Sección áurea I 2023

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Dibujo. Sistemas de representación I y II | Cátedra Di Pace
Proporción geométrica y arte | PARTE I
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SECCIÓN ÁUREA 
Parte I. Proporción geométrica y arte
DIBUJO.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN I y II
Cátedra Karina Di Pace
Apuntes de cátedra
2023
Dibujo. Sistemas de representación I y II | Cátedra Di Pace
Proporción geométrica y arte | PARTE I
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LA PROPORCIÓN ÁUREA
Tanto a nivel macroscópico como a nivel mi-
croscópico podemos encontrarnos con una sin-
gularidad de la naturaleza: una pauta geométri-
ca que representa una armonía entre partes, la 
cual expresa una gran belleza formal.
Este tipo de geometría —conocida desde la 
Antigüedad Clásica— fue estudiada como pauta 
de organización estética en distintas épocas y 
en distintas manifestaciones artísticas y todavía 
hoy es utilizada como canon geométrico en el 
arte y en el diseño.
Hablamos de la sección áurea o proporción 
áurea, la cual se representa con Φ o F —letra 
Phi , también llamado número de oro— que es 
una proporción geométrica armónica y puede 
encontrarse tanto en la naturaleza como en dis-
tintas producciones humanas.
Utilizado para designar la proporción áurea, 
el término «Phi» (‘F ’ en el alfabeto griego) fue 
designado así a comienzos del siglo XX por el 
matemático Mark Barr, en homenaje a Fidias, 
arquitecto griego del siglo V a.C.
 
LA GEOMETRÍA DE LA PROPORCIÓN ÁUREA
Cuando nos referimos a la sección áurea habla-
mos simplemente de una proporción precisa 
entre aquello que vamos a definir como la par-
te mayor y aquello que vamos a definir como la 
parte menor. Es justamente allí donde se ubica 
esta proporción, en el encuentro entre ambas 
partes. Y no solo allí. En la totalidad de estas dos 
partes (la parte menor más la mayor) también 
se encuentra la proporción áurea. Y así sucesi-
vamente: si volvemos a sumar la parte mayor 
(nueva parte menor) al total (nueva parte ma-
yor), siempre encontraremos la misma pauta.
Ya Euclides había documentado el número de 
oro en su obra Elementos de Geometría, libro VI 
(Alejandría, siglo III a.C.):
Definición III. Se dice que la recta está di-
vidida en media y extrema razón cuando 
la longitud de la línea total es a la de la 
parte mayor, como la de esa parte mayor 
es a la menor.
Euclides también demostró que este núme-
ro no puede ser descrito como la razón de dos 
números enteros, ya que es un número irracional: 
1,6180339887498… (los números pueden 
continuarse indefinidamente).
Si dividimos la parte mayor por la parte 
menor, el resultado será el número irracional 
1,618… Si hacemos la división inversa —pri-
mero el número menor y luego el número ma-
yor— el resultado será 0,618…, reunidos en 
su expresión matemática: 1,618 – 1 = 0,618 
(ambos áureos).
¿Cómo sería el dibujo de esta proporción?
RELACIÓN ÁUREA SOBRE UN SEGMENTO
a = 1 ydonde b = 0,618
a + b = F
ba F
a + b
a / b = (a + b) / a =
1 / 0,618 = (1 + 0,618) / 1 = F
1 + 0,618 = 1,618
(el total es áureo)
F
(el punto obtenido es áureo)
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¿POR QUÉ DECIMOS QUE PUEDE EXTENDERSE HASTA EL INFINITO?
Una de las características más importantes de 
la proporción áurea se refiere a su posibilidad 
de continuidad infinita, tanto de modo crecien-
te como de modo decreciente. Figuras tales 
como la espiral áurea o el rectángulo áureo 
son expresiones de esta afirmación.
También existe un correlato numérico, la su-
cesión de Fibonacci —introducida por el mate-
mático del mismo nombre en el siglo XIII d.C.—, 
cuya particularidad se debe a que es una serie 
infinita de números donde cada uno de ellos es 
la suma de los dos que le preceden y cuyo valor 
radica en que puede comprobarse la relación 
áurea en cada intervalo entre cifras consecuti-
vas pertenecientes a esta serie. A medida que 
el número es mayor, el intervalo se vuelve más 
preciso. Dicho de otro modo: cuando dividimos 
cualquiera de estos números por su inmedia-
to anterior, el resultado tiende a estar cada vez 
más cerca de F.
Comenzando por 0 y 1, obtenemos la si-
guiente sucesión:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584…
Se puede comprobar fácilmente que, tomando 
dos cifras consecutivas, el resultado de sumarlas 
es la cifra siguiente: 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 
2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21… etc.
Mario Merz. Fibonacci Nápoles [Fábrica en San Giovanni a Teduccio], 1971, instalación. 
Fotografías en blanco y negro, tubos de neón y transformador.
El autor utiliza tanto la sucesión de Fibonacci (ver los números de neón, de mayor a menor) 
como la posición y la pauta de distancia en proporción áurea que establece entre las fotografías, 
que se corresponden geométricamente con la numeración.
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Mario Merz, 6765, 1976, instalación. 
Papel de diario, tubos de neón, placas de vidrio y transformador.
Merz utiliza los números de Fibonacci como secuencia que se encuentra en las leyes de la naturaleza, 
representando el crecimiento de un objeto en el espacio y, a la vez, como proyección hacia el infinito. En esta obra, 
podemos observarlo a través de las pilas de diarios ordenadas, separadas y apiladas según la secuencia de 
Fibonacci. Incluso el nombre de la obra representa a un número de la serie.
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¿CÓMO REALIZAMOS LA DIVISIÓN DE UNA LÍNEA EN PROPORCIÓN ÁUREA?
División del segmento en media y extrema razón 
a
a
a
F
b
b
b
c
c
x
x
c
1. Comenzamos dibujando un triángulo rectángulo cuyo lado menor (la altura) sea la 
mitad del lado mayor, quedando así conformado el triángulo ∆ abc.
2. Trazamos un arco con centro en el punto c y radio bc, para encontrar un nuevo punto 
en el segmento ac, el cual utilizaremos en el próximo paso (x ).
3. Trazamos un segundo arco con centro en el punto a y radio ax, para encontrar en el 
segmento ab un punto que buscábamos, el punto áureo F .
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RECTÁNGULO ÁUREO
Nos referiremos a un rectángulo como rec-
tángulo áureo cuando la relación entre sus 
lados se corresponda con F. 
También aquí consideraremos que su carác-
ter áureo puede encontrarse en la posibilidad 
de una repetición infinita (autosimilaridad) sin 
perder su proporcionalidad original: si extrae-
mos un cuadrado del lado menor del rectángulo 
áureo, el que queda conservará esta proporción. 
Lo mismo sucede si hacemos la operación con-
traria: si sumamos un cuadrado al lado mayor del 
rectángulo áureo se conservará su proporción.
La construcción de un rectángulo áureo que 
se extienda o contraiga hasta el infinito pue-
de realizarse tanto desde el cuadrado mayor 
(como contracción) así como desde el cuadra-
do menor (como expansión), como podemos 
ver en el dibujo de la siguiente página (abajo).
Tanto el lado mayor con respecto al lado menor como el lado menor respecto del mayor se encuentran en relación áurea.
CONSTRUCCIÓN DEL RECTÁNGULO ÁUREO A PARTIR DE UN CUADRADO
Un modo de comparar si dos rectángulos áureos de diferente medida conservan su proporción es colocarlos sobre un mismo 
vértice y trazar su diagonal para corroborar si se encuentran proporcionados. Aquí podemos observar el rectángulo general del primer 
dibujo comparado con el nuevo rectángulo generado, también llamado rectángulo recíproco.
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GNOMON
Las relaciones entre las proporciones y las leyes 
de la naturaleza se desarrollan de muchas formas. 
Una de estas relaciones refiere al llamado 
gnomon. La sucesión de Fibonacci y la sec-
ción áurea serían ejemplo de ello, en tanto 
que pueden ser explicados como ejemplos de 
crecimiento por sumatoriao añadidura.
Los pensadores de la Grecia Clásica obser-
varon que algunos objetos naturales cre-
cían en tamaño, en magnitud, pero siem-
pre conservaban la forma. Denominaron 
el fenómeno crecimiento gnómico.
[…] Un gnomon es cualquier figura que, 
añadida a una figura original, produce 
una figura semejante a la original.
En el caso del rectángulo áureo, su gnomon 
es un cuadrado de lado igual a la dimen-
sión mayor del mismo.
(Fernando Corbalán, La proporción áurea, 2010)
Esta idea puede aplicarse a toda figura plana a 
la cual se le puede sumar o restar una superfi-
cie que conserva sus relaciones de proporción 
y que produce un crecimiento o decrecimiento 
—que será generado en forma de secuencia—, 
a la que llamaremos superficie gnomónica.
En cada momento del crecimiento o de-
crecimiento se pueden considerar dos partes: 
aquella que se presenta como semejante a la 
anterior y aquella que marca la pauta de creci-
miento (la que se añade o resta a la figura), es 
decir, el gnomon.
Así se formarán infinitas figuras proporcio-
nales a la originaria y también figuras gnomó-
nicas, las que se irán sumando o añadiendo.
Dibujos tomados de Kimberly Elam, 
La geometría del diseño, 2010. La autora comenta: 
«la subdivisión del rectángulo áureo produce un 
rectángulo áureo recíproco, proporcionalmente 
menor, y un área sobrante, el gnomon» y agrega 
que «este proceso de subdivisión puede continuar 
indefinidamente, una y otra vez, produciendo 
rectángulos y cuadrados más pequeños» sin perder 
nunca su proporción. 
a c
br e c tá n g u l o áu r e o
c ua d r a d o
(g n o m o n)
r e c tá n g u l o 
áu r e o
r e c í p r o co
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TRIÁNGULO ÁUREO Y PENTALFA
Nos referiremos a un triángulo como triángulo 
áureo si y solo si la relación entre sus lados es F. 
Como ya mencionamos al referirnos al rec-
tángulo áureo, aquí también se considera que 
su carácter áureo se encuentra en la posibili-
dad de la repetición infinita (autosimilaridad) 
sin perder su proporcionalidad original. Solo 
que ahora se trata de un triángulo isósceles cu-
yos lados se mantienen en proporción áurea. 
En este caso, el crecimiento áureo del triángu-
lo se relaciona con la figura del pentágono y la 
geometría en expansión o contracción. 
Observemos las relaciones áureas y su creci-
miento gnómico en el dibujo:
TRIÁNGULO ÁUREO TRIÁNGULO ÁUREO RECÍPROCO CRECIMIENTO GNÓMICO
F
F
Este dibujo nos muestra la relación entre el triángulo áureo, el pentagrama o pentalfa y el pentágono. Las 
líneas gruesas, a través de una simetría de orden 5, construyen por rotación central los tres polígonos.
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Rosetón románico en la Ermita de San Bartolomé de Ucero, en Castilla y León, España.
Pentagrama o Pentalfa, estrella de cinco puntas 
en proporción áurea estudiada desde la antigüedad 
por contener un simbolismo místico relacionado con su 
perfección geométrica.
[ Para su construcción, consultar el apunte «Geometría I», p. 8 ]
En La matemática en el arte (2019), Pedro G. Urbaneja 
define la inconmensurabilidad de la ‘sección áurea’: 
«Las diagonales de un pentágono regular determinan un 
segundo pentágono regular más pequeño y, a su vez, las 
diagonales de este segundo pentágono forman un tercer 
pentágono regular más pequeño aún. Este proceso puede 
repetirse indefinidamente…» 
F
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Leonardo y el hombre de Vitruvio 
Los artistas del Renacimiento utilizaban la Pro-
porción Áurea en sus pinturas y esculturas como 
proposición del ideal de belleza y armonía. En 
el dibujo del hombre de Vitruvio realizado por 
Leonardo Da Vinci (ca. 1498), se puede apreciar 
el uso de esta proporción en la medida geométri-
ca del hombre, donde la razón entre el lado del 
cuadrado y el radio del círculo es áureo (F).
El dibujo del hombre de Vitruvio es tam-
bién la interpretación de un texto de un arqui-
tecto romano anterior al Cristianismo llamado 
Marcus Vitruvius Pollio, quien escribió: «… en 
el cuerpo humano el punto central es el ombli-
go… del mismo modo que el cuerpo describe 
un diagrama circular, también se puede descri-
bir un cuadrado a partir del mismo…».
Lo particular en el dibujo realizado por Leo-
nardo es que toma esta idea del hombre con el 
centro geométrico en su ombligo, aunque reali-
za un desplazamiento del centro del cuadrado y 
lo alinea tangencialmente con el círculo, a la vez 
que lo utiliza como base para los pies.
Leonardo da Vinci, El hombre de Vitruvio, c. 1498. Relación del pentágono con el pentagrama y la sucesión infinita.
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Luca Pacioli y La Divina Proporción 
En La Divina Proporción (De Divina Proportione, 
1509), del matemático italiano Luca Pacioli, nos 
encontramos con un tratado que da cuenta de 
las proporciones en geometría y su aplicación en 
distintas artes visuales o sonoras, el cual cons-
tituye un valioso documento para entender el 
contexto histórico en el que se solidificaron las 
relaciones entre el arte y el campo científico. 
Principalmente, Pacioli analiza y desarrolla 
cada uno de los sólidos platónicos, haciendo 
énfasis en definir y dar a conocer la «divina 
proporción», necesaria para que estos volú-
menes sean estudiados, dando a entender que 
este sería el «secreto» de las formas armónicas.
Los dibujos que ilustran este libro fueron 
realizados por Leonardo da Vinci a pedido de 
su autor, quien, a propósito de su figura, nos 
dice: «El mejor pintor de perspectiva, arqui-
tecto, músico, el hombre dotado de todas las 
virtudes [ es ] Leonardo da Vinci, que dedujo y 
elaboró la serie de diagramas de los sólidos re-
gulares». (Mario Livio, La proporción áurea, 2002)
Leonardo da Vinci, El hombre de Vitruvio, c. 1498. Relación del pentágono con el pentagrama y la sucesión infinita (inverso).
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ESPIRAL ÁUREA
¿Existe una relación entre el gnomon y la espiral áurea?
Si en la subdivisión del rectángulo áureo uni-
mos los vértices opuestos de cada cuadrado 
con una curva y seguimos una lógica de di-
rección y de continuidad, aparecerá la espiral 
áurea, la cual nos resultará visualmente una 
proporción «bella» y «armónica». 
La espiral áurea, estudiada en geometría y 
reconocida en la naturaleza, es utilizada en las 
artes y el diseño, tanto por su aspecto rítmico 
como por su valor simbólico.
Su relación con el gnomon puede estable-
cerse a partir de la idea de crecimiento infinito 
que esta espiral expresa.
Para encontrar otras espirales, podemos rea-
lizar las mismas acciones geométricas en otros 
polígonos áureos, como, por ejemplo, en el 
triángulo áureo en el cual, aunque cambia su 
estructura formal, se conserva la posibilidad de 
crecimiento infinito sin perder la relación de 
proporción al continuar esta curva.
RECTÁNGULO ÁUREO y ESPIRAL ÁUREA TRIÁNGULO ÁUREO y ESPIRAL ÁUREA
ESPIRAL ARQUIMEDIANA VOLUTA GRIEGA DE ORDEN JÓNICO
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Espiral, planta y vista.
Dibujo de Albrecht Dürer en su libro De la medida.
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Dibujo de espiral áurea.
Manuscrito persa del siglo XVI atribuido a 
Mir Sayyid Ab l-asanAl.
Espiral áurea a partir del triángulo áureo.
Dibujo de Rafael Araujo.
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Mario Merz, Un segno nel Foro di Cesare, 2003. 
Espiral áurea y números de Fibonacci.