Verificicación de eje por deflexión

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Universidad de Córdoba - Ingeniería Mecánica - Resistencia de Materiales II
Ing. Robinson Martínez Sandoval
Verificación por deflexión - Método de doble integración 
1. Determinación de ecuaciones del diagrama de momento flector de los tramos, en los 
cuales, cambia el comportamiento del momento flector
2. Determinación de las ecuaciones de pendiente y deflexión de los tramos en los cuales 
cambia el comportamiento del momento flector
Ecuación diferencial que gobierna el problema de pendiente y deflexión en el rango 
elastico
＝――
d
d
2
x2
y ――
M ((x))
EI
Pendiente: desplazamiento angular o inclinación con respecto a la posición original del eje 
longitudinal de la viga, de la recta tangene a la curva elastica o de deflexión en el plano de 
análisis del eje o viga, expresado en radianes 
＝＝＝――
d
dx
y y´ θ
⌠
⎮
⎮⌡
d
⎛
⎜
⎝
――
M ((x))
EI
⎞
⎟
⎠
x
Deflexión: desplazamiento vertical con respecto a la posicion original del eje longitudinal 
de la viga en el plano de análisis , expresado en unidades de longitud
＝＝＝δ y ⌠⌡ dθ x
⌠
⎮
⎮
⎮
⎮⌡
d
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
+
⌠
⎮
⎮⌡
d――
M ((x))
EI
x ⋅C1 dx
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
x
3. Determinación de las constantes de integración a través de las condiciones de frontera del 
porblema y las ecuaciones de compatibilidad. 
Condiciones de fronteras comun:
� La pendiente y deflexión es cero en los apoyos rigidos o empotramiento.
� La deflexión es cero en cualquier tipo de apoyo (articulación o apoyo simple)
� En puntos de fontera o donde la ecuación de momento cambia de modelo 
matematico, es decir, donde el momento experimenta diferentes ecuaciones. Se 
cumple que para ese valor de X, el valor de momento flector será igual al ser 
evaluado en las dos ecuaciones que describe el comportamiento. excepto cuando 
en el punto de frontera se tenga la presencia de un momento que genere un salto 
o discontinuidad
� En puntos de fontera o donde la ecuación de momento cambia de modelo 
matematico, es decir, donde el momento experimenta diferentes ecuaciones. 
Se cumple que para ese valor de X, el valor de pendiente y deflexión será igual 
para cada uno de los tramos análizados
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Ing. Robinson Martínez Sandoval� En puntos de fontera o donde la ecuación de momento cambia de modelo 
matematico, es decir, donde el momento experimenta diferentes ecuaciones. 
Se cumple que para ese valor de X, el valor de pendiente y deflexión será igual 
para cada uno de los tramos análizados
Ejemplo: Realizar la Verificación de pendiente y deflexión del eje mostrado
1. Determinación de las ecuaciones de momento flector
Plano XY
＝MOA ⋅―――
-49.03
300
x (( ⋅kN m)) ;
Valores de x esta expresado en mm
＝MAC -⋅――
49.03
550
x 75.774 (( ⋅kN m))
2. Determinación de las ecuaciones de pendiente y deflexión
＝⋅⋅E I θOA ⋅
⎛
⎜
⎝
+⋅―――
-49.03
600
x2 C1
⎞
⎟
⎠
10-6 ⎛⎝ ⋅kN m2 ⎞⎠ ((1))
＝⋅⋅E I yOA ⋅
⎛
⎜
⎝
++⋅―――
-49.03
1800
x3 ⋅C1 x C2
⎞
⎟
⎠
10-9 ⎛⎝ ⋅kN m3 ⎞⎠ ((2))
＝⋅⋅E I θAC ⋅
⎛
⎜
⎝
+-⋅――
49.03
1100
x2 75.774 x C3
⎞
⎟
⎠
10-6 ⎛⎝ ⋅kN m2 ⎞⎠ ((3))
＝⋅⋅E I yAC ⋅
⎛
⎜
⎝
++-⋅――
49.03
3300
x3 37.887 x2 ⋅C3 x C4
⎞
⎟
⎠
10-9 ⎛⎝ ⋅kN m3 ⎞⎠ ((4))
3. Condiciones de frontera y ecuaciones de compatibilidad
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3. Condiciones de frontera y ecuaciones de compatibilidad
≔x 0.0 mm , =0.0 yOA mm ((I))
≔x 300 mm , =θOA θAC ((II))
≔x 300 mm , =yOA yAC ((III))
≔x 850 mm , =0.0 yAC mm ((IV))
Condición (I) y ecuación (2)
＝C2 0.0
Condición (II) , ecuación (1) y ecuación (3)
＝
⎛
⎜
⎝
+⋅―――
-49.03
600
x2 C1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
+-⋅――
49.03
1100
x2 75.774 x C3
⎞
⎟
⎠
＝
⎛
⎜
⎝
+⋅―――
-49.03
600
((300))2 C1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
+-⋅――
49.03
1100
((300))2 75.774 ((300)) C3
⎞
⎟
⎠
＝+⋅-7.355 103 C1 +⋅-1.872 10
4 C3
＝-C1 C3 ⋅-1.137 10
4 ((a))
Condición (III), ecuación (2) y ecuación (4)
＝
⎛
⎜
⎝
++⋅―――
-49.03
1800
x3 ⋅C1 x C2
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
++-⋅――
49.03
3300
x3 37.887 x2 ⋅C3 x C4
⎞
⎟
⎠
＝
⎛
⎜
⎝
++⋅―――
-49.03
1800
((300))3 ⋅C1 ((300)) C2
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
++-⋅――
49.03
3300
((300))3 37.887 ((300))2 ⋅C3 ((300)) C4
⎞
⎟
⎠
＝--⋅300 C1 ⋅300 C3 C4 ⋅-2.273 10
6 ((b))
Condición (IV), ecuación (4)
＝
⎛
⎜
⎝
++-⋅――
49.03
3300
x3 37.887 x2 ⋅C3 x C4
⎞
⎟
⎠
0.0
＝
⎛
⎜
⎝
++-⋅――
49.03
3300
((850))3 37.887 ((850))2 ⋅C3 ((850)) C4
⎞
⎟
⎠
0.0
＝+⋅850 C3 C4 ⋅1.825 10
7 ((c))
＝-C1 C3 ⋅-1.137 10
4 ((a))
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＝-C1 C3 ⋅-1.137 10
4 ((a))
＝--⋅300 C1 ⋅300 C3 C4 ⋅-2.273 10
6 ((b))
＝+⋅850 C3 C4 ⋅1.825 10
7 ((c))
＝X
C1
C3
C4
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
≔A
1 -1 0
300 -300 -1
0 850 1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
≔B
⋅-1.137 104
⋅-2.273 106
⋅1.825 107
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
≔X =⋅A-1 B
⋅1.144 104
⋅2.281 104
- ⋅1.138 106
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
5. Ecuaciones de pendiente y deflexión
Pendiente
＝⋅⋅E I θOA ⋅
⎛
⎜
⎝
+⋅―――
-49.03
600
x2 ⋅1.144 104
⎞
⎟
⎠
10-6 (( ≤≤0.0 x 300))mm
Deflexión
＝⋅⋅E I θAC ⋅
⎛
⎜
⎝
+-⋅――
49.03
1100
x2 75.774 x ⋅2.281 104
⎞
⎟
⎠
10-6 (( ≤≤300 x 850)) mm
(( ≤≤0.0 x 300)) mm
(( ≤≤300 x 850)) mm
＝⋅⋅E I yOA ⋅
⎛
⎜
⎝
+⋅―――
-49.03
1800
x3 ⋅⋅1.144 104 x
⎞
⎟
⎠
10-9
＝⋅⋅E I yAC ⋅
⎛
⎜
⎝
-+-⋅――
49.03
3300
x3 37.887 x2 ⋅⋅2.281 104 x ⋅1.138 106
⎞
⎟
⎠
10-9
6. Determinación del valor de x donde se genera la máxima deflexión 
Para determinar el valor de x, donde la defelxión es máxima se hace la ecuación de 
pendiente igual a cero.
Verificamos si en el tramo OA se ubica el valor de X donde se desarrolla la maxima 
deflexión 
＝＝⋅⋅E I θOA ⋅
⎛
⎜
⎝
+⋅―――
-49.03
600
x2 ⋅1.144 104
⎞
⎟
⎠
10-6 0
＝⋅――
49.03
600
x2 ⋅⋅1.144 104 mm2 ≔x =⋅
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
―――――
⋅⋅1.144 104 600
49.03
mm 374.16 mm
Se observa, que valor obtenido esta fuera del rango de valores de la ecuación de 
pendiente del tramo OA, por lo cual, en este tramo no esta el valor de x de máxima 
deflexión
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Ing. Robinson Martínez Sandoval≔x =⋅
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
―――――
⋅⋅1.144 104 600
49.03
mm 374.16 mm＝⋅――
49.03
600
x2 ⋅⋅1.144 104 mm2
Se observa, que valor obtenido esta fuera del rango de valores de la ecuación de 
pendiente del tramo OA, por lo cual, en este tramo no esta el valor de x de máxima 
deflexión
Verificamos si en el tramo AC se ubica el valor de X donde se desarrolla la maxima 
deflexión 
＝＝⋅⋅E I θAC ⋅
⎛
⎜
⎝
+-⋅――
49.03
1100
((x))2 75.774 ((x)) ⋅2.281 104
⎞
⎟
⎠
10-6 0
＝+-⋅――
49.03
1100
((x))2 75.774 ((x)) ⋅2.281 104 0
≔a ――
49.03
1100
≔b -75.774 ≔c ⋅2.281 104
≔x1 =⋅――――――
+-b ‾‾‾‾‾‾‾‾‾-b2 ⋅⋅4 a c
⋅2 a
mm ⎛⎝ ⋅1.309 103 ⎞⎠ mm
Fuera del rango de valores de x 
que admite las ecuaciones del 
tramo AC
≔x2 =⋅――――――
--b ‾‾‾‾‾‾‾‾‾-b2 ⋅⋅4 a c
⋅2 a
mm 390.919 mm Valor en el que la pendiente es cero y 
la deflexión máxima
＝ymax ―――――――――――――――――――――――――――――
⋅⋅⋅
⎛
⎜
⎝
-+-⋅――
49.03
3300
((390.919))3 37.887 ((390.919))2 ⋅⋅2.281 104 ((390.919)) ⋅1.138 106
⎞
⎟
⎠
10-9 kN m3
⋅E I
≔E 200 GPa ≔I ⋅―
π
64
((20 mm))
4
≔ymax ―――――――――――――――――――――――――――――
⋅⋅⋅
⎛
⎜
⎝
-+-⋅――
49.03
3300
((390.919))3 37.887 ((390.919))2 ⋅⋅2.281 104 ((390.919)) ⋅1.138 106
⎞
⎟
⎠
10-9 kN m3
⋅E I
=ymax 1.831 mm Deformación máxima en el plano XY
En la fígura se muestra la deflexión en X=390.919 mm, determinada con la herramienta 
computacional FTOOL
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Verificamos la deflexion en los puntos A y B en el plano XY
Deflexión Punto A
＝⋅⋅E I yOA ⋅
⎛
⎜
⎝
+⋅―――
-49.03
1800
x3 ⋅⋅1.144 104 x
⎞
⎟
⎠
10-9
≔yA =――――――――――――――――
⋅⋅⋅
⎛
⎜
⎝
+⋅―――
-49.03
1800
((300))3 ⋅⋅1.144 104 ((300))
⎞
⎟
⎠
10-9 kN m3
⋅E I
1.717 mm
＝⋅⋅E I yAC ⋅
⎛
⎜
⎝
-+-⋅――
49.03
3300
x3 37.887 x2 ⋅⋅2.281 104 x ⋅1.138 106
⎞
⎟
⎠
10-9
≔yA ―――――――――――――――――――――――――
⋅⋅⋅
⎛
⎜
⎝
-+-⋅――
49.03
3300
((300))3 37.887 ((300))2 ⋅⋅2.281 104 ((300)) ⋅1.138 106
⎞
⎟
⎠
10-9 kN m3
⋅E I
=yA 1.717 mm
Se observa que el valor de la deflexión del punto A evaluado por la ecuación del tramo OApresento un valor similar al ser evaluado por la ecuación del tramo AC
En la fígura se muestra la deflexión en A determinada con la herramienta computacional 
FTOOL
Deflexión Punto B
＝⋅⋅E I yAC ⋅
⎛
⎜
⎝
-+-⋅――
49.03
3300
x3 37.887 x2 ⋅⋅2.281 104 x ⋅1.138 106
⎞
⎟
⎠
10-9
≔yB ―――――――――――――――――――――――――
⋅⋅⋅
⎛
⎜
⎝
-+-⋅――
49.03
3300
((700))3 37.887 ((700))2 ⋅⋅2.281 104 ((700)) ⋅1.138 106
⎞
⎟
⎠
10-9 kN m3
⋅E I
=yB 0.866 mm
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En la fígura se muestra la deflexión en B determinada con la herramienta computacional 
FTOOL
7. Dterminación del vaalor de pendiente en O y C en el plano XY
＝⋅⋅E I θOA ⋅
⎛
⎜
⎝
+⋅―――
-49.03
600
x2 ⋅1.144 104
⎞
⎟
⎠
10-6
＝⋅⋅E I θAC ⋅
⎛
⎜
⎝
+-⋅――
49.03
1100
x2 75.774 x ⋅2.281 104
⎞
⎟
⎠
10-6
Pendiente punto O
≔θO =――――――――――――――
⋅⋅⋅
⎛
⎜
⎝
+⋅―――
-49.03
600
((0))2 ⋅1.144 104
⎞
⎟
⎠
10-6 kN m2
⋅E I
0.007283 rad
En la fígura se muestra la pendiente en O determinada con la herramienta 
computacional FTOOL
Pendiente punto C
≔θC =――――――――――――――――――
⋅⋅
⎛
⎜
⎝
+-⋅――
49.03
1100
((850))2 75.774 ((850)) ⋅2.281 104
⎞
⎟
⎠
10-6 kN m2
⋅E I
-0.00598 rad
En la fígura se muestra la pendiente en C determinada con la herramienta 
computacional FTOOL
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Plano XZ
Deflexión en el punto X=390.919, el cual, se asignara la letra D, presenta un valor de 
-5.502*10^-1 mm
Deflexión máxima ocurre en el punto A, presenta un valor de -6.201*10^-1 mm
Deflexión en el punto B, presenta un valor de 1.538*10^-2 mm
Pendiente en el punto O, presenta un valor de -3.088*10^-3 rad
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Pendiente en el punto C, presenta un valor de -5.189*10^-4 rad
Se procede a determinar las deflexiones resultante en los puntos A, B y D*
D* es el punto x=390.919mm, se cosidera critico porque eb¿n este punto, se desarrollo la 
máxima deflexión en el plano XY
≔yAxy 1.717 mm ≔yAxz ⋅-6.201 10
-1 mm
≔yBxy 0.866 mm ≔yBxz ⋅1.538 10
-2 mm
≔yDxy 1.831 mm ≔yDxz ⋅-5.502 10
-1 mm
≔δA =‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾+yAxy
2 yAxz
2 1.826 mm
≔δB =‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾+yBxy
2 yBxz
2 0.866 mm
≔δD =‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾+yDxy
2 yDxz
2 1.912 mm Punto de mayor deflexión resultante
Se procede a determinar las pendientes resultante en los puntos O y C (Apoyos)
≔θOxy ⋅7.283 10
-3 rad ≔θOxz ⋅-3.088 10
-3 rad
≔θCxy -0.00598 rad ≔θCxz ⋅-5.189 10
-4 rad
≔θO =‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾+θOxy
2 θOxz
2 0.007911 rad
≔θC =‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾+θCxy
2 θCxz
2 0.006002 rad
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Tomando de referencia los valores permisibles de pendiente y deflexiones registrados en la 
tabla anterior, el eje analizado con cumple, por lo cual de debera aumentar el diámetro