MESA 12 FEBRERO 2021

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Facultad Regional Mendoza 
Análisis Matemático II 
Comisión: Fecha: 
Apellido y Nombre ……………….……………………………. Legajo Nº: …………… 
 
TEORIA: 
1) Definición de extremos relativos y absolutos para f(x,y) , describa los puntos donde una función f(x,y) pude 
presentar extremos. Enuncie la condición necesaria para existencia de puntos críticos estacionarios, y 
demuestre la condición suficiente (Hessiano). 20 puntos 
2) Teorema de Green, enunciado, demostración, gráficos, consecuencias. 15 puntos 
3) Defina ecuación diferencial de primer orden, clasifique los distintos métodos de solución y desarrolle el método 
de solución de la ecuación de Bernoulli (incluyendo en el desarrollo la solución de la ecuación lineal de primer 
orden) y de la ecuación homogénea. 15 puntos 
PRACTICA 
1) Dada la ecuación 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧
2
2
= 8 
a) Determine si define a z=f(x,y) en forma implícita en el punto P(1,1,2√3) 2 puntos 
b) En caso afirmativo: determine en forma explícita a z =f(x,y) , su dominio (grafique) e imagen. 5 puntos 
c) Halle el flujo de �⃗�𝐹 a través de S: 
 
𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥𝑧𝑧 𝚤𝚤̂ + 𝑦𝑦𝑧𝑧 𝚥𝚥̂ + 𝑧𝑧2 𝑘𝑘� 𝑆𝑆: 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧
2
2
= 8 para 𝑧𝑧 ≥ 0 9 puntos 
2) Dada 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 con 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 ; y= 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 ; 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 encuentre 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 
 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 
 utilizando la 
regla de la cadena. Identifique la o las variables independientes, las variables intermedias y la dependiente. 
Realice el diagrama de árbol e indique si las derivadas son totales o parciales. 7 puntos 
3) Dada la siguiente región de integración, compuesta por R1 y R2: 
 
R1 0≤ 𝑥𝑥 ≤ √2 R2 √2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2 
 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ √4 − 𝑥𝑥2 
a. grafique la misma. Plantee, en coordenadas cartesianas, la o las integrales que permitan calcular el área del 
recinto. 4 puntos 
b. Exprese el área en coordenadas polares. 3 puntos 
4) Resuelva (2𝑥𝑥3 − 2𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑥𝑥 − (3𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 para y (0) = 3 8 Puntos 
5) Dada una ecuación diferencial con coeficientes constantes, si las raíces de la ecuación características son: 
𝑟𝑟1 = 𝑟𝑟2 = 1 𝑟𝑟3 = 2 𝑖𝑖 𝑟𝑟4 = −2 𝑖𝑖 y el término no homogéneo es: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + cos 2𝑥𝑥 
a) Indique el orden de la ecuación diferencial (1p) 
b) Exprese la solución general de la ecuación homogénea asociada (2p) 
c) Plantee la solución particular (2p) 
d) Plantee la solución general de la ecuación no homogénea (2p) 7 puntos 
 
6) Dada f(x) encuentre los valores de a0, an y bn. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
−2, −𝜋𝜋 < 𝑥𝑥 < 0
 2, 0 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋 5 puntos 
 
NOTA: debe obtenerse un mínimo de 25 puntos en teoría y 25 puntos en práctica y un total de 60 puntos para 
aprobar. 
 
Si el examen fuera virtual se acreditará identidad e IP desde el aula, una foto de su documento debe ser subida al 
aula como tarea. Luego tiene 120 minutos para resolver el examen, fotografiarlo o escanearlo y subirlo en formato 
pdf al aula. 
 
Durante todo el examen tiene que permanecer conectado en la sala de zoom que le sea asignada, le puede ser 
solicitado que comparta pantalla o muestre el lugar donde está en cualquier momento de la evaluación. 
 
Si no se alcanza el mínimo de la practica la NOTA será 2 (dos), si se alcanza o supera el mínimo de práctica y no de 
la teoría la NOTA será 4 (cuatro).