1- TEORIA 3 MATEMATICAS

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Unidad 1 Operaciones en . Trigonometría 
 
Operaciones en 
Conocemos y hemos estudiado distintos conjuntos numéricos como: 
El conjunto de los números naturales N= {1,2,3, } 
El conjunto de los números enteros Z= {...,-2,-1,0,1,2,3, } 
El conjunto de los números racionales Q que son todos aquellos números que se pueden 
expresar como el cociente entre dos números enteros, y entre ellos tenemos los decimales y los 
no decimales (periódicos). 
El conjunto de números irracionales, que son aquellos números que no se pueden expresar 
como división entre dos números enteros, por ejemplo: 2, 3, π, e, etc... 
El conjunto de los números reales R que es la unión entre el conjunto de los números 
racionales y los irracionales. En este conjunto podemos resolver distintas operaciones. (R = Q  I) 
PROPIEDADES: 
 Es un conjunto con infinitos números. 
 No tiene primero ni ultimo elemento. 
 Es un conjunto denso en si. Esto es, entre dos números reales hay un número infinito 
de reales. 
 Ningún real tiene antecesor ni sucesor. 
 A cada número real le corresponde un punto en la recta, y a todo punto de la recta le 
corresponde un número real. 
Completar el diagrama según corresponda con N,Z, D, periódicos, Q, irracionales y R. 
 
 
Operaciones y propiedades: 
1. Adición: 
Siempre que sumamos dos números Reales, el resultado es también un número Real llamado 
suma. 
Propiedades de la adición en reales: 
a) Asociativa: 
Para todo número Real x, y, z se cumple: 
 
 
(x + y ) + z = x + ( y + z ) 
 
b) Conmutativa: 
Para todo número Real x, y se cumple: 
x + y = y + x 
c) Existencia del elemento neutro “0”: 
Para todo número Real x, existe el número real 0 que cumple: 
x + 0 = 0 + x 
d) Existencia de elemento simétrico u opuesto 
Para todo número Real x, existe el número real -x, que cumple: 
x + (-x) = (-x) + x 
 
Toda sustracción se puede resolver como una suma: 
Ejemplo: 4 – 7 = 4 + (-7) 
 
2. Multiplicación: 
Siempre que multiplicamos dos números Reales, el resultado es otro número Real llamado 
producto. 
Propiedades de la multiplicación en reales: 
a) Asociativa 
Para todo número Real x,y,z se cumple: 
(x . y) . z = x . (y . .z) 
b) Conmutativa 
Para todo número Real x, y, se cumple: 
x . y = y . x 
c) Existencia del elemento neutro “1” 
Para todo número Real x, existe el número Real 1 que cumple 
x . 1 = 1 . x 
d) Existencia de elemento simétrico (inverso) 
Para todo número Real x, existe el número Real x-1, se cumple: 
x . x-1 = x-1. x = 1 
e) Distributiva de la multiplicación con respecto a la adición 
Para todo número Real x, y, z se cumple: 
x . ( y + z ) = x . y + x . z 
Toda división se puede resolver como multiplicación: 
 
 
 
Ejemplo: 4 : 5  4  
1
 
5 
3. Potenciación (exponente entero) 
xn= x . x . x . x .... (n-veces) 
Donde x es la base, n al exponente y xn la potencia 
Propiedades: 
a) Producto de potencias de igual base 
an am = an+m 
b) Cociente de potencia de igual base 
an : am = an-m 
c) Potencia de una potencia 
(an)m = a n. m 
d) Distributiva de potenciación con respecto a la multiplicación 
(a . b)n = an . bn 
e) Distributiva de potenciación con respecto a la división 
(a : b)n = an : bn 
f) a1 = a y a0 = 1 Cualquiera sea el número Real, a0 
 
g) a-n  
1 
n
 
=  
a 
 3 
3 
Ejemplo:  
2 

 2 
3
 
 3 
     


4. Radicación en R 
 
 
Propiedades 
a) Raíz de una raíz 
 
 
 b si 
 
 
 
 m.n a 
 
 
bn  a 
b) Distributiva de radicación con respecto a la multiplicación 
 . 
c) Distributiva de radicación con respecto a la división 
 
n a 
 
n b 
d) Multiplicación de índice y exponentes por un mismo valor 
 
m n a 
n a.b 
 
b 
a 

 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo:  
32 
242 
e) División de índice y exponente por un mismo valor 
 
 
am 


Ejemplo: 

f) Expresión de un radical como potencia de exponente fraccionario 
 
1 
 
 
 an 
 m 
 
 
am  a n 
2 
 
 
Recordar que: 
 
 
Ejemplo: 23  22 
 
Índice Radicando Resultado 
Par + 
Par - No existe 
Impar + + 
Impar - - 
 
 
Notación Decimal y Fraccionaria 
Números decimales: 
Todo número decimal se puede escribir como fracción. Para la notación fraccionaria de los números 
decimales, el numerador lo formamos con el número completo y sin coma, y al denominador por la 
unidad seguida de tantos ceros como cifras existan detrás de la coma. 
Ejemplo: 
 
23,024 = 
 
23024 
 
 
1000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números periódicos: 
Para la notación fraccionaria de un número periódico, al numerador lo formamos con el número (sin 
coma) y le restamos toda la parte no periódica de dicho número (sin la coma) y al denominador lo 
formamos con tantos nueves como cifras periódicas, seguido de tantos ceros como cifras no 
periódicas existan tras la coma. 
 
 
1, 5  
15  1 
9 
0,125  
125  1
 
990 
1,034  
1034  10 
990 
 
 
Redondeo y Truncamiento: Un número escrito en notación decimal puede ser redondeado a una 
cantidad determinada de cifras decimales considerando el valor de la cifra posterior a dicha cifra si 
dicha cifra es mayor a 5 a la cifra la redondeamos aumentando en una unidad su valor, caso 
contrario al número lo escribimos hasta la cifra deseada sin modificar. Ejemplo: 
 
Redondear a tres cifras decimales 5,236567 aprox. 5,237, o por ejemplo 3,45231 aprox. 3,452 
Truncamiento: se trunca el número hasta la cifra deseada sin importar las siguientes. 
 
Notación Científica: es la notación más abreviada posible para escribir un número muy grande o 
muy pequeño, consiste en escribir el número como el producto entre un número mayor o igual que 
uno y menor que 10, y la potencia de 10. (Exponente: cantidad de cifras “que hay que correr la 
coma”). 
Ejemplos: 
 
200000 = 2x 105 
 
2345,2 = 2,3452x103 
 
0,0000001 = 1x10-7 
 
0,0000034 = 3,4x10-6 
 
 
SIMELA: La República Argentina, miembro fundador en 1875 de la convención del Metro, tomó 
parte en las tareas que culminaron con la histórica determinación de la XI Conferencia de Pesas y 
Medidas en 1960, por la cual quedo instituido el Sistema Internacional (SI) de Unidades. 
La ley 19.511 del 2 de marzo de 1972 estableció para nuestro país el uso obligatorio y excluyente 
del Sistema Métrico Legal Argentino, constituido por las unidades del SI y algunas otras unidades 
que por usos y costumbres se utilizan. 
Los múltiplos y submúltiplos de las unidades del sistema están basadas en múltiplos de 10 lo que 
facilita trabajar en él. 
Unidades fundamentales del SI 
 
 
Magnitud 
 
Nombre 
 
Símbolo 
Longitud 
 
metro m 
Masa 
 
kilogramo kg 
Tiempo 
 
segundo s 
Intensidad de corriente 
eléctrica 
 
ampere A 
Temperatura 
termodinámica 
 
kelvin K 
Cantidad de materia 
 
mol mol 
Intensidad luminosa candela cd 
 
 
Las unidades derivadas que además vamos a utilizar son las de volumen: m3 (metro cúbico) y de 
capacidad: l (litro) y sus múltiplos y submúltiplos. 
 
Tanto los múltiplos de una unidad como los submúltiplos se forman de la siguiente manera: prefijo 
+ unidad. Donde el prefijo es el que indica la “separación” o distancia respecto de la unidad. 
 
Ejemplo: Prefijo kilo = 103 = 1000 
 
kilometro = kilo (prefijo) + metro (unidad)= 103 metros = 1000 metros 
kilogramo= kilo (prefijo) + gramo (unidad)= 103 gramos = 1000 gramos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trigonometría 
 
Angulo: es un conjunto de puntos del plano, limitado por dos semirrectas o lados del ángulo, que 
se cortan en un punto llamado vértice del ángulo. Dos ángulos son congruentes cuando difieren en 
un número exacto de giros (sus lados coinciden). 
 
 
 
 
Sentido: cuando un ángulo se mide en el sentido contrario a las agujas del reloj, se dice que se 
mide en sentido positivo, si se mide en el sentido de las agujas del reloj, se dice que se mide en 
sentido negativo. 
 
Sistemas de Medición De Ángulos 
 
 
1- SistemaSexagesimal: este sistema divide a la circunferencia completa en 360 partes, 
cada una de ellas se llama grado sexagesimal y cada uno de ellos a su vez está dividido 
en 60 minutos sexagesimales y cada minuto está dividido en 60 segundos 
sexagesimales: 1°= 60´ 1´= 60´´ 
 
2- Sistema Radial o Circular: este sistema toma como unidad el ángulo cuyo arco equivale 
a un radio de la circunferencia y se le llama radian. El radio de la circunferencia cabe 2 
veces en la circunferencia. 
 
 
Equivalencia entre los distintos sistemas 
 
 
1giro = 1 Revolución = 1 vuelta = 360° = 2 rad 
 
 
Ejemplo: si  ̂ 75 expresar el ángulo en radianes 
 
 
180° π 
75° x  
  75 
 
5 


180 12 
 
 
Funciones trigonométricas de ángulos agudos 
 
 
En cualquier triángulo rectángulo se verifica que: 
 
 
- Relación entre ángulos  ̂ ̂  90

agudos 
 
 
 
Dónde: 
A  Hipotenusa 
- A2 = B2 + C2  Teorema de Pitágoras 
Respecto a ˆ 
 
Respecto a : ˆ 
: C  Cateto Opuesto y B  Cateto 
Adyacente C  Cateto Adyacente y B 
 
	Unidad 1 Operaciones en . Trigonometría
	a) Asociativa:
	b) Conmutativa:
	c) Existencia del elemento neutro “0”:
	d) Existencia de elemento simétrico u opuesto
	a) Asociativa
	b) Conmutativa
	c) Existencia del elemento neutro “1”
	d) Existencia de elemento simétrico (inverso)
	e) Distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
	a) Producto de potencias de igual base
	b) Cociente de potencia de igual base
	c) Potencia de una potencia
	d) Distributiva de potenciación con respecto a la multiplicación (a . b)n = an . bn
	f) a1 = a y a0 = 1 Cualquiera sea el número Real, a0
	 
	a) Raíz de una raíz
	b) Distributiva de radicación con respecto a la multiplicación
	c) Distributiva de radicación con respecto a la división
	d) Multiplicación de índice y exponentes por un mismo valor
	e) División de índice y exponente por un mismo valor
	f) Expresión de un radical como potencia de exponente fraccionario
	Números decimales:
	Números periódicos:
	Unidades fundamentales del SI