Operaciones con matrices

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ÍNDICE 
 
 
1. Información de la unidad / Tema de la semana 
 
2. Información de los subtemas 
 
2.1. Adición de matrices 
 
2.2. Sustracción de matrices 
 
2.3. Multiplicación de Matrices 
 
3. Bibliografía 
 
3 
 
4 
 
4 
 
 
6 
 
7 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
1. Informacio n de la unidad 
Tema de la semana: 
 
 
» Objetivo: 
Activar procesos relacionados con el análisis de las matrices, por medio de una 
explicación teórica y práctica de ejercicios matemáticos. 
 
» Tema: 
Operaciones de matrices. 
 
» Subtemas: 
1. Adición de matrices. 
2. Sustracción de Matrices. 
3. Multiplicación de Matrices. 
 
» Unidad: 
Matrices y Determinantes. 
 
» Duración de horas semanales 
10 H 
 
 
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2. Informacio n de los subtemas
2.1 Adición de matrices 
Para poder ejecutar la suma o adición de matrices es fundamental como regla saber que 
deben tener la misma dimensión, es decir, si tenemos dos matrices con las siguientes 
dimensiones y queremos sumarlas una matriz de3x2 con una de 3x3, no es posible. 
Ejemplo: 
Teniendo las siguientes matrices realizar una suma 𝐴 + 𝐵 
𝐴 =
2 9 7
3 8 6
4 5 0
 𝐵 =
6 9
8 5
7 1
 
Respuesta: no es posible ejecutar la suma debido a que no tienen la misma dimensión. 
En cuyo caso tuvieran la misma dimensión se realizarían los siguientes pasos. 
Teniendo las siguientes matrices. Realizar una suma 
1) 𝐴 =
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
𝑐31 𝑐32 𝑐33
 𝐵 =
𝑑11 𝑑12 𝑑13
𝑑21 𝑑22 𝑑23
𝑑31 𝑑32 𝑑33
2) 𝐴 =
𝑐11 + 𝑑11 𝑐12 + 𝑑12 𝑐13 + 𝑑13
𝑐21 + 𝑑21 𝑐22 + 𝑑22 𝑐23 + 𝑑23
𝑐31 + 𝑑31 𝑐32 + 𝑑32 𝑐33 + 𝑑33
 
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Propiedades de la suma de matrices. 
Cerradura Al sumar dos matrices tendremos una nueva matriz con la 
misma dimensión 
Conmutativa si tenemos dos matrices 𝐴 ⋀ 𝐵 al sumar es lo mismo si se 
colocan 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 
Asociativa Teniendo 𝐴, 𝐵, 𝐶 al momento de sumar se puede colocar 𝐴 +
(𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 
Neutro aditivo Una matriz 𝐴 = 0 = 𝐴 
Inverso aditivo Una matriz sumada con su inverso 𝐴 + 𝐴′ = 𝐴′ + 𝐴 = 0 
 
Aplicando lo conocido tendremos un ejemplo práctico. 
Teniendo las siguientes matrices realizar una suma A+B 
1) 𝐴 =
2 9 7
3 8 6
4 5 0
 𝐵 =
4 3 2
5 6 9
1 8 4
 
 
2) 𝐴 + 𝐵 =
2 + 4 9 + 3 7 + 2
3 + 5 8 + 6 6 + 9
4 + 1 5 + 8 0 + 4
 
 
 
 
3) 𝐴 + 𝐵 =
6 12 9
8 14 15
5 13 4
 
 
 
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2.2 Sustracción de Matrices 
En la sustracción se tiene la misma regla que en la adición. Las matrices que se vayan a 
restar deberán tener la misma dimensión. El único concepto que se deberá tener es 
sobre la ley de los signos. 
Ley de signos 
(+)(+) = + 
(−)(−) = + 
(+)(−) = − 
(−)(+) = − 
 
Tener presente la ley de los signos es importante para evitar confusiones al momento 
de realizar la sustracción entre matrices. Teniendo dos matrices 𝐴 ∧ 𝐵, hay que realizar 
una resta 𝐴 − 𝐵 
 
1) 𝐴 =
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
𝑐31 𝑐32 𝑐33
 𝐵 =
−𝑑11 𝑑12 𝑑13
𝑑21 −𝑑22 𝑑23
−𝑑31 𝑑32 −𝑑33
 
 
2) 𝐴 − 𝐵 =
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
𝑐31 𝑐32 𝑐33
 − 
−𝑑11 𝑑12 𝑑13
𝑑21 −𝑑22 𝑑23
−𝑑31 𝑑32 −𝑑33
 
 
3) 𝐴 =
𝑐11 − (−𝑑11) 𝑐12 − (+𝑑12) 𝑐13 − (+𝑑13)
𝑐21 − (+𝑑21) 𝑐22 − (−𝑑22) 𝑐23 − (+𝑑23)
𝑐31 − (−𝑑31) 𝑐32 − (+𝑑32) 𝑐33 − (−𝑑33)
 
 
 
 
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2.3 Multiplicación de Matrices 
Multiplicación de una matriz por un escalar 
Al multiplicar una matriz por un escalar obtendremos una nueva matriz. 𝐵 = 𝛼 ∗ 𝐴 
𝐵 = 𝛼𝐴 =
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
𝑐31 𝑐32 𝑐33
 
 
𝐵 =
𝛼𝑐11 𝛼𝑐12 𝛼𝑐13
𝛼𝑐21 𝛼𝑐22 𝛼𝑐23
𝛼𝑐31 𝛼𝑐32 𝛼𝑐33
 
 
 
Propiedades de las multiplicaciones 
Asociativa Teniendo 𝐴, 𝐵, 𝐶. Sea, [𝐴(𝐵𝐶)] = (𝐴𝐵)[𝐶] 
Distributivas Teniendo 𝐴, 𝐵, 𝐶. Sea entonces que (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴 ∗
𝐶 + 𝐵 ∗ 𝐶 
Distributivas Teniendo 𝐴, 𝐵, 𝐶. Sea entonces que 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∗
𝐵 + 𝐴 ∗ 𝐶 
 
 
Multiplicación entre dos matrices 
Para poder realizar la multiplicación de dos matrices 𝐴 ∗ 𝐵, obtendremos una nueva 
matriz que la denominaremos 𝐶. 
Una regla que debe cumplir para poder resolver matrices es: Las columnas de la matriz 
A sea igual al número de filas de la matriz B. caso contrario no se podrá realizar la 
respectiva multiplicación. 
La dimensión de la nueva matriz que se obtendrá en este caso C es: El número de filas 
de la matriz A igual al número de columnas de la matriz B. 
 
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Pasos para realizar la multiplicación. 
1. Determinar si se cumple la regla de verificación entre ambas matrices. 
2. Determinar la nueva dimensión de la matriz C 
3. Cada elemento de la matriz producto de C es obtenido sumando los productos 
de cada elemento de la fila 𝑖 de la matriz A por el correspondiente elemento de 
la columna 𝑗 de la matriz B 
4. Reemplazamos los valores en nuestra nueva matriz 
Ejemplo: 
𝐴 =
10 2 −3
4 0 −2
 
Matriz de 2x3 
 
𝐵 =
3 1
2 4
−1 5
 
Matriz de 3x2 
1) Como podemos observar en la matriz A y B están marcados con rojo el número 3, 
cumpliendo la regla para poder realizar una multiplicación. 
2) La dimensión de la nueva matriz en este caso C que están marcados con azul 
determinamos que será una matriz de 2x2. 
𝐴 =
10 2 −3
4 0 −2
 𝐵 =
3 1
2 4
−1 5
 
𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐶 = 2𝑥2 
3) Las operaciones que se van a realizar para determinar los nuevos valores de la matriz C 
se harán a continuación. 
𝐶 =
𝐶11 𝐶12
𝐶21 𝐶22
 
Celda 11: 𝑓1𝐴. 𝐶1𝐵 = (1)(3) + (2)(2) + (−3)(−1) 
= 3 + 4 + 3 
𝐶11 = 10 
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Celda 12: 𝑓1𝐴. 𝐶2𝐵 = (1)(1) + (2)(4) + (−3)(5) 
= 1 + 8 − 15 
𝐶12 = −6 
 
Celda 21: 𝑓2𝐴. 𝐶1𝐵 = (4)(3) + (0)(2) + (−2)(−1) 
= 12 + 0 + 2 
𝐶21 = 14 
 
Celda 22: 𝑓2𝐴. 𝐶2𝐵 = (4)(1) + (0)(4) + (−2)(5) 
= 4 + 0 − 10 
𝐶22 = −6 
Reemplazamos los valores en nuestra nueva matriz C, entonces queda de la siguiente manera: 
𝑪 =
𝟏𝟎 −𝟔
𝟏𝟒 −𝟔
 
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Resolver los siguientes ejercicios propuestos. 
 
1. Realizar la siguiente operación entre matrices. 
𝐴 − 𝐵 
 
𝐴 =
2 9 5
4 7 2
4 3 1
 𝐵 =
−5 3 2
5 −7 9
−4 8 4
 
 
𝐴 − 𝐵 =
2 − (−5) 9 − (+3) 5 − (+2)
4 − (+5) 7 − (−7) 2 − (+9)
4 − (−4) 3 − (+8) 1 − (+4)
 
 
𝐴 − 𝐵 =
7 6 3
−1 14 −7
8 −5 −3
 
 
2. Realizar la siguiente operación entre matrices. 
𝐴 ∗ 𝐵 
𝐴 =
1 −2 5
6 3 −1
 𝐵 =
7 −1
8 3
5 −2
 
Operaciones auxiliares 
Celda 11: 𝑓1𝐴. 𝐶1𝐵 = (1)(7) + (−2)(8) + (5)(5) 
= 7 − 16 + 25 
𝐶11 = 16 
Celda 12: 𝑓1𝐴. 𝐶2𝐵 = (1)(−1) + (−2)(3) + (5)(−2) 
= −1 − 6 − 10 
𝐶12 = −17 
 
Celda 21: 𝑓2𝐴. 𝐶1𝐵 = (6)(7) + (3)(8) + (−1)(5) 
= 42 + 24 − 5 
𝐶21 = 61 
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Celda 22: 𝑓2𝐴. 𝐶2𝐵 = (6)(−1) + (3)(3) + (−1)(−2) 
= −6 + 9 + 2 
𝐶22 = 5 
 
𝑪 =
𝟏𝟔 −𝟏𝟕
𝟔𝟏 𝟓
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Bibliografí a 
ESPOL. (2006). FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS Para Bachillerato (ICM-ESPOL). Guayaquil. 
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Salazar, C. (2015). FUNDAMENTOS BASICOS DE LA MATEMATICA APLICADOS A LA ECONOMIA. 
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR - FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS, 257. Retrieved 
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0de%20matem%C3%A1tica%20aplicados%20a%20la%20econom%C3%ADa.pdf 
 
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