222 parte 2

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Solución: 
Tomando en cuenta que el saldo no varía durante el año, y que son 12 periodos de 
composición en un año: 
𝑖%
12
=
18%
12
= 1,5% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙. 
Ahora, es posible aplicar la siguiente ecuación para encontrar la tasa anual efectiva: 
𝑖𝑎 = (1 + 𝑖)𝑚 − 1 
𝑖𝑎 = (1 + 0.015)12 − 1 = 0,19562 → 19,5% 
 
Luego, calculamos el valor futuro con la siguiente ecuación: 
𝐹 = 𝑃 + 𝑃𝑖𝑎 = 𝑃(1 + 𝑖𝑎) 
𝐹 = 1000(1,19562) = 1195,62 
El adeudo total al banco después de un año, es igual a: $195,62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Convertimos las tasas nominales de cada opción en tasas semestrales, y luego se 
calcula la tasa efectiva con la siguiente ecuación: 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +
𝑟
𝑚
)
𝑚
− 1 
Para la propuesta 1: 
𝑟 = 9% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 → 4,5% 𝑝𝑎𝑟𝑎 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
𝑚 = 2 (𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑖𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +
0,045
2
)
2
− 1 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 1,0455 − 1 = 0,0455 → 4,55% 
 
Diagrama de flujo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para la propuesta 2: 
𝑟 = 3% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 → 6% 𝑝𝑎𝑟𝑎 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
𝑚 = 2 (𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑖𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +
0,06
2
)
2
− 1 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 1,0609 − 1 = 0,0609 → 6,09% 
Diagrama de flujo: 
 
 
 
 
 
 
0 6 12 
Meses 
PC 
3 meses 
PP 
6 meses 
PC 
3 meses 
PC 
3 meses 
PC 
3 meses 
0 6 12 
Meses 
PC 
3 meses 
PP 
6 meses 
PC 
3 meses 
PC 
3 meses 
PC 
3 meses 
3 9 
Para la propuesta 3: 
𝑟 = 8.8% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 → 4,4% 𝑝𝑎𝑟𝑎 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
𝑚 = 6 (𝑠𝑒𝑖𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +
0,044
6
)
6
− 1 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 1,0448 − 1 = 0,0448 → 4,48% 
 
Diagrama de flujo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Calculamos la tasa efectiva con la siguiente ecuación: 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +
𝑟
𝑚
)
𝑚
− 1 
Valor anual: 
𝑟 = 18% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 
𝑚 = 365 (𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜) 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +
0,18
365
)
365
− 1 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 1,1971 − 1 = 0,1971 → 19,71% 
 
0 6 12 
Meses 
PC 
1 mes 
PP 
6 meses 
PC 
1 mes 
PC 
1 mes 
PC 
1 mes 
PC 
1 mes 
PC 
1 mes 
PC 
1 mes 
PC 
1 mes 
PC 
1 mes 
PC 
1 mes 
PC 
1 mes 
PC 
1 mes 
Valor semestral: 
𝑟 = 9% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
𝑚 = 182 (𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜) 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +
0,09
182
)
182
− 1 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 1,0941 − 1 = 0,0941 → 9,41% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Primero, calculamos la tasa efectiva con la siguiente ecuación: 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +
𝑟
𝑚
)
𝑚
− 1 
Sean los valores: 
𝑟 = 12% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 
𝑚 = 2 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙) 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +
0,12
2
)
2
− 1 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 1,1236 − 1 = 0,1236 → 12,36% 
 
Ahora, se calcula con la fórmula del factor (
𝐹
𝑃
, 𝑖, 𝑛) → (1,1236)𝑛: 
𝐹 = 1000 (
𝐹
𝑃
, 12,36%, 10) + 3000 (
𝐹
𝑃
, 12,36%, 6) + 1500 (
𝐹
𝑃
, 12,36%, 4) 
𝐹 = 1000(3,2071) + 3000(2,0122) + 1500(1,5938) 
𝐹 = $11634 𝑚𝑖𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Dado que el periodo de pago es mayor al periodo de capitalización, determinamos la 
tasa de interés efectiva con la ecuación: 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +
𝑟
𝑚
)
𝑚
− 1 
Valor con período de composición semestral: 
𝑟 = 20% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 → 10% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
𝑚 = 2 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙) 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +
0,10
2
)
2
− 1 
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 1,1025 − 1 = 0,1025 → 10,25% 
 
Siendo que los pagos son semestrales, tenemos: 
𝑛 = 2(7) = 14 
Partiendo de estos valores, se calcula: 
𝐹 = 𝐴 (
𝐹
𝐴
, 10,25%, 14) 
𝐹 = 500(28,489) 
𝐹 = $14244,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Primero se trasladan los flujos de efectivo negativos al final del trimestre respectivo, y 
los flujos positivos al inicio del trimestre correspondiente: 
 
Trimestre Egresos Ingresos 
1 
-150 
-200 
2 
 180 
-175 
3 
 165 
 
4 
 50 
 
 
Se calcula 𝐹 en cada periodo de la siguiente forma: 
𝑖 = 12% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 → 3% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙. 
𝐹 = 1000[−150 (
𝐹
𝑃
, 3%, 4) − 200 (
𝐹
𝑃
, 3%, 3) + (−175 + 180) (
𝐹
𝑃
, 3%, 2)
+ 165 (
𝐹
𝑃
, 3%, 1) − 50] 
 
𝐹 = 1000[−150(1,125) − 200(1,092) + (−175 + 180)(1,060) + 165(1,03) − 50] 
𝐹 = 1000[−261,9] 
𝐹 = −261900 
 
 
 
Solución: 
La ecuación para calcular la tasa de interés efectiva continua es la siguiente: 
𝑖 = 𝑒𝑟 − 1 
La tasa anual efectiva se calcula con: 𝑟 = 18% → 0.18, y la tasa mensual nominal resulta 
de dividir la tasa de interés anual entre 12: 𝑟 = 1,5% → 0,015. 
 Ahora calculamos las tasas correspondientes: 
 
Tasa de interés anual: 
𝑖 = 𝑒0,18 − 1 = 0,1972 → 19,72% 
Tasa de interés mensual: 
𝑖 = 𝑒0,015 − 1 = 0,0151 → 1,51% 
 
 
 
 
Solución: 
En el caso de Marci, calculamos el valor futuro usando el factor 𝐹/𝑃 con los datos 
conocidos: 
𝐹 = (
𝐹
𝑃
, 10%, 10) = 5000(1 + 0,10)10 = 5000(2,5937) = $12968,5 
 
En el caso de Suzzane, la tasa efectiva anual 𝑖 se calcula con la siguiente fórmula: 
𝑖 = 𝑒𝑟 − 1 
Y luego se usa el factor 𝐹/𝑃 al igual que en el caso de Marci. 
 
𝑖 = 𝑒0,10 − 1 = 0,10517 → 10,517% 
𝐹 = (
𝐹
𝑃
, 10,517%, 10) = 5000(1 + 0,10517)10 = 5000(2,71829) = $13591,45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Calculamos el valor presente de cada máquina con el TMAR(Tasa Mínima Aceptable de 
Rendimiento) al porcentaje indicado en el enunciado. El procedimiento se realiza con 
cada alternativa, y al final se evalúa quién tiene el mejor valor presente, siendo esa la 
alternativa a elegir en este caso. 
Valor presente para la máquina de energía eléctrica: 
𝑉𝑃 = −2500 − 900 (
𝑃
𝐴
, 10%, 5) + 200 (
𝑃
𝐹
, 10%, 5) 
𝑉𝑃 = −2500 − 900(9,0937) + 200(0,619) = −$5788 
Valor presente para la máquina de gas: 
𝑉𝑃 = −3500 − 300 (
𝑃
𝐴
, 10%, 5) + 350 (
𝑃
𝐹
, 10%, 5) 
𝑉𝑃 = −3500 − 300(9,0937) + 350(0,619) = −$5936 
Valor presente para la máquina de energía solar: 
𝑉𝑃 = −6000 − 900 (
𝑃
𝐴
, 10%, 5) + 200 (
𝑃
𝐹
, 10%, 5) 
𝑉𝑃 = −6000 − 50(9,0937) + 100(0,619) = −$6127 
 
En este caso, es posible apreciar que el mejor valor presente y el menor costo de las 
tres opciones es el asociado a la máquina de energía eléctrica, por tanto, es la mejor 
opción entre las alternativas propuestas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
En este caso, los términos del arrendamiento son distintos en cuanto al tiempo, por 
tanto, se busca un múltiplo común de ambos términos y se calcula en base a esa 
cantidad de tiempo. Ambos son múltiplos de 18, y partiendo de esta base, se hará lo 
siguiente: 
El costo inicial se repite en el último año del ciclo anterior. Para el primer caso, serán los 
años 6 y 12; para el segundo caso, 9 años. 
Calculando el primer valor presente: 
𝑉𝑃 = −15000 − 15000 (
𝑃
𝐹
, 15%, 6) + 1000 (
𝑃
𝐹
, 15%, 6) − 15000 (
𝑃
𝐹
, 15%, 12)
+ 1000 (
𝑃
𝐹
, 15%, 12) + 1000 (
𝑃
𝐹
, 15%, 18) − 3500 (
𝑃
𝐴
, 15%, 18) 
𝑉𝑃 = −15000 − 15000(0,432) + 1000(0,432) − 15000(0,186) + 1000(0,186)
+ 1000(0,0808) − 3500(5,797) 
𝑉𝑃 − 43860,7 
Calculando el segundo valor presente: 
𝑉𝑃 = −18000 − 18000 (
𝑃
𝐹
, 15%, 9) + 2000 (
𝑃
𝐹
, 15%, 9) + 2000 (
𝑃
𝐹
, 15%, 18)
− 3100 (
𝑃
𝐴
, 15%, 18) 
𝑉𝑃 = −18000 − 18000(0,284) + 2000(0,284) + 2000(0,0808) − 3100(5,797) 
𝑉𝑃 − 40353,1 
El resultado obtenido sugiere que la segunda opción es mejor que la primera, dado el 
valor presente obtenido, que es mejor numéricamente hablando en relación al primero. 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Se hace el cálculo del valor futuro a partir del tercer año, debido a que es en este punto 
donde se ha equilibrado el flujo de efectivo neto, esto de acuerdo a lo que indica el 
enunciado. La tasa de interés será de 25% anual. 
La ecuación quedaría planteada de la
siguiente forma: 
𝑉𝐹 = −75 (
𝐹
𝑃
, 25%, 3) − 10 (
𝐹
𝑃
, 25%, 2) − 5 (
𝐹
𝑃
, 25%, 1) + 159,5 
𝑉𝐹 = −75(1,95) − 10(1,562) − 5(1,25) + 159,5 
𝑉𝐹 = −169,37 + 159,5 
𝑉𝐹 = −9.87 
El resultado sugiere que el valor de TMAR al 25% no será posible aceptando la oferta 
propuesta de 159.5 millones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
El procedimiento para resolver este planteamiento consta de varios pasos 
fundamentales. El primero de ellos, requiere la elaboración de un diagrama que refleje 
los flujos de efectivo no recurrentes, y al menos dos ciclos de los flujos de efectivo 
recurrentes. Posteriormente, se calcula el valor presente de las cantidades no 
recurrentes, y este resultado será el costo capitalizado (CC). Una vez hallado este valor, 
se calcula el valor anual uniforme equivalente durante un ciclo de los montos 
recurrentes, y este resultado será el valor anual uniforme equivalente total (VA). Luego, 
se divide este valor entre la tasa de interés correspondiente, y finalmente se suman los 
valores. 
Aplicación del procedimiento con la opción del puente suspendido: 
 
Diagrama de flujo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Del diagrama se desprenden los siguientes cálculos: 
 
𝐶𝐶 = −50 − 2 = −52 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) 
 
Sea 𝐴1 el costo de operación recurrente y 𝐴2 el costo anual equivalente: 
 
𝐴1 = −35000 
𝐴2 = −100000 (
𝐴
𝐹
, 6%, 10) 
𝐴2 = −100000(0.078568) = −7586,80 
 
Calculando el costo capitalizado: 
𝐶𝐶 =
𝐴1 + 𝐴2
𝑖
=
−35000 + (−7586,80)
0,06
= $ − 709780 
 
El costo capitalizado total será: 
𝐶𝐶 = −52000000 − 709780 = $ − 52,71 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 
 
 
0 
-100 mil 
(Renovación 
cada 10 años) 
10 
Años 
-50 millones 
(Costo inicial) 
1 
-2 millones 
(Costo de 
compra) 
2 3 4 5 6 7 8 9 
-35 mil (Costo de inspección y mantenimiento anual) 
Aplicación del procedimiento con la opción del puente apuntalado: 
 
Diagrama de flujo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Del diagrama se desprenden los siguientes cálculos: 
 
𝐶𝐶 = −25 + (−15) = −40 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) 
 
Sea 𝐴1 el costo de operación recurrente y 𝐴2, 𝐴3 el costo anual equivalente de pintura y 
chorro de arena, respectivamente: 
 
𝐴1 = −20000 
𝐴2 = −40000 (
𝐴
𝐹
, 6%, 10) 
𝐴2 = −40000(0.3141) = −12564 
𝐴3 = −190000 (
𝐴
𝐹
, 6%, 10) 
𝐴3 = −190000(0.075869) = −14415 
 
 
Calculando el costo capitalizado: 
𝐶𝐶 =
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
𝑖
=
−20000 + (−12564) + (−14415)
0,06
= $ − 782983,33 
 
El costo capitalizado total será: 
𝐶𝐶 = −40000000 − 782983,33 = $ − 40,78 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 
0 
-190 mil 
(Mantenimient
o con chorro 
de arena cada 
10 años) 
10 
Años 
-50 millones 
(Costo inicial) 
1 
-2 millones 
(Costo de 
compra) 
2 3 4 5 6 7 8 9 
-35 mil (Costo de mantenimiento anual) 
-40 mil (Costo por pintura cada tres años) 
El resultado obtenido permite concluir que la opción con mejor capitalización es la del 
puente apuntalado, por tener menor costo en comparación con el puente suspendido. 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Calculamos el periodo de recuperación haciendo uso de la siguiente fórmula: 
 
0 = −𝑃 + 𝐹𝑁𝐸 (
𝑃
𝐴
, 𝑖, 𝑛𝑝) 
A la cual se le añade o suma el valor por cancelación VC de la siguiente forma: 
 
0 = −𝑃 + 𝐹𝑁𝐸 (
𝑃
𝐴
, 𝑖, 𝑛) + 𝑉𝐶 (
𝑃
𝐹
, 𝑖, 𝑛) 
 
Reemplazamos los valores conocidos en la fórmula, en unidades de millón: 
 
0 = −18 + 3 (
𝑃
𝐴
, 15%, 10) + 3 (
𝑃
𝐹
, 15%, 10) 
0 = −18 + 3(5,803) + 3(0,247) 
0 = −18 + 17,409 + 0,741 = 0,15 → 15 𝑎ñ𝑜𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Aplicando el mínimo común múltiplo de los valores del término de arrendamiento, 
obtenemos un valor para comparar periodos diferentes, en este caso, 14. 
Luego calculamos el valor presente considerando el flujo neto de efectivo de todos los 
años de la vida máxima estimada. 
Para la máquina 1: 
𝑉𝑃 = −12000 − 12000 (
𝑃
𝐹
, 15%, 7) + 3000 (
𝑃
𝐴
, 15%, 14) 
𝑉𝑃 = −12000 − 12000(0,375) + 3000(5,797) 
𝑉𝑃 = $663 
Para la máquina 2: 
𝑉𝑃 = −8000 + 1000 (
𝑃
𝐴
, 15%, 5) + 3000 (
𝑃
𝐴
, 15%, 9) (
𝑃
𝐹
, 15%, 5) 
𝑉𝑃 = −8000 + 1000(0,375) + 3000(5,804)(0,375) 
𝑉𝑃 = $2470 
En este caso, se selecciona la máquina 2 por tener mejor valor presente que la máquina 
1. La diferencia en la decisión está ligada a que en el análisis del periodo de 
recuperación se ignoran las cantidades del flujo de efectivo posteriores al tiempo de 
recuperación.