TP07-FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 7 
 
FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 
 
Una función vectorial de una variable real en el espacio es una función cuyo dominio es un conjunto 
de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores del espacio, es decir, es una función del 
tipo 
 
))(),(,)(()()()()(
: 3
thtgtfthtgtftt
I
=++=→
→⊆
kjir
VRr
 
donde hgf y, son funciones reales de variable real t , llamadas funciones componentes de r . 
 
Nota: Si la función vectorial r describe el movimiento de una partícula, el vector 
))(),(,)(()( thtgtft =r señala su posición en el instante t , en estos casos t representa la 
variable tiempo. 
 
Sea la función vectorial ))(),(,)(()(/: 3 thtgtftI =→⊆ rVRr se define: 
 






=
→→→→
)(lim,)(lim,)(lim)( thtgtftlim
atatatat
r 
 
 siempre que existan los límites de las funciones componentes. 
 
Si Ia ∈ se dice que r es continua en a si )()( atlim
at
rr =
→
 
 
Teniendo en cuenta las definiciones de límite y continuidad resulta: 
 
“La función vectorial ))(),(,)(()( thtgtft =r es continua en a sí y solo si sus funciones 
componentes hgf y, son continuas en a ” 
 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL 
 
Sea la función vectorial ))(),(,)(()(/: 3 thtgtftI =→⊆ rVRr . 
Para cada It ∈ se obtiene un vector )(tr , que es el vector posición del punto ))(),(,)(( thtgtfP 
Si la función vectorial es continua en I , es decir sus funciones componentes f, g y h son continuas 
en I , define una curva C en el espacio formada por los extremos del vector )(tr donde t varía de a 
hasta b.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces la curva C es el conjunto de todos los puntos ),,( zyxP del espacio tal que: 
 
 It
thz
tgy
tfx
∈





=
=
=
con
)(
)(
)(
 , 
 
a estas ecuaciones se las llama ecuaciones paramétricas de la curva C y t es el parámetro. 
• 
P (f (t), g(t), h(t)) 
r 
t 
r(t) 
C
 
z 
y 
x 
t 
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Cuando se grafica una curva descrita por una función vectorial )( tr , cada punto de la misma 
(extremo del vector )( tr ) queda determinado por un valor elegido para el parámetro t. Al trazar los 
puntos resultantes de valores crecientes de t, la curva se va trazando en una dirección específica, en 
este caso se dice que la curva está orientada positivamente. 
 
Sea r una función vectorial, se define su derivada 'r como: 
 
t
tttlimt
t ∆
−∆+
=
→∆
)()()('
0
rrr 
siempre que este límite exista. 
 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL 
 
Supongamos que )( tr sea el vector posición del punto P y )( tt ∆+r el vector posición del punto 
Q, entonces PQttt =−∆+ )()( rr se puede considerar como un vector secante a la curva C. 
 
Si 0>∆ t el vector: 
 ( ) PQ
t
ttt
t ∆
=−∆+
∆
1)()(1 rr tiene la 
misma dirección y sentido que el vector PQ , 
entonces cuando 0→∆ t el vector PQ
t∆
1
 se 
aproxima a un vector que está en la recta 
tangente a la curva C en el punto P. Si 0<∆ t con 
un razonamiento similar se llega a la misma 
conclusión. Por lo que al vector )(' tr se lo 
denomina vector tangente a la curva C en el punto 
P, siempre que )(' tr exista y 0r ≠)(' t . 
La recta tangente a la curva C en el punto P es la 
recta que contiene a P y tiene la dirección del 
vector )(' tr 
Definición de distintos tipos de curvas 
 
Sea una curva C la representación gráfica de la función vectorial )( tr con [ ]bat ,=∈ I 
• C es una curva simple si ( )batt ,, 21 ∈∀ tal que 21 tt ≠ resulta )()( 21 tt rr ≠
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir una curva C es simple si no se cruza a si mismo al variar t en ( )ba, . 
 
• C es una curva cerrada si )()( ba rr = . 
 
 
 
 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
curvas simples 
curvas no simples 
curva cerrada curva no cerrada 
r’(t) 
t+∆t 
Q 
r(t) 
P 
• 
r 
r(t+∆t) C
 
z 
y 
x 
t 
t 
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• C es una curva suave si )(' tr es continua en ( )ba, y ( )batt ,)(' ∈∀≠ 0r , es decir una curva 
suave no posee puntos angulosos. 
El vector velocidad )( tv en el tiempo t será )('
)()()(
0
t
t
tttlimt
t
rrrv =
∆
−∆+
=
→∆
 
La rapidez de la partícula en el tiempo t es )(')( tt rv =
 El vector aceleración )(ta en el tiempo t será )('')(')( ttt rva == . 
 
Ejercicio 1. Encuentre r'(t), r(0) y r'(0) en cada uno de los siguientes casos: 
 
a) r(t) = [sen(2πt), cos(2πt), 2t -t2] 
b) r(t) = [et, cost, sent] 
c) r(t) = [t3, t2 – 4t, 0] 
d) r(t) = [sen(2t), ln(1+t), t] 
 
VERSORES PRINCIPALES 
 
a) Si existe r’(t) y r’(t)≠ 0 ,∀ 𝑡𝑡 ∈ [a , b ], entonces r’(t) se llama “Vector tangente a C” en el punto 
r(t); el Versor tangente se denota por T(t), y 𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟´(𝑡𝑡)‖𝑟𝑟´(𝑡𝑡)‖ 
b) La recta LT que pasa por el punto r(t) y tiene la dirección del vector tangente, se llama recta 
tangente a la curva C en el punto r(t); su ecuación es: 
 
 LT : P(x,y,z)= r(t) + λr’(t) ; λ ∈ |R 
 
 
 
 
El vector T´ (t) es ortogonal al vector T (t). A todo vector que tiene la dirección del vector T´(t) se le 
denomina vector normal a la curva C. 
 
El versor NORMAL PRINCIPAL a la curva C en el punto r(t) tienen la dirección del vector T´ (t), o sea: 
 
𝑁𝑁� =
𝑇𝑇′�
�𝑇𝑇′� �
 
 
Gráficamente, el vector normal principal apunta siempre al lado 
cóncavo de la curva. 
 
El versor BINORMAL es el vector unitario perpendicular a los 
vectores tangente y normal principal: 
 
 B(t) = T(t) x N(t) 
 
En consecuencia, en cada punto r(t) de la curva C existen asociados 
los vectores T; N y B. Estos vectores unitarios mutuamente 
ortogonales se llaman TRIADA MOVIL por que en cada punto de C 
forman un sistema de ejes rectangulares, como se ve en la figura a 
continuación. 
 
VELOCIDAD Y ACELERACION 
 
Si r(t) describe el movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de una curva C y t es el 
tiempo, entonces la primera derivada de r(t) es la velocidad y ésta tiene dirección tangencial. La 
segunda derivada es la aceleración y tiene una componente tangencial, llamada aceleración 
tangencial y una componente normal llamada aceleración normal: 
r’(t) 
r(t) 
C 
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𝑎𝑎� = 𝑎𝑎𝑇𝑇 𝑇𝑇� + 𝑎𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁� 𝑎𝑎𝑇𝑇 =
�̅�𝑟′.�̅�𝑟′′
‖�̅�𝑟′‖
= 𝑣𝑣�.𝑎𝑎�‖𝑣𝑣�‖= ‖�̅�𝑟′‖´ 𝑎𝑎𝑁𝑁 =
‖�̅�𝑟′×�̅�𝑟′′‖
‖�̅�𝑟′‖
= ‖𝑣𝑣�×𝑎𝑎�‖‖𝑣𝑣�‖ 
 
Los vectores T y N se encuentran en un plano denominado PLANO OSCULADOR, B(t) es un vector que 
es normal al plano osculador y por ello no pertenece al plano de la curva. 
 
Ejercicio 2. Un punto situado en la rosca de un tornillo que se enrosca en una viga describe una hélice 
circular, siendo t el ángulo de giro del tornillo, a el radio del tornillo y b la elevación correspondiente 
al giro de una vuelta ("paso” de la rosca). Determine la velocidad y el vector aceleración del 
movimiento del punto. 
 
Ejercicio 3. El movimiento de una partícula está definido por �̅�𝑟(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎 𝑡𝑡 〈cos 𝑡𝑡 ; −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡𝑡〉. Hállese su 
velocidad y las componentes tangencial y normal de la aceleración en t = π/2 
 
Ejercicio 4. La posición de una partícula móvil en el tiempo t viene dada por: �̅�𝑟(𝑡𝑡) = (𝑡𝑡2 − 6𝑡𝑡) 𝚤𝚤̂ +
5 𝑡𝑡 𝚥𝚥̂ 
Calcule el instante en el que la rapidez de la partícula es mínima. 
 
Ejercicio 5. Determinar los vectores velocidad y aceleración y la ecuación de la recta tangente para 
cada una de las siguientes curvas en el valor de t especificado: 
 
a) �̅�𝑟(𝑡𝑡) = 6𝑡𝑡 𝚤𝚤̂ + 3 𝑡𝑡2 𝚥𝚥̂ + 𝑡𝑡3 𝑘𝑘� en t = 0 
 b) �̅�𝑟(𝑡𝑡) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 3𝑡𝑡 𝚤𝚤̂ + cos 3𝑡𝑡 𝚥𝚥̂ + 2 𝑡𝑡
3
2� 𝑘𝑘� en t = 1 
 
Ejercicio 6. Sea una partícula de un gramo de masa que sigue una trayectoria: �̅�𝑟(𝑡𝑡) = 〈cos 𝑡𝑡; 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡; 𝑡𝑡〉 
con unidades en segundos y en centímetros. ¿Qué fuerza actúa sobre ella en t = 0? 
 
Ejercicio 7. Sea r(t) una trayectoria en R3 con aceleración cero. Probar que r(t) es una recta o un 
punto. 
 
Ejercicio 8. Suponer que una partícula sigue una trayectoria �̅�𝑟(𝑡𝑡) = 〈𝑠𝑠𝑡𝑡; 𝑠𝑠−𝑡𝑡; cos 𝑡𝑡〉 hasta que sale por 
una trayectoria tangente en t = 1. ¿Dónde está en t = 2? 
 
Ejercicio 9. Una partícula se mueve sobre la curva C que se obtiene de la intersección de la esfera x2 + 
y2 + z2 = 1 y el plano z = y. Obtener la trayectoria que describiría la partícula si se separase de la curva 
C en el punto �√2
2
; 1
2
; 1
2
�. 
 
Ejercicio 10. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva: 
�̅�𝑟(𝑡𝑡) = 6 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑡𝑡) 𝚤𝚤̂ + 4 cos(3𝑡𝑡) 𝚥𝚥̂ + 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (5𝑡𝑡) 𝑘𝑘� en t = π/4. 
 
CURVATURA 
 
La curvatura de flexión o principal es una medida del cambio de dirección del vector tangente sobre 
la curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice 
que es más grande la curvatura 
 
Si r(t) es el vector posición de un punto sobre una curva C entonces en el punto P existe un vector 
tangente unitario T (t). Como este vector es de magnitud constante, entonces en cada punto de C lo 
único que varía es su dirección. Por ejemplo, si C es una curva plana, entonces su dirección está 
dada por el ángulo de inclinación de la tangente 
 
La curvatura de C en P es la magnitud de este cambio de dirección. Puede demostrarse que: 
 
3//)´(//
//)´´()´(//)(
tr
trxtrtK =
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Por otro lado, la curvatura de torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: 
cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más 
retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es 
nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. 
 
La torsión es el escalar que expresa la medida de la rapidez de variación del vector binormal respecto 
a la medida de la longitud de arco de la curva, 
 
�𝜏𝜏(𝑡𝑡)� = �
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑠𝑠
� 
Puede demostrarse que: 
 
𝜏𝜏(𝑡𝑡) =
��̅�𝑟 ʹ(𝑡𝑡) × �̅�𝑟ʹʹ(𝑡𝑡)� ∙ �̅�𝑟ʹʹʹ(𝑡𝑡)
��̅�𝑟 ʹ(𝑡𝑡) × �̅�𝑟ʹʹ(𝑡𝑡)�
2 
 
Ejercicio 11. Para las siguientes curvas calcular T, N, B, k para t=0 
 
 a) r(t)= <t, t2, t3> 
 b) r(t)= <et cos t, et sen t, 3> 
c) r(t) = <2cos(3t); 2sen(3t); 1> 
 
Ejercicio 12. Calcular la primera curvatura o flexión y la componente normal de la aceleración de la 
curva r(t) = <cos t, e2t, (t+1)3> para t = 0.