LA INTEGRAL DEFINIDA

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LA INTEGRAL DEFINIDA
 La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
La integral definida es un caso de la integral utilizado para determinar el valor de las áreas delimitadas por una gráfica dentro de un intervalo y el eje horizontal.
APLICACION GEOMETRICA DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Interpretación geométrica de la integral definida como área limitada por una función positiva en un intervalo. El deslizador i , número de su intervalos en que dividimos el intervalo inicial, varía entre 0 y 200, en incrementos de 5, pero es fácilmente modificable en la vista algebraica o en propiedades del objeto. se F(x) modifica en la casilla de entrada
AREA BAJO LA CURVA 
La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.
Si hacemos más pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es más grande y mejor la aproximación al valor del área.
AREA ENTRE DOS CURVAS 
Es posible determinar el área entre dos curvas basándose en la forma que calculamos la longitud de un intervalo, es decir, tomando el valor más grande y restándole el valor más pequeño. De esta forma, si consideramos dos funciones  continuas en un intervalo , podemos calcular el área encerrada entre las curvas que definen tomando el área de la función  que está por encima y le restamos el área la función  que está por debajo,
Por lo tanto, calculamos el área entre las curvas que definen las funciones  y  de la siguiente forma:
Vemos con algunos ejemplos como calcular encerradas entre curvas.
VOLUMEN DE UN SOLIDO EN REVOLUCION
Un volumen del sólido de revolución se conforma de la suma infinita de franjas unitarias de volumen y si se genera haciendo girar a una función alrededor del eje se puede calcular por medio de: donde y representan las rectas que lo limitan, es decir, son los extremos
Si una función se gira con respecto a un eje del plano se genera un volumen conocido como sólido de revolución y al eje se le llama eje de revolución.
 
Gráficamente, esto es:
 
 
En general, una función puede girarse libremente, por lo que la forma del sólido que se genera depende, tanto de la naturaleza de la función, como del eje de revolución.
 
En las siguientes gráficas se aprecia cómo se forman sólidos de revolución conocidos, si se giran funciones muy elementales:
 
 
 
 
Un volumen del sólido de revolución se conforma de la suma infinita de franjas unitarias de volumen y si se genera haciendo girar a una función  alrededor del eje  se puede calcular por medio de:
 
 
donde  y  representan las rectas que lo limitan, es decir, son los extremos.
APLICACIONES FISICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
TRABAJO 
El concepto de trabajo es importante para los científicos e ingenieros cuando necesitan determinar la energía necesaria para realizar diferentes tareas físicas. Es útil conocer la cantidad de trabajo realizado cuando una guía eleva una viga de acero, cuando se comprime un muelle, cuando se lanza un cohete o cuando un camión transporta una carga por una carretera. En el lenguaje cotidiano, coloquial, el término trabajo se una para indicar la cantidad total de esfuerzo requerido para realizar una tarea. En física tiene un significado técnico que está en relación con la idea de fuerza. Intuitivamente se puede pensar una fuerza como el hecho de empujar un objeto o tirar de él. Decimos que se hizo un trabajo cuando una fuerza mueve un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es constante, tenemos la definición siguiente de trabajo.
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE
Si un objeto se mueve una distancia d en la dirección de una fuerza constante F aplicada sobre él, entonces el trabajo w realizado por la fuerza se define como w = F . d
Existen muchos tipos de fuerzas: centrífuga, gravitacional, etc. Una fuerza cambia el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas gravitacionales en la tierra se suelen utilizar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto.
Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuerza variable a un objeto se necesita el cálculo para determinar el trabajo realizado ya que la fuerza varía según el objeto cambia de posición.
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE
Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta desde x = a hasta x = b debido a una fuerza que varía continuamente F(x). Consideramos una partición que divide al intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ ......... ≤xn-1 ≤ xn = b donde ▲ xi indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo, es decir D xi = xi - xi-1. Para cada i escogemos ci tal que xi-1 £ ci £ xi. En ci la fuerza está dada por F(ci). Dado que F es continua y suponiendo que n es grande, D xi es pequeño. Los valores de f no cambian demasiado en el intervalo [xi-1, xi] y podemos concluir que el trabajo realizado wi al mover el objeto por el subintervalo i-ésimo (desde xi-1 hasta xi) es aproximadamente el valor F(ci). D xi
Sumando el trabajo realizado en cada subintervalo, podemos aproximar el trabajo total realizado por el objeto al moverse desde a hasta b por w @ = .
Esta aproximación mejora si aumentamos el valor de n. Tomando el límite de esta suma cuando n ® ¥ resulta w =  = 
Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la acción de una fuerza que varía continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se mueve desde x = a hasta x = b está dado por w = .
PRESION HIDROSTATICA 
Los nadadores saben que cuanto más profundo se sumerge un objeto en un fluido mayor es la presión sobre el objeto. Las compuertas de las represas se construyen más gruesas en la base que en la parte superior porque la presión ejercida contra ellas se incrementa con la profundidad. Para calcular la presión de un fluido se emplea una ley física importante que se conoce como el principio de Pascal. Muchos de los trabajos de Pascal fueron intuitivos y carentes de rigor matemático pero anticiparon muchos resultados importantes. El principio de Pascal establece que la presión ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones. La presión en cualquier punto depende únicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido en reposo, la presión p a una profundidad h es equivalente a la densidad w del fluido por la profundidad, p = w . h. Definimos la presión como la fuerza que actúa por unidad de área sobre la superficie de un cuerpo
· FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON PROFUNDIDAD CONSTANTE
Dado que la presión de un fluido aparece en términos de fuerza por unidad de área, p = , la fuerza total que ejerce el fluido contra la base en un recipiente con base plana horizontal se puede calcular multiplicando el área de la base por la presión sobre ella F = p . A = presión . área . Teniendo en cuenta la fórmula para calcular la presión resulta el valor de la fuerza F = w . h . A
· FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON PROFUNDIDAD VARIABLE
Supongamos que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad w se desplaza desde y = a hasta y = b sobre el eje y. La fuerza ejercida por el fluido contra un lado de la placa es F = w . donde h(y) es la profundidad y L(y) es la longitud horizontal medida de izquierda a derecha sobre la superficie de la placa al nivel y.CENTRO DE MASA 
Una aplicación útil del centro de masa es la determinación del ángulo máximo al que se puede inclinar un objeto antes de voltearse.
La Figura 6a muestra una sección transversal de un camión. El camión fue cargado de mala manera con muchos artículos pesados colocados en el lado izquierdo. El centro de masa se muestra como un punto rojo. Una línea roja, que representa la fuerza de la gravedad, se extiende hacia abajo desde el centro de masa. La gravedad actúa sobre todo el peso del camión a través de esta línea.
Si el camión se inclina un ángulo �tθt​theta, start subscript, t, end subscript (como se muestra en la Figura 6b), entonces todo el peso del camión estará soportado por la orilla más a la izquierda de la llanta izquierda. Si el ángulo se incrementa un poco más, entonces el punto de soporte se moverá fuera de cualquier punto de contacto con el camino y está garantizado que el camión se volteará. El ángulo �tθt​theta, start subscript, t, end subscript es el límite de volteo.
MOMENTOS DE INERCIA 
El momento de inercia de un cuerpo es la magnitud que establece la resistencia que presenta un cuerpo al cambiar su velocidad angular, con relación a un eje definido Lo que se busca a través de este laboratorio es llegar a determinar en forma experimental el momento de inercia de un disco que tiene una varilla, para ello utilizamos un soporte, con un ángulo determinado y que serán medidos cada 5 centímetros como cambia su momento de inercia ...