TP08-INTEGRALES DE LINEA

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Análisis Matemático II TP 8 2021 
 
 
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
 
 
Un segmento de curva C en R2 es el lugar geométrico de los puntos P(x; y) tal que su vector posición 
está dado por 𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝚤𝚤̂ + 𝑦𝑦(𝑡𝑡) 𝚥𝚥̂ con t ∈ [a; b] (ecuación vectorial) 
 
Ecuaciones paramétricas: 



=
=
)(
)(
2
1
tfy
tfx
 (con a ≤ t ≤ b) 
 
Un segmento de curva C en R3 es el lugar geométrico de los puntos P(x; y; z) tal que su vector 
posición está dado por 𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝚤𝚤̂ + 𝑦𝑦(𝑡𝑡) 𝚥𝚥̂ + 𝑧𝑧(𝑡𝑡)𝑘𝑘� con t ∈ [a; b] 
 
Ecuaciones paramétricas: 





=
=
=
)(
)(
)(
3
2
1
tfz
tfy
tfx
 (con a ≤ t ≤ b) 
 
La curva puede ser: abierta - cerrada 
 regular (suave) – no regular 
 simple - no simple 
 
Integral de línea de campo escalar: 
 
Si z = g(x; y) es una función continua en los puntos de una curva C (plana, simple, regular o suave) de 
extremos A y B, y dividimos a C en pequeños segmentos de longitud de arco Δli definimos la integral 
de línea de la función z sobre C entre A y B al siguiente límite, si existe: 
 
∑ ∫
=→∆
=∆
n
i C
iii
l
dlyxglyxglím
i 10
),(),( 
que se calcula mediante: ∫ ∫ +=
C
b
a
dttytxtytxgdlyxg 22 )(')('))(),((),( 
 
Integral de línea de campo vectorial: 
 
Si F

(x; y; z) = (P; Q; R) es un campo vectorial continuo en los puntos de una curva C en R3 (simple, 
regular) de extremos A y B, y dividimos a C en pequeños segmentos de longitud de arco Δli de 
extremos Pi-1 y Pi éstos determinan el vector Δri . Definimos integral de línea del campo F

 sobre C 
entre A y B al siguiente límite, si existe: 
 
 
que se calcula mediante: 
INTEGRALES CURVILÍNEAS 
C en R2 C en R3 
 
Para Campos 
Escalares 
Para Campos 
Vectoriales 
 
dlTFrdFrzyxFlím
C
n
i C
iiiiri
ˆ..).,,(
10
∫∑ ∫ ==∆
=→∆

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)(.∫ ∫ ++=
C
B
A
RdzQdyPdxrdF
 
 
Teorema Fundamental del Cálculo: 
 
Si F

 es un campo vectorial conservativo ∇ U en una región D, y los puntos A y B pertenecen a D 
entonces se cumple que: )()(. AUBUrdF
B
A
−=∫
 donde U es la función potencial de F

 
Consecuencias: Si F

 es conservativo, entonces se cumple: 
a) 0. =∫ rdF
C
 para cualquier C , b) ∫
B
A
rdF

. es independiente de C 
 
Ejercicio 1: Halle una parametrización suave o unión de curvas suaves de la trayectoria C 
(antihorario): 
a) x2 + y2 = 9 b) 1916
22
=+ yx con x ≥ 0 
 
c) d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAL DE LINEA DE CAMPOS ESCALARES 
 
Ejercicio 2: Calcule las siguientes integrales de línea 
 
a) ∫
C
dsf donde C es el arco de parábola 4yx 2 −= desde (-3, -1) hasta 
 (5, 3), y f está dada por 4xy)y,x(f ++= . 
 
b) ( )∫ +−
C
2 dsz4yx donde C es el segmento de recta que une el origen con 
 (1, -2, 2). 
Ejercicio 3: Halle la masa y el centro de masa de un alambre con la forma de la parábola 2xy = 
desde (0, 0) hasta (2, 4) si su densidad en cada punto es proporcional a su valor de abscisa. 
 
Ejercicio 4: Para un alambre con la forma 3tz ; t cos 2y ; t sen 2x === con π2t0 ≤≤ y 
densidad constante k, encuentre sus momentos de inercia alrededor de los ejes x e y. 
 
INTEGRAL DE LINEA DE CAMPOS VECTORIALES 
 
Ejercicio 5: Calcule ∫
C
drF si F(x, y) = (y, -x) y C es una curva que une los puntos (1, 0) con (0, -1) 
mediante: 
a) El segmento recto que une dichos puntos. 
b) Las 3/4 partes de la circunferencia unitaria. 
c) Compare 
 
 
2 x 
y 
2 
3 
y 
 x 
 y=x 
x=y2 
x 
y 
 y=x2 
 
y=4 
x=0 
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Ejercicio 6: Calcule las siguientes integrales de línea: 
 
a) dzyxdyzy
C
+∫ , siendo C: tx = , y = t, z = t2, 0≤ t ≤ 1 
b) dyyxdxyx
C
∫ + 22 3 , donde la curva C es una circunferencia con centro en el 
origen de coordenadas y radio a, recorrida dos veces en el sentido contrario al de las 
agujas del reloj. 
 
c) ∫
C
drF si )zx3,y2,zy2x()z,y,x(F −++= y C está parametrizada 
 
 por )t,1t2,1t()t(r ++= con t desde -1 hasta 2. 
 
d) dzyxz 23
C
∫ donde C está dada por ( ) .0t1,t,t,t2)t(r 22 ≤≤−= 
 
Ejercicio 7: Determine el trabajo efectuado por el campo de fuerza j)2y(ix)y,x(F

++= al 
mover un objeto a lo largo de la curva (t – sen t ; 1 – cos t) con 0 ≤ t ≤ 2π. 
 
Ejercicio 8: Encuentre la circulación de los siguientes campos vectoriales a lo largo del borde de la 
región limitada por 4 -y x 2= y 5 x = en sentido horario: 
 
 a) jx -iy F

= b) jy)4x ( i1)yx(2 F 2

+++= 
 
Ejercicio 9: Calcular el trabajo que se necesita para llevar un cuerpo desde el punto (0, -r) hasta (0, r) 
por la circunferencia de radio r, si en cada punto del plano actúa una fuerza constante de magnitud 2 
r g, en la dirección negativa del eje y. Interpretar físicamente el resultado. 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LINEA, CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO - 
FUNCION POTENCIAL 
 
Ejercicio 10: Analice si los siguientes campos admiten función potencial; en caso afirmativo, 
encuéntrela 
 
a) ( )yx2;yx)y,x(F 2+= 
 
b) jx) 2 -y(4 iy)4 -x (3 y) x,F( 22 += 
 
c) ( )zy3;y2x,yx3)z,y,x(F += 
 
d) y2zx2 ; z2 ; z1)z,y,x(F 2 ++= 
 
e) zx2zxzx exy;e;zxe)z,y,x(F += 
 
Ejercicio 11: Muestre que el trabajo efectuado por el campo de fuerzas ( )y2;1x)y,x(F += 
para mover un objeto desde el punto (1, 0) hasta (2, 2) es el mismo si el trayecto es el que va: 
 
a) desde (1, 0) hasta (0, 1) por la circunferencia centrada en el origen y desde ahí hasta (2, 2) en 
línea recta; 
b) o en línea recta directamente desde (1, 0) hasta (2, 2). 
c) Analice si el campo es conservativo y halle la función potencial, utilizando teorema fundamental 
compare los valores obtenidos es en a) y b) 
 
 
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Ejercicio 12: Determine si los siguientes campos vectoriales son conservativos, en caso afirmativo 
halle una función f, tal que fF ∇= y utilice esta expresión para evaluar ∫C dr .F a lo largo de la 
curva C dada: 
a) 2yx,y)y,x(F −= para C desde (1, 1) hasta (2, 8) a lo largo de 
 3xy = 
b) 









≤≤
=
=
=
++=
1t0
tz
ty
tx
 kzy4x j zy 3x izy 2x z) y, F(x,
3
2
33242243
 
 
c) ( )yxcosx;yxcosyx,yxsenz)z,y,x(F 2= para C desde (-2, 4, 0) hasta (1, 0, 3) en 
línea recta. 
 
d) ( )y2zx2;z2,z1)z,y,x(F 2 ++= para C desde (0, 0, 0) hasta (1, 2, 3) a lo largo de 
segmentos rectilíneos paralelos a los ejes x, y, z en ese orden. 
 
Ejercicio 13: Evalúe la integral de línea ∫ ⋅
C
drF para los siguientes campos vectoriales y 
verifique el resultado mediante la función potencial de F: 
 
a) kzyx2jzxizy)z,y,x(F 22

++= siendo r(t) la trayectoria que va desde (-1, 2, 
-2) hacia (1, 5, 2) sobre tres segmentos de recta paralelos al eje z, al eje x, al eje y en 
ese orden. 
 
 b) y
2
x; yx)y,x(F
2
−= siendo C los segmentos de recta que van de (0. 0) a (3, 0) 
y de (3, 0) a (4, 5). 
 
TEOREMA DE GREEN 
 
Ejercicio 14: Evalúe la integral de línea mediante dos métodos: de manera directa y utilizando el 
Teorema de Green. 
 
a) dyxdxy2
C
∫ − donde C es la semicircunferencia 4yx 22 =+ para y ≥ 0 e y=0 
con -2≤x≤2 , recorrida en sentido antihorario. 
 
b) ( ) )dy,dx(yx2,yx
C
22∫ ⋅+ donde C es el triángulo de vértices (-1, -1), 
 (1, -1), (2, 5) recorrido en sentido antihorario.Análisis Matemático II TP 8 2021 
 
 
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Ejercicio 15: Compruebe aplicando el Teorema de Green que la integral 
( ) ( )∫ ++C 2 dy y3-yx2dx y2 en cualquier curva C plana cerrada es nula. 
 
Ejercicio 16: Compruebe el Teorema de Green para la función ( )( )2yx,yxx)y,x(F += , en el 
triángulo de vértices (0, 0), (2, 0) y (0, 2). 
 
Ejercicio 17: Verifique el Teorema de Green para )yx,x()y,x(F 2= en la región plana D 
cuyos puntos cumplen con 4yx1 22 ≤+≤ . 
 
CALCULO DE AREAS APLICANDO EL T. DE GREEN 
 
Ejercicio 18: Utilizando el teorema de Green calcule el área de las regiones: 
 
a) encerrada por 




=
=
1 x 
x y 2
 
 b) 




≤≤
≤≤
2x0
8yx 3
 
 c) limitada por la elipse 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ 
Optativos: 
 
INTEGRAL DE LINEA DE CAMPOS ESCALARES 
 
Ejercicio 19: Calcule la integral de línea ∫
C
dsf donde 22 yx)y,x(f += y C es la 
semicircunferencia con centro en (1, 0) y radio igual a 3 correspondiente a 1x ≤ . 
 
Ejercicio 20: Evaluar la integral de línea ∫
C
dr.)y,x(F utilizando la función vectorial 
( )yx2,yx)y,x(F 22 −+= y la curva cerrada C que es la frontera de la región determinada por 
las gráficas de 2xy = e 3y = . Aplicando el teorema de Green, calcular la integral doble 
correspondiente y comparar los resultados; deben coincidir. 
 
CALCULO DE AREAS APLICANDO EL T. DE GREEN 
 
Ejercicio 21: Utilizando el teorema de Green calcule el área de las región limitada por 
 




=+
=+
02y2-x
0 y-1x
2
2
 
 
Ejercicio 22: Calcular el área de las regiones indicadas a continuación mediante la aplicación del 
Teorema de Green y comprobar el resultado usando la fórmula elemental correspondiente. 
 
a) Círculo 9yx 22 =+ 
b) Trapecio de vértices A (0, 0), B(4, 0), C(0, 3), D(1, 3).