U7 Teorema de Gauss

Vista previa del material en texto

Ejercicios para aplicar Gauss 
13.-Flujo de 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 𝑥 𝑦 + 𝑧 , 𝑦 , 𝑥 − 3 𝑦) 
A través de la superficie (cerrada) formada por 
 2 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 6; y los planos cartesianos, con la orientación de la normal hacia afuera. 
Ver grafico  https://www.geogebra.org/3d/w7ckcrye 
0 ≤ 𝑥 ≤ 3
0 ≤ 𝑦 ≤ 3 − 𝑥
0 ≤ 𝑧 ≤ 6 − 2 𝑥 − 2 𝑦
 
Observamos el cumplimiento de las hipótesis del teorema y lo podemos aplicar: 
 por Gauss 
(𝑉. 𝑛) 𝑑𝜎 = 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑥
 + 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
 + 
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 = 2 𝑦 + 2 𝑦 = 4 𝑦 
𝐹 = 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 4 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
 
 
 
= 4 𝑦 (6 − 2 𝑥 − 2 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4 𝑦 (6 − 2 𝑥 ) − 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 
 
= 4 𝑦 (3 − 𝑥) − 
2
3
 𝑦
3 − 𝑥
0
 = 4 (3 − 𝑥) (3 − 𝑥) − 
2
3
 (3 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 
=
4
3
 (3 − 𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
3
 (3 − 𝑥)
3
0
 = 27 
 
 
 
 
14.-Flujo de 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 ( 𝑥, 𝑦 , 0) 
A través de la superficie (cerrada) formada por 𝑥 + 𝑦 = 1; 𝑧 = 10 y los planos cartesianos, en el 1° 
octante, con la orientación de la normal hacia afuera. 
Ver grafico  https://www.geogebra.org/3d/vvje9g3y 
Observamos el cumplimiento de las hipótesis del teorema y lo podemos aplicar: 
 por Gauss 
(𝑉. 𝑛) 𝑑𝜎 = 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑥
 + 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
 + 
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 =
4
𝜋
 𝑧 (1 + 1) = 
8
𝜋
 𝑧 
𝐹 = 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
8
𝜋
 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
8
𝜋
 𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝑧 
Pasamos a coordenadas cilíndricas por tener una simetría cilíndrica: 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
0 ≤ 𝜑 ≤ 
𝜋
2
0 ≤ 𝑧 ≤ 10
 
 
𝐹 =
8
𝜋
 𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝑧 = 100 
 
 
 
15.-Verificar el resultado del ejercicio 11.e) 
�⃗�(𝑥, 𝑦 , 𝑧) = (0; 0; 𝑥 𝑦 + 𝑦 ); 𝜎: 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 1 𝑦 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 
 (𝑉. 𝑛) 𝑑𝜎 = 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 = 0 => 𝐹 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0 
 
 
 
16)a) Verificar Gauss 
𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧 ) 
𝜎 = 𝜎 ∪ 𝜎 
𝜎:
𝑥 = 𝑦 + 𝑧 → 𝜎 
𝑥 = 4 → 𝜎
 
Ver grafica  https://www.geogebra.org/3d/z2fafbmk 
 
 Por Gauss 
(𝑉. 𝑛) 𝑑𝜎 = 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
I.-Primero calculamos la integral triple, por ser más sencilla. 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 = 2 + 3 𝑧 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 2 + 3 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
Como hay una simetría cilíndrica, pasamos a coordenadas cilíndricas 
𝑟 = 𝑦 + 𝑧 → 
𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑧 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 
0 ≤ 𝑟 ≤ 2
0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋 
𝑟 ≤ 𝑥 ≤ 4
 
𝑟(2 + 3 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑) 𝑑𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 2 𝑟 + 3 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝜑
 
 = 
= (4 − 𝑟 )(2 𝑟 + 3 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑) 𝑑𝑟 𝑑𝜑
 
 = 
= 8 𝑟 − 2 𝑟 + (12 𝑟 − 3 𝑟 ) 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝑟 𝑑𝜑 =
 
 
= 8 𝑑𝜑
 
 + 16 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝜑
 
 = 16 𝜋 + 16 𝜋 = 32 𝜋 
 
 
 
II.-Ahora calculamos la integral doble. 
𝜎 = 𝜎 ∪ 𝜎 => = + => 𝐹 = 𝐹 + 𝐹 
 
Superficie 𝜎 : 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 => 𝑛 = ∇
⃗
∇ ⃗
=
( , , )
( )
 
 
𝑉. 𝑛 = (𝑥, 𝑦, 𝑧 ) 
(−1, 2 𝑦, 2 𝑧)
1 + 4(𝑦 + 𝑧 )
= 
−𝑥 + 2 𝑦 + 6 𝑧
1 + 4(𝑦 + 𝑧 )
 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛 )
𝑑𝑧 𝑑𝑦
|𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥⃐ |
= 
−𝑥 + 2 𝑦 + 6 𝑧
1 + 4(𝑦 + 𝑧 )
 
𝑑𝑧 𝑑𝑦
1
1 + 4(𝑦 + 𝑧 )
 
Pasamos a polares porque hay simetría polar: 
𝜎 :
𝑥 = 𝑟 
𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑧 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑
 
0 ≤ 𝑟 ≤ 2
0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋
 
𝐹 = −𝑦 − 𝑧 + 2 𝑦 + 2 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = −𝑧 + 𝑦 + 2 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 
𝑟(−𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 + 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 2 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 𝑟 (𝑐𝑜𝑠 𝜑 − 𝑠𝑒𝑛 𝜑) + 2𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝑟 𝑑𝜑 
𝑟 (𝑐𝑜𝑠 𝜑 − 𝑠𝑒𝑛 𝜑) + 2𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝑟 𝑑𝜑 =
𝑟
4
(𝑐𝑜𝑠 𝜑 − 𝑠𝑒𝑛 𝜑) +
𝑟
3
𝑠𝑒𝑛 𝜑|
2
0
 𝑑𝜑 
𝑟
3
𝑠𝑒𝑛 𝜑|
2
0
 𝑑𝜑 = 16𝜋 
Superficie 𝜎 : 
𝑥 = 4
𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑧 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑
 
0 ≤ 𝑟 ≤ 2
0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋
 𝑛 = (1, 0, 0) → 𝑉. 𝑛 = 𝑥 
𝐹 = (𝑉. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (𝑉. 𝑛 )
𝑑𝑧 𝑑𝑦
|𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥⃐ |
 = 4 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 16 𝜋 
= 4 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 8 𝑑𝜑 = 16𝜋 
𝐹 = 𝐹 + 𝐹 = 16 𝜋 + 16 𝜋 = 32 𝜋 
Verifica: las integrales calculadas en I y II coinciden numéricamente 
16)b) Verificar Gauss 
𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥𝑧 − 𝑦, 0) 
𝜎 = 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 
𝜎:
 1 = 𝑥 + 𝑧 → 𝜎 ; 𝜎 
𝑦 = 0 → 𝜎
𝑦 = 1 → 𝜎 
 
Ver grafica  https://www.geogebra.org/3d/wzfqny5z 
(𝑉. 𝑛) 𝑑𝜎 = 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
I.-Primero calculamos la integral triple, por ser más sencilla. 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 = 1 − 1 = 0 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0 
II.-Ahora calculamos la integral doble. 
𝜎 = 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 => = + + + => 𝐹 = 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 
 
Superficie 𝜎 : 1 = 𝑥 + 𝑧 => 𝑛 = ∇
⃗
∇ ⃗
=
( , , )
( )
= (𝑥, 0, 𝑧) 
𝑉. 𝑛 = (𝑥 − 𝑦, 𝑥𝑧 − 𝑦, 0) . (𝑥, 0, 𝑧) = 𝑥 − 𝑥𝑦 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛 )
𝑑𝑧 𝑑𝑦
|𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥⃐ |
= 𝑥2 − 𝑥𝑦 
𝑑𝑧 𝑑𝑦
|𝑥|
= |𝑥| − 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 
𝑥 = |𝑥 𝑥| = |𝑥||𝑥| => 
𝑥
|𝑥|
 = |𝑥| ; −
𝑥 𝑦
|𝑥|
 = − 𝑦 
|𝑥| =
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
 
𝐹 = 1 − 𝑧 − 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 1 − 𝑧 − 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 
Por tabla integral Nro 245 
𝐹 = 1 − 𝑧 − 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 =
𝑧 √1 − 𝑧
2
+
1
2
 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑧) − 𝑦𝑧
1
−1
 𝑑𝑦 = 
=
𝑧 √1 − 𝑧
2
+
1
2
 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑧) − 𝑦𝑧
1
−1
 𝑑𝑦 =
𝜋
2
− 2𝑦 𝑑𝑦 =
𝜋
2
𝑦 − 𝑦
1
0
=
𝜋
2
− 1 
𝐹 =
𝜋
2
− 1 
 
Superficie 𝜎 : 1 = 𝑥 + 𝑧 => 𝑛 = ∇
⃗
∇ ⃗
=
( , , )
( )
= (𝑥, 0, 𝑧) 
𝑉. 𝑛 = (𝑥 − 𝑦, 𝑥𝑧 − 𝑦, 0) . (𝑥, 0, 𝑧) = 𝑥 − 𝑥𝑦 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛 )
𝑑𝑧 𝑑𝑦
|𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥⃐ |
= 𝑥2 − 𝑥𝑦 
𝑑𝑧 𝑑𝑦
|𝑥|
= |𝑥| + 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 
𝑥 = |𝑥 𝑥| = |𝑥||𝑥| => 
𝑥
|𝑥|
 = |𝑥| ; −
𝑥 𝑦
|𝑥|
 = 𝑦 
|𝑥| =
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
 
𝐹 = 1 − 𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 1 − 𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 
Por tabla integral Nro 245 
𝐹 = 1 − 𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 =
𝑧 √1 − 𝑧
2
+
1
2
 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑧) + 𝑦𝑧
1
−1
 𝑑𝑦 = 
=
𝑧 √1 − 𝑧
2
+
1
2
 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑧) + 𝑦𝑧
1
−1
 𝑑𝑦 =
𝜋
2
+ 2𝑦 𝑑𝑦 =
𝜋
2
𝑦 + 𝑦
1
0
=
𝜋
2
+ 1 
𝐹 =
𝜋
2
 + 1 
 
Superficie 𝜎 : 𝑦 = 0 => 𝑛 = (0, −1, 0) 
𝑉. 𝑛 = (𝑥 − 𝑦, 𝑥𝑧 − 𝑦, 0) . (0, −1, 0) = −(𝑥𝑧 − 𝑦) 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛 )
𝑑𝑧 𝑑𝑥
|𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑦⃐ |
= − (𝑥𝑧 − 𝑦)
𝑑𝑧 𝑑𝑥
|−1|
 
Pasamos a polares porque hay simetría polar: 
 
𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋
 
𝐹 = −𝑟 𝑟 (𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑒𝑛𝜑) 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = − 𝑟 𝑟 (𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑒𝑛𝜑) 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = −
1
4
(𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑒𝑛𝜑) 𝑑𝜑 
𝐹 = −
1
4
𝑠𝑒𝑛 (𝜑)
2
2𝜋
0
= −
1
4
[0] = 0 
𝐹 = 0 
 
Superficie 𝜎 : 𝑦 = 1 => 𝑛 = (0, 1, 0) 
𝑉. 𝑛 = (𝑥 − 𝑦, 𝑥𝑧 − 𝑦, 0) . (0, 1, 0) = 𝑥𝑧 − 𝑦 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛 )
𝑑𝑧 𝑑𝑥
|𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑦⃐ |
= (𝑥𝑧 − 𝑦)
𝑑𝑧 𝑑𝑥
|1|
 
Pasamos a polares porque hay simetría polar: 
 
𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋
 
𝐹 = 𝑟 [𝑟 (𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑒𝑛𝜑) − 1 ]𝑑𝑟 𝑑𝜑 = [𝑟 (𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑒𝑛𝜑) − 𝑟] 𝑑𝑟 𝑑𝜑 =
1
4
(𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑒𝑛𝜑) −
1
2
 𝑑𝜑 
𝐹 =
1
4
𝑠𝑒𝑛 (𝜑)
2
−
1
2
𝜑
2𝜋
0
=
1
4
[0] −
1
2
 2𝜋 = −𝜋 
 
𝐹 = 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 =
𝜋
2
− 1 +
𝜋
2
+ 1 + 0 − 𝜋 = 0 
Verifica 
 
16)c) Verificar Gauss 
𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎𝑥, 𝑏𝑦, 𝑐𝑧) 
𝜎 = 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 
𝜎:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
 9 = 𝑦 + 𝑧 → 𝜎
𝑥 = 2 → 𝜎
𝑧 = −𝑦 → 𝜎
𝑥 = 0 → 𝜎
𝑦= 0 → 𝜎
 4𝑡𝑜 𝑂𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
 
Ver grafica  https://www.geogebra.org/3d/wvqy378a 
(𝑉. 𝑛) 𝑑𝜎 = 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
I.-Primero calculamos la integral triple, por ser más sencilla. 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 
Como hay una simetría cilíndrica, pasamos a coordenadas cilíndricas 
𝑟 = 𝑦 + 𝑧 → 
𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑧 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 
0 ≤ 𝑟 ≤ 3
𝜋
2
 ≤ 𝜑 <
3
4
 𝜋 
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
 
𝑟(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑑𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝜑
 
 = 
= 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑
 
 = 9(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑑𝜑
 
= 9
𝜋
4
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)