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MATEMÁTICA II
CURSO 2019
PRÁCTICA I: Conjuntos, Relaciones y Funciones
1. (a) Definir los siguientes conjuntos por extensión:
i. {x : x es un mes de 30 d́ıas}
ii. {k : k ∈ Z ∧ k ≥ −10}
(b) Definir los siguientes conjuntos por comprensión:
i. El conjunto de los naturales pares.
ii. El conjunto que tiene como elementos las siguientes letras: u, i, o, e, a.
2. Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales? Justificar.
(a) A = {x : x es un d́ıgito del número 243243}
(b) B = {x : x ∈ Z ∧ 1 < x < 3}
(c) C = {∅}
(d) D = ∅
(e) E = {x : x ∈ Z ∧ 1 < x ≤ 4}
(f) F = {x : x ∈ Q ∧ 1 < x < 3}
(g) G = {x : x− 2 = 0 ∧ x ∈ R}
3. Sean: A = {1, 3,
√
5}; B = {1, 3, 4, b}; C = {0, b, 2, 3}. Hallar A ∪ B; A ∩ C;
(A ∪B) ∩ C; B ∩ C; (A ∪B) ∪ C.
4. Considerar los conjuntos A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 4} y B = {1, 2, 3}.
(a) Escribir 5 pares pertenecientes a A×B.
(b) Escribir por extensión la relación R ⊂ A × B definida por: xR y si y sólo si
x + y ≤ 7.
(c) Representar R en un diagrama de ejes cartesianos ortogonales.
5. (a) Sea A = {1, 2, 3, 4}. Considerar las siguientes relaciones definidas sobre A:
R1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (4, 1); (4, 4)}
R2 = {(1, 2); (1, 2); (2, 1)}
R3 = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 1); (4, 4)}
Analizar en cada caso si la relación es reflexiva, simétrica, antisimétrica o
transitiva.
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(b) Considerar las siguientes relaciones definidas sobre Z :
R1 = {(a, b) : a < b}
R2 = {(a, b) : a ≥ b}
Analizar en cada caso si la relación es reflexiva, simétrica, antisimétrica o
transitiva.
6. Sea A = {1, 2, 3, 4}. Considere la relación R definida sobre A :
aR b si y sólo si a = b ó a + b = 3.
(a) Escribir R por extensión.
(b) Probar que R es una relación de equivalencia sobre A.
(c) Hallar la clase de cada uno de los elementos de A.
7. Probar que la relación “divide a” definida sobre N es una relación de orden. Es de
orden parcial o total? Qué ocurre si la misma relación se considera definida sobre
Z, sigue siendo una relación de orden? Justificar.
8. Dadas las siguientes relaciones definidas sobre R decidir si son funciones justificando
en cada caso. En todos los casos representar gráficamente.
(a) xR1 y sii y = x− 2
(b) xR2 y sii y
2 = x
(c) xR3 y sii y = x
2
(d) xR4 y sii y =
√
x
9. Dadas las siguientes funciones definidas sobre R, hallar dominio e imagen en cada
caso y representar gráficamente. Analizar si cada función es inyectiva, suryectiva o
biyectiva. Justificar.
(a) f1(x) = 3x− 2
(b) f2(x) = (x + 1)
2
(c) f3(x) = x
3 − 1
Realizar las siguientes operaciones:
(a) f1 + f2;
(b) f2 − 3.f3;
(c) f2 ◦ f1
Ejercicios Adicionales:
1. Considerar las siguientes relaciones definidas sobre Z y analizar qué propiedades
tienen:
(a) R = {(a, b) : a = b ∨ a = −b}
(b) S = {(a, b) : a + b ≤ 4}
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2. Demuestre que la siguiente relación definida sobre Z:
xR y si y sólo si x− y es múltiplo de 4,
es una relación de equivalencia. Hallar la clase de cada uno de los siguientes ele-
mentos: 16, 57, 43, −23, −59.
3. Considere en el conjunto N× N la relación R definida por:
(n,m)R(s, t) si y sólo si n ≤ s.
Analice las propiedades de esta relación. Es una relación de orden? Justificar.
4. Dado el conjunto U = {x : x es una persona} y las relaciones definidas sobre U :
R1 = {(a, b) : a cumple años el mismo d́ıa que b}, R2 = {(a, b) : a es del mismo signo que b},
decidir, justificando en cada caso, si:
(a) R1 y R2 son iguales;
(b) R1 ⊂ R2;
(c) R2 ⊂ R1.
5. Dada la función f : N −→ N definida por
f(x) =
{
x + 1, si x es par
x− 1, si x es impar
Analizar si f es inyectiva y suryectiva.
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