4 GENERALIDADES DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES (1)

Vista previa del material en texto

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO
DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE
DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES
ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO
FUNCIONES POLINOMIALES 
ÁLGEBRA Y FUNCIONES
Propósito. Se espera que el estudiante desarrolle las habilidades para trabajar con funciones polinomiales: procesos de lectura, representaciones de la notación funcional y de tránsito entre ellas, a través del desarrollo de técnicas y procedimientos que le permitan validar relaciones algebraicas y funcionales en la solución de problemas
¿Qué es una función polinomial?
Una función polinomial es aquella que está definida por un polinomio:
 
 
Estos son algunos ejemplos de funciones polinomiales y su respectivas gráficas 
Características generales de las funciones polinomiales.
1. El dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los números Reales (R)
2. Son siempre continuas
3. No tienen asíntotas
4. Cortan al eje x , como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio
5. Cortan al eje y en el punto (0,
6. El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno 
Actividad 1. Identifica cada grafica con su correspondiente expresión algebraica y señala en ellas los puntos de corte con el eje x, el punto de corte con el eje y y los puntos máximos y mínimos de las funciones dadas 
a) 
b) 
c) 
d) 
	
Puntos de corte de la función polinomial
a) Con el eje x
La segunda coordenada debe ser cero, por lo tanto debe ser del tipo (a, 0), los valores de a son las raíces de la ecuación 
b) Con el eje y 
La primera coordenada debe ser cero, por lo tanto debe ser del tipo (0, b), el valor de b se obtiene hallando 
Concavidad y puntos de inflexión de una función polinomial
a) Concavidad 
Se dice que una función tiene concavidad hacia arriba (concava) en el intervalo si una recta tangente dibujada a la gráfica de la función en un punto de ese intervalo queda por debajo de la función. 
Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que la función presenta concavidad hacia abajo (convexa) en ese intervalo.
b) Punto de inflexión 
Se define un punto de inflexión como el punto en que la función pasa de ser convexa a cóncava o de cóncava a convexa.
Máximos y mínimos de una función
Máximo: una función alcanza un máximo relativo en un punto de abscisa si existe un entorno reducido tal que para todos los puntos de dicho entorno reducido 
Mínimo: una función alcanza un mínimo relativo en un punto de abscisa si existe un entorno reducido tal que para todos los puntos de ese entorno reducido 
Funciones simétricas
i. Funciones pares:
Una función es una función par si se verifica que para todo 
Su gráfica es simétrica al eje Y 
ii. Funciones impares:
Una función es una función impar si se verifica que para todo 
Su gráfica es simétrica con respecto al origen 
Ejercicio: Verifique que las funciones mostradas en las gráficas son par e impar respectivamente.
Solución: para la gráfica de la derecha 
La función es impar porqué 
Gráfica de la izquierda:
 
 
Función lineal como caso particular de la función polinomial.
Una función lineal o función polinomial de grado uno se puede expresar de la siguiente forma:
 o de manera más práctica de la siguiente forma:
Como ya lo hemos aclarado en otro momento, la función lineal tiene como dominio y rango, todos los números reales (R)
La gráfica de una función lineal es una línea recta, m representa su pendiente de y b su ordenada al origen 
Ejemplos:
1. Un caracol se encuentra en una pared a 5 m del suelo. Durante la mañana el caracol sube 3 m, pero en la tarde baja 1 m.
a) Completa la siguiente tabla en la cual se representa la altura h a la que se encuentra el caracol en función del número de días n y construye su gráfica respectiva.
	n
	h(n)
	0
	5
	1
	
	2
	9
	3
	
	4
	
	5
	
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? 
c) La pendiente de la recta es ¿Qué interpretación le das?
2. Las siguientes estructuras están construidas con varillas, la figura 1 con 3 varillas, la figura 2 con 7 varillas y así sucesivamente. 
a) Completa la siguiente tabla considerando a n como el número de figura y a f(n) como la función del número de varillas en función del número de figura.
	
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	…
	
	
	3
	7
	11
	15
	
	
	
	…
	
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde al número de varillas para el término enésimo de la sucesión?
c) ¿Cuántas varillas se necesitarán para construir la figura a la que corresponde el número 18?
d) ¿A qué número de figura corresponde en la sucesión, si se necesitan 227 varillas para construirla?
e) Dibuja su gráfica correspondiente.
La función cuadrática como un caso particular de la función polinomial.
Una función lineal o función polinomial de segundo grado se puede expresar de la siguiente forma:
O de la siguiente forma más simple:
La grafica de segundo grado o cuadrática describe una parábola 
Dominio 
Como cualquier función polinomial, su dominio es el conjunto de todos los números reales: 
Rango:
Ya en otro momento se ha determinado el rango de una función cuadrática transformando la expresión a la expresión vista en geometría analítica donde el vértice es el punto y si b
Si 
El vértice se puede obtener de la siguiente manera:
Completando cuadrados 
El vértice es de la forma 
Si 
Si 
Punto de corte con el eje y
El punto de corte con el eje y es cuando en la función. El punto de corte es 
Ceros o raíces de una función cuadrática 
Los ceros o raíces de una función cuadrática, se pueden obtener haciendo 
 	
Al resolver esta ecuación nos quedan las siguientes raíces solución 
Para investigar los puntos de corte o ceros de la función cuadrática solo hay que recordar como es el discriminante
a) Si 
b) Si 
c) Si 
Actividad. Elementos de una función cuadrática: 
Dada las siguientes funciones cuadráticas determine los siguientes elementos: 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
a) Concavidad
b) Dominio
c) Rango
d) Ceros o puntos de corte con el eje x 
e) Punto de corte con el eje y 
f) Grafica
1. 
g) Concavidad
Como el coeficiente La función cuadrática es cóncava 
h) Dominio
El dominio como es función polinomial son todos los números reales 
i) Vértice 
j) Rango
k) Ceros o puntos de corte con el eje x 
l) Punto de corte con el eje y 
m) Grafica
5. 
a) Concavidad
a. Como el coeficiente La función cuadrática es convexa
b) Dominio
a. El dominio como es función polinomial son todos los números reales 
c) Vértice 
a. 
d) Rango
a. 
e) Ceros o puntos de corte con el eje x 
f) Punto de corte con el eje y 
g) Grafica