de rebotar ingresa. E) No se puede precisar. Resolución Graficamos el problema (El at·quero no está en el arco, porque fue dribleado) Cálculo el tiempo que carda la pelota en llegar al arco. En x (MRU) d.,= v r ~ 6= 6 t 1= 1 S Altura en que se encuentra la pelo- ta luego de 1 s H==+3 m Como el arco es de 2,5 m de altura, la pelota pasará por encima del travesaño. Por lo tanto, no es gol.87 lumbreras Ed1tores PROBLEMA H. 0 1 S Para apagar el fuego en el punto 8, se lanza agua con una manguera inclinada 53° respecco de la horizontal. Sí el chorro llega en 2 5 a su objetivo, ¿cuál es la distancia ~ocre A y B? (g= 10 m/s2) _J_¡ .J. 1 :tj fiJ1 A 1 1-----30m----; A) 40m D) 30J5m B) 1 OJ13 m C) 60 m E) 30J2 m Resolución Graficamos el problema, considerando MPCL, MRU+MVCL l BB (l) Caída libre 1 2 - J¡ = - (10)(2) 2 h=20 m Luego d'=-W-h __.. d'=·W-20 d'=20 m En (1) dtla = J<ZOI1 -r<30)2 . . dtla = IOJi3 m PROBLEMA N. 0 19 La es fera desciende sobre el plano inclina- do (l), luego impacta perpendicularmente en el plano inclinado (2) con una rapidez de 30J2 m/s. Determine a qué distancia del lu- gar que abandona al plano (1) logra impactar en el pla no inclinado (2) . (g= lO m/s2) (1) ~ . .. E ... A) 14,2 m 8) 29,9 m C) 36,75 m D) 42,18 m E) 53,15 m Resolución Graficamvs el problema, descampo niendo las ·velocidades en A v B. ~'~ l'xrA¡=30 mis __ .... l----1~· 1 Vy( 41=~fll ; • ----;::~ 1 . ~ h d 46 \ 1 • •• \ 1 J ·\"si/ ';(~mis _ . .. . ... . .. . ¡l . . ..... d· -·· ·:1\··- ~5" 1 . , : ~30"ú' ' . ... .. .... 30.fi mh En x (MRU) v,(,¡¡ = v,¡81= 30 m/s d,=30 1 PROBLEMA N.0 20 (I) (11) En A o o l'y( ~ = ~ m/s = 12.5 mis También _. 30=22,5 + 10t.~8 c48=0.75 S Luego h =( v.,·r H; v,.ca>} ~6 = (22,S 2 -r30) (O, 75) -; h=19,7 m En (H) d,.=v,.r=30(0, 75) =22,5 m En([) d.,s = Jo9.7)2 +(22. s)2 .. d.~8 =29,9 m Se muestra una plataforma que experimenta MRUV con ct =2 m/s2 para el insranre mostrado. Si de la piara forma sale un proyectil en la dirección que se indica y con una rapidez de v "'sJS m/s (respecto de la plataforma), ¿a qué distancia de P impacta el proyectil? (g=IO m/s2) v=20 m/s a QJP- t---6m---l A) O B) 2m C)-! m D) 1m E) 3m 89 : Lumbreras Ed11ares Resolución ~a velocidad con la que ab~ndona la pl.araform~ es la ~locidad con la que se lanza (SJS m/s~ · tespecto a la plataforma, mas la que cema (veloctdad de la placaforma 20m/;) . · i sJ5 m/ s S m/ si.- .. .. -:;;-~; - ~~-' , ">O m! -- /Í53° --= - - ' ~ J),7' lO m/s + -:;(~--- 1·elocidad res¡Jecro de cierra 5m/si7f !g ·. ~;;-" -- -· -- --· -··- .. ·-····-· · '-· 30 m/s Al abandonar la placaforma experimema un MPCL. -2(vs )- 2 ( 5) -1 t ,uelo - g -lO- S .... - .. - .... .. . -- -~ .. -:: ........ ----- .. _....-· jg ··- ', ·. 1-----6m----!-- --- dp ------!---- x ----i Para la esfera (MR U en x) d, =vxc,=30(l) =30 m Placaforma MRUV 1 ) dp =v0r+tw -7 dP = (20)(1 )+ .!.(2)(1)2 = 21m 2 d,-------------~ Del gráfico d,=6+dp+X 30 =6+21 +x .. x=3 m PROBLEMA N. 0 21 Calcule la relación encre las máximas alcuras alcanzadas por un proyectil. que en un primer caso es lanzado bajo Lrn ángulo a y en un segundo caso bajo un ángulo que es el complemento de o.. En ambos casos se le lanza con la misma rapidez. E) (1 +sena)2 ! 90 Resolución Nos piden ~ H0,a.~c:• Sabemos qlle . IÓ¡' ¡ H,;~ = -¡g Como v 0 sen (90°- a.) = v0cose< Luego -¡ Hm•x(IJ =tan2a Hmj~(2) PROBLEMA N. 0 22 El gráfico muestra un avión y un tanque que desarrollan un MRU con rapidez de 42 m/s y 27 m/s respectivamente. Determine a qué dis- tancia del tanque el avión debe solear una bom- ba para poder destruir el tanque. (g=IO m/s2) --\_~ l'.¡,tón 1 SO m ·---·- -. -. --....... ::;;_ A) 60 m D) 100m Resolución B) 70 m ¿ __ \'c.tnquc ,- - ""!. ·=-¡ C) 90 m E) !20m Graficamos ei problema, considerando que al soltar el proyectil, este presente la misma ve- locidad del avión. 1---- -- 42r ---~ Del gráfico d_,=42r-27r (1) 91 lumbreras tdHares Cálculo de r En la vemcal (para el proveail) o 1 ) d, = v0,.t --gr-. . 1 r= 4 s En (1) dx= 1 5(~) En (•) PROBLEMA H. 0 23 Para el instante que se muestra, desde el avión se suelta un proyectil con la imención de hun· dir la lancha torpedera, que experimenta MRU con una rapidez de 72 km/h; determine v, si el avión logra su objetivo. (g = JO m/s2) A) 40 m/s B) 50 m/ s O) 70 mis C) 60 m/s E) 80 m/s Resolución Descomponemos la velocidad del proyectil. r •. .~ . v=5v' ,-~- ... ... ¡ , ¡4v' _ . . ~ ·. . . • 53 . 3v' ;" ' -T : d : 100111 ¡' ~nVs ;~~<~ ..: __:_~ ~~~--- ~·-.-c.d--...:._---L.. f-- 20t --+-! 00 m -1 Para el proyectil En x (MRU) : d,.=v,t {20t+ 1 00) = (3v') t '(20t+l00) -7 V t: 3 En y (MVCL) - 1- , d =vo(v)c+-gr- Y . 2 (1) -t (-100)=(+4v')t- St2= 4(v't)- St2 De(!): (-I00}=4[20r; 100]-scl Resolvemos e= lOs, en (1) v'(lo)J20(10) +100) 3 v'=lO mi s . . v=5v'=50 mis pROBLEMA H. 0 24 Desde una misma posición en un plano in- clinado o.~ respecto de la hori: omal. se lan: a una partícula en forma perpendicular al plano inclinado y otra partícula se suelta en forma simultane.t. Si las parciculas logran impactar. determine la mayor separación emre ellas d u- rante su movimiento (Considere g: aceleración de la gravedad) . ) A) _e_ 2g vl C) - gc.>.na D) 2 g cosa Resolucion Graficamos C/. B) v2 2gsena , v- E) -:---- g (sena+coscd ~ ·· · --· --····- -·------ En la dirección del plano inclinado los movi- mientos de las esferas son iguales, entonces B siempre se encuentra debajo de A. Entonces la mayor separación ocurre cuando A alcanza su alrura máxima (Hmi.,) resp~cto del plano. Luego > v- Hmax- (2 gcosa) PROBLEMA H.0 25 Desde el origen de un s istema de coordenadas X-l' se lanza un proyectil con c1erco ángulo de elevación para dar en un blanco ubicado en la pos1ción (3; 4) m. Determine la rapide: míni- ma con la cual se debe !:ln::~r e! pro}•ecri! prl lograr su obje tivo. (g= 10 mls2) A) 415 m/ s B) 2J3 m i s C) 3M mis 0) 2JS m / s E) M mi s Resolución Graficamos el problema: descomponiendo el movimiento MPCL=MRU+MVCL y X lumbreras Ed1tores Teorema de Pmigoras 1 1 (5)2 - 1 = < Srl - ~ ·dO Agrupamos convemencemente 50 , v2=lScJ--212S>+- -'-40 ... 50 , -- (s)- -- e - • • Vmln =3M m/s PROBLEMA N.0 26 En la superficie de cieno planeta. la aceleración de la gravedad es g = [ 4¡-új m/s2 Determine la velocidad de la pequeña esfera lanzada en A luego de S s de su lanzamiento. (v=25 m/s) A) ..-2] m/s C) [ +2f + 5 J] m/s D) [ -Ú- sf] m/s J 94 ·. ·. ·. V g -~' •, A ,~ B) +5] mis E) -41 mis Resolución Graf:-eamos Tenemos En x Yf(x) =20-4(5) = O En y En (1) (1) pROBL~MA >!.o '1.7 Un proye.:<il se lan:a desde el cngen de un . ~m 1 .~ ~ coord~nadas X· Y con una veloc1dad SISt... ' ~~ [a: 1!] m s. Der:rmine 1~ ecuación de la recta de ma~vr pend1eme posmva que coree la tra- vect.:>CIJ ctel prorenil en dos puntos. SI uno de ellos es !J posición de altura máxima. 1 e ) "= - X ! 2 \' D) l' ::.:..+ 1 - 2 Reso lución B) y =2x..-l E) y=x Observe que sí nos alejamos del origen la pen- diente positiva disminuye. enronces la pen- diente maxima está definida por la línea que parte del origen a la altura máxima del pro- ye<tíl. y= (ran9):c (1) X En ,'( (MRU) x=:ac 5 (1) En_v (i'.IVCL) , , V,~ ' ,¡ - I'=H =--=-.. nux 1g 2g a " r =-, g En([) De (lll)+(ll).!.. = ( ;: ) =.!. X CT 2 2 g PROBLEMA H.0 28 (ll) (1!1) Se muestra el ins[ame en que un proyectil es lanzado desde la posición A . Si se desea que pase rozando por la pared indinada en el punto B, ¿cuál debe ser la rapidez necesaria? g¡ B v., 11 ... ./. ... ~~ 17<• lOm A) 7,27 m/s B) 8,62 m/s C) 8.93 m/s D) 9,54 m/s E) 9,10m/s 95 ! Lumbreras Ed1tores Resolución Graficamos . ~: ) .• , l/2 gr· ~ ' t ,: · • • ~'- \'COSO l···· - ~· .. / YCOS:~~ . } vsena ¿· f ••••• .:. 11 ' ' . ' ' . ~- ' o. ~ h {5~~ ffi:- vcosa X 1-- .\ =l Om --i Ecuación de la trayectoria y=(rana)x - .!.g( , 1 , )x2 (1) 2 v· cos· a Reemplazamos: (y=h; x= lO) h~IO(tanal- ..!.. g( 2 1 2
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