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AEPAEP AEPAEPAEP AEP ELECTROMAGNETISMO SERIE SCHAUM ELECTROMAGNETISMO Teoría y 310 problemas resueltos Joseph A. Edminister AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP DE I 8'BLlOT[C. .T. N' 11 "B. GfJL e.c. [;~ (~AVLORA" LACA'- tiA 535 F~oeRAl SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM 'TEORIA y PROBLEMAS ELECTROMAGNETISMOI .. , [; ~ JOSEPH A. EDMINISTER, M.S.E~ROHI810A Por ..• t; t' L su VENTA de de de TRADUCCION PEDRO ALBARRACIN de s REVISION SANTIAGO PINTO EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMER1CANA S.A. . . . , , , , Delhi, , , , , AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP RESERVADOS TODOS LOS DERECHOS (D.R.) Copyright © 1981, por EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMERICANA S.A. Bogotá, Colombia Ni este libro ni parte de él puede ser reproducido o transmitido de alguna forma o por algún medio electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia o grabación, o por cualquier otro sistema de memoria o archivo, sin el permiso escrito del editor. Traducido de la primera edición de SCHAUM'S OUTLINE SERIES THEORY ANO PROBLEMS OF ELECTROMAGNETICS Copyright © 1979 por McGRA W-HILL, INe., U.S.A. IS BN 968-451-004-7 0987654321 8765432901 Impreso en Colombia Printed in Colombia Impresión: Italgraf S.A., Bogotá, Colombia AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP B'8L10ITCA E}l.EJ. N' 17 un r¡)r I n r ("'AV; ORAfJU._lw,~.L.\"'. '_ L,./-\ L \ LACA;'iR:\ 535 e t». ~EOERAI. I Prefacio El propósito de este libro es servir de complemento a cualquier texto introductorio de electromagne- tismo para ingenieros. Se puede utilizar también como texto independiente en un curso breve de iniciación. Como en los demás compendios de Schaum, se pone el mayor énfasis en la solución de los problemas. Cada capítulo contiene un buen número de problemas con sus soluciones detalladas y ofrece también una serie de problemas suplementarios con las respuestas, precedidas de una descripción simplificada de los principios y razones que se requieren para entenderlos y solucionarlos. Aunque los problemas electromag- néticos del mundo físico suelen ser complejos, preferimos presentar en esta obra problemas más bien cortos y sencillos. Esto parece ventajoso para el estudiante que necesita aclarar un punto específico como para el que tiene que utilizar el libro con el fin de repasar la materia. Las matemáticas han sido manejadas con la mayor sencillez y se ha procurado no recurrir a la abstracción. Damos abundantes ejemplos concretos y numerosos gráficos y esquemas. He descubierto, en mis largos años de enseñanza, que la solución de la mayoría de los problemas comienza con un dibujo cui- dadoso. Dedico este libro a mis alumnos, pues ellos me han advertido dónde se hallaban las dificultades de los diversos temas. Deseo expresar mi gratitud al personal de McGraw-Hill por su asistencia editorial. Gracias sinceras a Thomas R. Connell por su cuidadosa revisión de los problemas y sus amables sugerencias. Asimismo agradezco a Eileen Kerns su idóneo trabajo mecanográfico. Por último, debo dar las gracias a mi familia, en particular a mi esposa Nina, por su constante apoyo y estímulo, sin los cuales el libro no se hubiera escrito. ]OSEPH A. EDMINISTER AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP B'aL!OT[C~ EPeE.T. N' 11 "B. GrJL. D.C. C'.~ ~,\AVLGnAu L f~A ~"' '\535 ( r!") EOERAl...., 1',,'1''\ .. ~" .• Contenido ANALISIS VECTORIAL 1Capitulo 1 1.1 Notación vectorial 1.2 Algebra vectorial 1.3 Sistemas de coordenadas menes, superficies y elementos diferenciales de línea 1.5 Campos vectoriales formaciones 1.4 Volú- 1.6 Trans- FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO ... 2.1 Ley de Coulomb 2.2 Intensidad del campo eléctrico 2.3 Distribuciones de carga 2.4 Configuraciones estándar de carga 13Capitulo 2 FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS . 27Capitulo 3 3.1 Carga neta en una región 3.2 Flujo eléctrico y densidad de flujo 3.4 Relación entre la densidad de flujo y la densidad de campo eléctrico sianas especiales 3.3 Ley de Gauss 3.5 Superficies gau- DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA . 4.1 Divergencia 4.2 Divergencia en coordenadas cartesianas 4.3 Divergencia de D 4.4 El operador nabla 4.5 El teorema de la divergencia 39Capitulo 4 ENERGICA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA. 50Capitulo 5 5.1 Trabajo realizado en cargas puntuales en movimiento 5.2 Potencial eléctrico entre dos puntos 5.3 Potencial de una carga puntual 5.4 Potencial de una distribución de carga 5.5 Gradiente 5.6 Relación entre E y 5.7 Energía en campos eléctricos estáticos CORR1ENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES . 6.1 Introducción 6.2 Cargas en movimiento 6.3 Densidad de la corriente de convec- ción J 6.4 Densidad de la corriente de conducción J 6.5 Conductividad (J . 6.6 Co- rriente 1 6.7 Resistencia 6.8 Densidad de la corriente laminar K 6.9 Continuidad de la corriente 6.10 Condiciones límites en conductor-dieléctrico 65Capitulo 6 CAPACITANCIA Y MATERIALES DIELECTRICOS 81Capitulo 7 7.1 Polarización P y permitividad relativa e, 7.2 D Y E de voltaje constante 7.3 D Y E de carga constante 7.4 Condiciones límites en la entrecara de dos capacitancias dieléctri- AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP CONTENIDO cas 7.5 Capacitancia 7.6 Condensadores de varios dieléctricos 7.7 Energía almace- nada en un condensador. Capitulo 8 96ECUACION DE LAPLACE . 8.1 Introducción 8.2 Ecuaciones de Poisson y de Laplace 8.3 Formas explicitas de la ecuación de Laplace 8.4 Teorema de la unicidad 8.5 Teoremas del valor medio y del valor máximo 8.6 Soluciones cartesianas en una variable 8.7 Solución del producto cartesiano 8.8 Solución del producto cilíndrico 8.9 Solución del producto esférico Capítulo 9 113LEY DE AMPERE Y EL CAMPO MAGNETICO 9.1 Introducción 9.2 Ley de Biot-Savart 9.3 Ley de Ampere 9.4 Rotacional 9.5 Densidad de corriente J y V x H 9.6 Densidad de flujo magnético B 9.7 Potencial vectorial magnético A 9.8 Teorema de Stokes Capítulo 10 128FUERZAS Y TORQUES EN LOS CAMPOS MAGNETICOS . 10.1 Fuerza magnética sobre las partículas 10.2 Campos eléctricos y magnéticos combi- nados 10.3 Fuerza magnética sobre un elemento de corriente 10.4 Trabajo y potencia 10.5 Torque 10.6 Momento magnético de una bobina planar Capítulo 11 140INDUCTANCIA Y CIRCUITOS MAGNETICOS . 11.1 Voltaje de autoinducción 11.2 Inductores e inductancia 11.3 Formas estándar 11.4 Inductancia interna 11.5 Circuitos magnéticos 11.6 Alinealidad de la curva B-H 11.7 Ley de Ampere para circuitos magnéticos 11.8 Núcleos con espacios de aire 11.9 Bobinas múltiples 11.10 Circuitos magnéticos paralelos Capitulo 12 160CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO Y FEM INDUCIDA . 12.1 Corriente de desplazamiento 12.2 Razón entre le y ID 12.3 Ley de Faraday 12.4 Conductores en movimiento a través de campos independientes del tiempo 12.5 Con- ductores en movimiento a través de campos dependientes del tiempo Capitulo 13 ECUACION DE MAXWELL Y CONDICIONES LIMITES . 172 13.1 Introducción laminar en el límite 13.2 Relaciones límites para campos magnéticos 13.3 Corriente 13.4 Resumen de las condiciones límites 13.? Ecuacionesde Maxwell Capitulo 14 181ONDAS ELECTROMAGNETICAS . 14.1 Introducción 14.2 Ecuaciones de onda 14.3 Soluciones en coordenadas cartesia- nas 14.4 Soluciones para medios parcialmente conductores 14.5 Soluciones para dieléc- trico perfectos 14.6 Soluciones para buenos conductores 14.7 Profundidad de penetración 14.8 Ondas reflejadas 14.9 Ondas estacionarias 14.10 Potencia yvector de Poynting APENDICE 197 INDICE 199 AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP Capítulo 1 Análisis vectorial 1.1 NOT ACION VECTORIAL Para distinguir (cantidades que tienen magnitud y dirección) de (cantidades que tie- nen solo magnitud) los vectores se denotan con símbolos en negrilla. Un de valor absoluto (o magnitud o dimensión) 1, se indica siempre en este libro, por una letra minúscula en negrilla a. El vector unidad que tiene la dirección del vector A se determina dividiendo A por suvalor absoluto: A ,A aA = IAI o donde IAI = A = ~ (ver sección 1.2). Mediante los vectores unidad a ,; ay y a , a lo largo de los ejes y de un sistema de coordenadas cartesianas, un vector cualquiera puede ser escrito en de A = A"a" + + 1.2 ALGEBRA VECTORIAL l. Los vectores pueden sumarse y restarse: A B = a" + + + + ) + + 2. Las leyes asociativa, distributiva y conmutativa se aplican A + (B + C) = (A + B) + e A+B=B+A 3. El de dos vectores es, por definición, A- B = cos 8 (léase "A punto B") donde 8 es el ángulo menor entre A y B. Con la representación de componentes se puede demostrar que A - B = + + A-A= " y z En particular, 4. El de dos vectores es, por defi- nición, A x B = sen 8}a" (léase" A cruz B") donde 8 es el ángulo menor entre A y B Ya n es un vector unidad normal al plano determinado por A y B cuando estos parten de ' un punto común. Existen dos vectores normales a este plano, así que se necesita determinar uno para mayor claridad. El vector normal que se selecciona es aquél que avanza en la misma dirección de un tornillo de rosca derecha cuando A es Fig. 1-1 - AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP 2 ANALISlS VECTORIAL [CAP. 1 rotado hacia B(figura 1-1). Debido a este requisito de dirección.la ley conmutativa no se cumple para el pro- ducto vectorial. En cambio, se cumple que AxB=-BxA Desarrollando el producto vectorial en forma de componentes, tenemos A x B = (Axax + + Aza.) x (Bxax + + B.a.) = B, - + ( - A~ . + ( - Bx}az lo que se expresa convenientemente como un determinante: ax aya. A x B = s, s, 1.3 SISTEMAS DE COORDENADAS U n problema que tenga simetría esférica o cilíndrica puede ex presarse y resolverse en el sistema familiar de coordenadas cartesianas. Sin embargo, la solución no mostrará la simetría y, en muchos casos, será innece- sariamente compleja. Por consiguiente, a lo largo de este libro, además de los sistemas de coordenadas carte- sianas, se usarán los sistemas de coordenadas esféricas y circular cilíndricas. Todas las tres serán analizadas conjuntamente para ilustrar las similitudes y las diferencias. z z r P(r, q¡, z) I Iz k---+-----y 8 J, P(r, 8, 4» / I / I / I.x-'--;,---•...y I 4> 'J ~ P(x,y,z) I iz I • I / I . / 1// X _._-_._-- (a) Cartesianas (b) Cilíndricas (e) Esféricas Fig.I-2 Un punto queda determinado por tres coordenadas en cartesiano (x, )', z), en circular cilíndrico (r, cp, z) y en esférico (r, O, ), tal como se muestra en la figura 1-2. El orden de especificación de las coordena- das es importante y debe seguirse cuidadosamente. El ángulo ifJ es el mismo en los sistemas esférico y cilíndrico. Pero, en el orden de las coordenadas, ifJ aparece en segundo lugar en el cilíndrico tr, cP, z) y en tercer lugar en esférico, (r, O, cP). El mismo símbolo, r, se usa en los sistemas cilíndrico y esférico para significar dos z z = const. I----+- z z , = const. 8 = const. /----+- I----y = const, 4> = consto 4> = const. (a) Cartesiano (b) Cilíndrico (e) Esférico Fig. 1-3 AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP - CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL cosas completamente diferentes. En coordenadas cilíndricas mide la distancia desde el eje hasta el punto en un plano normal al eje mientras que en el sistema esférico, mide la distancia del origen al punto. El con- texto del problema debe aclarar a cuál se hace referencia. La intersección de 3 superficies ortogonales determina también un punto, tal como se muestra en la figura 1-3. En coordenadas cartesianas las superficies son los planos = constante, = constante y = cons- tante. En coordenadas cilíndricas, z = constante, es el mismo plano infinito que en las coordenadas carte- sianas, = constante es medio plano con su borde a lo largo del eje y = constante es un cilindro recto circular. Estas tres superficies son ortogonales y su intersección se localiza en el punto . En coordenadas esféricas.ó = constante es el mismo medio plano que aparece en las coordenadas cilíndricas, =constante es una esfera con centro en el origen y O es un cilindro circular recto cuyo eje es el eje z y cuyo vértice está en el origen. Obsérvese que O está limitado al rango O::; O n. zz z - 3<1> }-----+-y }-----+-y (b) Cilíndrico (e) Esférico(a) Cartesiano Fig. 1-4 La figura 1-4 muestra los tres vectores unidad en el punto P. En el sistema cartesiano los vectores unidad. tienen direcciones fijas, independiente de la localización de P. Esto no sucede en los otros dos sistemas (excepto en el caso de a.). Cada vector unidad es normal a las superficies de coordenadas y tiene la dirección de incremento de esas coordenadas. Obsérvese que todos los sistemas son de mano derecha: Las formas de componentes de un vector en los tres sistemas son: A = + + Azaz A = Arar + A",a", + Azaz A = Arar + o o + A",a", (cartesiano) (cilíndrico) (esférico) Debe notarse que los componentes etc., no son generalmente constantes sino a menudo funciones de las coordenadas en el sistema particular. 1.4 VOLUMEN, SUPERFICIE Y ELEMENTOS DIFERENCIALES DE LINEA Cuando las coordenadas del punto se desarrollan en (x + ) ó , , ó (r + dr, O+ de, + se forma un volumen diferencial . En cantidades infinitesimales de primer orden el volumen diferencial es, en los tres sistemas coordenadas, una caja rectangular. El valor de d en cada sistema aparece en la figura 1-5. En la figura 1-5 pueden también verse las áreas de los elementos de superficie que limitan el volumen diferencial. Por ejemplo, en coordenadas esféricas, el elemento diferencial de superficie perpendicular a a, es = dO senO = 2 senO dO 3 AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP 4 z ~------------~ y (a) Cartesiano ANALISIS VECTORIAL [CAP. 1 . = do =,2 sen O dñ (b) Cilíndrico ( e) Esférico Fig. 1-5 El elemento diferencial de línea, di. es la diagonal a través de P, por lo que dt2 = 2 + + 2 dt2 = 2 + r2 + 2 dt2 = 2 + r2 + r2sen 2 () 1.5 CAMPOS VECTORIALES (cartesiano) (cilíndrico) (esférico) Las expresiones vectoriales en electro magnetismo son de tal naturaleza que generalmente los coeficien- tes de los vectores unidad contienen las variables. Por esto, la expresión cambia de magnitud y dirección, de punto a punto, a través de la región de interés. Considere por ejemplo, el vector E= -xax + yay Dando diferentes valores a y a se ob- tiene E en varios puntos. Después que varios puntos han sido examinados, el patrón resulta evidente. La figura 1-6 muestra este campo. Además, un campo vectorial puede variar con el tiempo. De esta manera al campo bidimensional examinado puede agregársele una variación temporal me- diante la expresión E = (-xax + yay)senwt ó Los campos magnéticos y eléctricos de los capítulos posteriores variarán todos con el tiempo. Como es de esperarse, serán diferenciados o integrados respecto del tiempo. Sin embargo, ambas operaciones tendrán un curso natural y muy raramen- te causarán gran dificultad. ----------~==~------+_------~~----------- Fig.l-6 \ AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL 5 1.6 TRANSFORMACIONES El vector o el campo vectorial de un problema particular existe en el mundo real y, por tanto, el sistema de coordenadas que se emplea para expresarlo es únicamente un marco de referencia. Una buena elección del sistema de coordenadas puede llevar a menudo a una solución más directa del problema y a una expresión final más concisa. que muestre la simetría que esté presente. Sin embargo, es necesario a veces transformar un campo vectorial, de un sistema a otro. EJEMPLO 1: Considérese A = 51"11p + 2senq,a, + 2oos8a. en coordenadas esféricas. Las variables , 8. q, pueden expresarse en un sistema de coordenadas cartesianas recurriendo a la figura 1-2 y aplicando la trigonometría básica. De esta manera cos (J = -;::::;==;===;:: . + l-+ Z2 y tanq, =- Ahora las componentes esféricas del campo vectorial A pueden expresarse en términos de , y así: Los vectores unidad a,. a , ya-</> pueden expresarse también en un sistema de coordenadascartesianas recurriendo a la figura 1-4 y aplicando trigonometría básica. En fecto, Combinando éstas con las componentes transformadas resulta Problemas resueltos 1.1. Demuestre que el vector dirigido de M(x).y). z)) a N(X2. Y2' z2) en la figura 1-7 está dado por - x¡)a" + ( 2 - + - z1)a: Lascoordenadas de M y N se utilizan para expre- sar los dos vectores de posición A y B de la figura 1-7_ A = xla.x + Ylay + zla. B = X2a.x + Y2ay + Z2a. ~------ Entonces Fig.I-7 AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP 6 ANALlSIS VECTORIAL [CAP. 1 1.2. Determine el vector A dirigido de (2,- 4, 1)a (0,- 2, O) en coordenadas cartesianas y determine el vector unidad a lo largo de A. A = (O- 2)a" + (- 2 - ( - 4))ay+ (O- 1)a. = - 2a" + 2a, - a. IAI2 = (_2)2 + (2)2 + (_1)2 = 9 A 221 aA = 1AT = - 3a" + 3a, - 3a• 1.3. Determine la distancia entre (5, 3 1t/2, O) Y (5, 1t /2, 10) en coordenadas cilíndricas. Primero, obténgase los vectores de posición A y B (ver figura 1-8). z (S,1t/2,tO) A = -5ay B = 5ay + lOa. \ Entonces B - A = lOa, + 10a.y la distancia buscada entre los puntos es. lB-Al = Las coordenadas cilíndricas de los puntos no pueden utilizarse para obtener un vector entre los puntos con el mismo método que se siguió en el pro- blema 1.1 en coordenadas cartesianas. <p = 1t/2 Fig. 1-8 1.4. Muestre que B = + + Exprese el producto escalar en forma de componentes: B = (A"a" + + + b,«, + .) = a,,) • + (A"a,,)' ay) + a,,) . + ay) . a,,) + ay) • ay}+ ay) • a.) + a.) • a,,) + a.) . ay) + a.) . a.) Sin embargo, al<' a" = ay= a•• a. = 1puesto que cos 8enel producto escalar es iguala la unidad cuando el ángulo es cero. Cuando 8 = 90°, cos 8 es cero. En consecuencia, todos los otros productos escalares de los vectores unidad son iguales a cero. Así pues: A • B = + + 1.5. Dados A = 2a" + 4ay - 3a", y B = a" - hallar B Y A x B. A' B = (2)(1) + (4)( -1) + (-3)(0) = -2 l a" a, a. I A x B = 2 4 - 3 = - 3a" - 3ay - 6a. , 1 -1 O 1.6. Demuestre que A = 4a" - 2a)' - a. y B = a" + 4a)' - 4a", son perpendiculares. Como el producto escalar contiene cos 8, un producto escalar igual a cero, proveniente de dos vectores cualesquiera diferentes de cero, implica que (J = 900. A . B = (4)(1) + (-2)(4) + (-1)( -4) = O AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL 1.7. Dados A = 2a" + 4ay y B = 6ay - 4az, encuentre el menor ángulo entre ellos usando (a) el producto vectorial, (b) el producto escalar. (a) A x B = ~ a,o I = -16a" + 8ay + 12a. O 6 -4 IAI = (2)2 + (4)2 + (0)2 = 4.47 IBI = + (6)2 + (_4)2 = 7.21 lA x BI = J( -16)2 + (8)2 + (12)2 = 21.54 (b) Entonces, como lA x BI = IAIIBI sen 8, 21.54 sene = ( )( ) = 0.668 4.47 7.21 A' B = (2)(0) + (4)(6) + (0)( -4) = 24 =~= 24 =0745 cose IAIIBI (4.47)(7.21) Ó ó 1.8. Dado F = - l)a" + , hallar el vector en (2,2, 1) Y su proyección sobre B, donde B = 5a" - ay + 2a •. F(2,2, 1) = (2 - l)a" + (2)(2)ay = a" + 4ay Como se indica en la figura 1-9, la proyección de un vector sobre un segundo vector se obtiene expresando el vector unidad en la dirección del segundo vector y utilizando el producto escalar. \ A B Proy. A sobre B= A' B =W Entences, en (2, 2, 1), B (1)(5) + (4)(-1) + (0)(2) 1 Proy. F sobre B = lBT = = Proy. A sobre B Fig.1-9 1.9. Dados A = a" + ay, B = a" + 2az, y e = 2ay + a,; halle (A x B) x e y cornpárelo con A x (B x C). l a" (A x B) xC = ~ aya" - 2 - 1 = - 2ay + 4a. 2 1 Entonces Un cálculo similar da A x (B x C) = 2a" - 2ay + 3a•. Como se ve, los paréntesis que indican que el producto vectorial debe efectuarse primero, son esenciales en el triple producto vectorial. En el problema 1.9, B x e = - 4a" - ay + 2a.. Entonces 1.10. Utilizando los vectores A, B Ye del problema 1.9, halle A • B x e y cornpárelo con A x C. B x e = (1)(-4) + (1)(-1) + (0)(2) = -5 7 AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP 8 ANALISIS VECTORIAL . l. También en el problema 1.9, A x B = 2ax- 2ay- a, . Entonces A x e = (2)(0) + (-2)(2) + (-1)(1) = -5 Los paréntesis no son necesarios en el triple producto escalar ya que sólo tienen significado cuando el pro- ducto vectorial ha de efectuarse primero. En general, puede demostrarse que: Siempre y cuando los vectores aparezcan en el mismo orden cíclico, el resultado es el mismo. Los productos escalares triples que se aparten de este orden cíclico sufren un cambio de signo. I.lI. Exprese el vector unidad que apunta desde z = h en el eje z hacia (r, if>, O) en coordinadas cilíndricas. Ver figura 1-10. h El vector R es la diferencia de dos vectores: R = ra, - R ra, - haz aR = - = ---..,==~-=- IRI 2 + h2 El ángulo <jJno aparece explícitamente en estas expresiones. De todas maneras, tanto R como a varían con <jJpor inter- medio de a.. Fig. 1-10 1.12. Exprese el vector unidad dirigido hacia el origen desde un punto arbitrario del plano z = - 5, tal como se muestra en la figura 1-11. Como el problema está planteado en coordenadas carte- sianas, se puede aplicar la fórmula del problema 1.1 referente a dos puntos. x R = - xax - yay + 5az -xax - yay + 5azaR = --;~=~~:::---= Fig. 1-11 1.13. Use el sistema de coordenadas esféricas para hallar el área de la franja ~ :=;;; () :=;;; sobre la concha esférica de radio a (figura 1-12). ¿Cuál es el resultado cuando ~ = O Y = 1t? El elemento diferencial de superficie es [véase figura l-5(c)] dS = r2sen8d8d<jJ Entonces P A = J J a2sen8d8d<jJ o • = 2(cos - cos P) Cuando e = 9 y P = 1t, A = 47t02, área de toda la esfera. Fig.I-12 1.14. Desarrolle la ecuación para el volumen de una esfera de radio a partir del diferencial de volumen. En la figura l-5(c), do = r2_sen 8 dr dO d<jJ. Entonces h " • 4 v = J f J r2sen8drd8d<jJ = -3 3 o o o AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL 1.15. Utilice el sistema de coordenadas cilíndricas para hallar el área de la superficie curva de un cilindro recto circular donde r = 2 m, h = 5 m, y 300 ~ ljJ ~ 1200 (véase figura 1-13). El elemento diferencial de superficie es dS = d4J dz. Entonces S 2Kf3 A = f f 2d4Jdz o ~f6 = 571:m2 1.16. Transforme , / de coordenadas cartesianas a cilíndricas, Recurriendo a la figura 1-2(b), x = rcos4J = sen4J = + En consecuencia, En seguida, se obtienen las proyecciones de los vectores unitarios cartesiano s sobre a" a~ y az: a" . a~ = -sen4J ay . a~ = cos 4J a.' a4>= O a,,' a. = O ay' a. = O a% • az = 1 a" . ar = cos 4J a, . a, = sen4J az' a, = O Así pues a" = cos 4Ja, - sen4Ja4> ay = sen4Ja, + cos 4Ja4> ll:= az y Sm Fig. 1-13 1.17. Un vector de magnitud 10 apunta en coordenadas cilíndricas de (5, 51t/4, O) hacia el origen (figu- ra 1-14), Exprese el vector en coordenadas cartesianas. En coordenadas cilíndricas, el vector puede ser expresado como lOa" donde 4J= 71:/4.En consecuencia 71: 10 = lOcos-=-.- " 4 fi 71: 10 = lOsen-=- y 4 fi . = O así que Obsérvese que el valor de la coordenada radial, 5, es innecesario. Problemas suplementarios 1.18. Dados A = 4ay + lOa. y B = 2a" + 3ay, encuentre la proyección de A sobre B. Fig. 1-14 esp. 12/,ji3 1.19. Dados A = (lO/fi)(a" + a.) y B = 3(ay+ a.), exprese la proyección de B sobre A como un vector en la dirección de A, sp. 1.50 (a" + a.) - 9 AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP 10 [CAP. 1ANALlSIS VECTORIAL 1.20. Halle el ángulo entre A = lOay+ 2a. y 8 = - 4ay + 0.5 a. usando tanto el producto escalar como el producto vectorial. sp. 161.5° 1.21. Halle el ángulo entre A = 5.8ay + 1.55a. y 8 = - 6.93 ay+ 4.0 a. usando tanto el producto escalar como el producto vectorial. sp. 135° 1.22. Dado el plano 4x + + 2z = 12, halle el vector unidad normal a la superficie dirigido hacia afuera del origen. - . (4a" + 3ay + 2a.)/j2§ 1.23. Demuestre que los campos vectoriales A y B son siempre perpendiculares si + + = O. 1.24. Halle la relación que deben satisfacer las componentes cartesianas de A y B si los campos vectoriales son siempre paralelos. esp. 1.25. Exprese el vector unidad dirigido hacia el or igen desde un punto arbitrario sobre la línea descrita por= O, = 3. esp. -3a - za a = % J9+7 1.26. Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (XI' YI' ZI) desde un punto arbitrario en el plano = -5. esp. 1.27. Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (O, O h) desde un punto arbitrario en el plano = - 2. Ex- plique el resultado cuando h se aproxima a - 2. esp. a= y 1.28. Dados A = 5a" y 8 = 4a" + Byay halle un tal que el ángulo entre A y B sea 45°. Si B tiene también un tér- mino . a., ¿qué relación debe existir entre y esp. = , 1.29. Demuestre que el valor absoluto de A' 8 x e es el volumen del paralelepípedo con aristas A. By C. (Suge- enc Primero demuestre que 18 x CI es el área de la base.) 1.30. Dados A = 2a" - a., 8 = 3a" + ay, y e = -2a" + 6ay - 4a., demuestre que C es perpendicular a B y a A. 1.31. DadosA = a" - ay, 8 = 2a%yC = -a" + 3ay, halle A' 8 x C. Examine otras variantes del triple producto escalar. esp. - 4 1.32. Con los vectores del problema 1.31, halle (A x B) x C. esp. -8a. / 1.33. Encuentre el vector unidad dirigido desde (2, - 5, - 2) hacia (14, - 5, 3). sp. 12 5 a=-a +-a 13 x 13 z AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP - [CAP. 1 ANALISIS VECTORIAL 1.34. Indique por qué el método del problema 1.1 no puede ser usado en coordenadas cilíndricas para los puntos ('1' l' ZI) Y 2 2 ) Hágase la misma pregunta respecto de las coordenadas esféricas. 1.35. Verifique que la distancia d entre los dos puntos del problema 1.34 está dada por: 1.36. Halle el vector dirigido desde (10, 3 tt 4, n ] 6) hacia (5, n] 4, n), donde los puntos están dados en coordenadas esféricas. sp. - 9.66 a, - 3.54 ay + 10.61 a, 1.37. Halle la distancia entre (2, ni«, O) y (1, n, 2). Los puntos están dados en coordenadas cilíndricas. 3.53 1.38. Halle la distancia entre (1, n/4, O) y (1, 3n/4, n ). Los puntos están dados en coordenadas esféricas. 2.0 1.39. Utilice coordenadas esféricas e integre para hallar el área de la región O :<:;; :<:;; sobre la concha esférica de radio ¿Cuál es el resultado cuando I = esp. 21 2, = 2 1.40. Utilice coordenadas cilíndricas para hallar el área de la superficie curva de un cilindro circular recto de radio y radio h. sp. 2 1.41. zUtilice coordenadas cilíndricas e integre para obtener el volumen del cilindro circular recto del problema 1.40. sp. 2h 1.42. Utilice coordenadas esféricas para escribir las áreas diferenciales de superficie I y 2 y luego integre para obtener las áreas de las superficies marcadas con 1y 2 en la figura 1-15. sp. n/4, n/6 1.43. Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen de una concha hemisférica de radio interno 2.00 m y radio externo 2.02 m. . 0.162 m3 Fig. 1-15 1.44. Utilizando coordenadas esféricas para expresar el diferencial de volumen, integre para obtener el volumen definido por 1 :<:;; :<:;;2 m, 0:<:;; O :<:;; n/2, y 0:<:;; :<:;; n/2. esp. 7 Ir ti -m 6 1.45. Transforme el vector A = a, + + a, a coordenadas cilíndricas. A = cos c + AysencJ»a, + (- AxsencJ>+ cos cJ»a4>+ a, 1.46. Transforme el vector A = a, + ao + a4>a coordenadas cartesianas. . / 11 - AEP AEP AEPAEPAEPAEP AEPAEPAEPAEP 12 ANALISIS VECTORIAL CAP. 1] 1.47. Transforme el vector F = r-Ia, que está expresado en coordenadas esféricas, a coordenadas cartesianas. F = xax + y + za. 2 + + Z2 1.48. En coordenadas cilíndricas r= constante define un cilindro circular recto y F = Fa, describe una fuerza que es normal en cualquier parte a la superficie. Exprese la superficie y la fuerza en coordenadas cartesianas. xax + . 2 + = const., F = y + 1.49. Transforme el campo vectorial F = 2 cos8a, + sen 8a(¡ a coordenadas cartesianas. 3xzax + + 2 - 2 - . F = --"--"--:-''---'::---:;----''--'--'' 2 + + Z2 1.50. Dibuje el campo vectorial F = ya, + . . Véase figura 1-16. y 5'1r/8 'lr/8 3'1r/8 1E'------.lr-----Ir-----1>-- 'Ir12 Fig. 1-16 --40:::---f---+-:---r---- ~= 'lr/2 ?'lr/8 I ~= plano constante I ~ = 3'1r/8 Z = plano constante O ~ ~ ~ 'lr/2 ~=O Fig. 1-17 Fig. 1-18 1.51. Dibuje el campo de coordenadas cilíndricas F = 2r cos q,a, + ral/>' . Véase figura 1-17. 1.52. Dibuje el campo vectorial del problema 1.49, usando coordenadas esféricas. . Véase figura 1-18.AEP AEP .----------------------------~------~~------------------------ Capítulo 2 Fuerzas de Coulomb e intensidad del campo eléctricozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2.1 LEY DE COULOMB Existe una fuerza entre dos cargas, directamente proporcional a las magnitudes de las cargas e inversa- mente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta es lamlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAley de C ou lomb , desarrollada mediante pequeños cuerpos cargados y una delicada balanza de torsión. En forma vectorial, se establece así: A lo largo de este libro serán utilizadas las unidades SI racionalizadas. La fuerza está dada en newtons (N), la distancia en metros (m)\y la unidad (derivada) de carga es el coulomb (C). El sistema se racionaliza con el factor 41 t, introducido en esta ley para que no aparezca más tarde en las ecuaciones de Maxwell. e es la permi- tivida d del medio, en unidades C2/ N . m2 o, lo que es lo mismo, en faradios por metro (F / m). En el espacio libre o vacío, 10-9 e = (o = 8.854ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAX 10-12 F/m ~ 361 t F/m En un medio diferente al espacio libre, e = iO ir ' donde ir es la permitivida d r e la tiva o consta n te d ie léc tr ica . En todos los problemas y ejemplos se debe suponer un espacio libre y adoptarse el valor aproximado dado de (o', a menos que se establezca lo contrario. Los subíndices ayudarán a identificar la fuerza y a expresar su dirección. De esta manera, describe una fuerza ejercida sobre Q (, donde el vector a2( está dirigido de Q2 a Q (. EJEMPLO 1: Hallar la fuerza ejercida sobre la carga Q ., 20ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ 1 ,C , debida a la carga Q2,_ 300 J 1 ,C , sabiendo que Q. se sitúa en (O, 1, 2) m y Q2 en (2, O, O) m. Como ICes una unidad más bien grande, las cargas se expresan más a menudo en microcoulombs ( ¡ lC ) , nanocou- lombs (nC) o picocoulombs (pC). (Véase apéndice para los prefijos del sistema SI.) Refiriéndonos a la figura 2-1, R21 = -2a" + ay + 2a. 1 a21 = 3" (-2a" + ay + 2a,) z Entonces F, = (20 x 10-6)(-300 x 10-6) (-2a" + ay + 2a,) 47t(10 .9j367t)(3)2 3 = 6 ea" - i - 2a,) N Q2 (2, O, O) x La magnitud de la fuerza es 6 N Y la dirección es tal que Q . es atraída hacia Q2. Fig.2-1 13 y 14 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CA~PO ELECTRICO [CAP. 2 En la región que rodea una carga puntual aislada, existe unmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAcampo de fuer za de simetría esférica. Este se pone en evidencia cuando la cargaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ se halla fija en el origen, como en la figura 2-2, y una segunda carga, Q T' se desplaza por los alrededores de la región. En cada punto actúa una fuerza a lo largo de la línea que une las dos cargas, dirigida hacia fuera del origen, si las cargas son del mismo signo. Esto puede expresarse en coorde- I nadas esféricas así:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA F = QQT 8 T 4nE o r 2 , • Q x Fig.2-2 Fig.2-3 Debe observarse que, a menos que Q T ~ Q , el campo simétrico alrededor de Q está perturbado por Q T . En el punto 1 de la figura 2-3 la fuerza aparece como el vector suma r. = F QT + F Q Esto no debe sorprender, ya que si Q tiene un campo de fuerza, lo mismo sucede con QT' Cuando las dos cargas están en la misma región el campo resultante será, necesariamente, la suma vectorial punto por punto de los dos campos. Este es el pr inc ip io de super posic ión para fuerzas de Coulomb y se extiende a un número cualquiera de cargas. 8 2.2 INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO Supóngase que, en el caso anterior, la carga de prueba Q T es suficientemente pequeña como para no perturbar significativamente el campo de la carga puntual fija Q . Entonces la in tensida d de campo eléc tr ico , E, debida a Q se define como la fuerza por unidad de carga sobre Q T : 1 Q E=-Q F T= - 4 28 , T nEo r Esta expresión de E está dada en coordenadas esféricas quetienen su origen en la posición de Q [figura 2 - 4 ( 0 ) ] . Puede ser transformada a otros sistemas coordenados con el método dado en la sección 1.6. En un sistema arbitrario de coordenadas cartesianas, donde el vector separación R se define en la figura 2 - 4 ( b ) . Las unidades de E son newtons por coulomb (N / C) o, en forma equivalente, voltios por metro (V / m). CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICOZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA z /--I------I~mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAY xZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( a ) Esférico Fig.2-4 2.3 DISTRIBUCIONES DE CARGA E ( b ) Cartesiano Carga volumétrica Cuando una carga está distribuida a través de un volumen dado, cada elemento de carga contribuye al campo eléctrico en un punto externo. Se requiere entonces un proceso sumatorio o de integración para obtener el campo eléctrico total. Aun cuando se sabe que la carga eléctrica más pequeña es un electrón o un protón, es muy útil considerar distribuciones continuas (porque son diferenciables) de carga y definir una densida d de ca r ga por Obsérvense las unidades entre paréntesis. Se pretende establecer que p está dado en C/ m3 siempre que las variables estén expresadas en las unidades SI apropiadas (C para Q y m3 para v ) . Esta convención será utilizada a lo largo de todo el libro. En relación al volumen v de la figura 2-5, cada carga diferencial dQ produce un campo eléctrico diferencial dQ dE = 4 R2 aR 1tE:o en.el punto de observación P . Si se supone que la única carga de la región está contenida dentro del volumen, el campo eléctrico total en P se obtiene por integración sobre el volumen: f pa R E = 4 R2 d v v 1tE:o Carga laminar (superficial) La carga puede estar también distribuida sobre una superficie o una lámina. Entonces cada carga diferencial dQ que esté sobre la lámina produce un campo eléctrico diferencial en el punto P (véase figura 2-6). Si la densida d super fic ia l de ca r ga es ps (C/m2) y si ninguna otra carga se halla presente en la región, entonces el campo eléctrico total en P es E= f p , a R2dS s 41tE:o R . Fig.2-5 P /dE • s Fig.2-6 Carga lineal Si la carga está distribuida sobre una línea, cada elemento diferencial de carga a lo largo de la línea produce un campo eléctrico diferencial 15 IZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 16zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2 enmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP (véase figura 2- 7). Y si la densida d linea l de ca r ga es P t (Cj m) y no existe ninguna otra carga en la región, entonces el campo eléctrico total en P es z-, dE .'R p~ ~ L E = f P t aR 2 dI L 47tEo R Debe hacerse hincapié en que en las tres distribuciones de carga anteriormente citadas y en sus correspondientes integrales para E, el vector unidad aR es variable y depende de las coordenadas del elemento de carga dQ . Así pues, 8R no puede ser sacado del integrando. Fig.2-7 2.4 CONFIGURACIONES ESTANDAR DE CARGA Las integraciones de los tres casos especiales discutidos en la sección 2.3 son innecesarias o de fácil cálculo. Respecto de estas configuraciones estándar (y de otras que serán analizadas en este capítulo) debe anotarse que la carga no está "sobre un conductor". Cuando un problema establece que la carga está distribuida en la forma de disco, por ejemplo, ello no significa que hay un conductor en forma de disco con carga sobre su superficie. (En el capítulo 6, se examinan conductores con carga superficial). Aunque se requiera un esfuerzo de la imaginación se debe mirar estas cargas como algo suspendido en el espacio en una configuración especial. Carga puntual Como se determinó en la sección 2.3, el campo de una sola carga puntual Q está dado por +00 Q E = ---2 a, 47tEor y (coordenadas esféricas) Véase figura 2 - 4 ( 0 ) . . Este es un campo de simetría esférica que cumple una ley del inver so del cua d r a do (como la gravitación). Carga de línea infinita Si la carga está distribuida con densidad un ifo rme P t (C I m) a lo largo de una línea recta in fin ita que escogeremos como eje z, entonces el campo está dado por x E = ~ a (coordenadas cilíndricas) 27tEo r ' Véase figura 2-8. Este campo tiene simetría cilíndrica y es inversamente proporcional a la pr imer a po tencia de la distancia desde la línea de carga. Para una derivación de E, véase el problema 2-9. -00 Fig.2-8 Cargas de plano infinito Si la carga está distribuida con densidad un ifo rme P . (C I m-) sobre un plano in fin ito , entonces el campo está dado por E=~a 2Eo " Véase figura 2-9. Este campo es de magnitud constante y tiene simetría especular con relación al plano de carga. Para una derivación de E, véase el problema 2.12. Fig.2-9 CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO I7 Problemas resueltos 2.1. Dos cargas puntuales.Q¡ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5 0 / - l e ymlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ2 = 10 / - l e , están localizadas en ( -1, 1, - 3) m y (3, 1, O)m res- pectivamente (figura 2-10). Halle la fuerza so- bre QI' z R2l = -4a" - 3az -4a" - 3az a2l = 5 Q lQ 2 F 1 = 2 a21 4nEo R21 = (50 X 10-6)(10-5) (-4a" - 3az) 4n(1O 9 j36n)(5 )2 5 = (0.18)( -0.8a" - 0.6az) N Q ¡ ( - 1 , 1 , - 3 ) Fig.2-10 La fuerza tiene una magnitud de 0.18 N Yla dirección dada por el vector unitario - 0.8 a" - 0.6az• En forma de componentes F¡ = -O.l44a" - 0.108az N 2.2. Respecto de la figura 2-11, halle la fuerza sobre una carga de 100/-le en (O, O, 3) m si cuatro cargas iguales de 20 / - l e están localizadas en los ejes x y y en ± 4 m. Considere la fuerza debida a la carga en y = 4 z (10-4)(20 x 10-6) (-4a, + 3az) 4n(10 9 j36n)(5 )2 5 La componente y se anula por la carga en y = - 4. En forma similar, las componentes x debidas a las otras dos cargas se anulan. Por consiguiente, x Fig.2-11 2.3. Respecto de la figura 2-12, la carga puntual Ql = 300 / - l e , situada en [I, - 1, - 3) experimenta una fuerza F 1 = Sa, - 8ay + 48% N debida a la carga puntual Q2 en (3, - 3, - 2) m. Determine Q2 R 21 = -2a" + 2a, - az Observe que, como z la fuerza dada está a lo largo de R21 (véase proble- ma 1.24), como debe ser. Fig.2-12 Resolviendo. Q2 = - 40 ¡,te. / 18zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2 2.4. Halle la fuerza sobre una carga puntual de 50'J,lC en (O, O, 5) m debida a una carga de 50011:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ , le que está distribuida uniformemente sobre un disco circular r $; 5 m,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZ = O m (véase figura 2-13). La densidad de carga es _5? _500nx 10- 6 -02 0-4C12 P s - - ()2 -. xli m A n 5 (0, O, 5) z En coordenadas cilíndricas, R = -ra, + Sa, Entonces, cada carga diferencial se resuelve en una fuerza diferencial dF = _(5 -: 0_x~1O -: --r-6--,)(p : -: -s-c ; -r _d r _d_< jJ ..,.)(-ra, + 5a.) 4n(1O 9 /36n)(r 2 + 25) J r 2 + 25 , x Fig.2-13 Antes de integrar, obsérvese que la componente radial se anula y que a, es constante. En consecuencia, F = f2n f5 (50 x 10-6)(0.2 x 1O -4 )5 r d r d< jJ o o 4n(1O 9 /36n)(r 2 + 25fl2 a. ,5 r d r [ -1 J s = 90n J (2 2 )312a: = 90n P+2s a: = 16.56.% N o r + 5 r2 + 25 o 2.5. Repita el problema 2.4 para un disco de radio igual a 2 m. Reducir el radio tiene dos efectos: la densidad de carga se aumenta por un factor P 2 = (5)2 = 625 p ¡ (2)2 . mientras la integral sobre r se convierte en 2 r d r fo (r 2 + 25)312 = 0.0143 en lugar de s r d r f (2 2 )312= 0.0586 o r + 5 La fuerza resultante es ( 0.0143 ) F = (6,25) 0.0586 (16.56a: N) = 25.27.: N 2.6. Halle la expresión del campo eléctrico en P debido a una carga puntual Q en ( X I ' Y I , ZI)' Repita el ejercicio con la carga colocada en el origen. Como se muestra en la figura 2-14, z Entonces P ( x , y , z ) Q E=---a 4n(0 R2 R Q (x - x ¡ ) a x + ( y - y ¡ ) a y + (z - z¡)az 4n(0 t(x - X ¡ ) 2 + ( y - y ¡ ) 2 + (z - Z ¡ ) 2 ] 3 1 2 ..)-----~y Cuando la carga estáen el origen, E =.J?..- x a x + y a y + za: 4n(0 ( X 2 + y 2 + Z2 )312 pero esta expresión no muestra la simetría del campo. En coordenadas esféricas con Q en el origen, x Fig.2-14 y ahora la simetría es evidente. Q E=·--. 4n(0 r 2 , CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICOZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA19 2.7. Halle E en el origen debido a una carga puntual de 64.4 nC localizada en (-4, 3, 2) m, en coordena- das cartesianas. La intensidad del campo eléctrico debido a una cargamlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ situada en el origen es en coordenadas esféricas: En este problema la distancia es y'Í9 m y el vector de la carga al origen, donde E debe ser evaluado, es R = 48 x - 38ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy - 28e ' 64.4 X 10- 9 (48 x - 3ay - 2az) (2 )(4ax - 38 y - 2az) E = = 00 - V/m 41 t(10 9 /361 t)(29 ) f o . yl29 2.8. Halle E en (O, 0,5) m debido a Q , = 0.35 )J.C en (O, 4, O) m y Q2 = -0 .55 )J .C en (3, O, O) m (ver figu- ra 2-15). y R1 = -48 y + 58z R 2 = -38 x + 58z 0.35 X 10-6 (-48 y + saz) El = 41t(1O 9 /361 t)(41 ) J4t = -48.0ay + 6O.0a. V/m -0.55 x 10-6 (-38 x + 58z) E 2 = 41t(1O 9 /361 t)(34 ) fo = 74 .98 x - 124.98. V/m E = El + E2 = 74.9ax - 48 .08y r : 64.98z V/m y x Fig.2-15 2.9. Una carga se distribuye uniformemente a lo largo de una línea recta infinita, con densidad p ¡ . Desarrolle la expresión para E en un punto general P . Se usarán coordenadas cilíndricas, siendo la línea de carga el eje z (ver figura 2-16). En P , z too • dE = ~ (r 8 r - Z8 i) 41ttoR2 ~ Como para cada dQ en Z hay otra carga dQ en-z, las componen- tes z se cancelan. Entonces P t r [ z ] 00 P t - 8 - a - 41tto r2~ -00 r - 21ttor r +-00 Fig.2-16 2.10. Sobre la línea descrita por x = 2 m, y= - 4 m se distribuye uniformemente una carga de densidad P t = 20 nC/m. Determine el campo eléctrico E en (-2, -1,4) m. Con algunas modificaciones debidas a las coordenadas cartesianas la expresión que se obtuvo en el problema 2.9 puede ser usada en esta carga lineal uniforme. Como la línea es paralela a z" el campo no tiene componente z. Respecto de la figura 2-17, 20 X 10-9 (-4ax + 38 y ) y E = 21t(0(5) 5 = - 57 .68 x + 43.2ay V/m 20zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2.11. 2.12.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA FUERZAS DE COULOM B E INTENSIDAD DEL CAM PO ELECTRICO [C A P . 2mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y (0,4, z) /~ x y p'/E p /ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( 0 , - 4 , . z ) Fig.2-17 Fig.2-18 Como se muestra en la figura 2-18, dos cargas lineales uniformes de densidad P t = 4 n C I m caen en el plano x = O en y= ±4 m. Hallar E en (4, O, 10) m. Las líneas de carga son ambas paralelas a 8 z; sus campos son radiales y paralelos al plano xy. Para cualquier carga lineal la magnitud del campo en P es P t 18 E=--=-V/m 21U o r .J2 El campo debido a ambas cargas lineales es, por superposición, Desarrolle una expresión para E debido a cargas uniformemente distribuidas sobre un plano infinito con densidad P s' Se usará el sistema de coordenadas cilíndricas, con la carga en el plano z = O como se muestra en la figu- ra 2-19. z d E \ P ( O , 1/1, z) y La simetría respecto del eje z produce la cancelación de las componentes radiales. P . z [ -1 ]co P .- a - 8 - 2<0 J r2 + Z 2 o % - 2<0 % x Fig.2-19 Este resultado se aplica a los puntos que están situados por encima del plano xy. Para puntos situados por debajo del plano xy el vector unidad cambia a - a, . La forma generalizada puede expresarse empleando a, ' o vector unidad normal: P. E= -a. 2(0 El campo eléctrico es en todo punto normal al plano de carga y su magnitud es independiente de la distancia al plano. CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 2.13. Como se muestra en la figura 2-20, en el planomlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 3 m se distribuye uniformemente una carga de densidad P . = (1O-s/61t) C/m2. Determine E en todos los puntos. Para y> 3 m, E P .=-a,. 2(0 »A,'ltIIIJ¡{ii~¡::::3, z ) lE y para y < 3 m, E = -30a, V/m z Fig.2-20 2.14. Dos cargas laminares uniformes e infinitas, cada una con densidadZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP . , se localizan en x == ± 1 (figura 2-21). Determine E en todas las regiones. p . p . x O E2 E2 E2--- ~~ -- --El El El 1 2 Fig.2-21 En la figura 2-21 sólo se muestra parte de las dos láminas de carga. Ambas láminas producen campos E que se dirigen a lo largo de x, independiente de la distancia. Entonces x < -1 -1<x<l x>l 2.15. Repita el problema 2.14 con P . sobre x = -1 y-P . en x = 1. x < -1 -1<x<l x > 1 2.16. Una carga laminar uniforme con P . = (1/31t) n C j m2 está localizada en z= 5 m y una carga lineal uni-. forme con P t = (-25/9) nCjm en z= -3 m, y = 3 m. Encuentre E en (x, --1, O) m. Las dos configuraciones de carga son paralelas al eje x. En consecuencia, la figura 2-22 se trazó mirando hacia plano x y desde x positivo. Debido a la carga laminar, E P ••=-a,. 2(0 z E. = -6a. V/m 5 Es En P , a,. = -a. y ~::-+~4-----+- y Debido a la carga lineal, Fig.2-22 y en P El campo eléctrico total es la suma El = 8a, - 6a. V/m E = El + E. = 8a, - 12a. V1m. 21 22 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2 2.17. Determinar E en (2, O, 2) m debido a las tres distribuciones están dar de carga siguientes: una carga laminar uniforme enZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x = O m con P . l = (1 I 3 n ) n C IZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAm -, una carga laminar uniforme en x = 4 m conmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP .2 = (-1 1 3 n ) n C I m? y una carga lineal uni- forme en x = 6 m, y =0 m con P t = -2 n C / m . Como las 3 configuraciones de carga son paralelas a 8 I ' no existen componentes z del campo. El punto (2, O, 2) tendrá el mismo campo (2, O, z ) . En la figura 2-23, P está localizado entre las dos láminas de carga, donde los campos se suman debido a la diferencia de signo. = 218" V/m 2.18. Como se muestra en la figura 2- 24, a lo largo del eje z se dis- tribuye una carga entre z = ± 5 m con una densidad uniforme P t = 20 nC [ t n . Determine E en (2, O, O) m en coordenadas car- tesianas. También exprese la respuesta en coordenadas cilín- dricas. dE 20 x 10- 9 dz (28" - Z 8 z) ( ) = 41[(10 9/361[)(4+ Z2) )4 + Z2 V/m La simetría con respecto al plano z = O elimina cualquier componente z en el resultado. 5 2dz E = 180 f ( 2)3/28" = 1678" V/m -s 4 + z En coordenadas cilíndricas E = 1678, V/m. 2.19. A lo largo del eje z se distribuye una carga desde z =5 m hasta 00 y desde z= - 5 mhasta - 00 (ver figura 2-25) con la misma densidad que en el problema 2.18, 20 n Cj m. Halle E en(2, O, O) m. 20 X 10-9 dz (28" - Z 8 z) dE - (V/m) - 41[(10 9/361[)(4+ z2 ) J4+? Nuevamente se elimina la componente z. = 138" V/m En coordenadas cilíndricas, E = 138, V/m. Cuando las configuraciones de carga de los problemas 2.18 y 2.19 se superponen, el resultado es una carga lineal uniforme. E = ~ 8, = 1808, V/m 2 1 [ ( 0 r x = 4 x P ,¡ P .2~~~- E E O P ( 2 , 0, z ) ¿ "- , P t' x = o Fig. 2-23 r s x dQ = P t dz (2, O, O)it----y Z -s Fig. 2-24 -s +-00 Fig. 2-25 CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 23 2.20. Halle, en coordenadas cilíndricas, la intensidad de campo eléctrico E en (O,ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA</> ,1) debido al disco uniformemente cargadoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr : : : ; ; a , Z =0 (ver figura 2-26). Si la densidad de carga constante es P . , z dE\ ( O , r p , h ) La componente radial se cancela. Por consiguiente,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p .h 2" G r d r d o E = 41 tlo fo fo (r 2 + h2)3 /2 a. . p .h (-1 1) = 21'0 J a 2 + h 2 + h a. Nótese que cuando a -+ 00, E -+ (P J 2 lo}a ., el campo debido a una carga laminar uniforme. y a x Fig. 2-26 2.21. Hay una carga sobre el disco circular r s; a , Z = O de densidad P . = P o sen- </> • Determine E en (O, </> ' h ) . dE = po(sen2 tjJ )r d r d tjJ (-r a r + ha.) 41 tlo (r 2 + h2) J r 2 + h2 La distribución de carga, aunqueno uniforme, tiene una simetría tal que todas las componentes radiales se cancelan. 2.22. Hay una carga sobre el disco circular r : : : ; ;4 m, Z = O de densidad P . = (1O-4/r) (C/m2). Determine E en r = O, Z = 3 m. dE _ (l0 -4 /r )r d r d tjJ (-r a r + 3a.) (V/m) - 41 tlo (r 2 + 9) P+9 Como en los problemas 2.20 y 2.21 la componente radial desaparece por simetría. 2" 4 dr d tjJ E = (2.7 X 106) f f (2 )312 a. = 1.51 x 106a. V/m o 1.51a. MV/m o o r + 9 2.23. Hay una carga en el plano z= -3 m en forma de una hoja cuadrada definida por - 2:::;; x :::;;2 m, - 2 :::;;Y ~ 2 m con densidad de carga P . = 2(x2 + y2 + 9)3 /2 n c¡ m2• Halle E en el origen. De la figura 2-27 R = -xax - ya y + 3a. (m) dQ = p .dxdy = 2(x2 + y2 + 9)3/2 X 10-9 dxdy (C) z y así 2(x2 + y2 + 9)3/2 x 1O -9dxdy dE=--'---..:..----:-+-----;;,----::-;---'- 41 tlo (X2 + y2 + 9) x ( - xax - ya y + 3a.) (V/m) JX2 + y2 + 9 dE (~2,-2, -3) \.k----- y (-2,2, -3) x Debido a la simetría, solamente existe la componente z de E. (2, -2, -3) f 2 f2 6 x 1O -9 dxdy' E = a, = 864a. V/m -2 - 2 41 tlo Fig. 2-27 24zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2 2.24. Una carga de densidad uniformemlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP s = 0.2 n Cj cm? cubre el plano 2x-3y+ z = 6 m. Halle E en el lado del plano que contiene el origen. Ya que la configuración de la carga es laminar uniforme, E = pJ 2éoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy E = (17,O)an V [m. Los vectores unidad normales a un plano Ax + By + Cz = D son Aa x + Be; + Caz a = + z n -ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAj A 2 + B 2 + C2 Por lo tanto, los vectores unidad normales a este plano son (O, O, 6) - + - - - - + - y De la figura 2-28 se desprende que el vector unidad sobre el lado del plano que contiene el origen se produce por el signo negativo. El campo eléctrico en el origen es E = (17.0)( -2ax + ~ y - a,) V/m v'14 x Fig. 2-28 Problemas suplementarios 2.25. Dos cargas puntuales, Q ¡ =250 ¡,tCy Q2= - 300 } J . C , están localizadas en (5, O,O)m y (O,O, -5) m, respecti- vamente. Halle la fuerza sobre Q2 ' Resp . F2 = (13.5)( axfia, ) N 2.26. Dos cargas puntuales, Q ¡ = 30 ¡,tC y Q2= -100 ¡,tC, están localizadas en (2, O,5) m y (-1, O,- 2) m, respecti- vamente. Halle la fuerza sobre Q ¡ . Resp . F 1 = (0.465)( - 3J is 7.%) N 2.27. En el problema 2.26, halle la fuerza sobre Q2 ' Resp . - F ¡ 2.28. Cuatro cargas puntuales, cada una de 20 I l C , están situadas en el eje x y en el eje y a±4 m. Halle la fuerza sobre una carga puntual de 100 jJ.C situada en (O,O, 3) m. Resp . 1.73 a , N 2.29. Diez cargas idénticas, de 500 }J.Ccada una, están espaciadas igualmente alrededor de un círculo de radio 2 m Encuentre la fuerza sobre una carga de - 20 ¡,tC localizada en el eje, a 2 m del plano del círculo. Resp . (79.5)(- an) N 2.30. Determine la fuerza sobre una carga puntual de 50 ¡,tC situada en (O,O,5) debida ¡t una carga puntual de 5007r I l C en el origen. Compare la respuesta con los problemas 2.4 y 2.5, donde esta misma carga total es distribuida sobre un disco circular. Resp . 28.3 a, N 2.31. Encuentre la fuerza sobre una carga puntual de 30 ¡,tC situada en (O,O,5) m debida a un cuadrado de 4 m en el plano z = Oentre x = ± 2 m y y = ± 2 m con una carga total de 500 } J . C , distribuida uniformemente. Resp . 4.66 a, N 2.32. Demuestre que la fuerza sobre una carga puntual localizada en un punto cualquiera de un anillo circular de densidad de carga uniforme es cero, siempre y cuando la carga puntual permanezca en el plano del anillo. 2.33. Dos cargas puntuales Idénticas de Q (C) cada una, están separadas por una distancia d (m). Exprese el campo eléctrico E para puntos a lo largo de la línea que une las dos cargas. Resp . Si las cargas están en x =0 y x = d . entonces, para O < x < d , º [1 1] E = 41U o x2 - ( d _ X)2 a, (V/m) CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 25 2.34. Cargas idénticas demlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ (C) están localizadas en las ocho esquinas de un cubo de lado 1 (m). Demuestre que la fuerza de Coulomb sobre cada carga tiene una magnitud (3.29 Q2/ 4ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1rEo t 2) N. 2.35. Demuestre que el campo eléctrico E fuera de una concha esférica de densidad de carga uniforme P . es el mismo que E debido a la carga total sobre la concha localizada en el centro. 2.36. Desarrolle la expresión en coordenadas cartesianas para E debido a una configuración de carga recta infinita- mente larga con densidad uniforme p~ . Resp . E = ~ xa", + ya y 2nio x2 + y2 2.37. Una distribución de carga uniforme, infinita en extensión, se encuentra a lo largo del eje z conZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP ~ = 20 nC/m. Halle el campo eléctrico E en (6,8,3) m, expresándolo tanto en sistema de coordenadas cartesianas como cilín- dricas. Resp . 21.6a", + 28.8ay V/m, 36a, V/m 2.38. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de P t= 4nC/m,sonparalelasalejezenx = O ,y = ±4m. Deter- mine el campo eléctrico E en (±4, O, z) m.' Resp . ± 18 ax V/m 2.39. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de P ~ = 5 n Cr m, son paralelas al eje x, una enz = O ,y = - 2 m Y la otra en z = O, Y = 4 m. Halle E en (4, 1,3) m. Resp . 30az V/m 2.40. Determinar E en el origen debido a una carga lineal distribuida uniformemente, con p ( = 3.30 n C/ m, locali- zada en x = 3 m, y. =4 m. Resp . -7.13a", - 9.50ay V/m 2.41. Refiriéndose al problema 2-40, ¿en qué otros puntos será igual el valor de E? Resp . (O, O, z) 2.42. A dos metros del eje z, se sabe que el E debido a una carga lineal uniforme a lo largo del eje z es 1.80 x 104 V/m. Encuentre la densidad de carga uniforme P ~ . Resp . 2.0 J l.C /m 2.43. El plano- x+ 3y-6z = 6 m contiene una distribución uniforme de carga P . = 0.53 nC/m2• Encuentre E enel lado que contiene el origen. Resp . 30(a", - 3ay + 6az) V/m J46 2.44. Dos láminas infinitas de densidad de carga uniforme P . = (l0-9/6n) C/m2 están localizadas en z= -5 y y = - 5 m. Determine la densidad de la carga lineal uniforme p ~ , necesaria para producir el mismo valor de E en (4,2,2) m, si la carga lineal esta localizada en z = O, Y = O. Resp . 0.667 nC/m 2.45. Teniendo en cuenta las dos distribuciones de carga uniforme siguientes: una carga laminar uniforme, de densi- dad P . = - 50 n Cj m? eny = 2 m y una carga lineal uniforme de p( = 0.2 J l.C /m en z = 2m, y =-1 m. ¿En qué puntos de la región será E igual a cero? Resp . (x, - 2.273,2.0) m 2.46. Una carga laminar uniforme de P . = (-1/3 n ) n Cj rn- está localizada en z = 5myunacargalinealuniforme de P t = (- 25/9) n c ¡ m está localizada en z = - 3 m, y = 3 m. Encuentre el campo eléctrico E en (O, - 1,0) m. Resp . 8ay V/m 2.47. Una carga lineal uniforme de P t = ( f i x 10-8/6) C l tt: se encuentra a lo largo del eje xy una carga laminar uniforme está localizada en y = 5 m. A lo largo de la línea y = 3 m, z = 3 m el campo eléctrico E tiene solo una componente z. ¿Cuál será P . de la carga laminar? Resp . 125 p Cj rn? 2.48. Una carga lineal uniforme de P t = 3.30 n Cj m está localizadaenx = 3 m,y = 4 m. Una carga puntual Qestá a 2 m del origen. Halle la carga Q y su localización, de tal manera que el campo eléctrico sea cero en el origen. Resp . 5.28 n C en ( - 1.2, - 1.6,0) m. 2.49. U n anillo de carga circular con radio 2 m yace en el plano z = O, con centro en el origen. Si la densidad de carga uniforme es P t = IOn C/ m, halle la carga puntual Q . en el origen, que produciría el mismo campo eléctrico E en (O, O, 5) m. Resp . 100.5 nC 2.50. El disco circular r ~ 2 m en el plano z = O tiene una densidad de carga P . = 10 8/ r (C / m-). Determine el campo eléctrico E para el punto (O, < p ' h). Resp . 1.13 x 10 3 a, (V/m) h ..j4 + h 2 26zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2 2.51. Examine el resultado del problema 2.50 cuandomlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAh es mucho mayor que 2 m y compárelo con el campo en h queresulta cuando la carga total del disco está concentrada en el origen. 2.52. Una carga laminar finita de densidad P s = 2 x(x2ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ y2 + 4)3 12ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( e l m"), yace en el plano z = Opara O S x S 2 m y O S Y S 2 m. Determine E en (O,O, 2) m. Resp . (1S x 109)( - 13 6 a" - 4ay + saz) V/m = 1S( - 1: a" - 4ay + saz) GV/m 2.53. Determine el campo eléctrico E en (S, O,O)m debido a una carga de 10 ne distribuida uniformemente a lo largo del eje x entre x = - 5 m y x = 5 m. Repita el ejercicio para la misma carga total, distribuida entre x = - I m y x = I m. Resp . 2.31 a, V [ ti» , 1.43ax V [ tt: 2.54. El disco circular r S I m, z = Otiene una densidad de carga P s = 2 ( r 2 + 2 5 ) 3 / 2 e - 10. ( e l rnt). Encuentre E en (O, O, 5) m. Resp . 5.66ax GV 1 m 2.55. Demuestre que el campo eléctrico es cero en cualquier punto situado dentro de una concha esférica uniforme- mente cargada. 2.56. Hay una carga distribuida con densidad constante p a través de un volumen esférico de radio a . Usando los resultados de los problemas 2.35 y 2.55, muestre que l ~a 3/00 • E = 3 a p --a 31'0,2 r ,sa ,¿a donde, es la distancia desde el centro de la esfera. Capítulo 3 Flujo eléctrico y ley de GausszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3.1 CARGA NETA EN UNA REGION A partir de la densidad de carga, tal como se definió en la sección 2.3, es posible obtener, por integración, la carga neta que está contenida en un volumen específico. ComojihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d QLKJIHGFEDCBA= pdv (C ) . entonces Q=XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAf pdv (C) v Por supuesto, p no necesita ser constante en todo el volumen v. 3.2 FLUJO ELECTRICO y DENSIDAD DE FLUJO Por definición, el flu jo e léc tr ico . 'P, se origina en cargas positivas y termina en cargas negativas. En ausencia de cargas negativas, el flujo 'P termina en el infinito. También por definición, un coulomb de carga eléctrica da lugar a un coulomb de flujo eléctrico. En consecuencia En la figura 3-1 ( a ) las líneas de flujo aban- donan + Q y terminan en - Q . Esto supo- ne que las d os cargas son de igual magnitud. El caso en que hay una carga positiva y ninguna carga negativa en la región apare- ce ilustrado en la figura 3-1 ( b ) Aquí las líneas de flujo están igualmente espaciadas a través del ángulo sólido y se alejan hacia el infinito. Mientras que el flujo eléctrico 'P es una cantidad escalar, la den sid a d de flu jo e léc tr ico . D, es un campo vectorial que toma la dirección de las líneas de flujo. Si en la vecindad del punto P las líneas de flujo tienen la dirección del ve ctor unidad a (ver figura 3-2) y si una cantidad de flujo d 'P cruza el área diferencial d S , que es normal a a, entonces la densidad de flujo eléctrico en P es 'P=Q (C ) ~+ Q . . . . . . . . - Q ~ ( a ) 27 ( b ) Fig. 3-1 D 28zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS [CAP. 3 U na distribución volumétrica de carga de densidadjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBApXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( C j m ') aparece rodeada por la superficie S en la figura 3-3. Ya que cada coulomb de carga Q , tiene por definición, un coulomb de flujo q/, se deduce que el flujo neto que cruza la superficie cerrada S es una medida exacta de la carga neta encerrada. Sin embargo, la densidad D puede variar en magnitud y dirección en cada punto de S. En general D no estará a lo largo de la normal a S. Si, en el elemento de superficie dS, D hace un ángulo ()con la normal, entonces el flujo diferencial que cruza dS está dado por d 'l ' = D dS cos () = D· d s « , = D ·dS donde dS es el elemento vectorial de superficie, de magnitud dS y dirección 8 n• El vector unidad a, se toma siempre apuntando hacia afuera de S, de tal manera que d 'l ' sea la cantidad de flujo que pasa desde el inte- rior hasta el exterior de S a través de dS. 3.3 LEY DE GAUSS La integración de la expresión anterior para d '1' sobre la superficie cerrada S da, puesto que q¡ = Q , f D ' dS = e., Esta es la ley de Gauss, que establece que e l flu jo to ta l qu e sa le d e una supe r fic ie ce r r a d a es igu a l a la ca r g a ne ta con ten id a den tr o de la supe r fic ie . Se verá que una gran cantidad de información valiosa puede ser obtenida mediante la aplicación de la Ley de Gauss sin llevar a cabo necesariamente la integración. 3.4 RELACION ENTRE LA DENSIDAD DE FLUJO Y LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO z Q = f D . dS = D f dS = D (4n r 2 ) de donde D = Q /4n r 2 • Así pues Q Q D = --2 a = 4 '" r 2 a, 4n r n ,. Considérese una carga puntual Q (positiva, para simplificar) localizada en el origen (figura 3-4). Si está encerrada por una super- ficie esférica de radio r , entonces, por simetría, D debida a Q es de magnitud constante sobre la superficie y es en todo punto normal a ella. La ley de Gauss dice entonces que Fig. 3-4 Pero, como se estableció en la sección 2-2, la intensidad del campo eléctrico debido a Q es Se concluye que D = {o E. Más en general, para cualquier campo eléctrico en un medio isotrópico de permitividad e , D = {E Así pues, los campos D y E tendrán exactamente la misma forma, ya que difieren solamente por un factor que es una constante del medio. Mientras el campo eléctrico E debido a una configuración de carga es una función de la permitividad E, la densidad de flujo eléctrico no lo es. En problemas que involucran múlti- ples dieléctricos se encontrará una ventaja particular al obtener D primero y luego convertir a E dentro de cada dieléctrico. 3.5 SUPERFICIES GAUSIANAS ESPECIALES La superficie esférica utilizada en la derivación de la sección 3.4 es una superficie gausiana especial por- que satisface las siguientes condiciones definitorias: CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS 29 l. La superficie es cerrada. 2. En cada punto de la superficie D es o normal o tangencial a la superficie.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3 . D tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie donde D es normal. EJEMPLO 1: Utilice una superficie gausiana especial para hallar D debida a una carga lineal uniforme, conXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp ( ( c ¡ m). Tómese la línea de carga como eje z de las coordenadas cilíndricas (figura 3-5). Por simetría cilíndrica, D solo puede tener una componente r , y esta componente depender puede solo de r. Así pues, la superficie gausiana especial para este problema es un cilindro circular recto cerrado cuyo eje es z (figura 3-6). Aplicando la ley de Gauss, Q= f D·dS+ f D'dS+ f D·dS 1 2 3 D Y dS son ortogonales respecto de las superficies 1 y 3 Y de esta manera las integrales se anulan. Respecto de 2 , D Y dS son paralelas (o antiparalelas, si p ( es negativa) y D es constante puesto que r es constante. Así pues D = -~ 21 tr and D=~a 21 tr r Q = D f dS = D (21 tr L) • 2 donde L es la longitud del cilindro. Pero la carga encerrada es Q = p ( L . Por lo tanto, Obsérvese la simplicidad de la derivación anterior si se compara con el problema 2.9. 00 D D D -00 -00 Fig. 3-5 Fig. 3-6 La única limitación seria del método de superficies gausianas especiales es que solo puede ser utilizado para configuraciones altamente simétricas. Sin embargo, para otras configuraciones, el método puede pro- veer buenas aproximaciones al campo en lugares muy cercanos o muy lejanos de las cargas. Véase el proble- ma 3.40. ) -/ FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 330 Problemas resueltos 3.1. Halle la carga en el volumen definido porO ~jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx ~ l m, O ~ Y ~ l mLKJIHGFEDCBAy O ~ z ~ l m, siXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp = 30x2 y (p. C ] m '). ¿Qué cambio ocurre para los límites - I ~ Y ~ O m? Como dQ = pdv, z p (x,y,z) 1 1 1 Q = J J f 30x2ydxdydz o o o = 5 J . 1 . C Para el cambio en los límites de y. I o 1 Q = J f J 30x2ydxdydz o -1 o = - 5 J . 1 . C x Fig. 3-7 3.2. Halle la carga en el volumen definido por I ~ r ~ 2 m en coordenadas esféricas si Por integración,3.3. Tres cargas puntuales, Q ¡ = 30 nC, Q 2 = 150 nC y Q 3 = -70 nC, están encerradas por una super- ficie S. ¿Qué flujo neto cruza por S? Como el flujo eléctrico tiene, por definición, el origen en una carga positiva y su término en una carga nega- tiva, parte del flujo de las cargas positivas termina en la carga negativa. 'I'neto= Qneto = 30 + J 50 - 70 = J 10 nC 3.4. ¿Qué flujo neto cruza la superficie cerrada S que se muestra en la figura 3-8, que contiene una distri- bución de carga en la forma de disco plano de radio 4 m, con una densidad p , = (sen? < p ) /2 r ( C jm 2 ) ? 2 n 4 (sen2cjJ) '1' = Q = J f . _ - r d r d c jJ = 211: C o o 2r s Fig. 3-8 Fig. 3-9 3.5. Dos cargas de la misma magnitud pero de signos opuestos están encerrados por una superficie S. ¿Puede un flujo '1' cruzar la superficie? Mientras el flujo puede cruzar la superficie, como se muestra en la figura 3-9, el flujo ne to fu e r a d e S será cero si las cargas son de la misma magnitud. CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS 3.6. Un disco circular de radio4 m con densidad de cargajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP . = 12 sen 1 > p.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAC I m? está encerrado por una superficie S. ¿Qué flujo neto cruza por S? 2x 4 'P=Q= f f (12senq,)rdrdq,=OJlC o o Como el disco contiene cantidades iguales de cargas positivas y negativas [sen (q, + 7t ) = - sen q,] no hay un flujo neto que cruce por S. 3.7. Carga en la forma de una hoja plana con densidad P s = 40p.Cjm 2 está localizada en z = - 0.5 m. U na carga lineal unifor- me de P t = - 6 p . C jm yace a lo largo del eje y . ¿Qué flujo neto cruza la superficie de un cubo de 2 m de arista, centrado en el origen, tal como se muestra en la figura 3-10? z - - . . . . . •~ ~ y La carga encerrada en el plano es Q = (4 m -) ( 4 0 J lC / m 2 ) = 160 ¡,¡C y la carga lineal Q = (2 m)(- 6 J l C jm ) = - 12 ¡,¡C Entonces,Qenc = 'P = 160 - 12 = 148 J 1 C x Fig. 3-10 3.8. U na carga puntual Q está en el origen de un sistema de coordenadas esféricas. Encontrar el flujo que cruza la porción de una concha esférica descrita por ()(~ ()S (3(figura3-II). ¿Cuál es el re- sultado si a = O Y P = 1 t j2 ? z El flujo total 'P = Q cruza una concha esférica completa de área 4 n r " . El área de la franja está dada por 2. P A = f f r2sen8d8dq, o • = 2n r 2 ( - cos fJ + cos IX) - - - - - - - - - ~ ~ y Entonces el flujo a través de la franja es A Q J 'f . - - Q = - (- cos f 3 + cos IX) neto - 4 1 t r 2 2 Para IX = O, fJ n /2 (un hemisfe- rio) el flujo viene a ser 'Pneto= Q f 2 . Fig. 3-11 3.9. U na carga lineal uniforme, con p ( = 50 J i . C j m , yace a lo largo del eje x . ¿Qué flujo por unidad de longitud, 'l' I L, cruza la porción del plano z = - 3 m limitado por y = ± 2 m? El flujo está uniformemente distribuido alrededor de la línea de carga. Así pues, la cantidad que cruza la franja se obtiene a partir del ángulo subtendido comparado con 2 7t. En la figura 3-12. IX = 2arctan (~) = 1.I76-rad Entonces ! .= 50(1.176) = 9.36 J 1 C f m L 2n 3 1 32zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS [CAP. 3 zjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA e " Fig. 3-12 Fig. 3-13 3.10. Generalice el problema 3.9 para el caso de una franja plana cuyos bordes son paralelos a una carga lineal pero que no está localizada simétricamente respecto de la línea de carga. La figura 3-13 muestra una franja de este tipo en el numeral 2 y otra franja en el numeral 1, que está locali- zada en forma simétrica como en el problema 3.9. Del problema 3.9 el flujo a través de la franja 1 está determi- nado por el ángulo (1 .. Pero, debido a la ausencia de carga en la región a bcd , la ley de Gauss permite ver que el flujo que entra aXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 debe ser igual al flujo que abandona 2. De esta manera, el flujo a través de 2 también está determinado por el ángulo subtendido (1 . • 3.11. U na carga puntual Q = 30 n e , está localizada en el origen de las coordenadas cartesianas. Halle la densidad de flujo eléctrico D en (1, 3, - 4) m. Refiriéndose a la figura 3~14 Q . D = 4nR 2 aR = 30 x 10-9 (a" + 3a, - 4a.) 4n (26 ) p = (9.18 X 10-1 1 )( a" + 3a, - 4a.\ e /m 2 p J x (1 ,3 , -4 ) \D Fig. 3-14 o, más convenientemente, D = 91.8 pC/m2. 3.12. Dos cargas lineales uniformes e idénticas yacen a lo largo de los ejes x y y con densidades de carga P t = 20 J . l c ¡ m. Obtenga D en (3, 3, 3) m. La distancia desde el punto de observación hasta cualquiera de las cargas lineales es 3 j2 m. Considerán- dose primero la carga lineal sobre el eje x, D _ ..!! ! . . .- _ 20 / - le / m (a, + a.) 1 - a1 - --- 2Wl' 2n{3 J 2 m ) .J i y ahora la carga lineal sobre el eje y, La densidad total de flujo es la suma vectorial D = 20 (a" + a, + 2a,) = (1.30)(a" + ay + 2a,) / - lC / m 2 2n{3 J 2 ).J i J 2 FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS 33CAP. 3] 3.13. Dado que DLKJIHGFEDCBA= lüxa, (e/m 2), determine el flujo que cruza un área de 1 ms quees normal aleje xenjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x = 3 m. Como D es constante en toda el área y es perpendicular a ella, 3.14. Determine el flujo que cruza un área de 1 mm? sobre la superficie de una concha cilíndrica en r = 1 0 m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZ = 2 m, tP = 53.20 si D = 2xa x + 2(1 - y)a , + 4zaz (e/m2) z En el punto P (ver figura 3-15), x = 1Ocos53.2° = 6 Y = 1Osen53.2° = 8 Entonces, en P , D = 12a" - 14a, + 8az C/m 2 El área de 1 rnm? = 10 - 6 m>,que es muy pequeña compa- rada con las unidades en D, puede aproximarse así: x Por lo tanto, Fig. 3-15 d 'l ' = D' dS = (12a" - 14ay + 8az)' 1O- 6(0.6a" + 0.8ay) = -4.0 ¡ ,tC El signo negativo indica que el flujo cruza esta superficie diferencial dirigiéndose hacia el eje z antes que hacia afuera en la dirección de dS. 3.15. Dada una densidad de flujo eléctrico D = Zxa; + 3a, (Cj m-), determine el flujo neto que cruza la superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. (Las aristas del cubo son paralelas a los ejes coordenados.) 'I'=fD'dS= f (2a,,+3ay)'(dSa,,)+ J (~2a,,+3ay)· (-dSa,,) x=l x=-l + f [Zxa, + 3ay) . (dS ay) + f (2xa" + 3ay) . (-dS ay) , = 1 y = - I + f (2xa" + 3a~).' (dS az) + f ' (2xa" + 3a,) . (-dS a.) e= 1 :=-1 J = 2 f dS + 2 f dS + 3 f dS - 3 f dS + O + O ,,=1 ,,=-1 y = 1 , = - 1 = (2 + 2 + 3 - 3)(22 } = 16 C 3.16. Una carga lineal uniforme de p ( = 3 p.e/m yace a lo largo del eje z. y un cilindro circular concén- trico de radio 2 m tiene P s = (- 1.5/47t) u C ] m2• Ambas distribuciones son infinitas en el sentido de z. Use la ley de Gauss para encontrar D en todas las regiones. Utilizando la superficie gausiana especial A que aparece en la figura 3-16 y procediendo como en el ejem- plo 1, sección 3.5, D - P t - 27tr a, 0<r<2 34 3.18. FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS Utilizando la superficie gausiana especialXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAB . e., = f D· jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAdS (P t + 47 tp .)L = D (2Ttr L) de lo que se desprende que D _ P t + 47 tP . - 27 tr Sr r > 2 [CAP. 3 z t Fig. 3-16 z t oo Jt- ~dZ T y X t -00 Fig. 3-17 Una configuración de carga en coordenadas cilíndricas está dada por P = Sr e : 2 r (C/m3). Utilice la ley de Gauss para hall~r D. ". Como P no es una función de ( jJ o z . el flujo '1' es completamente radial. También es cierto que, para r constante, la densidad de flujo D debe ser de magnitud constante. Entonces la superficie gausiana especial apropiada es un cilindro circular recto cerrado. La integral sobre los planos extremos se elimina, y la ley de Gauss es .\ 3.19. Un volumen que, en coordenadas cilíndricas, está entre r = 2 m y r = 4 m contiene una densidad uniforme de carga p (C/m3). Utilice la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones. Para los datos numéricos, 0.477 -- Sr (¡ .tC ¡m2 ) r D = 0.239 -- Sr (¡ .tC /m2 ) r 0<r<2m r>2m 3.17. Utilice la ley de Gauss para demostrar que D y E son igua- les a cero en todos los puntos del plano de un anillo circu-lar uniformemente cargado, que están dentro del anillo. Considere, en lugar de un anillo, la configuración de carga que aparece en la figura 3-17, donde el cilindro uniformemente cargado es infinito en extensión y está formado por muchos ani- llos. Para la superficie gausiana l. Qenc = O = D f dS En consecuencia D = O para r < R. Puesto que '1' tiene direc- ción radial, se puede tomar una tajada dz del cilindro de carga y el resultado que se encontró arriba se puede aplicar también a este anillo. Para todos los puntos que están dentro del anillo y en el plano del anillo, D y E son cero. e., = f D· dS superficie lateral' L 2ft , f f f 5 r e - 2r r d r d ( jJ d z = D (2n r L) O O O 5nL[ e -2 r ( _ r 2 - r -1 ) + 1 ]= D (2n r L) Por consiguiente D = 2.5 [1- e - 2r(r2 + r + 1)]Sr (C/m2) r CAP. 3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS 35 De la figura 3-18, para O < jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr < 2 m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p (C /m 3) Q.nc = D (2n r L) D=O Para 2 ~. r ~ 4 m, npL(r 2 - 4) = D (2n r L) D =.t (r 2 - 4)a, (C/m2) 2r ----- -~--- /- - - . . . . . . .• . . ,r : ---) - - - - - - - " " Para r > 4 m, 12npL = D (2n r L) D = 6 p a, (C/m2) r t -00 Fig. 3-18 3.20. Un volumen descrito, en coordenadas esféricas, por, :::; a contiene una densidad uniforme de car- ga p . Utilice la ley de Gauss para determinar D y compare sus resultados con los del campo E corres- pondiente, encontrados en el problema 2.56. ¿Qué carga puntual en el origen dará por resultado el mismo campo D para, > a ? Para una superficie gausiana como ~ que aparece en la figura 3-19, z y p r D=-a 3 ' r :5: a + ---- - l~ Y Para puntos fuera de la distribución de carga, x r = a p a 3 de donde D= -2 a, 3, Fig. 3-19 r > a Si una carga puntual Q = (4 /3 }1 ta 3p se coloca en el origen, el campo D para r > a será el mismo. Esta carga puntual es igual a la carga total contenida en el volumen. 3.21. Un condensador de placas paralelas tiene una superficie de carga en el lado interior de la placa supe- rior con + p s ( C I m-). La superficie superior de la placa inferior contiene - p , ( C I m"). Desprecie el efecto de bordes y utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región si~üada entre las placas. Todo el flujo que abandona la carga positiva de la placa superior termina en la carga negativa igual de la placa inferior. La frase desp r ec ie e l e fec to d e bo r d es asegura que todo el flujo es normal a las placas. Para la superficie gausiana especial mostrada en la figura 3-20, Q.nc = f D· dS + f D . dS + f D . dS arriba abajo lado + P , = 0+ f D ·dS+ O abajo ~ -P ' ó p ,A= D fdS= DA Fig.3-20 36 FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 3 dondejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA es el área. Por consiguiente, y ELKJIHGFEDCBA= XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI ! ! . a. (V/m) (o Ambos están dirigidos de la placa positiva a la negativa. Problemas suplementarios 3.22. Halle la carga neta encerrada en cubo de 2 m de arista, paralelo a los ejes y centrado en el origen, si la densidad de carga es Resp . 84 .9}J .C 3.23. Halle la carga encerrada en el volumen I :s; r :s; 3 m, O :s; < p :s; n ] 3, O :s; z :s; 2 m dada la densidad de carga P = 2z sen-' < p (C/m). Resp . 4.91 C 3.24. Dada una densidad de carga en coordenadas esféricas, halle las cantidades de carga en los volúmenes esféricos encerrados por, = '0' r = 5'0 Y r = co. Resp . 3.97 P o r ~ , 6.24 P o r ~ , 6.28 P o r~ 3.25. U na superficie S contiene una distribución uniforme finita de carga, O :s; t :s; n m, con densidad de carga ¿Qué flujo neto cruza la superficie S? Resp . - 2po (C) 3.26. Hay una carga distribuida en, una región esférica, :s; 2 m con densidad ¿Qué flujo neto cruza las superficies, = I m, r = 4 m, y r = 500 m? Resp . -8001t }J .C , -l600n }J .C , -l600n}J.C 3.27. Una carga puntual Q se encuentra en el origen de las coordenadas esféricas y una distribución de concha esférica en r = a tiene una carga total de Q ' - Q uniformemente distribuida. ¿Qué flujo cruza la superficie, = k para k < a y k > a ? Resp . Q , Q ' 3.28. Una carga lineal uniforme con p , = 3 }J .C /m yace a lo largo del eje x. ¿Qué flujo cruza una superficie esférica centrada en el origen con, = 3 m? Resp . 18}J.C , . 3.29. Una carga puntual Q se encuentra en el origen. Halle una expresión para el flujo que cruza la porción de una esfera, centrada en el origen, descrita por IX :s; < p :s; p . Resp . {J - IX -Q 2n CAP. 3) FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS 37 3.30. U na carga puntual dejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ (C) está en el centro de un sistema coordenado esférico. Halle el flujo 'fI que cruza un área de 41t m 2 sobre una concha esférica concéntrica de radio 3 m. Resp .XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ 19 (C) 3.31. Un área de 40.2 m 2 sobre la superficie de una concha esférica de radio 4 m está cruzada por 10 J .le de flujo en dirección interna. ¿Qué carga puntual está localizada en el origen? Resp . - 50 J .le 3.32. Una carga lineal uniforme con P t yace a lo largo del eje x. ¿Qué porcentaje de flujo de la línea cruza la franja del plano y = 6 que contiene -1 ::; z : : ; I? Resp . 5 .26% 3.33. Una carga puntual, Q = 3 rrC, está localizada en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. ¿Qué flujo 'JI cruza la porción del plazo z = 2 m para el que -4 ::; x : : ; 4 m y -4 ::; Y : : ; 4 m? Resp . 0.5 nC 3.34. Una carga lineal uniforme con p , = 5 / J C f m yace a lo largo del eje x . Halle D en (3, 2, 1) m. Resp . (O.356)(2afi a.) J .le /m 2 3.35. U na carga puntual de + Q se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas esféricas, rodeado por una distribución concéntrica uniforme de carga sobre una concha esférica en r = a para la cual la carga total es - Q . Halle el flujo 'fI que cruza las superficies esféricas en r < a y r > a . Obtenga D en todas las regiones. Resp . 'fI = 41 t,2 D = 10+ Q r < a 1 ,>a 3.36. Dado que D = 500e -O ' 1x a x (J .le l m-), halle el flujo 'fI que cruza una superficie de área l rn? normal al eje x y localizado en x = l m, x = 5m, y x = 10 m. Resp . 452 J .tC , 303 J .le , 184 J .le 3.37. Dado que D = 5x2a x + l Oza , (e l m 2 ), halle el flujo neto saliente que cruza la superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. Las aristas del cubo son paralelas a los ejes. Resp . 80 e 3.38. Dado que en coordenadas cilíndricas, halle el flujo saliente que cruza el cilindro circular recto descrito por, = 2b , z= O , y z = 5b (m ). Resp . 129b2 (C ) 3.39. Dado que sencjJ D = 2,coscjJa.; - 3 r a. en coordenadas cilíndricas, halle el flujo que cruza la porción del plano z =0 definido por, ::; a , O ::; c jJ : : ; 1 t/2 . Repita el ejercicio para 31t I 2 ::; c jJ : : ; 2/t. Suponga que el flujo positivo tiene la dirección de az' a a Resp. 3.40. En coordenadas cilíndricas, el disco, ::; a , z = O contiene carga con densidad no uniforme p ,(r , c jJ ) . Utilice superficies gausianas especiales apropiadas para encontrar valores aproximados de D sobre el eje z , ( a ) muy cerca al disco (O < z ~ a ) , ( b ) muy lejos del disco ( z ~ a ) . Resp . (a ) p ,(O ,c jJ ); (b ).J L donde Q = r fG p ,(r ,c jJ )r d r d c jJ 2 4nz2 o o 3.41. Una carga puntual Q = 2000 pC, está en el origen de coordenadas esféricas. Una distribución esférica concéntrica de carga en r = l m tiene una densidad de carga p s = 401t pe 1m 2 • ¿Qué densidad superficial de carga sobre una concha concéntrica en r = 2 m produciría D = O para, > 2 m? Resp . -71.2 pe l m? 3.42. Dada una distribución de carga con densidad P = 5, (e l rn ') en coordenadas esféricas, utilice la ley de Gauss para hallar D. Resp . (5r2 /4}a, (e/m2) ----------------~--~----------------""-~ 3 '8zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS [CAP. 3 3.43. Hay una densidad uniforme de carga de 2 e / m ' en el volumen 2 :$jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx :$ 4 m (coordenadas cartesianas). Utilice la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones.
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