ME2-2021-II - Clase 25 - Transformadas de Clarke y Park

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Clase 25
Transformaciones de Clarke y Park
Máquinas Eléctricas II
Ricardo Bolaños
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería
2021-II
25/03/2022
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Transformación dq0
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Las ecuaciones del estator y rotor describen el desempeño eléctrico de la máquina sincrónica, sin embargo, las
ecuaciones contienen las inductancias que varían en función de θ, el cual varia con el tiempo, lo que introduce una
complejidad considerable al modelo de la máquina síncrona. Por ello se ha propuesto una transformación para
resolverlo de forma más simple.
De las ecuaciones (4) y (5) las corrientes se combinan y presentan los ejes d y q. Esto sugiere la transformación de las
corrientes de fase del estator en nuevas variables:
Las constante kd y kq son arbitrarias y sus valores son elegidos de manera que simplifiquen los coeficientes
numéricos de las ecuaciones. En gran parte de la literatura especializada, se definen: 𝑘 = 𝑘 = 2/3. Otros autores
consideran 𝑘 = 𝑘 = 2/3. En nuestro caso se considerará: 𝑘 = 𝑘 = 2/3.
Ecuaciones (6)
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Transformación dq0
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Para condiciones de equilibrio:
Sustituyen en la ec (6):
Para que el valor pico de “id” sea igual a la corriente del estator “Im”, kd debe ser igual a 2/3.
Procediendo de igual forma con la expresión de “iq” se observa que kq debe ser igual a 2/3.
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Transformación dq0
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Para completo grado de libertad, la tercera componente empleada para la transformación, debe ser tal que las
corrientes de las tres fases se transformen en tres variables.
Mientras las dos componentes de la corriente “id” e “iq” producen en mismo campo al producido por “Im”, la tercera
componente no debe producir campo en el entrehierro.
Por lo tanto, una tercera variable conveniente es la corriente de secuencia cero “i0” asociada con las componentes
simétricas.
En equilibrio
La transformación desde las variables de fases “abc” hacia las variables dq0 se pueden expresar : Transformación dq0 
Directa:
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Transformación Inversa dq0
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
La transformación desde las variables de “dq0” hacia las variables en el dominio de las fases “abc” se pueden
expresar matricialmente de la siguiente manera:
Transformación Inversa:
¡Estas transformaciones aplican para las corrientes, flujo concatenado del estator, del rotor y tensiones de la 
máquina!
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Transformación dq0 a Ecuaciones de Máquina Sincrónica
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Enlaces de flujo del estator en componentes dq0
Partiendo de las expresiones de flujo dadas por las ecuaciones (4), aplicando la transformación dq0 y empleando
una adecuada reducción sobre los términos trigonométricos, se tiene:
Definiendo nuevas inductancias: 
Se reducen a: 
Los flujos concatenados en dq0, se relacionan con
las corrientes (rotor y estator) a través de
inductancias constantes.
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Transformación dq0 a Ecuaciones de Máquina Sincrónica
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Enlaces de flujo del rotor en componentes dq0
Tomando las ecuaciones (5), y sustituyendo 𝐼 e 𝐼 de la ecuaciones (6), tenemos:
Entonces: 
Todas inductancias son constantes,
independientes de la posición del rotor
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Transformación dq0 a Ecuaciones de Máquina Sincrónica
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Ecuaciones de tensión del estator en componentes dq0
Tomando las ecuaciones (1), y aplicando transformada dq0, tenemos:
Entonces: 
Ecuación (1)
El término “𝒑𝜽” representa la velocidad
angular del rotor “𝝎𝒓”.
A 60 Hz, en estado estacionario
𝒑𝜽 = 𝝎𝒓 = 𝝎𝒔 = 𝟐𝝅𝟔𝟎 = 𝟑𝟕𝟕 𝒓𝒂𝒅/𝒔.
Ecuaciones (7)
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Transformación dq0 a Ecuaciones de Máquina Sincrónica
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Ecuaciones de tensión del estator en componentes dq0, consideraciones:
1. Los términos 𝜳𝒅𝒑𝜽 y 𝜳𝒒𝒑𝜽 resultan de la transformación a una referencia giratoria, y reflejan el hecho que la
onda de flujo que gira en sincronismo con el rotor crea tensiones en los arrollamientos de armadura.
2. Los términos 𝜳𝒅𝒑𝜽 y 𝜳𝒒𝒑𝜽 se denominan “Tensiones de velocidad” (debido a que el flujo cambia en el
espacio) y los términos 𝒑𝜳𝒅y 𝒑𝜳𝒒 son “tensiones transformadas” (debido a que el flujo cambia en el tiempo).
3. La tensión de velocidad es la componente dominante de la tensión del estator.
4. En estado estacionario, 𝒑𝜳𝒅 y 𝒑𝜳𝒒 son cero.
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Potencia Eléctrica en la Máquina Sincrónica
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Expresiones de la potencia eléctrica en componentes dq0. La expresión para la potencia instantánea de salida
en el estator, es:
En componentes dq0, tenemos:
Bajo condición balanceada, tenemos que 𝑒 = 𝑖 = 0, entonces:
Reemplazando las ecuaciones de tensión del estator en la definición de potencia instantánea se tiene:
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Potencia Eléctrica y Torque
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Potencia eléctrica en componentes dq0.
El torque se obtiene dividiendo la potencia transferida a través del entrehierro por la velocidad mecánica del rotor 
(𝜔 ), así:
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Interpretación Física Transformada dq0
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
La transformación dq0 puede verse como un medio para referir cantidades del estator hacia el rotor.
Los circuitos estatóricos son representados por dos devanados ficticios que rotan a la misma velocidad
del rotor, tal que:
- Los ejes de un devanado coinciden con el eje d y el otro con el eje q.
- Las corrientes 𝒊𝒅 e 𝒊𝒒 que circulan por esos circuitos generan la misma fmm sobre los ejes d y q que
las fases (a,b,c) reales.
La fmm debida a 𝒊𝒅 e 𝒊𝒒es estacionaria con respecto al rotor, y por lo tanto:
- Actúa sobre trayectorias de permeancia constante, lo que resultan en auto-inductancias constantes de
los devanados (𝑳𝒅 y 𝑳𝒒).
- Mantiene una orientación fija con los circuitos del rotor, lo que resulta en mutuas inductancias
constantes.
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Interpretación Física Transformada dq0
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Teniendo las cantidades del estator expresadas en el marco de referencia dq0:
- Todas las inductancias son independientes de la posición del rotor (excepto las que representan los
efectos de la saturación magnética).
- Bajo condiciones de operación balanceada de estado estable, las corrientes del estator (𝒊𝒅 e 𝒊𝒒) son
señales en DC.
- Durante las condiciones electromecánicas transitorias, las cantidades del estator varían lentamente,
con frecuencias en el rango de 2.0 a 3.0 Hz.
Estas tres características simplifican bastante los cálculos y el análisis de los resultados.
Dominio de las fases Componentes dq0
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Análisis en estado estacionario
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Representación fasorial del vector 𝑬𝒒 en el 
plano Complejo dq.
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Circuito Equivalente en Estado Estacionario
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
𝑋 : reactancia sincrónica
𝑅 : resistencia de armadura
𝐼 : corriente de armadura
𝐸 : Tensión en terminales
Despreciando la asimetría tenemos:
Circuito equivalente despreciando asimetría
Consideraciones:
Para una máquina de polo liso (rotor
cilíndrico) se cumple que 𝑿𝒅 ≅ 𝑿𝒒, por lo
cual el circuito equivalente provee una
representación satisfactoria.
Para máquina de polos salientes 𝑿𝒅 ≠ 𝑿𝒒, el
efecto de la asimetría no es muy significativo
hasta donde las relaciones entre voltaje en
terminales, corriente de armadura y sobre
excitación están en el rango de interés.
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Parámetros de la Máquina SincrónicaMáquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Componente a frecuencia fundamental de la corriente de cortocircuito en la armadura
Constante de tiempo
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Parámetros de la Máquina Sincrónica
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
Reactancia Subtransitoria
Reactancia Transitoria
Reactancia Síncrona
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Las Transformadas de Clarke y Park
Máquinas II - 2021-IIFuente: A. Garcés, Análisis de Estabilidad en Sistemas Eléctricos de Potencia
Transformada de Clarke o transformada 0αβ
La transformación ℛ θ mantiene inalterada la
componente 0 pero rota las componentes en un nuevo
sistema coordenado que se denomina 0dq.
Transformación lineal de 3 ejes ABC a 3 ejes
0αβ. Aplica tanto a las corrientes como a las
tensiones y los flujos de un sistema trifásico.
El espacio lineal resultante puede a su vez ser
transformado mediante una matriz de rotación:
Transformada de Park o transformada 0dq
Cabe anotar que existen diferentes versiones de cada una
de estas transformadas; se emplearán las transformadas
invariantes en potencia, lo cual significa que la potencia
instantánea es igual, vista desde cualquier marco de
referencia:
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Las Transformadas de Clarke y Park
Máquinas II - 2021-II
Nota: Es importante hacer énfasis en que tanto ℛ θ como 𝒫 θ son empleadas para análisis transitorio y por tanto, no 
es conveniente reducir estas transformaciones a una representación fasorial.
https://es.mathworks.com/solutions/power-
electronics-control/clarke-and-park-transforms.html
Fuente: A. Garcés, Análisis de Estabilidad en Sistemas Eléctricos de Potencia
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Referencias Bibliográficas
Máquinas II - 2021-IIFuente: P. Kundur. Power System Stability and Control
 Power System Stability and Control, P Kundur,
McGraw-Hill, California, 1994. Capitulos 3 y 4.
 Analysis of electric machinery and drive systems,
Krause P. Wasynczuk O. and Sudhoff S., New York,
2002. Capítulos 3 y 5.
 Principles of Electric Machines And Power
Electrónics, P. C. Sen, John Wiley & Sons, New
York, 1997.
 Análisis de Estabilidad de Sistemas Eléctricos de
Poencia, A. Carcés, John Wiley & Sons, UTP, 2020.
¡Gracias!
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