Unidad 7 Flujo Viscoso Incompresible Externo

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02/11/2019 1Unidad 7: Flujo Viscoso Incompresible ExternoMecánica de Los Fluidos Ingenieria Mecánica
Ing. Nahuel Castello
Mecánica de los fluidos - Departamento de Ingenieria Mecánica 
Universidad Tecnológica Nacional FRH
2019
Unidad 7: Flujo Viscoso Incompresible 
Externo
02/11/2019 2Unidad 7: Flujo Viscoso Incompresible ExternoMecánica de Los Fluidos Ingenieria Mecánica
Flujo sobre cuerpos simples.
Resistencia debida a la estela.
Calles de vórtices de Von Karman. 
Hipótesis de Prandtl. 
Reducción del sistema de Navier para la capa limite laminar. 
Ecuaciones de Blassius. 
Condiciones de despegue de la capa limite. 
Método y ecuación de Blassius para placa plana. 
Determinación del espesor, tensión de corte en la pared, 
coeficiente de fricción y coeficiente de fricción para placa plana con 
capa limite laminar y turbulenta.
Contenido de La Unidad 
02/11/2019 3Unidad 7: Flujo Viscoso Incompresible ExternoMecánica de Los Fluidos Ingenieria Mecánica
Flujo sobre cuerpos simples
Flujo sobre cuerpos es comúnmente 
encontrado en la practica
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Flujo sobre cuerpos simples
1. Flujo Bidimensional cuando el cuerpo es lo suficiente mente largo
2. Flujo asimétrico
3. Flujo Tridimensional
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Flujo sobre cuerpos simples
Resistencia Aerodinámica y Fuerza de Sustentación
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Flujo sobre cuerpos simples
a) La fuerza de resistencia actuando sobre 
una placa plana paralela al flujo depende 
solo de las tensiones de corte.
b) La fuerza de resistencia actuando sobre 
una placa plana perpendicular a la dirección 
del flujo depende de las presiones.
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Flujo sobre cuerpos simples
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Flujo sobre cuerpos simples
La resistencia es 100 % debido a la fricción para una placa paralela, 100 % debido a la 
presión presión para una placa perpendicular a la dirección del flujo y a ambos para 
un cilindro paralelo al flujo
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Flujo sobre cuerpos simples
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Flujo sobre cuerpos simples
Separación del Flujo
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Flujo sobre cuerpos simples
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Flujo sobre cuerpos simples
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Flujo sobre cuerpos simples
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Flujo sobre cuerpos simples
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Calles de vórtices de Von Karman
• Cuando fluye a una velocidad muy baja aire u otro fluido alrededor de un objeto, y en 
especial de un cilindro, el fluido bordea al objeto sin despegarse de éste. Esto se conoce 
como flujo laminar-potencial y se produce cuando prevalece la viscosidad del fluido 
frente a otros fenómenos.
• Pero cuando la velocidad del fluido es muy alta, éste tiene tanta inercia que al bordear el 
objeto sigue con la trayectoria del resto del fluido siendo incapaz de desviarse para 
“cubrir” el hueco que queda detrás del cilindro, apareciendo en esa zona un movimiento 
muy desordenado y un gran número de pequeños remolinos o vórtices. 
• Este desorden y éstos remolinos intentan tirar hacia atrás del cilindro apareciendo 
una fuerza de arrastre. Como he comentado, todo esto se produce cuando la velocidad 
es muy elevada, la inercia del fluido muy grande y por tanto la importancia de la 
viscosidad muy pequeña (ahora parece cualquier cosa menos miel) y es lo que se conoce 
como flujo turbulento.
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Calles de vórtices de Von Karman
• Sin embargo, hay un comportamiento muy curioso que se produce a una velocidad 
intermedia y muy concreta. Éste fenómeno ocurre cuando la velocidad del fluido es lo 
suficientemente baja como para que no se despegue del cilindro con facilidad, pero lo 
suficientemente alta como para que en una cantidad muy pequeña aparezcan remolinos 
pero de gran tamaño. Éstos remolinos de gran tamaño se formarán arriba y abajo de la 
parte posterior del cilindro y si las condiciones son las adecuadas se despegarán del cilindro, 
primero uno de arriba o de abajo, luego otro del lado contrario y así sucesivamente, hasta 
alcanzar un ritmo constante. Este fenómeno se conoce como vórtices de Von Karman en 
honor al ingeniero y estudioso de la dinámica de fluidos Theodore Von Kármán.
• Este fenómeno muy curioso se puede presentar en la naturaleza. Por ejemplo a pequeña 
escala es el causante de la vibración de los cables en algunos tendidos eléctricos con el 
viento. A gran escala tenemos la formación de vórtices, de incluso varios kilómetros de 
tamaño, cuando el viento atmosférico se encuentra con algunas islas y se cumplen ciertas 
condiciones de velocidad y temperatura. En el siguiente enlace podéis ver algunos 
ejemplos. Simplemente espectacular.
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Calles de vórtices de Von Karman
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Calles de vórtices de Von Karman
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Calles de vórtices de Von Karman
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Hipótesis de Prandtl
La teoría de capa limite fue introducida por Prandlt, esta teoría establece que, para un fluido 
en movimiento, todas las perdidas por fricción tiene lugar en una delgada capa adyacente al 
contorno del solido (llamada capa limite) y que el flujo exterior a dicha capa puede 
considerarse como carente de viscosidad.
En términos generales se puede decir que, puesto que la viscosidad es bastante pequeña en 
casi todos los fluidos, los esfuerzos cortantes deben ser apreciables únicamente en las regiones 
en donde existan grandes gradientes de velocidad; el flujo en otras regiones se podría 
describir con gran exactitud por medio de las ecuaciones para flujo no viscoso. 
La capa límite se entiende como aquella en la que la velocidad del fluido respecto al sólido en 
movimiento varía desde cero hasta el 99% de la velocidad de la corriente libre.
https://www.monografias.com/trabajos4/epistemologia/epistemologia.shtml
https://www.monografias.com/trabajos13/cinemat/cinemat2.shtml#TEORICO
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Hipótesis de Prandtl
En un flujo a altos números de Reynolds los efectos de la viscosidad del fluido y la rotación se 
confinan en una región relativamente delgada cerca de las superficies sólidas.
Como la capa limite es delgada, se puede introducir ciertas simplificaciones en las ecuaciones del 
movimiento; sin embargo, es necesario retener tanto los términos de esfuerzo (viscoso), como las 
inerciales (aceleración).
Los términos de presión pueden o no estar presentes, dependiendo de la naturaleza del flujo fuera 
de la capa límite. Como la vorticidad del fluido de la capa limite no es cero, no existe función del 
potencial de velocidades para el flujo en la capa limite. La ecuacióndel movimiento se debe atacar 
directamente. Esta ecuación, aun incluyendo las simplificaciones de la capa limite, es mucho más 
difícil de resolver que la ecuación de flujo de potencial.
A medida que se avanza en la dirección x, más y más partículas son frenadas y por lo tanto el 
espesor d de la zona de influencia viscosa va aumentando, con las partículas alineadas 
direccionalmente en lo que se denomina capa límite laminar hasta que, en un cierto punto el flujo 
se hace inestable, dando lugar a un crecimiento más rápido de la capa límite acompañado de un 
aumento de la turbulencia, es la zona denominada capa límite
Prandtl estableció las ecuaciones para el flujo en la capa límite laminar, a partir de las ecuaciones 
de Navier-Stokes, con las siguientes hipótesis: el espesor de la capa límite es pequeño en 
comparación con otras dimensiones geométricas, el flujo es estacionario y bidimensional, y la 
presión es constante a través de cualquier sección transversal.
https://www.monografias.com/trabajos11/presi/presi.shtml
https://www.monografias.com/trabajos36/naturaleza/naturaleza.shtml
https://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml
https://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml
https://www.monografias.com/trabajos15/hipotesis/hipotesis.shtml
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Capa Limite 
En la zona cercana al cuerpo sólido, los gradientes de velocidad y temperatura son 
considerablemente elevados como para ser ignorados. Definimos entonces la capa límite 
como la capa de fluido en las inmediaciones de una superficie sólida en donde los efectos de 
viscosidad son significantes.
Ecuaciones de la capa límite sin transferencia de calor
Para encontrar las ecuaciones de la capa límite, recordamos primero las ecuaciones
indefinidas:
Que derivan en las ecuaciones de 
Navier-Stokes, que cuentan con 
parámetros medibles:
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Capa Limite 
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Capa Limite 
Calculamos el diferencial 𝑑𝑢:
Entonces, dividiendo por 𝑑𝑡 para obtener 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
y considerando las hipótesis vistas:
De forma similar:
Entonces las ecuaciones quedan:
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Capa Limite 
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Ponderación de Prandtl y ecuaciones de 
Blasius
Ponderación de Prandtl y ecuaciones de Blasius
Estas ecuaciones se pueden simplificar aún más haciendo un análisis de orden de
magnitud.
Tenemos que tener en cuenta el movimiento infinitesimal de una partícula, dentro de la 
capa límite, respecto de la dirección en x. Como vemos, el espesor de capa límite (𝛿) es 
muy pequeño en comparación a la distancia x. Podemos expresar esto como:
Donde (𝑂) representa el orden de magnitud, y 𝜀 es un infinitesimal. A esto se le denomina
ponderación de Prandtl, y tenemos que ver como son los órdenes de magnitud de las 
derivadas involucradas en las ecuaciones (1), (2) y (3). De la tercera:
De donde surge que:
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Ponderación de Prandtl y ecuaciones de 
Blasius
El orden de magnitud de las derivadas queda:
Si volcamos esto en el sistema de ecuaciones:
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Ponderación de Prandtl y ecuaciones de 
Blasius
Quedando:
Las fuerzas de inercia y viscosas son de magnitud comparable, con lo que debe cumplirse
que:
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Ponderación de Prandtl y ecuaciones de 
Blasius
Para que esto suceda:
Quedando:
Los términos de magnitud 𝜀, 𝜀2 y 𝜀3son muy pequeños comparados a los de magnitud 1.
Por lo tanto las tres ecuaciones quedan representadas por:
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Ponderación de Prandtl y ecuaciones de 
Blasius
Como la presión no varía en “y”, la variación de presión en “x” resulta una derivada total,
podemos reescribir la (1) como:
Que son las denominadas ecuaciones de Blasius. Supongamos como ejemplo que tengamos
el siguiente perfil. Y analicemos que sucede sobre la zona resaltada de la superficie del
cuerpo.
Si realizamos un análisis de los términos de la ecuación (1), cuando 𝑦 = 0, nos encontramos 
con que:
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Ponderación de Prandtl y ecuaciones de 
Blasius
Si realizamos un análisis de los términos de la ecuación (1), cuando 𝑦 = 0, nos encontramos 
con que:
La capa límite se desprende en zonas de gradiente de presión positivo (gradiente adverso
de presiones).
(1)
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Capa Limite sobre una Placa Plana
En una placa plana la presión permanece constante sobre la placa entera. 
Esto es 
𝑑𝑝
𝑑𝑥
= 0. Por lo tanto las ecuaciones de Blasius quedan:
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Capa Limite sobre una Placa Plana
Para resolver las ecuaciones diferenciales se introduce una variable adimensional de
posición en altura dentro de la capa límite 
Asumimos que la velocidad puede expresarse como función de esta variable:
También recordamos que:
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También recordamos que:
Según el criterio de Cauchy, una función de corriente (𝜓) está definida de forma que:
Entonces reemplazamos:
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Siendo la integral
como
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Tenemos uno de los factores involucrado en la primera ecuación diferencial del problema.
Busquemos ahora 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
Entonces derivamos respecto de x:
Notemos que si hacemos ,nos encontramos que:
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Capa Limite sobre una Placa Plana
Reemplazamos esto en la expresión de 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
:
Entonces derivamos respecto de x:
Notemos que si hacemos ,nos encontramos que:
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Capa Limite sobre una Placa Plana
Busquemos ahora 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
Como:
Reemplazamos en
𝜕𝑢
𝜕𝑦
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Capa Limite sobre una Placa Plana
El siguiente termino es
𝜕2𝑢
𝜕2𝑦
El último factor que nos queda es 𝑣, para esto hacemos:
Derivamos el producto:
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Capa Limite sobre una Placa Plana
Si reemplazamos las ecuaciones (I), (II), (III), (IV) y (V) en la ecuación diferencial del
problema y reacomodamos, se puede llegar a que:
Cuya solución es una serie de potencias:
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Capa Limite sobre una Placa Plana
El problema también se puede resolver utilizando una aproximación numérica. Se puede
hacer una tabla calculando la función 𝑓 y sus derivadas para distintos valores de 𝜂:
Recordemos de la (I) que:
Ahora sabemos que representa 𝑓′(𝜂). Por definición, la capa límite se entiende como
aquella en la que la velocidad del fluido con respectoal sólido en movimiento (𝑢) varía
desde 0 hasta el 99% de la velocidad de la corriente no perturbada (𝑈∞). Esto es:
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Tensión de Corte en la pared
Que si vemos en la tabla, el valor de 𝜂 que corresponde a 𝑓′(𝜂) = 0,99 es 𝜂 = 5. Los
valores de esta fila (𝜂 = 5) corresponderán a los valores en el borde de la capa límite. En
cuanto la fila de 𝜂 = 0 corresponderá al borde de la placa plana. Nótese que en este último
caso 𝑓′(𝜂) = 0, que asociamos a que 𝑢 = 0.
¿Pero qué significado físico tiene la columna 
de 𝒇′′(𝜼)?
Sabemos por definición que la tensión de corte es:
Y por lo calculado previamente:
Y como:
Es decir que 𝑓′′(𝜂) está directamente relacionada con la tensión de corte. Si observamos la tabla, el 
valor máximo de 𝑓′′(𝜂) corresponde a 𝜂 = 0, esto es en el borde de la placa plana.
Si reemplazamos este valor de 𝑓′′(𝜂) en la expresión hallada, podemos obtener la tensión
de corte 𝜏0 (en el borde de la placa) cuando varía x:
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Para el elemento de área marcado en el esquema,
la resistencia viscosa vendrá dada por:
Siendo:
Capa Limite sobre una Placa Plana
Coeficiente de Fricción
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Introduciendo el coeficiente de resistencia viscosa:
Siendo la presión dinámica. Igualamos las expresiones de resistencia y despejamos 
𝐶𝐷𝜇:
Como vimos 
Simplificando:
Expresión que nos permite calcular la resistencia viscosa 
total que actúa sobre la
superficie de la placa plana, para números de Reynolds 
menores a 105.
Capa Limite sobre una Placa Plana
Coeficiente de Fricción
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El valor de Reynolds 3,2 . 105 corresponde a la coordenadas x de transición (𝑥𝑇).
Desafortunadamente, debido al comportamiento caótico del flujo turbulento, el 
coeficiente 𝐶𝐷𝜇para una capa límite turbulenta no se puede determinar fácilmente 
mediante un análisis teórico. Por lo tanto se acude a resultados experimentales para 
definir expresiones empíricas aproximadas.
Tenemos para flujo turbulento de alto Reynolds:
Y si se aumenta la velocidad, para 𝑅𝑒 > 107:
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Coeficiente de Fricción
02/11/2019 46Unidad 7: Flujo Viscoso Incompresible ExternoMecánica de Los Fluidos Ingenieria Mecánica
En un gráfico 𝐶𝐷𝜇= 𝑓(𝑅𝑒):
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Coeficiente de Fricción